Колебательный контур - это устройство, предназначенное для генерации (создания) электромагнитных колебаний. С момента его создания и по сегодняшний день он используется во многих областях науки и техники: от повседневной жизни до огромных заводов, производящих самую разную продукцию.
Из чего он состоит?
Колебательный контур состоит из катушки и конденсатора. Кроме того, в нём также может присутствовать резистор (элемент с переменным сопротивлением). Катушка индуктивности (или соленоид, как её иногда называют) представляет собой стержень, на который наматываются несколько слоёв обмотки, которая, как правило, представляет собой медную проволоку. Именно этот элемент создаёт колебания в колебательном контуре. Стержень, находящийся в середине, часто называют дросселем, или сердечником, а катушку иногда именуют соленоидом.
Катушка колебательного контура создаёт колебания только при наличии запасённого заряда. При прохождении через неё тока она накапливает заряд, который затем отдаёт в цепь, если напряжение падает.
Провода катушки обычно имеют очень маленькое сопротивление, которое всегда остаётся постоянным. В цепи колебательного контура очень часто происходит изменение напряжения и силы тока. Это изменение подчиняется определённым математическим законам:
- U = U 0 *cos(w*(t-t 0) , где
U - напряжение в данный момент времени t,
U 0 - напряжение во время t 0 ,
w - частота электромагнитных колебаний.
Другим неотъемлемым компонентом контура является электрический конденсатор. Это элемент, состоящий из двух обкладок, которые разделены между собой диэлектриком. При этом толщина слоя между обкладками меньше их размеров. Такая конструкция позволяет накапливать на диэлектрике электрический заряд, который потом можно отдать в цепь.
Отличие конденсатора от аккумулятора в том, что в нём не происходит превращения веществ под действием электрического тока, а происходит непосредственное накопление заряда в электрическом поле. Таким образом, с помощью конденсатора можно накопить достаточно большой заряд, отдавать который можно весь сразу. При этом сила тока в цепи сильно возрастает.
Также колебательный контур состоит из ещё одного элемента: резистора. Этот элемент обладает сопротивлением и предназначен для контролирования силы тока и напряжения в цепи. Если при постоянном напряжении увеличивать то сила тока будет уменьшаться по закону Ома:
- I = U/R , где
I - сила тока,
U - напряжение,
R - сопротивление.
Катушка индуктивности
Давайте подробнее рассмотрим все тонкости работы катушки индуктивности и лучше поймём её функцию в колебательном контуре. Как мы уже говорили, сопротивление этого элемента стремится к нулю. Таким образом, при подключении к цепи постоянного тока произошло бы Однако если подключать катушку в цепь переменного тока, она работает исправно. Это позволяет сделать вывод о том, что элемент оказывает сопротивление переменному току.
Но почему это происходит и как возникает сопротивление при переменном токе? Для ответа на этот вопрос нам нужно обратиться к такому явлению, как самоиндукция. При прохождении тока по катушке в ней возникает которая создаёт препятствие изменению тока. Величина этой силы зависит от двух факторов: индуктивности катушки и производной силы тока по времени. Математически эта зависимость выражается через уравнение:
- E = -L*I"(t) , где
E - значение ЭДС,
L - величина индуктивности катушки (для каждой катушки она разная и зависит от количества мотков обмотки и их толщины),
I"(t) - производная силы тока по времени (скорость изменения силы тока).
Сила постоянного тока со временем не изменяется, поэтому сопротивления при его воздействии не возникает.
Но при переменном токе все его параметры постоянно изменяются по синусоидальному или косинусоидальному закону, вследствие чего возникает ЭДС, препятствующая этим изменениям. Такое сопротивление называют индукционным и вычисляют по формуле:
- X L = w*L, где
w - частота колебаний контура,
L - индуктивность катушки.
Сила тока в соленоиде линейно нарастает и убывает по различным законам. Это значит, что если прекратить подачу тока в катушку, она будет продолжать некоторое время отдавать заряд в цепь. А если при этом резко прервать подачу тока, то будет происходить удар из-за того, что заряд будет пытаться распределиться и выйти из катушки. Это - серьёзная проблема в промышленном производстве. Такой эффект (хотя и не совсем связанный с колебательным контуром) можно наблюдать, например, при вытаскивании вилки из розетки. При этом проскакивает искра, которая в таких масштабах не в силах нанести вред человеку. Она обусловлена тем, что магнитное поле не исчезает сразу, а постепенно рассеивается, индуцируя токи в других проводниках. В промышленных масштабах сила тока во много раз больше привычных нам 220 вольт, поэтому при прерывании цепи на производстве могут возникнуть искры такой силы, что причинят немало вреда как заводу, так и человеку.
Катушка - это основа того, из чего колебательный контур состоит. Индуктивности последовательно включённых соленоидов складываются. Далее мы подробнее рассмотрим все тонкости строения этого элемента.
Что такое индуктивность?
Индуктивность катушки колебательного контура - это индивидуальный показатель, численно равный электродвижущей силе (в вольтах), которая возникает в цепи при изменении силы тока на 1 А за 1 секунду. Если соленоид подключён к цепи постоянного тока, то её индуктивность описывает энергию магнитного поля, которое создаётся этим током по формуле:
- W=(L*I 2)/2, где
W - энергия магнитного поля.
