Определение 1
Сначала давайте вспомним правила умножения одночлена на одночлен:
Для умножения одночлен на одночлен необходимо сначала перемножить коэффициенты одночленов, затем воспользовавшись правилом умножения степеней с одинаковым основанием умножить переменные входящие в состав одночленов.
Пример 1
Найти произведение одночленов ${2x}^3y^2z$ и ${\frac{3}{4}x}^2y^4$
Решение:
Сначала вычислим проиведение коэффициентов
$2\cdot\frac{3}{4} =\frac{2\cdot 3}{4}$ в этом задании мы использовали правило умножения числа на дробь - чтобы умножить целое число на дробь надо умножить число на числитель дроби, а знаменатель ставить без изменений
Теперь воспользуемся основным свойством дроби - числитель и знаменатель дроби можно разделить на одно и то же число, отличное от $0$. Разделим числитель и знаменте6ль этой дроби на $2$, т. е сократим на $2$ данную дробь $2\cdot\frac{3}{4}$ =$\frac{2\cdot 3}{4}=\ \frac{3}{2}$
Получившийся результат оказался неправильной дробью, т. е такой, у которой числитель больше знаменателя.
Преобразуем эту дробь по средствам выделения целой части. Вспомним, что для выделения целой части необходимо неполное частное, получившиеся при делении числителя на знаменатель записать, как целую часть, остаток от деления в числитель дробной части, делитель в знаменатель.
Мы нашли коэффициент будущего произведения.
Теперь последовательно будем перемножать переменные $x^3\cdot x^2=x^5$,
$y^2\cdot y^4 =y^6$. Тут мы воспользовались правилом умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
Тогда итогом умножения одночленов будет:
${2x}^3y^2z \cdot {\frac{3}{4}x}^2y^4=1\frac{1}{2}x^5y^6$.
Тогда исходя из данного правила можно выполнить следующее задание:
Пример 2
Представить заданный многочлен в виде произведения многочлена и одночлена ${4x}^3y+8x^2$
Преставим каждый из одночленов,входящих в состав многолена как прозведение двух одночленов для того, чтобы выделить общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене.
Сначала начнем с первого одночлена ${4x}^3у$. Разложим его коэффициент на простые множители: $4=2\cdot 2$. Аналогично поступим с коэффициентом второго одночлена $8=2\cdot 2 \cdot 2$. Зметим, что два множителя $2\cdot 2$ входят в состав и первого и второго коэффициентов, значит $2\cdot 2=4$--это чило войдет в общий одночлен как коэффициент
Теперь обратим внимание, что в первом одночлене $x^3$ ,а во втором та же переменная в степени $2:x^2$. Значит, переменную $x^3$ удобно представить так:
Переменная $y$ входит в состав только одного слагаемого многочлена, значит, не может входить в общий одночлен.
Представим первый и второй одночлен, входящий в многочлен как произведение:
${4x}^3y=4x^2\cdot xy$
$8x^2=4x^2\cdot 2$
Заметим, что общий одночлен, который будет являться множителем и в первом и во втором одночлене это $4x^2$.
${4x}^3y+8x^2=4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2$
Теперь применим распределительный закон умножения, тогда полученное выражение можно представить в виде произведения двух множителей. Одним из множителей будет являться общий множитель: $4x^2$ а другой -- сумма оставшихся множителей: $xy + 2$. Значит:
${4x}^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$
Этот метод называется разложением на множители с помощью вынесения общего множителя.
Общим множителем в данном случае выступал одночлен $4x^2$ .
Алгоритм
Замечание 1
Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен - он будет коэффициентом общего множителя-одночлена, который мы вынесем за скобки
Одночлен, состящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3 будет общим множителем. который можно вынести за скобки как общий множитель.
Пример 3
Вынести общий множитель $3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2$
Решение:
Найдем НОД коэффициентов для этого разложим коэффициенты на простые множители
$45=3\cdot 3\cdot 5$
И найдем произведение тех, которые входят в разложение каждого:
Выявить переменные, которые входят в состав каждого одночлена, и выбрать переменную с наименьшим показателем степени
$a^3=a^2\cdot a$
Переменная $b$ входит только во второй и третий одночлен, значит, в общий множитель не войдет.
Составим одночлен, состоящий из коэффициента, найденного в п.2, переменных, найденных в п.3, получим: $3a$- это и будет общий множитель. тогда:
$3a^3-{15a}^2b+4{5ab}^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$
Урок алгебры в 7 классе.
