Рассмотрим линейную инерционную систему с известной передаточной функцией или импульсной реакцией . Пусть на вход такой системы поступает стационарный случайный процесс с заданными характеристиками: плотно­стью вероятности , корреляционной функцией или энергетическим спектром . Опреде­лим характеристики процес­са на выходе системы: и

Наиболее просто можно найти энергетический спектр процесса на выходе системы. Действительно, отдельные реали­зации процесса на входе являются детерминированными функ­циями, и к ним применим аппарат Фурье. Пусть

усе­чённая реализация длительности Т случайного процесса на входе, а

Её спектральная плотность. Спектральная плотность реализации на выходе линейной системы будет равна

Энергетический спектр процесса на выходе согласно (1.3) бу­дет определяться выражением

т.е. будет равен энергетическому спектру процесса на входе, умноженному на квадрат амплитудно-частотной характеристи­ки системы, и не будет зависеть от фазочастотной характеристики.

Корреляционная функция процесса на выходе линейной системы может быть определена как преобразование Фурье от энергетического спектра:

Следовательно, при воздействии случайного стационарного про­цесса на Линейную систему на выходе получается также ста­ционарный случайный процесс с энергетическим спектром и корреляционной функцией, определяемыми выражениями (2.3) и (2.4). Мощность процесса на выходе системы будет равна

В качестве первого примера рассмотрим прохождение бе­лого шума со спектральной плотностью через иде­альный фильтр нижних частот, для которого

Согласно (2.3) энергетический спектр процесса на выходе бу­дет иметь равномерную в полосе частот спектральную плотность , а корреляционная функция будет опре­деляться выражением

Мощность случайного процесса на выходе идеального фильтра нижних частот будет равна

В качестве второго примера рассмотрим прохождение бе­лого шума через идеальный полосовой фильтр, амплитудно-час­тотная характеристика которого для положительных частот (рис. 1.6) определяется выражением:

Корреляционную функцию определим с помощью косинус-пре­образования Фурье:

График корреляционной функции показан на рис. 1.7

Рассмотренные примеры показательны с той точ­ки зрения, что они под­тверждают установлен­ную в § 3.3 связь между корреляционными функциями низкочастот­ного и узкополосного высокочастотного процес­сов с одинаковой фор­мой энергетического спектра. Мощность процесса на выходе идеального полосового фильтра будет равна

Закон распределения вероятностей случайного процесса на выходе линейной инерционной системы отличается от зако­на распределения на входе, и определение его является весь­ма сложной задачей, за исключением двух частных случаев, на которых здесь остановимся.

Если случайный процесс воздействует на узкополосную линейную систему, полоса пропускания которой много меньше его ширины спектра, то на выходе системы имеет место яв­ление нормализации закона распределения. Это явление заклю­чается в том, что закон распределения на выходе узкополосной системы стремится к нормальному независимо от того, какое распределение имеет широкополосный случайный процесс на входе. Физически это можно объяснить следующим образом.

Процесс на выходе инерционной системы в некоторый мо­мент времени представляет собой суперпозицию отдельных откликов системы на хаотические воздействия входного про­цесса в различные моменты вре мени. Чем уже полоса про­пускания системы и шире спектр входного процесса, тем боль­шим числом элементарных откликов образуется выходной про­цесс. Согласно же центральной предельной теореме теории вероятностей закон распределения процесса, представляюще­го собой сумму большого числа элементарных откликов, бу­дет стремиться к нормальному.

Из приведенных рассуждений следует второй частный, но весьма важный случай. Если процесс на входе линейной системы имеет нормальное (гауссово) распределение, то он остается нормальным и на выходе системы. В этом случае изменяются только корреляционная функция и энергетический спектр процесса.

Общей процедуры определения закона распределения реакции линейного ФУ на произвольное случайное воздействие не существует. Однако, возможен корреляционный анализ, т. е. расчет корреляционной функции реакции по заданной корреляционной функции воздействия, который удобно проводить спектральным методом по схеме, показанной на рис. 5.5.

Для вычисления энергетического спектра G Y (f ) реакции линейного ФУ с передаточной функцией H (j ω) воспользуемся его определением (4.1)

Функцию корреляции B Y (t) определим преобразованием Фурье энергетического спектра G Y (f )

Вернемся к определению закона распределения реакции линейного ФУ в отдельных частных случаях:

1. Линейное преобразование нормального СП порождает также нормальный процесс. Измениться могут только параметры его распределения.

2. Сумма нормальных СП (реакция сумматора) есть также нормальный процесс.

3. При прохождении СП с произвольным распределением через узкополосный фильтр (т.е. при ширине полосы пропускания фильтра DF существенно меньшей ширины энергетического спектра воздействия Df X ) наблюдается явление нормализации распределения реакции Y (t ). Оно заключается в том, что закон распределения реакции приближается к нормальному. Степень этого приближения тем больше, чем сильнее неравенство DF << Df X (рис. 5.6).