Коэффициент индуктивности зависит от многих факторов: от геометрии соленоида, от магнитных характеристик сердечника и от количества мотков проволоки. Ещё одно свойство этого показателя в том, что он всегда положителен, потому что переменные, от которых она зависит, не могут быть отрицательными.
Индуктивность также можно определить как свойство проводника с током накапливать энергию в магнитном поле. Она измеряется в Генри (названа в честь американского учёного Джозефа Генри).
Кроме соленоида колебательный контур состоит из конденсатора, о котором пойдёт речь далее.
Электрический конденсатор
Ёмкость колебательного контура определяется конденсатора. О его внешнем виде было написано выше. Теперь разберём физику процессов, которые протекают в нём.
Так как обкладки конденсатора сделаны из проводника, то по ним может течь электрический ток. Однако между двумя пластинами есть препятствие: диэлектрик (им может быть воздух, дерево или другой материал с высоким сопротивлением. Благодаря тому что заряд не может перейти от одного конца провода к другому, происходит накопление его на обкладках конденсатора. Тем самым возрастает мощность магнитного и электрического полей вокруг него. Таким образом, при прекращении поступления заряда вся электроэнергия, скопившаяся на обкладках, начинает передаваться в цепь.
Каждый конденсатор имеет оптимальное для его работы. Если долго эксплуатировать этот элемент при напряжении выше номинального, срок его службы значительно сокращается. Конденсатор колебательного контура постоянно подвержен влиянию токов, и поэтому при его выборе следует быть предельно внимательным.
Кроме обычных конденсаторов, о которых шла речь, есть также ионисторы. Это более сложный элемент: его можно описать как нечто среднее между аккумулятором и конденсатором. Как правило, диэлектриком в ионисторе служат органические вещества, между которыми находится электролит. Вместе они создают двойной электрический слой, который и позволяет накапливать в этой конструкции в разы больше энергии, чем в традиционном конденсаторе.
Что такое ёмкость конденсатора?
Ёмкость конденсатора представляет собой отношение заряда конденсатора к напряжению, под которым он находится. Посчитать эту величину можно очень просто с помощью математической формулы:
- C = (e 0 *S)/d, где
e 0 - материала диэлектрика (табличная величина),
S - площадь обкладок конденсатора,
d - расстояние между пластинами.
Зависимость ёмкости конденсатора от расстояния между обкладками объясняется явлением электростатической индукции: чем меньше расстояние между пластинами, тем сильнее они влияют друг на друга (по закону Кулона), тем больше заряд обкладок и меньше напряжение. А при уменьшении напряжения увеличивается значение ёмкости, так как её также можно описать следующей формулой:
- C = q/U, где
q - заряд в кулонах.
Стоит поговорить о единицах измерения этой величины. Ёмкость измеряется в фарадах. 1 фарад - достаточно большая величина, поэтому существующие конденсаторы (но не ионисторы) имеют ёмкость, измеряемую в пикофарадах (одна триллионная фарада).
Резистор
Ток в колебательном контуре зависит также от сопротивления цепи. И кроме описанных двух элементов, из которых состоит колебательный контур (катушки, конденсатора), имеется ещё и третий - резистор. Он отвечает за создание сопротивления. Резистор отличается от других элементов тем, что имеет большое сопротивление, которое в некоторых моделях можно изменять. В колебательном контуре он выполняет функцию регулятора мощности магнитного поля. Можно соединить несколько резисторов последовательно или параллельно, тем самым увеличив сопротивление цепи.
Сопротивление этого элемента зависит также от температуры, поэтому следует быть внимательным к его работе в цепи, так как при прохождении тока он нагревается.
Сопротивление резистора измеряется в Омах, а его значение можно вычислить по формуле:
- R = (p*l)/S, где
p - удельное сопротивление материала резистора (измеряется в (Ом*мм 2)/м);
l - длина резистора (в метрах);
S - площадь сечения (в квадратных миллиметрах).
Как связать параметры контура?
Теперь мы вплотную подошли к физике работы колебательного контура. Со временем заряд на обкладках конденсатора изменяется согласно дифференциальному уравнению второго порядка.
Если решить это уравнение, из него следует несколько интересных формул, описывающих процессы, протекающие в контуре. Например, циклическую частоту можно выразить через ёмкость и индуктивность.
Однако наиболее простая формула, которая позволяет вычислить многие неизвестные величины, - формула Томсона (названа в честь английского физика Уильяма Томсона, который вывел её в 1853 году):
- T = 2*п*(L*C) 1/2 .
T - период электромагнитных колебаний,
L и C - соответственно, индуктивность катушки колебательного контура и ёмкость элементов контура,
п - число пи.
Добротность
Есть ещё одна важная величина, характеризующая работу контура, - добротность. Для того чтобы понять, что это такое, следует обратиться к такому процессу, как резонанс. Это явление, при котором амплитуда становится максимальной при неизменной величине силы, которая это колебание поддерживает. Объяснить резонанс можно на простом примере: если вы начнёте подталкивать качели в такт их частоте, то они будут ускоряться, а их "амплитуда" будет возрастать. А если будете толкать не в такт, то они будут замедляться. При резонансе очень часто рассеивается много энергии. Для того чтобы можно было вычислить величины потерь, придумали такой параметр, как добротность. Она представляет собой коэффициент, равный отношению энергии, находящейся в системе, к потерям, происходящим в цепи за один цикл.