Тема « Вынесение общего множителя за скобки».
Учебник Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Цели урока:
Образовательная –
выявить уровень овладения учащимися комплекса знаний и умений по применению навыков умножения и деления степеней;
формировать умение применять разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки;
применять вынесение общего множителя за скобки при решении уравнений.
Развивающая –
способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы;
развивать навыки самоконтроля при выполнении заданий.
Воспитательная -
воспитание ответственности, активности, самостоятельности, объективной самооценки.
Тип урока: комбинированный.
Основные результаты обучения:
уметь выносить общий множитель за скобки;
уметь применять данный способ при решении упражнений.
Ход урока.
1 модуль (30 мин).
1. Организационный момент.
приветствие;
подготовка обучающихся к работе.
2. Проверка домашнего задания.
Проверка наличия (дежурные), обсуждение возникших вопросов.
3 . Актуализация опорных знаний.
Н айдите НОД (15,6), (30,60), (24,8), (4,3), (20,55) , (16, 12).
Что такое НОД?
Как выполняется деление степеней с одинаковыми основаниями?
Как выполняется умножение степеней с одинаковыми основаниями?
Для данных степеней (c 3) 7 ,b 45 ,c 5 , a 21 , a 11 b 7 ,d 5 Назовите степень с наименьшим показателем, одинаковыми основаниями, одинаковыми показателями
Повторим распределительный закон умножения. Запишите его в буквенной форме
а (в + с)= ав + ас
* - знак умножения
Выполнить устные задания на применение распределительного свойства. (Подготовить на доске).
1) 2*(а + в) 4) (х – 6)*5
2) 3*(х – у) 5) -4*(у + 5)
3) а*(4 + х) 6) -2*(в – а)
На закрытой доске записаны задания, ребята решают и записывают на доске результат. Задания на умножения одночлена на многочлен.
Для начала я предлагаю вам пример на умножение одночлена на многочлен:
2 х (х 2 +4 х у – 3)= 2х 3 + 8х 2 у – 6х Не стираем!
Написать правило умножения одночлена на многочлен в виде схемы.
На доске появляется запись:
Я могу написать это свойство в виде:
В таком виде мы уже использовали запись для простого способа вычисления выражений.
а) 23 * 15 + 15 * 77 = (23 + 77) * 15 = 100 * 15 = 1500
Остальные устно, проверить ответы:
е) 55*682 – 45*682 = 6820
ж) 7300*3 + 730*70 = 73000
з) 500*38 – 50*80 = 15000
Какой закон помог вам найти простой способ вычислений? (Распределительный)
Действительно – распределительный закон помогает упрощать выражения.
4 . Постановка цели и темы урока. Устный счет. Отгадайте тему урока.
Работа в парах.
Карточки для пар.
Оказывается, что разложение на множители выражения – это операция, обратная почленному умножению одночлена на многочлен.
Рассмотрим тот же самый пример, который решал учащийся, но в обратном порядке. Разложить на множители – значит вынести за скобки общий множитель.
2 х 3 + 8 х 2 у – 6 х = 2 х (х 2 + 4 ху – 3).
Сегодня на уроке мы рассмотрим понятия разложение многочлена на множители и вынесение общего множителя за скобки, научимся применять эти понятия при выполнении упражнений.
Алгоритм вынесения общего множителя за скобки
Наибольший общий делитель коэффициентов.
Одинаковые буквенные переменные.
Проставить наименьшую степень к вынесенным переменным.
Затем в скобках записывается оставшиеся одночлены многочлена.
Наибольший общий делитель находили в младших класса, общую переменную в наименьшей степени можно сразу увидеть. А чтобы быстро находить оставшийся в скобках многочлен надо потренироваться по номеру №657.
5. Первичное усвоение с проговариванием вслух.
№657 (1 столбик)
2 модуль (30 мин).
1. Итог первой 30-минутки.
А) Какое преобразование называется разложением многочлена на множители?
Б) На каком свойстве основано вынесение общего множителя за скобки?
В) Как выносится общий множитель за скобки?
2. Первичное закрепление.
На доске записаны выражения. Найти в этих равенствах ошибки, если они имеются и исправить.
1) 2 х 3 – 3 х 2 – х =х (2 х 2 – 3 х).
2) 2 х + 6 = 2 (х + 3).
3) 8 х + 12 у = 4 (2 х - 3у).
4) а 6 – а 2 = а 2 (а 2 – 1).
5) 4 -2а = – 2 (2 – а).
3. Первичная проверка понимания.