Объяснить это можно следующим образом. В результате прохождения СП через узкополосный фильтр происходит существенное уменьшение ширины его энергетического спектра (с Df X до DF ) и, соответственно, увеличение времени корреляции (c t X до t Y ). В результате между некоррелированными отсчетами реакции фильтра Y (k t Y ) располагается примерно Df X / DF некоррелированных отсчетов воздействия X (l t X ), каждый из которых дает вклад в формирование единственного отсчета реакции с весом, определяемым видом импульсной характеристики фильтра.

Таким образом, в некоррелированных сечениях Y (k t Y ) происходит суммирование большого числа также некоррелированных случайных величин X (l t X ) с ограниченными математическими ожиданиями и дисперсиями, что в соответствии с центральной предельной теоремой (А.М. Ляпунова) обеспечивает приближение распределения их суммы к нормальному с увеличением числа слагаемых.

5.3. Узкополосные случайные процессы

СП X (t ) с относительно узким энергетическим спектром (Df X << f c ) как и узкополосные детерминированные сигналы удобно представлять в квазигармонической форме (см. раздел 2.5)

где огибающая A (t ), фаза Y(t ) и начальная фаза j(t ) являются случайными процессами, а ω с – частота, выбираемая произвольно (обычно как средняя частота его спектра).

Для определения огибающей A (t ) и фазы Y(t ) целесообразно воспользоваться аналитическим СП

Основные моментные функции аналитического СП :

1. Математическое ожидание

2. Дисперсия

3. Функция корреляции

Аналитический СП называют стационарным, если

Рассмотрим типичную в технике связи задачу прохождения нормального СП через полосовой фильтр (ПФ), амплитудный (АД) и фазовый (ФД) детекторы (рис. 5.7). Сигнал на выходе ПФ становится узкополосным , а это означает, что его огибающая A (t ) и начальная фаза j(t ) будут медленно меняющимися функциями времени по сравнению с , где – средняя частота полосы пропускания ПФ. По определению, сигнал на выходе АД будет пропорционален огибающей входного сигнала A (t ), а на выходе ФД – его начальной фазе j(t ). Таким образом, для решения этой задачи достаточно вычислить распределение огибающей A (t ) и фазы Y(t ) (распределение начальной фазы отличается от распределения Y(t ) только математическим ожиданием ).

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Теория электрической связи. Конспект лекций - 2 часть

Предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Теория электрической связи». Материал соответствует действующей учебной программе по курсу ТЭС..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Спектральный анализ случайных процессов
Спектральный анализ детерминированных сигналов x(t) предпо-лагает использование прямого преобразования Фурье

Свойства энергетических спектров случайных процессов
1. , что непосредственно следует из его определения (4.1). Из этого факта и соотноше

исследований случайных процессов
Для закрепления полученных при изучении раздела 4 знаний на базе виртуальной лаборатории можно провести экспериментальные исследования случайных процессов используя: · о

преобразователи сигналов
В общем случае решение задачи прохождения заданного СП через конкре

через безынерционные цепи
Безынерционная цепь (безынерционный функциональный узел –БФУ) полностью описывается функциональной зависимостью y = f(x), связывающей мгновенные значения возде

Функциональное преобразование двух случайных процессов
Постановка задачи: Заданы два случайных процесса X1(t) и X2(t) с известной совместной плотностью вероятности их значений в совпада

прохождения случайных процессов через различные ФУ
Для закрепления знаний, полученных при изучении данного раздела рекомендуется выполнить в рамках виртуальной лаборатории работу № 20 «Прохождение случайных процессов через различны

Критерий идеального наблюдателя
(критерий Котельникова) Этот критерий требует обеспечения минимума средней вероятности ошибочного приема. Для двоичной системы

Критерий максимального правдоподобия
Полагая, что все передаваемые сообщения равновероятны,

Критерий минимального среднего риска
(байесовский критерий) Для учета разных последствий ошибок передачи различных сообщений следует обобщить критерий Котельникова, минимизируя сумму условных вероятно

Критерий Неймана-Пирсона
Критерий Неймана-Пирсона применяется в двоичных системах в ситуациях, когда невозможно определить априорные вероятности отдельных сообщений, а последствия ошибок разного рода неоди

на согласованных фильтрах
Сохраняя постановку задачи синтеза демодулятора из предыдущего раздела и опираясь на алгоритмы (6.13) и (6.14), попробуем заменить коррелятор (активный фильтр), вычисляющий скалярн

Свойства согласованных фильтров
1. Импульсная характеристика СФ является «зеркальным отражением» сигнала, с которым он согласован, относительно момента времени 0,5t0 (с точностью до постоянного коэффициен

Фазо-частотная характеристика СФ
отличается знаком от фазового спектра сигнала, с которым он согласован (б

Прямоугольные видеоимпульсы
Сигнал в виде прямоугольного видеоимпульса s(t) (рис. 6.8,а) и импульсная характеристика gСФ(t) согласованного с ним фильтра (рис. 6.8,б) описываются выражени

Прямоугольные радиоимпульсы
Сигнал в виде прямоугольного радиоимпульса s(t) описывается выражением

Сложные двоичные сигналы
Рассмотрим сигналы в виде n-последовательностей импульсов прямоугольной формы

Оптимальный когерентный прием при небелом шуме
Рассмотрим задачу синтеза согласованного фильтра, обеспечивающего максимальное отношение с/ш на своем выходе для случая, когда на его входе действует аддитивная смесь известного сигнала s(