Добротность контура вычисляется по формуле:
- Q = (w 0 *W)/P, где
w 0 - резонансная циклическая частота колебаний;
W - энергия, запасённая в колебательной системе;
P - рассеиваемая мощность.
Этот параметр - безразмерная величина, так как фактически показывает отношение энергий: запасённой к потраченной.
Что такое идеальный колебательный контур
Для лучшего понимания процессов в этой системе физики придумали так называемый идеальный колебательный контур . Это математическая модель, представляющая цепь как систему с нулевым сопротивлением. В ней возникают незатухающие гармонические колебания. Такая модель позволяет получить формулы приближённого вычисления параметров контура. Один из таких параметров - полная энергия:
- W = (L*I 2)/2.
Такие упрощения существенно ускоряют расчёты и позволяют оценить характеристики цепи с заданными показателями.
Как это работает?
Весь цикл работы колебательного контура можно разделить на две части. Сейчас мы подробно разберём процессы, происходящие в каждой части.
- Первая фаза: пластина конденсатора, заряженная положительно, начинает разряжаться, отдавая ток в цепь. В этот момент ток идёт от положительного заряда к отрицательному, проходя при этом через катушку. Вследствие этого в контуре возникают электромагнитные колебания. Ток, пройдя через катушку, переходит на вторую пластину и заряжает её положительно (тогда как первая обкладка, с которой шёл ток, заряжается отрицательно).
- Вторая фаза: происходит прямо обратный процесс. Ток переходит с положительной пластины (которая в самом начале была отрицательной) на отрицательную, проходя опять через катушку. И все заряды встают на свои места.
Цикл повторяется до тех пор, пока на конденсаторе будет заряд. В идеальном колебательном контуре этот процесс происходит бесконечно, а в реальном неизбежны потери энергии из-за различных факторов: нагрева, который происходит из-за существования сопротивления в цепи (джоулевое тепло), и тому подобное.
Варианты конструкции контура
Кроме простых цепей «катушка-конденсатор» и «катушка-резистор-конденсатор», существуют и другие варианты, использующие в качестве основы колебательный контур. Это, например, параллельный контур, который отличается тем, что существует как элемент электрической цепи (потому как, существуй он отдельно, то являлся бы последовательной цепью, о которой и шла речь в статье).
Также существуют и другие виды конструкции, включающие разные электротехнические компоненты. Например, можно подключать в сеть транзистор, который будет размыкать и замыкать цепь с частотой, равной частотой колебаний в контуре. Таким образом, в системе установятся незатухающие колебания.
Где применяется колебательный контур?
Самое знакомое нам применение составляющих контура - это электромагниты. Они, в свою очередь, используются в домофонах, электродвигателях, датчиках и во многих других не столь обыденных областях. Другое применение - генератор колебаний. На самом деле это использование контура нам очень знакомо: в этом виде он применяется в микроволновке для создания волн и в мобильной и радиосвязи для передачи информации на расстояние. Всё это происходит благодаря тому, что колебания электромагнитных волн можно закодировать таким образом, что станет возможным передавать информацию на большие расстояния.
Катушка индуктивности сама по себе может использоваться как элемент трасформатора: две катушки с разным числом обмоток могут передавать с помощью электромагнитного поля свой заряд. Но так как характеристики соленоидов различаются, то и показатели тока в двух цепях, к которым подключены эти две индуктивности, будут различаться. Таким образом, можно преобразовывать ток с напряжением, скажем, в 220 вольт в ток с напряжением в 12 вольт.
Заключение
Мы подробно разобрали принцип работы колебательного контура и каждой его части в отдельности. Мы узнали, что колебательный контур - это устройство, предназначенное для создания электромагнитных волн. Однако это только основы сложной механики этих, с виду простых, элементов. Узнать больше о тонкостях работы контура и его составляющих можно из специализированной литературы.
В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания .
Электромагнитными колебаниями называют периодические взаимосвязанные изменения заряда, силы тока и напряжения.
Свободными колебаниями называют такие, которые совершаются без внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.
Вынужденными называются колебания в цепи под действием внешней периодической электродвижущей силы
Свободные электромагнитные колебания – это периодически повторяющиеся изменения электромагнитных величин (q – электрический заряд, I – сила тока, U – разность потенциалов), происходящие без потребления энергии от внешних источников.
Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур или колебательный контур .
Колебательный контур – это система, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкости C , катушки индуктивности L и проводника с сопротивлением R
Рассмотрим закрытый колебательный контур, состоящий из индуктивности L и емкости С.
Чтобы возбудить колебания в этом контуре, необходимо сообщить конденсатору некоторый заряд от источника ε . Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения. После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L . При определенных условиях этот процесс может иметь колебательный характер
Свободные электромагнитные колебания можно наблюдать на экране осциллографа.
Как видно из графика колебаний, полученного на осцилографе, свободные электромагнитные колебания являются затухающими , т.е.их амплитуда уменьшается с течением времени. Это происходит потому, что часть электрической энергии на активном сопротивлении R превращается во внутреннюю энерги. проводника (проводник нагревается при прохождении по нему электрического тока).
Рассмотрим, как происходят колебания в колебательном контуре и какие изменения энергии при этом происходят. Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0).
Если зарядить конденсатор до напряжения U 0 то в начальный момент времени t 1 =0 на обкладках конденсатора установятся амплитудные значения напряжения U 0 и заряда q 0 = CU 0 .