Работа с самопроверкой. 2 чел на обратной стороне
Вынесите общий множитель за скобки:
Устно сделать проверку умножением.
4. Подготовка учащихся к обобщенной деятельности.
Выносим многочленный множитель за скобки (объяснение учителя).
Разложите на множители многочлен .
В данном выражении мы видим, присутствует один и тот же множитель , который можно вынести за скобки. Итак, получим:
Выражения и являются противоположными, поэтому в некоторых случаях можно пользоваться данным равенством 
. Два раза меняем знак!
Разложите на множители многочлен 
Здесь присутствуют противоположные выражения и , воспользовавшись предыдущим тождеством мы получим следующую запись: .
А теперь мы видим, что общий множитель можно вынести за скобки.
\(5x+xy\) можно представить как \(x(5+y)\). Это и в самом деле одинаковые выражения, мы можем в этом убедиться если раскроем скобки: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Как видите, в результате мы получаем исходное выражение. Значит, \(5x+xy\) действительно равно \(x(5+y)\). Кстати, это надежный способ проверки правильности вынесения общих множителей – раскрыть полученную скобку и сравнить результат с исходным выражением.
Главное правило вынесения за скобку:
К примеру, в выражении \(3ab+5bc-abc\) за скобку можно вынести только \(b\), потому что лишь оно есть во всех трех слагаемых. Процесс вынесения общих множителей за скобку представлен на схеме ниже:
Правила вынесения за скобки
В математике принято выносить сразу все общие множители.
Пример:
\(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Обратите внимание, здесь мы могли бы разложить и вот так: \(3(xy-xz)\) или так: \(x(3y-3z)\). Однако это были бы неполные разложения. Выносить надо и тройку, и икс.
Иногда общие члены сразу не видны.
Пример:
\(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
В этом случае общий член (пятерка) была скрыта. Однако разложив \(10\) как \(2\) умножить на \(5\), а \(15\) как \(3\) умножить на \(5\) – мы «вытащили пятерку на свет Божий», после чего легко смогли вынести ее за скобку.
Если одночлен выносится полностью – от него остается единица.
Пример
: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Мы за скобку выносим \(x\), а третий одночлен и состоит только из икса. Почему же от него остается единица? Потому что если любое выражение умножить на единицу – оно не изменится. То есть этот самый \(x\) можно представить как \(1\cdot x\). Тогда имеем следующую цепочку преобразований:
\(5xy+axy-\)\(x\) \(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\) \(=\)\(x\) \((5y+ay-\)\(1\) \()\)
Более того – это единственно правильный способ вынесения, потому что если мы единицу не оставим, то при раскрытии скобок мы не вернемся к исходному выражению. Действительно, если сделать вынесение вот так \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), то при раскрытии мы получим \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Третий член – пропал. Значит, такое вынесение некорректно.
За скобку можно выносить знак «минус», при этом знаки членов с скобке меняются на противоположные.
Пример:
\(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
По сути здесь мы выносим за скобку «минус единицу», которая может быть «выделена» перед любым одночленом, даже если минуса перед ним не было. Мы здесь используем тот факт, что единицу можно записать как \((-1) \cdot (-1)\). Вот тот же пример, расписанный подробно:
\(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\)
Скобка тоже может быть общим множителем.
Пример:
\(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
С такой ситуацией (вынесением за скобку скобки) чаще всего мы сталкиваемся при разложении на множители методом группировки или
Урок математики в 7 а классе
| 1. | ФИО (полностью) | Трофименко Надежда Павловна |
| 2. | Место работы | МОУ «Милославская школа» |
| 3. | Должность | Учитель математики |
| 4. | Предмет | |
| 5. | Класс | |
| 6. | Тема и номер урока в теме | Вынесение общего множителя за скобки (1 урок в теме) |
| 7. | Базовый учебник | Ю.М. Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова,М.И. Шабунин. « Алгебра 7 класс» учебник для общеобразовательных организаций.М.Просвещение.2016. |
8. Цели урока
Для учителя:
образовательные
организовать учебную деятельность:
По освоению алгоритма вынесения общего множителя за скобки и понимания логики его построения;
По выработке умения применять алгоритм вынесения общего множителя за скобки
развивающие
создать условия для развития регулятивных умений:
Самостоятельно определять цели учебной деятельности;
Планировать пути достижения целей;
Соотносить свои действия с планируемыми результатами;
Контролировать и оценивать учебную деятельность по результатам;
Организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
- воспитательные
Создать условия для формирования ответственного отношения к учению;
Создать условия для развития самостоятельности учащихся в организации и осуществлении своей учебной деятельности.