оптимального когерентного приема
Для закрепления знаний, полученных при изучении разделов 6.1-6.3, целесообразно выполнить лабораторные работы № 15 «Исследование когерентных демодуляторов» (рис. 6.19, 6.20) и № 22 «Согласованная ф

помехоустойчивости основных видов цифровой модуляции
Для сравнения помехоустойчивости основных видов цифровой модуляции АМ, ЧМ (при использовании ортогональных сигналов) и ФМ достаточно для каждого из них определить эквивалентную эне

некогерентного приема в двоичной системе связи
Для определения средней вероятности ошибки оптимального некогерентного приема в двоичной системе при равных вероятностях передаваемых сообщениях P(b0) = P(b

исследований некогерентного приема
Для закрепления знаний, полученных при изучении разделов 6.6 и 6.7, целесообразно выполнить лабораторные работы № 16 «Исследование некогерентных демодуляторов» (рис. 6.40, 6.41) и

Общей процедуры определения закона распределения реакции линейного ФУ на произвольное случайное воздействие не существует. Однако, возможен корреляционный анализ, т. е. расчет корреляционной функции реакции по заданной корреляционной функции воздействия, который удобно проводить спектральным методом по схеме, показанной на рис. 5.5.

Для вычисления энергетического спектра G Y (f ) реакции линейного ФУ с передаточной функцией H (j ω) воспользуемся его определением (4.1)

Функцию корреляции B Y (t) определим преобразованием Фурье энергетического спектра G Y (f )

.

Вернемся к определению закона распределения реакции линейного ФУ в отдельных частных случаях:

1. Линейное преобразование нормального СП порождает также нормальный процесс. Измениться могут только параметры его распределения.

2. Сумма нормальных СП (реакция сумматора) есть также нормальный процесс.

3. При прохождении СП с произвольным распределением через узкополосный фильтр (т.е. при ширине полосы пропускания фильтра DF существенно меньшей ширины энергетического спектра воздействия Df X ) наблюдается явление нормализации распределения реакции Y (t ). Оно заключается в том, что закон распределения реакции приближается к нормальному. Степень этого приближения тем больше, чем сильнее неравенство DF << Df X (рис. 5.6).

Объяснить это можно следующим образом. В результате прохождения СП через узкополосный фильтр происходит существенное уменьшение ширины его энергетического спектра (с Df X до DF ) и, соответственно, увеличение времени корреляции (c t X до t Y ). В результате между некоррелированными отсчетами реакции фильтра Y (k t Y ) располагается примерно Df X / DF некоррелированных отсчетов воздействия X (l t X ), каждый из которых дает вклад в формирование единственного отсчета реакции с весом, определяемым видом импульсной характеристики фильтра.

Таким образом, в некоррелированных сечениях Y (k t Y ) происходит суммирование большого числа также некоррелированных случайных величин X (l t X ) с ограниченными математическими ожиданиями и дисперсиями, что в соответствии с центральной предельной теоремой (А.М. Ляпунова) обеспечивает приближение распределения их суммы к нормальному с увеличением числа слагаемых.

5.3. Узкополосные случайные процессы

СП X (t ) с относительно узким энергетическим спектром (Df X << f c ) как и узкополосные детерминированные сигналы удобно представлять в квазигармонической форме (см. раздел 2.5)

где огибающая A (t ), фаза Y(t ) и начальная фаза j(t ) являются случайными процессами, а ω с – частота, выбираемая произвольно (обычно как средняя частота его спектра).

Для определения огибающей A (t ) и фазы Y(t ) целесообразно воспользоваться аналитическим СП

, (5.4)

Основные моментные функции аналитического СП :

1. Математическое ожидание

2. Дисперсия

3. Функция корреляции

,

,

.

Аналитический СП называют стационарным, если

,

,

Рассмотрим типичную в технике связи задачу прохождения нормального СП через полосовой фильтр (ПФ), амплитудный (АД) и фазовый (ФД) детекторы (рис. 5.7). Сигнал на выходе ПФ становится узкополосным , а это означает, что его огибающая A (t ) и начальная фаза j(t ) будут медленно меняющимися функциями времени по сравнению с , где – средняя частота полосы пропускания ПФ. По определению, сигнал на выходе АД будет пропорционален огибающей входного сигнала A (t ), а на выходе ФД – его начальной фазе j(t ). Таким образом, для решения этой задачи достаточно вычислить распределение огибающей A (t ) и фазы Y(t ) (распределение начальной фазы отличается от распределения Y(t ) только математическим ожиданием ).

Постановка задачи

Дано:

1) X (t ) = A (t )cosY(t ) – узкополосный центрированный стационарный нормальный СП (на выходе ПФ),

2) .

Определить:

1) w (A ) – одномерную плотность вероятности огибающей,

2) w (Y) – одномерную плотность вероятности фазы.

Для решения этой задачи наметим три этапа:

1. Переход к аналитическому СП и определение совместной плотности вероятности .

2. Расчет совместной плотности вероятности по вычисленной на первом этапе и связям A (t ), Y(t ) с (5.3) ÷ (5.6) .