Полная энергия W системы равна энергии электрического поля W эл:
Если цепь замыкают, то начинает течь ток. В контуре возникает э.д.с. самоиндукции
Вследствие самоиндукции в катушке конденсатор разряжается не мгновенно, а постепенно (так как, согламно правилу Ленца, возникающий индукционный ток своим магнитным полем противодействует тому изменению магнитного потока, которым он вызван. Т.е. магнитное поле индукционного тока не дает мгновенно увеличиться магнитному потоку тока в контуре). При этом ток увеличивается постепенно, достигая своего максимального значения I 0 в момент времени t 2 =T/4, а заряд на конденсаторе становится равным нулю.
По мере разрядки конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но одновременно возрастает энергия магнитного поля. Полная энергия контура после разрядки конденсатора равна энергии магнитного поля W м:
В следующий момент времени ток течет в том же направлении, уменьшаясь до нуля, что вызывает перезарядку конденсатора. Ток не прекращается мгновенно после разрядки конденсатора вследствии самоиндукции (теперь магнитное поле индукционного тока не дает магнитному потоку тока в контуре мгновенно уменьшиться). В момент времени t 3 =T/2 заряд конденсатора опять максимален и равен первоначальному заряду q = q 0 , напряжение тоже равно первоначальному U = U 0 , а ток в контуре равен нулю I = 0.
Затем конденсатор снова разряжается, ток через индуктивность течёт в обратном направлении. Через промежуток времени Т система приходит в исходное состояние. Завершается полное колебание, процесс повторяется.
График изменения заряда и силы тока при свободных электромагнитных колебаниях в контуре показывает, что колебания силы тока отстают от колебаний заряда на π/2.
В любой момент времени полная энергия:
При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается постоянной.
Свободные электрические колебания аналогичны механическим колебаниям. На рисунке приведены графики изменения заряда q (t ) конденсатора и смещения x (t ) груза от положения равновесия, а также графики тока I (t ) и скорости груза υ(t ) за один период колебаний.
В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими , то есть происходят по закону
q (t ) = q 0 cos(ωt + φ 0)
Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний и период колебаний - формула Томпсона
Амплитуда q 0 и начальная фаза φ 0 определяются начальными условиями , то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия.
Для колебаний заряда, напряжения и силы тока получаются формулы:
Для конденсатора:
q (t ) = q 0 cosω 0 t
U (t ) = U 0 cosω 0 t
Для катушки индуктивности:
i (t ) = I 0 cos(ω 0 t + π/2)
U (t ) = U 0 cos(ω 0 t + π)
Вспомомним основные характеристики колебательного движения :
q 0, U 0 , I 0 - амплитуда – модуль наибольшего значения колеблющейся величины
Т - период – минимальный промежуток времени через который процесс полностью повторяется
ν - Частота – число колебаний в единицу времени
ω - Циклическая частота – число колебаний за 2п секунд
φ - фаза колебаний - величина стоящая под знаком косинуса (синуса) и характеризующая состояние системы в любой момент времени.
Электромагнитное поле может существовать и в отсутствие электрических зарядов или токов: именно такие «самоподдерживающиеся» электрическое и магнитное поля представляют собой электромагнитные волны, к которым относятся видимый свет, инфракрасное, ультрафиолетовое и рентгеновское излучения, радиоволны и т. д.
§ 25. Колебательный контур
Простейшая система, в которой возможны собственные электромагнитные колебания, - это так называемый колебательный контур, состоящий из соединенных между собой конденсатора и катушки индуктивности (рис. 157). Как и у механического осциллятора, например массивного тела на упругой пружине, собственные колебания в контуре сопровождаются энергетическими превращениями.
Рис. 157. Колебательный контур
Аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями. Для колебательного контура аналог потенциальной энергии механического осциллятора (например, упругой энергии деформированной пружины) - это энергия электрического поля в конденсаторе. Аналог кинетической энергии движущегося тела - энергия магнитного поля в катушке индуктивности. В самом деле, энергия пружины пропорциональна квадрату смещения из положения равновесия а энергия конденсатора пропорциональна квадрату заряда Кинетическая энергия тела пропорциональна квадрату его скорости а энергия магнитного поля в катушке пропорциональна квадрату силы тока
Полная механическая энергия пружинного осциллятора Е равна сумме потенциальной и кинетической энергий:
Энергия колебаний. Аналогично, полная электромагнитная энергия колебательного контура равна сумме энергий электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушке:
Из сопоставления формул (1) и (2) следует, что аналогом жесткости к пружинного осциллятора в колебательном контуре служит величина обратная емкости конденсатора С, а аналогом массы - индуктивность катушки
Напомним, что в механической системе, энергия которой дается выражением (1), могут происходить собственные незатухающие гармонические колебания. Квадрат частоты таких колебаний равен отношению коэффициентов при квадратах смещения и скорости в выражении для энергии:
Собственная частота. В колебательном контуре, электромагнитная энергия которого дается выражением (2), могут происходить собственные незатухающие гармонические колебания, квадрат частоты которых тоже, очевидно, равен отношению соответствующих коэффициентов (т. е. коэффициентов при квадратах заряда и силы тока):
Из (4) следует выражение для периода колебаний, называемое формулой Томсона:
При механических колебаниях зависимость смещения х от времени определяется косинусоидальной функцией, аргумент которой называется фазой колебаний:
Амплитуда и начальная фаза. Амплитуда А и начальная фаза а определяются начальными условиями, т. е. значениями смещения и скорости при
Аналогично, при электромагнитных собственных колебаниях в контуре заряд конденсатора зависит от времени по закону
где частота определяется, в соответствии с (4), только свойствами самого контура, а амплитуда колебаний заряда и начальная фаза а, как и у механического осциллятора, определяется
начальными условиями, т. е. значениями заряда конденсатора и силы тока при Таким образом, собственная частота не зависит от способа возбуждения колебаний, в то время как амплитуда и начальная фаза определяются именно условиями возбуждения.