Создать условия для патриотического воспитания
Создать условия для экологического воспитания
Для учащихся:
Освоить алгоритм вынесения общего множителя за скобки и понимания логики его построения;
Выработать умения применять алгоритм вынесения общего множителя за скобки
9.Используемые УУД: регулятивные (Целеполагание, планирование деятельности, контроль и оценка)
10.Тип урока: изучение нового материала
11.Формы работы учащихся: фронтальная, парная, индивидуальная
12. Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, эмблема урока, учебники по математике, электронная презентация, выполненная в программе Power Point, раздаточный материал
Структура и ход урока
| Этапы урока | Деятельность учителя | Деятельность учащихся | Образовательный | ||
| Организационный | Здравствуйте, ребята! Я очень рада видеть вас! Девиз нашего урока: Я слышу и забываю. Придадим нашему уроку необычную окраску(эмблема зеленого дерева и красного сердца), эмблема на доске. В конце урока мы раскроем секрет этой эмблемы | Проверяют рабочее место, приветствуют учителя, включаются в рабочий ритм урока | |||
| Актуализация знаний и мотивация | Сегодня на уроке вы изучите новый материал. Но прежде поработаем устно. 1.Выполнить умножение одночленов: 2а 2 *3ав; 2ав*(-а 4) ; 6х 2 *(-2х); -3с*5х; -3х*(-ху 2);-4а 2 в*(-0,2ав 2) При правильном ответе открывают первую букву 2) Какие одночлены следует поставить вместо *, чтобы получилось верное равенство: х 3 * = х 6 ; - а 6 = а 4 *; *у 7 = у 8 ; -2а 3 * = 8а 5 ; 5ху 4 * = 25х 2 у 6 . При правильном ответе открывают вторую букву 3) Представить одночлен 12х 3 у 4 в виде произведения двух множителей, один из которых равен 2х 3 ; 3у 3 ; -4х ; 6ху ; -2х 3 у ; 6х 2 у 2 . При правильном ответе открывают третью букву 4) Представить различными способами одночлен 6х 2 у в виде произведения двух множителей. Открываем 4 букву 5) Ученик умножил одночлен на многочлен, после чего одночлен оказался стертым. Восстановите его …*(х – у) = 3ах – 3ау …*(-х + у 2 – 1) = ху 2 – у 4 +у …*(а +в – 1) = 2ах +2вх – 2х …*(а – в) = а 2 в – а 3 …*(2у 2 – 3) = 10у 4 – 15у 2 .Открываем 5 букву 6.Вычислить 768*95 – 668*95 = 76,8*9,5 + 23,2*9,5 = Открываем 6 букву. Из букв получилась фамилия немецкого математика. | Устно выполняют задание Комментируют решение, используя правила Открывают буквы на доске Ученик(получил заранее задание) Историческая справка : Михель Штифель (1487-1567), немецкий математик и странствующий проповедник; автор книги “Полная арифметика», он ввёл термин «показатель степени», а также рассматривал свойства многочленов и внес существенный вклад в развитие алгебры.(фото) | |||
| 3.Целеполагание и мотивация | Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока. | На доске: Найти значение выражения а 2 – 3ав при а = 106,45; в = 2,15 . Как это сделать? а) Можно подставить числовые значения а и в и найти значение выражения, но это сложно. в) А можно поступить иначе? Как? На доске записываем тему урока: «Вынесение общего множителя за скобки.» Ребята, пишем аккуратно! Помним, что для производства тонны бумаги требуется спилить примерно 17 взрослых деревьев. Попробуем поставить цели урока по схеме: С какими понятиями познакомится? Какие навыки и умения освоим? | Предлагают свои варианты решения | ||
| 4. Усвоение новых знаний и способов усвоения (первичное знакомство с материалом) | Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания детьми изученной темы | Открываем учебник стр 120-121, читаем и отвечаем на вопросы стр 121. Выделяют пункты алгоритма Алгоритм вынесения общего множителя за скобки Найти общий множитель коэффициентов многочленов Вынести его за скобку 3. Учитель:
Я приведу пример вынесения множителя за скобки в русском языке. В выражении “Взять книгу, взять ручку, взять тетрадь” функцию общего множителя выполняет глагол “взять”, а книга, тетрадь и ручка – это дополнения. 4 Я написала правило умножения одночлена на многочлен в виде схемы. Попрубуйте нарисовать схематично правило вынесения общего множителя | Читают материал Отвечают на вопросы Находят лист с алгоритмом