3. Определение одномерных плотностей вероятности w (A ) и w (Y) по вычисленной совместной плотности вероятности .

Решение

1 этап . Найдем одномерную плотность вероятности процесса . На основе линейности преобразования Гильберта делаем вывод о том, что – нормальный СП. Далее, учитывая, что , получаем , а следовательно

Таким образом, имеем

.

Докажем некоррелированность в совпадающие моменты времени, т. е. что .

.

После подстановки , , , учитывая, что при , получим

Некоррелированность сечений нормальных процессов влечет их независимость, следовательно

.

2 этап . Расчет совместной плотности вероятности

,

где согласно (5.2), (5.5) и (5.6)

.

Следовательно, с учетом (5.3) имеем

. (5.7)

3 этап . Определение одномерных плотностей вероятности

Окончательно

, (5.8)

. (5.9)

Выражение (5.8) известно как распределение Рэлея , его график приведен на рис. 5.8. На рис. 5.9 приведен график равномерного распределения фазы (5.9).

Выражение (5.7) можно представить в виде произведения (5.8) и (5.9)

из чего следует независимость огибающей A (t ) и фазы w (Y) нормального СП.

Рассмотрим более сложную задачу прохождения аддитивной смеси выше рассмотренного нормального СП с гармоническим сигналом через АД и ФД. Постановка задачи сохраняется прежней за исключением исходного процесса Y (t ) , который приобретает вид

где X (t ) – центрированный нормальный СП.

Поскольку

.

Запишем Y (t ) в квазигармонической форме

и будем решать задачу определения плотностей вероятности w (A ) и w (j) по выше приведенному плану.

Предварительно запишем X (t ) в квазигармонической форме и через его квадратурные компоненты

, (5.10)

(5.11)

Для нахождения обратимся к аналитическому СП

.

Из его выражения видно, что являются линейными преобразованиями центрированного нормального СП X (t ):

и, следовательно, имеют нормальное распределение с дисперсиями

.

Докажем их некоррелированность (а следовательно и независимость) в совпадающие моменты времени

.

Здесь учтено, что B (t ) и θ(t ) – огибающая и фаза нормального СП являются, как выше установлено, независимыми.

Таким образом,

и с учетом (5.10) и (5.11) получаем

. (5.12)

Поскольку выражение (5.12) невозможно представить в виде произведения одномерных функций , то можно сделать вывод о зависимости процессов .

Для нахождения распределения огибающей суммы центрированного нормального СП с гармоническим сигналом проинтегрируем (5.12) по всем возможным значениям случайной фазы j(t )

.

Интеграл вида

известен в математике как модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. С его учетом окончательно имеем

. (5.13)

Выражение (5.13) называют обобщенным распределением Рэлея или распределением Райса . Графики этого выражения приведены на рис. 5.10 для следующих частных случаев:

1) U = 0 – обычное распределение Рэлея,

2) – случай отсутствия в Y (t ) СП X (t ),

3)
– обобщенное распределение Рэлея (Райса).

Из графиков видно, что чем больше отношение сигнал/шум тем правее смещен максимум плотности вероятности и тем симметричнее (ближе к нормальному распределению) кривая .

Выводы

1. Если мгновенные значения центрированного СП X (t ) имеют нормальное распределение, то его огибающая A (t ) распределена по закону Релея

,

а фаза Y(t ) равномерно

2. Распределение огибающей аддитивной смеси центрированного нормального СП и гармонического сигнала подчиняется обобщенному распределению Рэлея (оно же распределение Райса)

.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте задачу анализа прохождения СП через заданный функциональный узел.

2. Как вычисляют плотность вероятности w (y ) реакции безынерционной цепи по известной плотности вероятности w (x ) воздействия?

3. Как вычисляют математическое ожидание реакции безынерционной цепи на случайное воздействие X (t )?

4. Как вычисляют дисперсию реакции безынерционной цепи на случайное воздействие X (t )?

5. Как вычисляют функцию корреляции реакции безынерционной цепи на случайное воздействие X (t )?

6. Как вычисляют совместную плотность вероятности w (у 1 , у 2­ ; t ) двух СП Y 1 (t ) и Y 2 (t ), связанных известными функциональными зависимостями и с двумя другими СП X 1 (t ) и X 2 (t )?

7. Как меняется распределение нормального СП при его прохождении через линейную цепь?

8. Как меняется произвольное распределение СП при его прохождении через узкополосный фильтр?

9. В чем суть явления нормализации широкополосного процесса при его прохождении через узкополосный фильтр? Дайте математическое обоснование этому явлению.

10. Опишите процедуру корреляционного анализа прохождения СП через линейную цепь.

11. Дайте определение огибающей и фазы СП.

12. Дайте определения аналитическому СП, его математическому ожиданию, дисперсии и функции корреляции.

13. Каким условиям удовлетворяет стационарный аналитический СП?

14. Каково распределение огибающей центрированного нормального СП?

15. Каково распределение фазы центрированного нормального СП?

16. Каково распределение огибающей суммы центрированного нормального СП и гармонического сигнала?

17. Напишите аналитическое выражение закона Рэлея. Распределение какого СП он характеризует?