Энергетические превращения. Рассмотрим подробнее энергетические превращения при механических и электромагнитных колебаниях. На рис. 158 схематически изображены состояния механического и электромагнитного осцилляторов через промежутки времени в четверть периода
Рис. 158. Энергетические превращения при механических и электромагнитных колебаниях
Дважды за период колебаний энергия превращается из одного вида в другой и обратно. Полная энергия колебательного контура как и полная энергия механического осциллятора, в отсутствие диссипации остается неизменной. Чтобы убедиться в этом, нужно в формулу (2) подставить выражение (6) для и выражение для силы тока
Используя формулу (4) для получаем
Рис. 159. Графики зависимости от времени заряда конденсатора энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля в катушке
Неизменная полная энергия совпадает с потенциальной энергией в моменты, когда заряд конденсатора максимален, и совпадает с энергией магнитного поля катушки - «кинетической» энергией - в моменты, когда заряд конденсатора обращается в нуль, а ток максимален. При взаимных превращениях два вида энергии совершают гармонические колебания с одинаковой амплитудой в противофазе друг с другом и с частотой относительно своего среднего значения . В этом легко убедиться как из рис. 158, так и с помощью формул тригонометрических функций половинного аргумента:
Графики зависимости от времени заряда конденсатора энергии электрического поля и энергии магнитного поля показаны на рис. 159 для начальной фазы
Количественные закономерности собственных электромагнитных колебаний можно установить непосредственно на основе законов для квазистационарных токов, не обращаясь к аналогии с механическими колебаниями.
Уравнение для колебаний в контуре. Рассмотрим простейший колебательный контур, показанный на рис. 157. При обходе контура, например, против часовой стрелки, сумма напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе в такой замкнутой последовательной цепи равна нулю:
Напряжение на конденсаторе связано с зарядом пластины и с емкостью С соотношением Напряжение на индуктивности в любой момент времени равно по модулю и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, поэтому Ток в цепи равен скорости изменения заряда конденсатора: Подставляя силу тока в выражение для напряжения на катушке индуктивности и обозначая вторую производную заряда конденсатора по времени через
Получим Теперь выражение (10) принимает вид
Перепишем это уравнение иначе, вводя по определению :
Уравнение (12) совпадает с уравнением гармонических колебаний механического осциллятора с собственной частотой Решение такого уравнения дается гармонической (синусоидальной) функцией времени (6) с произвольными значениями амплитуды и начальной фазы а. Отсюда следуют все приведенные выше результаты, касающиеся электромагнитных колебаний в контуре.
Затухание электромагнитных колебаний. До сих пор обсуждались собственные колебания в идеализированной механической системе и идеализированном LC-контуре. Идеализация заключалась в пренебрежении трением в осцилляторе и электрическим сопротивлением в контуре. Только в этом случае система будет консервативной и энергия колебаний будет сохраняться.
Рис. 160. Колебательный контур с сопротивлением
Учет диссипации энергии колебаний в контуре можно провести аналогично тому, как это было сделано в случае механического осциллятора с трением. Наличие электрического сопротивления катушки и соединительных проводов неизбежно связано с выделением джоулевой теплоты. Как и раньше, это сопротивление можно рассматривать как самостоятельный элемент в электрической схеме колебательного контура, считая катушку и провода идеальными (рис. 160). При рассмотрении квазистационарного тока в таком контуре в уравнение (10) нужно добавить напряжение на сопротивлении
Подставляя в получаем
Вводя обозначения
перепишем уравнение (14) в виде
Уравнение (16) для имеет точно такой же вид, как и уравнение для при колебаниях механического осциллятора с
трением, пропорциональным скорости (вязким трением). Поэтому при наличии электрического сопротивления в контуре электромагнитные колебания происходят по такому же закону, как и механические колебания осциллятора с вязким трением.
Диссипация энергии колебаний. Как и при механических колебаниях, можно установить закон убывания со временем энергии собственных колебаний, применяя закон Джоуля-Ленца для подсчета выделяющейся теплоты:
В результате в случае малого затухания для промежутков времени, много больших периода колебаний, скорость убывания энергии колебаний оказывается пропорциональной самой энергии:
Решение уравнения (18) имеет вид
Энергия собственных электромагнитных колебаний в контуре с сопротивлением убывает по экспоненциальному закону.
Энергия колебаний пропорциональна квадрату их амплитуды. Для электромагнитных колебаний это следует, например, из (8). Поэтому амплитуда затухающих колебаний, в соответствии с (19), убывает по закону
Время жизни колебаний. Как видно из (20), амплитуда колебаний убывает в раз за время равное независимо от начального значения амплитуды Это время х носит название времени жизни колебаний, хотя, как видно из (20), колебания формально продолжаются бесконечно долго. В действительности, конечно, о колебаниях имеет смысл говорить лишь до тех пор, пока их амплитуда превышает характерное значение уровня тепловых шумов в данной цепи. Поэтому фактически колебания в контуре «живут» конечное время, которое, однако, может в несколько раз превосходить введенное выше время жизни х.
Часто бывает важно знать не само по себе время жизни колебаний х, а число полных колебаний, которое произойдет в контуре за это время х. Это число умноженное на называют добротностью контура.
Строго говоря, затухающие колебания не являются периодическими. При малом затухании можно условно говорить о периоде, под которым понимают промежуток времени между двумя
последонательными максимальными значениями заряда конденсатора (одинаковой полярности), либо максимальными значениями тока (одного направления).
Затухание колебаний влияет на период, приводя к его возрастанию по сравнению с идеализированным случаем отсутствия затухания. При малом затухании увеличение периода колебаний очень незначительно. Однако при сильном затухании колебаний вообще может не быть: заряженный конденсатор будет разряжаться апериодически, т. е. без изменения направления тока в контуре. Так будет при т. е. при
Точное решение. Сформулированные выше закономерности затухающих колебаний следуют из точного решения дифференциального уравнения (16). Непосредственной подстановкой можно убедиться, что оно имеет вид
где - произвольные постоянные, значения которых определяются из начальных условий. При малом затухании множитель при косинусе можно рассматривать как медленно меняющуюся амплитуду колебаний.
Задача
Перезарядка конденсаторов через катушку индуктивности. В цепи, схема которой показана на рис. 161, заряд верхнего конденсатора равен а нижний не заряжен. В момент ключ замыкают. Найти зависимость от времени заряда верхнего конденсатора и тока в катушке.
Рис. 161. В начальный момент времени заряжен только один конденсатор
Рис. 162. Заряды конденсаторов и ток в контуре после замыкания ключа
Рис. 163. Механическая аналогия для электрической цепи, показанной на рис. 162
Решение. После замыкания ключа в цепи возникают колебания: верхний конденсатор начинает разряжаться через катушку, заряжая при этом нижний; затем все происходит в обратном направлении. Пусть, например, при положительно заряжена верхняя обкладка конденсатора. Тогда
спустя малый промежуток времени знаки зарядов обкладок конденсаторов и направление тока будут такими, как показано на рис. 162. Обозначим через заряды тех обкладок верхнего и нижнего конденсаторов, которые соединены между собой через катушку индуктивности. На основании закона сохранения электрического заряда
Сумма напряжений на всех элементах замкнутого контура в каждый момент времени равна нулю:
Знак напряжения на конденсаторе соответствует распределению зарядов на рис. 162. и указанному направлению тока. Выражение для тока через катушку можно записать в любом из двух видов:
Исключим из уравнения помощью соотношений (22) и (24):
Вводя обозначения
перепишем (25) в следующем виде:
Если вместо ввести функцию
и учесть, что то (27) принимает вид
Это обычное уравнение незатухающих гармонических колебаний, которое имеет решение
где и - произвольные постоянные.
Возвращаясь от функции получим для зависимости от времени заряда верхнего конденсатора следующее выражение:
Для определения постоянных и а учтем, что в начальный момент заряд а ток Для силы тока из (24) и (31) имеем
Поскольку отсюда следует, что Подставляя теперь в и учитывая, что получаем
Итак, выражения для заряда и силы тока имеют вид
Характер осцилляций заряда и тока особенно нагляден при одинаковых значениях емкостей конденсаторов . В этом случае
Заряд верхнего конденсатора осциллирует с амплитудой около среднего значения, равного За половину периода колебаний он уменьшается от максимального значения в начальный момент до нуля, когда весь заряд оказывается на нижнем конденсаторе.
Выражение (26) для частоты колебаний разумеется, можно было написать сразу, поскольку в рассматриваемом контуре конденсаторы соединены последовательно. Однако написать выражения (34) непосредственно затруднительно, так как при таких начальных условиях нельзя входящие в контур конденсаторы заменить одним эквивалентным.
Наглядное представление о происходящих здесь процессах дает механический аналог данной электрической цепи, показанный на рис. 163. Одинаковые пружины соответствуют случаю конденсаторов одинаковой емкости. В начальный момент левая пружина сжата, что соответствует заряженному конденсатору, а правая находится в недеформированном состоянии, так как аналогом заряда конденсатора здесь служит степень деформации пружины. При прохождении через среднее положение обе пружины частично сжаты, а в крайнем правом положении левая пружина недеформирована, а правая сжата так же, как левая в начальный момент, что соответствует полному перетеканию заряда с одного конденсатора на другой. Хотя шар совершает обычные гармонические колебания около положения равновесия, деформация каждой из пружин описывается функцией, среднее значение которой отлично от нуля.
В отличие от колебательного контура с одним конденсатором, где при колебаниях происходит повторяющаяся его полпая перезарядка, в рассмотренной системе первоначально заряженный конденсатор полностью не перезаряжается. Например, при его заряд уменьшается до нуля, а затем снова восстанавливается в той же полярности. В остальном эти колебания не отличаются от гармонических колебаний в обычном контуре. Энергия этих колебаний сохраняется, если, разумеется, можно пренебречь сопротивлением катушки и соединительных проводов.
Поясните, почему из сопоставления формул (1) и (2) для механической и электромагнитной энергий сделан вывод о том, что аналогом жесткости к является а аналогом массы индуктивность а не наоборот.
Приведите обоснование вывода выражения (4) для собственной частоты электромагнитных колебаний в контуре из аналогии с механическим пружинным осциллятором.
Гармонические колебания в -контуре характеризуются амплитудой, частотой, периодом, фазой колебаний, начальной фазой. Какие из этих величин определяются свойствами самого колебательного контура, а какие зависят от способа возбуждения колебаний?
Докажите, что средние значения электрической и магнитной энергий при собственных колебаниях в контуре равны между собой и составляют половину полной электромагнитной энергии колебаний.
Как применить законы квазистационарных явлений в электрической цепи для вывода дифференциального уравнения (12) гармонических колебаний в -контуре?
Какому дифференциальному уравнению удовлетворяет сила тока в LC-контуре?
Проведите вывод уравнения для скорости убывания энергии колебаний при малом затухании аналогично тому, как это было сделано для механического осциллятора с трением, пропорциональным скорости, и покажите, что для промежутков времени, значительно превосходящих период колебаний, это убывание происходит по экспоненциальному закону. Какой смысл имеет использованный здесь термин «малое затухание»?
Покажите, что функция даваемая формулой (21), удовлетворяет уравнению (16) при любых значениях и а.
Рассмотрите механическую систему, показанную на рис. 163, и найдите зависимость от времени деформации левой пружины и скорости массивного тела.
Контур без сопротивления с неизбежными потерями. В рассмотренной выше задаче, несмотря на не совсем обычные начальные условия для зарядов на конденсаторах, можно было применить обычные уравнения для электрических цепей, поскольку там были выполнены условия квазистационарности протекающих процессов. А вот в цепи, схема которой показана на рис. 164, при формальном внешнем сходстве со схемой на рис. 162, условия квазистационарности не выполняются, если в начальный момент один конденсатор заряжен, а второй - нет.
Обсудим подробнее причины, по которым здесь нарушаются условия квазистационарности. Сразу после замыкания
Рис. 164. Электрическая цепь, для которой не выполняются условия квазистационарности
ключа все процессы разыгрываются только в соединенных между собой конденсаторах, так как нарастание тока через катушку индуктивности происходит сравнительно медленно и поначалу ответвлением тока в катушку можно пренебречь.
При замыкании ключа возникают быстрые затухающие колебания в контуре, состоящем из конденсаторов и соединяющих их проводов. Период таких колебаний очень мал, так как мала индуктивность соединительных проводов. В результате этих колебаний заряд на пластинах конденсаторов перераспределяется, после чего два конденсатора можно рассматривать как один. Но в первый момент этого делать нельзя, ибо вместе с перераспределением зарядов происходит и перераспределение энергии, часть которой переходит в теплоту.
После затухания быстрых колебаний в системе происходят колебания, как в контуре с одним конденсатором емкости заряд которого в начальный момент равен первоначальному заряду конденсатора Условием справедливости приведенного рассуждения является малость индуктивности соединительных проводов по сравнению с индуктивностью катушки.
Как и в рассмотренной задаче, полезно и здесь найти механическую аналогию. Если там две пружины, соответствующие конденсаторам, были расположены по обе стороны массивного тела, то здесь они должны быть расположены по одну сторону от него, так чтобы колебания одной из них могли передаваться другой при неподвижном теле. Вместо двух пружин можно взять одну, но только в начальный момент она должна быть деформирована неоднородно.
Захватим пружину за середину и растянем ее левую половину на некоторое расстояние Вторая половина пружины останется в недеформированном состоянии, так что груз в начальный момент смещен из положения равновесия вправо на расстояние При начальных условиях нашей задачи, когда на расстояние растянута половина пружины, запас энергии равен ибо, как нетрудно сообразить, жесткость «половины» пружины равна Если масса пружины мала по сравнению с массой шара, частота собственных колебаний пружины как протяженной системы много больше частоты колебаний шара на пружине. Эти «быстрые» колебания затухнут за время, составляющее малую долю периода колебаний шара. После затухания быстрых колебаний натяжение в пружине перераспределяется, а смещение груза практически остается равным так как груз за это время не успевает заметно сдвинуться. Деформация пружины становится однородной, а энергия системы равной
Таким образом, роль быстрых колебаний пружины свелась к тому, что запас энергии системы уменьшился до того значения, которое соответствует однородной начальной деформации пружины. Ясно, что дальнейшие процессы в системе не отличаются от случая однородной начальной деформации. Зависимость смещения груза от времени выражается той же самой формулой (36).
В рассмотренном примере в результате быстрых колебаний превратилась во внутреннюю энергию (в теплоту) половина первоначального запаса механической энергии. Ясно, что, подвергая начальной деформации не половину, а произвольную часть пружины, можно превратить во внутреннюю энергию любую долю первоначального запаса механической энергии. Но во всех случаях энергия колебаний груза на пружине соответствует запасу энергии при той же однородной начальной деформации пружины.
В электрической цепи в результате затухающих быстрых колебаний энергия заряженного конденсатора частично выделяется в виде джоулевой теплоты в соединительных проводах. При равных емкостях это будет половина первоначального запаса энергии. Вторая половина остается в форме энергии сравнительно медленных электромагнитных колебаний в контуре, состоящем из катушки и двух соединенных параллельно конденсаторов С, и
Таким образом, в этой системе принципиально недопустима идеализация, при которой пренебрегается диссипацией энергии колебаний. Причина этого в том, что здесь возможны быстрые колебания, не затрагивающие катушки индуктивности или массивного тела в аналогичной механической системе.
Колебательный контур с нелинейными элементами. При изучении механических колебаний мы видели, что колебания далеко не всегда бывают гармоническими. Гармонические колебания - это характерное свойство линейных систем, в которых
возвращающая сила пропорциональна отклонению от положения равновесия, а потенциальная энергия - квадрату отклонения. Реальные механические системы этими свойствами, как правило, не обладают, и колебания в них можно считать гармоническими лишь при малых отклонениях от положения равновесия.
В случае электромагнитных колебаний в контуре может сложиться впечатление, что мы имеем дело с идеальными системами, в которых колебания строго гармонические. Однако это верно лишь до тех пор, пока емкость конденсатора и индуктивность катушки можно считать постоянными, т. е. не зависящими от заряда и тока. Конденсатор с диэлектриком и катушка с сердечником, строго говоря, представляют собой нелинейные элементы. Когда конденсатор заполнен сегнетоэлектриком, т. е. веществом, диэлектрическая проницаемость которого сильно зависит от приложенного электрического поля, емкость конденсатора уже нельзя считать постоянной. Аналогично, индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником зависит от силы тока, так как ферромагнетик обладает свойством магнитного насыщения.
Если в механических колебательных системах массу, как правило, можно считать постоянной и нелинейность возникает только из-за нелинейного характера действующей силы, то в электромагнитном колебательном контуре нелинейность может возникать как за счет конденсатора (аналога упругой пружины), так и за счет катушки индуктивности (аналога массы).
Почему для колебательного контура с двумя параллельными конденсаторами (рис. 164) неприменима идеализация, в которой система считается консервативной?
Почему быстрые колебания, приводящие к диссипации энергии колебаний в контуре на рис. 164, не возникали в контуре с двумя последовательными конденсаторами, показанными на рис. 162?
Какие причины могут приводить к несинусоидальности электромагнитных колебаний в контуре?
Колебательный контур — один из основных элементов радиотехнических систем. Различают линейные и нелинейные колебательные контуры . Параметры R , L и С линейного колебательного контура не зависят от интенсивности колебаний, а период колебаний не зависит от амплитуды.
При отсутствии потерь (R = 0 ) в линейном колебательном контуре происходят свободные гармонические колебания .
Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор предвари-тельно заряжают от батареи аккумуляторов, сообщив ему энергию W p , и переводят переключатель в положение 2.
После замыкания цепи конденсатор начнет разряжаться через катушку индуктивности, теряя энергию. В цепи появится ток, вызывающий переменное магнитное поле . Переменное магнитное поле, в свою очередь приводит к созданию вихревого электрического поля, пре-пятствующего току, в результате чего изменение тока происходит постепенно. По мере увеличения тока через катушку возрастает энергия магнитного поля W м . Полная энергия W электромагнитного поля контура остается постоянной (при отсутствии сопротивления) и равной сумме энергий магнитного и электрического полей. Пол-ная энергия, в силу закона сохранения энергии , равна максимальной энергии электрического или магнитного поля:
,
где L — индуктивность катушки, I и I m — сила тока и ее максимальное значение, q и q m — заряд конденсатора и его максимальное значение, С — емкость конденсатора .
Процесс перекачки энергии в колебательном контуре между электрическим полем конденса-тора при его разрядке и магнитным полем, сосредоточенным в катушке, полностью аналогичен процессу превращения потенциальной энергии растянутой пружины или поднятого груза матема-тического маятника в кинетическую энергию при механических колебаниях последних.
Ниже приводится соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах.
Дифференциальное уравнение , описывающее процессы в колебательном контуре, можно получить, приравняв производную по полной энергии контура к нулю (поскольку полная энергия постоянна) и заменив в полученном уравнении ток на производную заряда по времени. В окончательном виде уравнение выглядит так:
.
Как видно, уравнение ничем не отличается по форме от соответствующего дифференциального уравнения 
для свободных механических колебаний шарика на пружине. Заменив механические параметры системы на электрические с помощью приведенной выше таблицы, мы в точности получим уравнение .
По аналогии с решением дифференциального уравнения для механической колебательной системы циклическая частота свободных электрических колебаний равна:
.
Период свободных колебаний в контуре равен:
.
Формула называется формулой Томсона в честь английского физика У. Томсона (Кельвина), который ее вывел.
Увеличение периода свободных колебаний с возрастанием L и С объясняется тем, что при увеличении индуктивности ток медленнее нарастает и медленнее падает до нуля, а чем больше емкость, тем больше времени требуется для перезарядки конденсатора.
Гармонические колебания заряда и тока описываются теми же уравнениями, что и их механические аналоги:
q = q m cos ω 0 t,
i = q" = - ω 0 q m sin ω 0 t = I m cos (ω 0 t + π/2),
где q m — амплитуда колебаний заряда, I m = ω 0 q m — амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока опережают по фазе на π/2 колебания заряда.