А, теперь попробуйте вы: На доске рисуют обратную схему | ||
| 5. Релаксация | Включает мультфильм « задание на лето» Из зимней погоды попадаем в теплое лето. Но фрагмент поучительный, попробуйте уловить главную мысль | Смотрят фрагмент мультфильма и делают вывод о красоте родного края | Фрагмент мультфильма « Задание на лето» | ||
| 6.Первичное закрепление | Установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление пробелов первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу. | Фронтально у доске: № 318, 319, 320,321,324,325,328 По очереди, по желанию | Решают у доски с комментариями | ||
| 6. Организация первичного контроля | Выявление качества и уровня усвоения знаний и способов действий, а также выявление недостатков в знаниях и способах действий, установление причин выявленных недостатков | Самостоятельно решают по тексту на листочках и проверяют по ответам на доске: САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА (дифференцированно) 1 вариант Закончите разложение многочлена на множители: 5ах – 30ау = 5а(…………..) х 4 – 5х 3 – х 2 = х 2 (…………..) Разложите на множители многочлен - 5ав + 15а 2 в, вынося за скобки множитель: а) 5а; б) -5а. Разложите на множители: 5х + 5у = 7ав + 14ас= 20а – 4в= 5mn – 5= ах – ау= 3x 2 – 6x= 2а – 10ау= 15a 2 + 5a 3 = 2 вариант Закончите запись: 18ав +16в= 2в(…………) 4а 2 с – 8ас= 4ас(………..) Разложите на множители многочлен -15а 2 в + 5ав 4 двумя способами: а) вынося за скобки множитель 5ав; б) вынося за скобки множитель -5ав. 5х+6ху= 2ав – 3а 3 в= 12ав – 9в= х 3 -4х 2 +6х= 6а 4 – 4а 2 = 4а 4 -8а 3 +12а 2 = 24х 2 у -12ху= 9в 2 -6в 4 +3в= 4. Найдите значение выражения, разложив его на множители: ху 2 +у 3 при х=97, у=3. 3 вариант Вынесите за скобки общий множитель и выполните проверку, умножив одночлен на многочлен: а) 12ху+ 18х= б) 36ав 2 – 12а 2 в= 2. Закончите запись: 18а 3 в 2 +36ав = 18ав(…………) 18а 3 в 2 +36ав = -18ав(…………) 3. Вынесите за скобки общий множитель: 12а 2 +16а= -11х 2 у 2 +22ху= 2а 4 -6а 2 = -12а 3 в 3 +6ав= 30а 4 в- 6ав 4 = х 8 -8х 4 +х 2 = 4. Замените М многочленом или одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством: 12а 2 в-8ав 2 +6ав=М*(6а-4в+3) 15х 2 у-10х3у2+25х 4 у 3 =5х 2 у*М 5. Найдите значение выражения: а) 2,76а-ав при а=1,25 и в=0,76; б) 2ху+2у 2 при х=0,27 и в=0,73. | Выполняют свою работу, после выполнения получают ключи и проверяют, ставят + или минус, оценивают свою работу по критериям на доске:(ответы на доске) 10-12 баллов- «5» 8-9 баллов - «4» 6-7 баллов -«3» Меньше 6 - нужно поработать еще. | Листы с дифференцированным заданием | |
| 7. Подведение итогов урока. | Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых | Отметить активно работающих учащихся и подвести итоги самостоятельной работы: Поднимите руки, у кого 5,4,3. | Анализируют свою работу | ||
| 8. Информация о домашнем задании | Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания. | Параграф № 19 Делаем по образцам заданий в классной работе | Записывают задания в дневник | ||
| 9. Рефлексия | Учитель: Это был урок – поиск. Мы с вами искали точки соприкосновения друг с другом, учились общаться, а также раскрыли один из методов объяснения и закрепления темы. Вернемся к целям урока и проанализируем как мы их достигли А, о чем мы еще поговорили, кроме вынесения общего множителя за скобки? Возвращаемся к эмблеме урока. | Зачитывают цели и анализируют их выполнение О связи математики и русского языка, О красоте родного края, об экологии |
>>Математика: Вынесение общего множителя за скобки
Прежде чем начинать изучение этого параграфа, вернитесь к § 15. Там мы уже рассмотрели пример, в котором требовалось представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена. Мы установили, что эта задача не всегда корректна. Если все же такое произведение удалось составить, то обычно говорят, вынесение что многочлен разложен на множители с помощью общего вынесения общего множителя за скобки. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Разложить на множители многочлен:
А) 2х + 6у, в) 4а 3 + 6а 2 ; д) 5а 4 - 10а 3 + 15а 8 .