18. Напишите аналитическое выражение обобщенного закона Рэлея (закона Райса). Распределение какого СП он характеризует?

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н. П. ОГАРЁВА»

ФАКУЛЬТЕТ ЭЛЕКТРОННОЙ ТЕХНИКИ

Кафедра «АВТОМАТИКА»

М. В. ИЛЬИН

с. с. КАПИТОНОВ

Авторы-составители: заведующий кафедрой «Автоматика», канд. техн. наук, доцент кафедры «Автоматика», канд. техн. наук, преподаватель кафедры «Автоматика» , доцент кафедры «Автоматика» .

Прохождение сигналов различной формы через линейные RC -цепи: лаборатораторный практикум / Н. Н. Беспалов, М. В. Ильин, . - Саранск: Ковылк. тип., 2012. - 24 с.

ISBN ___________

Содержатся теоретические сведения и методические указания к выполнению лабораторной работы «Прохождение сигналов различной формы через линейные RC -цепи» по курсу «Электронные цепи и микросхемотехника». Предназначено для студентов направлений подготовки «Электроника и наноэлектроника», «Инфокоммуникационные технологии и системы связи», «Электроэнергетика и электротехника » и «Приборостроение». Однако данным пособием смогут пользоваться студенты и других специальностей связанных с электротехникой, электроникой и радиотехникой.

Печатается по решению научно-методического совета Мордовского государственного университета им. ёва.

УДК 621.391.3.011.71(076)

ББК Б534

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящий лабораторный практикум содержит описание первой лабораторной работы, которая проводится при изучении студентами дневной и заочной форм обучения импульсных цепей в рамках курса «Электронные цепи и микросхемотехника».

Основной целью данной работы является изучение процессов передачи импульсов различной формы через RC -цепи.

Поскольку выполнение лабораторных работ по изучаемому курсу часто опережает лекционное изложение соответствующих разделов, в описании работы введены теоретические приложения, которые могут служить учебными пособиями к соответствующим разделам курса, а также пособиями по курсовому проектированию и типовым расчетам.

Однако использование для подготовки к лабораторной работе только одного теоретического приложения является недостаточным. Необходимо изучение соответствующих разделов в литературе, приведенной в конце сборника.

При подготовке к очередной работе студент обязан ознакомиться с описанием работы, теоретическим пособием, указанной литературой, а также выполнить предварительное расчетное задание.

Отчёт по работе должен содержать изучаемые схемы, выполненное предварительное расчетное задание и полученные результаты. Отчет должен быть оформлен аккуратно на листах стандартного размера А4, а также представлен в электронном виде.

Порядок прохождения данной лабораторной работы следующий.

1. Группа студентов, приступающая к выполнению лабораторных работ, должна пройти инструктаж по общим правилам поведения в данной лаборатории и по правилам техники безопасности , о чем делается запись в соответствующем журнале с росписью каждого студента.

2. Перед очередным занятием каждый студент сдает коллоквиум по текущей работе. Если студент не готов к работе или не выполнил предварительное расчетное задание, то он к работе не допускается.

3. На следующем занятии после выполнения работы , студент должен предъявить оформленный отчёт по выполненной работе и защитить работу.

Студенты, не защитившие двух работ к моменту выполнения очередной работы, к занятиям не допускаются. Оформление отчёта по работе проводится каждым студентом.

Все лабораторные работы по изучаемому курсу рассчитаны на четырехчасовое занятие в аудитории и четырехчасовую домашнюю подготовку.

1 КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Линейными цепями называются цепи, состоящие из совокупности линейных элементов, т. е. элементов, номинальные значения которых не зависят от протекающего тока или приложенного напряжения. Для всех линейных цепей применим принцип суперпозиции. Например, для описания процессов в линейных цепях можно использовать методы, основанные на применении интеграла Дюамеля, или методы гармонического анализа. Рассматриваемые RC -цепи используются во многих практических схемах в качестве функциональных преобразователей. В зависимости от структуры и соотношения параметров элементов RC -цепи могут использоваться для дифференцирования (фильтр высоких частот) или интегрирования (фильтр низких частот) входных сигналов.

Для анализа переходных процессов в импульсных цепях используются классический, операторный, частотный методы, а также метод интеграла Дюамеля (суперпозиционный метод).

Классический метод . При расчете переходных процессов этим методом входной сигнал представляется в виде функции U вх (t ), а исследуемая RC-цепь описывается дифференциальным уравнением (ДУ), устанавливающим связь между выходным и входным напряжениями, параметрами элементов схемы и внешним воздействием. При составлении ДУ используют ряд законов и теорем, определяющих связь между напряжениями и токами. Основными из них являются закон Ома, коммутации, Кирхгофа и теорема об эквивалентном генераторе.

Во многих случаях при анализе переходных процессов эквивалентная схема исследуемой цепи описывается ДУ первого порядка с постоянной правой частью:

где τ -постоянная времени, характеризующая инерционность цепи; x(t) -искомая величина (ток, напряжение); Z 0 - внешнее возмущающее воздействие.

Общее решение уравнения (1) имеет вид:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image003_175.gif" width="93" height="29 src=">,

где А - постоянная интегрирования (находится из начальных условий); р - корень характеристического уравнения https://pandia.ru/text/78/069/images/image005_134.gif" width="63" height="48 src=">.

Таким образом, общее решение ДУ (1) запишется в виде:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image007_114.gif" width="40" height="20"> и , найдем:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image011_83.gif" width="123" height="24 src=">.

Следовательно, решение ДУ (1) можно записать в виде

https://pandia.ru/text/78/069/images/image013_87.gif" width="181" height="60 src=">. (3)

Для конкретной RC-цепи определяют операторный коэффициент передачи К(р) , затем находят изображение выходного напряжения и по функции U вых (р) определяют оригинал U вых (t ) , используя обратное преобразование Лапласа:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" width="12" height="23 src=">определяется по формуле:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image017_73.gif" width="248" height="56 src=">.

Если знаменатель изображения U вых (р) имеет наряду с простыми корнями р 1, р 2 …, р n корень р n+1 кратности a, т. е. изображение U вых (р ) записывается в виде дроби:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" width="12" height="23">будет функция:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" width="12 height=23" height="23">Частотный способ . При использовании этого метода входной сигнал U вх (t )на основании прямого преобразования Фурье представляется в виде частотного спектра U вх (j w ). Затем находится комплексный коэффициент передачи К (j w )https://pandia.ru/text/78/069/images/image020_61.gif" width="244" height="60 src=">.

https://pandia.ru/text/78/069/images/image008_110.gif" alt="*" width="12" height="23 src=">сложной формы. Выходное напряжение находят из выражения:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image022_36.jpg" width="507" height="353 src=">

Рисунок 1 - Прохождение ступеньки напряжения через RC -цепь.

Входной сигнал можно записать в виде

0 при t < 0

U вх (t )= Um при t > 0.

При использовании классического метода необходимо составить ДУ RC -цепи. Согласно второму закону Кирхгофа можно записать:

U вых (t ) = U c(t ) + U вх (t ). (4)

При подаче входного сигнала через ёмкость С протекает ток i (t ) и напряжение на ёмкости https://pandia.ru/text/78/069/images/image025_52.gif" width="237" height="60 src=">.

Учитывая, что Ri (t ) = U вых (t ), и дифференцируя правую и левую части этого уравнения, получим:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image027_46.gif" width="212" height="43 src=">.

Подставив в полученное уравнение значение U вх (t ), для выходного напряжения получим:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image029_48.gif" width="289 height=49" height="49">.

Для нахождения выражения U вых (t ) в данном случае можно воспользоваться уравнением (3), которое запишутся в виде:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image031_40.gif" width="67" height="25 src="> - выходное напряжение при t = ∞ (после окончания переходного процесса, т. е. при = 0); U вых (0) - выходное напряжение при t = 0, (в момент коммутации, когда U вых(0) = Um ).

Следовательно, выходное напряжение определится как:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image033_39.gif" width="104" height="52">. Операторный коэффициент передачи К (р ) для данной RC-цепи определится следующим образом:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image028_48.gif" width="129" height="47">.

Прохождение через RC -цепь импульса прямоугольной формы . На рисунке 2а изображена RC -цепь, на вход которой подается прямоугольный импульс с амплитудой Um и длительностью. Входной сигнал можно представить в виде двух разнополярных перепадов напряжения величиной Um , сдвинутых друг относительно друга на время t и (рисунок 2б).

При 0< t < t и

U вх (р)= https://pandia.ru/text/78/069/images/image039_37.gif" width="18" height="151 src=">.gif" width="151" height="72 src="> при t и > 0,

а затем, используя обратное преобразование Лапласа, находим временную функцию U вых (t ):

При 0< t < t и

U вых (t )= при t и > 0.

Форма выходного импульса зависит от соотношения t и и τ . На рисунке 3а приведена форма выходного сигнала при τ << t и , а на рисунке 3б изображен выходной сигнал при τ >> t и . Из рисунка видно, что в случае, если RC -цепь должна передавать прямоугольный импульс без искажения, то нужно выбирать соотношение τ >> t и . Для оценки искажений вершины импульса используют относительный спад вершины импульса Δ:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image046_20.jpg" width="597" height="285 src=">

Рисунок 3 - Форма выходного сигнала для различных t .

Аналогично можно определить форму выходного сигнала для RC -цепи, изображенной на рисунке 4а (интегрирующая RC -цепь). Из рисунка 4б видно, что для передачи импульса с минимальными искажениями фронта необходимо выбирать τ << t и .

https://pandia.ru/text/78/069/images/image048_18.jpg" width="376" height="261">

Рисунок 5 - К определению длительности фронта импульса.

Прохождение через RC -цепь линейно-нарастающего напряжения . На рисунке 6 представлена RC -цепь, на вход которой поступает линейно-нарастающее напряжение U вх (t ) =kt , где k = tgα - коэффициент пропорциональности.

https://pandia.ru/text/78/069/images/image050_24.gif" width="221" height="25 src=">.gif" width="31 height=43" height="43"> можно представить в виде ряда:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image054_22.gif" width="323" height="55 src=">.

Отсюда видно, что при малых значениях t (t <<τ ) выходное напряжение практически совпадает с входным, т. е. U вых (t ) ≈ kt .

Искажение формы выходного сигнала:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image056_21.gif" width="141" height="48 src="> - нижняя граничная частота, определяемая при спаде частотной характеристики, равном 3 дб. Например, для передачи напряжения развертки с длительностью 2 мс и отклонением от линейности не более 0,1% из последнего уравнения находим, что необходимо иметь f н < 0,16 Гц или RC = τ > 1с.

При t >> τ выходное напряжение стремится к постоянной величине kτ . Напряжение на ёмкости С может быть найдено следующим образом:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image058_11.jpg" width="369" height="314">

Рисунок 7 - Представление напряжения трапециидальной формы в виде четырех линейно-нарастающих сигналов.

Резисторные делители с несколькими входами. Пример схемы многовходового делителя приведён на рисунке 8.

https://pandia.ru/text/78/069/images/image060_22.gif" width="269" height="64 src=">,

В частном случае, когда https://pandia.ru/text/78/069/images/image064_18.gif" width="253" height="60 src=">,

https://pandia.ru/text/78/069/images/image067_19.gif" width="21" height="25 src=">, но и от числа слагаемых напряжений, соотношения величин сопротивлений связи и сопротивления нагрузки .

Рисунок 9 - Резисторный делитель, нагруженный ёмкостью C .

При передаче импульса через такой делитель происходит растягивание его фронтов, обусловленное процессами заряда и разряда конденсатора С , и уменьшение его амплитуды, обусловленное наличием делителя (https://pandia.ru/text/78/069/images/image072_18.gif" width="165" height="29 src=">

и амплитудой:

DIV_ADBLOCK157">

https://pandia.ru/text/78/069/images/image075_17.gif" width="128" height="49 src=">.

Резисторно-ёмкостные делители. В ряде случаев для передачи перепадов входного напряжения выход резистора https://pandia.ru/text/78/069/images/image077_4.jpg" width="511" height="377 src=">

Рисунок 9 - Прохождение прямоугольного импульса через резисторно-ёмкостной делитель.

Пусть на вход такого делителя подан прямоугольный импульс напряжения с амплитудой Е , причём будем считать, что источник входных импульсов - идеальный, лишённый внутреннего сопротивления, и, следовательно, способный развивать бесконечно большую мощность.

В момент коммутации (t = 0) происходит бесконечно большой скачок тока через ёмкости https://pandia.ru/text/78/069/images/image079_17.gif" width="24" height="23">, и в результате на ёмкостях получаются мгновенные конечные скачки напряжения и https://pandia.ru/text/78/069/images/image082_18.gif" width="273" height="55 src=">,

где и - заряды на конденсаторах и в момент t . При t = 0 = , так как при t = 0 ток проходит только через ёмкости https://pandia.ru/text/78/069/images/image079_17.gif" width="24" height="23 src="> то:

https://pandia.ru/text/78/069/images/image088_12.gif" width="336" height="60 src=">,

https://pandia.ru/text/78/069/images/image091_11.gif" width="205" height="55 src=">. и до начальных (при t > 0) уровней напряжения.

В некоторых устройствах (например, в мультивибраторах) в резисторно-ёмкостном делителе резистор https://pandia.ru/text/78/069/images/image111_9.gif" width="64" height="23 src=">.

На практике используются и резисторно-ёмкостные делители с несколькими входами.

2 РАБОЧЕЕ ЗАДАНИЕ

Цель работы : Исследование влияния параметров RC -цепей на искажение формы передаваемых импульсов.

1. По заданию преподавателя для одной из представленных на рисунке 10 схем и выбранных величин параметров элементов рассчитать относительный спад вершины и длительности фронта выходного сигнала при подаче на вход однополярного прямоугольного импульса.

2. Для выбранной RC -цепи и параметров ее элементов рассчитать искажение формы выходного сигнала при подаче на вход линейно-нарастающего напряжения (пилообразного импульса).

3. Для выбранной схемы создать модель в Multisim. Экспериментально с помощью виртуального осциллографа определить величины параметров выходных импульсов, приведённых в пунктах 1 и 2, и сравнить их с расчётными величинами. Сохранить в виде графических файлов осциллограммы входных и выходных импульсов для последующего формирования отчёта.

4. В созданной в пункте 3 модели заменить источник входного сигнала на источник сигнала сложной формы. Варианты сложных сигналов приведены на рисунке 11. Форма сигнала задаётся преподавателем. Результаты моделирования привести в отчёте в виде осциллограмм входного и выходного сигнала.

https://pandia.ru/text/78/069/images/image113_3.jpg" width="604" height="527 src=">

Рисунок 11 - Входные сигналы различной формы.

3 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте основные принципы классического метода анализа переходных процессов в импульсных цепях.

2. Сформулируйте основные принципы операторного метода анализа переходных процессов в импульсных цепях.

3. Сформулируйте основные принципы частотного метода анализа переходных процессов в импульсных цепях.

4. Какие цепи называют линейными?

5. В чем заключается принцип суперпозиции при анализе сигналов сложной формы?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Улахович теории линейных электрических цепей / . - СПб. : БХВ-Петербург, 2009. - 816 с.

2. Белецкий линейных электрических цепей. Издание 2 / - М. : Лань, 2011. - 544 с.

3. Колонтаевский: Учеб. пособие для СПТУ / . - М. : Высш. шк., 1988. -304 с.

4 Радиотехника: Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / , . - М. : Просвещение, 1986. -319 с.

5. Гольденберг устройства / . М. : Радио и связь, 1981. - 221 с.

6. Гоноровский цепи и сигналы: Учебник для вузов. 4-изд., пераб. и доп. / . М. : Радио и связь, 1988. -512 с.

	предисловие ……………………………………………………….
	Краткие теоретические сведения …………………………………
	Рабочее задание ……………………………………………………
	Контрольные вопросы ……………………………………………
	Библиографический список ………………………………………

ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ

РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ

ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ RC -ЦЕПИ

Лабораторный практикум

по курсу «Электронные цепи и микросхемотехника»

Учебное издание

Б. И. ПЕТРОВ

Авторы-составители: Н. Н. БЕСПАЛОВ, М. В. ИЛЬИН,

С. С. КАПИТОНОВ, .

Печатается в соответствии с предоставленным

оригинал-макетом

Сдано в набор __.11.2012. Подписано в печать __.12.2012.

Гарнитура Таймс. Печать офсетная. Формат 60х84 1/16.

Уч.-изд. л. 0,00 Усл. печ. л. ___. Тираж 100 экз.

Мордовский государственный университет им. ёва

Отпечатано в Ковылкинской типографии Министерства печати и информации Республики Мордовия

Общая задача изучения прохождения случайных сигналов через нелинейные

цепи состоит в нахождении статистических характеристик выходного сигнала по известным данным цепи и статистическим характеристикам сигнала. Эту задачу следует разбить на ряд отдельных задач по признакам, относящимся к характеристикам входного сигнала, свойствам цепи и исходным характеристикам выходного сигнала.

Нелинейные цепи представляют собой соотношение нелинейных элементов с однозначной вольт-амперной характеристикой и определяются как безынерционные.

По искомым статистическим характеристикам выходного сигнала следует различать задачи, с помощью которых должен быть найден закон распределения мгновенных значений или огибающей, и задачи, когда достаточно определить первые моменты этих законов.

Анализ исследований и публикаций. В зависимости от способов обработки сигналов от различных источников возникает необходимость проводить такие математические действия над ними как, например, деление, умножение и др. Такие математические действия над сигналами технически могут быть реализованы с помощью нелинейных безынерционных устройств. Вследствие этого задачи изучения прохождения случайных сигналов через нелинейные цепи, с помощью математических действий, далеко не всегда могут быть доведены до решения в приемлемой форме.

В общем виде принципиальное решение задачи о нелинейных безынерционных преобразованиях случайных процессов производится известным свойством инвариантности дифференциала вероятности. Однако применение этого свойства к практически интересным нелинейным преобразованиям вызывает большие трудности. Поэтому ввиду сложности вычисления плотности вероятностей часто ограничиваются нахождением более простых не менее полных статистических характеристик выходного сигнала.

Постановка задачи. Операция деления двух случайных сигналов может быть отнесена к задаче синтеза нелинейной цепи по заданному преобразованию входного сигнала, котораявключает установление вида характеристики цепи, осуществляющей данное преобразование, а затем реализация полученной характеристики. При двух входных сигналах, представляющих собой случайные процессы, например, операция умножения выполняется с помощью нелинейной детерминированной безынерционной системы, которая представлена на рис. 1. Она состоит из двух логарифматоров 1, 2 (устройства с логарифмической амплитудной характеристикой), сумматора и экспонатора 3, устройства с экспоненциальной амплитудной характеристикой. Такой подход к решению задачи основан на том, что нелинейное безынерционное преобразование случайного процесса не вносит дополнительных временных связей. То есть, если процесс до безынерционного преобразования характеризировался n-мерным распределением, то и процесс после него будет характеризироваться распределением n-го порядка.

Известно, что закон распределения вероятностей суммы двух случайных процессов с нормальными законами распределения также является нормальным. Поэтому можно считать, что сигнал на входе экспонатора имеет нормальный закон распределения плотностей вероятностей.

Полученный результат имеет столь простое решение, как исключение и имеет место только при экспоненциальном преобразовании нормального стационарного процесса.

Однако такой результат имеет сравнительно общее значение, так как часто характеристики нелинейных элементов можно аппроксимировать суммой, содержащей два – три экспоненциальных слагаемых; при таком подходе общая корреляционная функция выходного процесса будет равна сумме корреляционных функций, вычисленных для каждого экспоненциального слагаемого в отдельности.

Задачи изучения прохождения случайных сигналов через нелинейные безынерционные цепи, которые выполняют над сигналами функции математических действий, например деление или умножение двух сигналов, не всегда могут быть доведены до решения в прямой форме. Однако получение результата решения задачи определения статистических характеристик в этих случаях можно осуществить путем решения задачи синтеза нелинейных цепей по заданному преобразованию входных сигналов, в которую входит установление вида характеристик отдельных элементов цепи, осуществляющих данное преобразование сигнала. При таком подходе задача определения результирующего сигнала будет определяться на выходе каждого элемента, выполняющего заданную ему функцию.