б) а 3 + а 2 ; г) 12аЬ 4 - 18а 2 b 3 с;
Р е ш е н и е.
а) 2х + 6у = 2 (x + Зу). За скобки вынесли общий делитель коэффициентов членов многочлена.
б) а 3 + а 2 = а 2 (а + 1). Если одна и та же переменная входит во все члены многочлена, то ее можно вынести за скобки в степени, равной наименьшей из имеющихся (т. е. выбирают наименьший из имеющихся показателей).
в) Здесь используем тот же прием, что и при решении примеров а) и б): для коэффициентов находим общий делитель (в данном случае число 2), для переменных - наименьшую степень
из имеющихся (в данном случае а 2). Получаем:
4а 3 + 6а 2 = 2а 2 2а + 2а 2 3 = 2а 2 (2а + 3).
г) Обычно для целочисленных коэффициентов стараются найти не просто общий делитель, а наибольший общий делитель. Для коэффициентов 12 и 18 им будет число 6. Замечаем, что переменная а входит в оба члена многочлена, при этом наименьший показапоказатель равен 1. Переменная b также входит в оба члена многочлена, причем наименьший показатель равен 3. Наконец, переменная с входит только во второй член многочлена и не входит в первый член, значит, эту переменную нельзя вынести за скобки ни в какой степени. В итоге имеем:
12аb 4 - 18а 2 Ь 3 с = 6аЬ 3 2b - 6аЬ 3 Зас = 6аb 3 (2b - Зас).
д) 5а 4 -10а 3 +15а 8 = 5а 3 (а-2 + За 2).
Фактически в этом примере мы выработали следующий алгоритм.
Замечание
. В ряде случаев полезно выносить за скобку в качестве общего множителя и дробный коэффициент.
Например:
Пример 2. Разложить на множители:
Х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 .
Решение. Воспользуемся сформулированным алгоритмом.
1) Наибольший общий делитель коэффициентов -1, -2 и 5 равен 1.
2) Переменная х входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки х 2 .
3) Переменная у входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.
В ы в о д: за скобки можно вынести х 2 . Правда, в данном случае целесообразнее вынести за скобки -x 2 .
Получим:
-х 4 у 3 -2х 3 у 2 + 5х 2 = - х 2 (х 2 у 3 + 2ху 2 - 5).
Пример 3 . Можно ли разделить многочлен 5а 4 - 10а 3 + 15а 5 на одночлен 5а 3 ? Если да, то выполнить деление .
Решение. В примере 1д) мы получили, что
5а 4 - 10а 3 + 15а 8 - 5а 3 (а - 2 + За 2).
Значит, заданный многочлен можно разделить на 5а 3 , при этом в частном получится а - 2 + За 2 .
Подобные примеры мы рассматривали в § 18; просмотрите их, пожалуйста, еще раз, но уже с точки зрения вынесения общего множителя за скобки.
Разложение многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки тесно связано с двумя операциями, которые мы изучали в § 15 и 18, - с умножением многочлена на одночлен и с делением многочлена на одночлен .
А теперь несколько расширим наши представления о вынесении общего множителя за скобки. Дело в том, что иногда алгебраическое выражение задается в таком виде, что в качестве общего множителя может выступать не одночлен, а сумма нескольких одночленов.
Пример 4. Разложить на множители:
2x(x-2) + 5(x-2) 2 .
Решение. Введем новую переменную у = х - 2. Тогда получим:
2x (x - 2) + 5 (x - 2) 2 = 2ху + 5у 2 .
Замечаем, что переменную у можно вынести за скобки:
2ху + 5у 2 - у (2х + 5у). А теперь вернемся к старым обозначениям:
у(2х + 5у) = (х- 2)(2x + 5(х - 2)) = (x - 2)(2x + 5x-10) = (x-2)(7x:-10).
В подобных случаях после приобретения некоторого опыта можно не вводить новую переменную, а использовать следующую
2х(х - 2) + 5(х - 2) 2 = (х - 2)(2x + 5(x - 2))= (х - 2)(2х + 5х~ 10) = (х - 2)(7x - 10).
Календарно-тематичне планування з математики, відео з математики онлайн , Математика в школі скачати
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки
