Вектор Х ≠ 0 называют собственным вектором линейного оператора с матрицей А, если найдется такое число, что АХ =Х.
При этом число называютсобственным значением оператора (матрицы А), соответствующим вектору х.
Иными словами, собственный вектор – это такой вектор, который под действием линейного оператора переходит в коллинеарный вектор, т.е. просто умножается на некоторое число. В отличие от него, несобственные векторы преобразуются более сложно.
Запишем определение собственного вектора в виде системы уравнений:
Перенесем все слагаемые в левую часть:
Последнюю систему можно записать в матричной форме следующим образом:
(А - Е)Х = О
Полученная система всегда имеет нулевое решение Х = О. Такие системы, в которых все свободные члены равны нулю, называют однородными . Если матрица такой системы – квадратная, и ее определитель не равен нулю, то по формулам Крамера мы всегда получим единственное решение – нулевое. Можно доказать, что система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е.
|А - Е| = 
=
0
Это уравнение с неизвестным называютхарактеристическим уравнением (характеристическим многочленом ) матрицы А (линейного оператора).
Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.
Например, найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А = .
Для этого составим
характеристическое уравнение |А - Е|
= 
= (1 -) 2 – 36 = 1
– 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; Д = 4 + 140 = 144; собственные значения 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.
Чтобы найти собственные векторы, решаем две системы уравнений
(А + 5Е)Х = О
(А - 7Е)Х = О
Для первой из них расширенная матрица примет вид
,
откуда х 2 = с, х 1 + (2/3)с = 0; х 1 = -(2/3)с, т.е. Х (1) = (-(2/3)с; с).
Для второй из них расширенная матрица примет вид
,
откуда х 2 = с 1 , х 1 - (2/3)с 1 = 0; х 1 = (2/3)с 1 , т.е. Х (2) = ((2/3)с 1 ; с 1).
Таким образом, собственными векторами этого линейного оператора являются все вектора вида (-(2/3)с; с) с собственным значением (-5) и все вектора вида ((2/3)с 1 ; с 1) с собственным значением 7.
Можно доказать, что матрица оператора А в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:
,
где i – собственные значения этой матрицы.
Верно и обратное: если матрица А в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса будут собственными векторами этой матрицы.
Также можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, а матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.
Определение 5.3. Ненулевой вектор х в линейном пространстве L называют собственным вектором линейного оператора А: L → L, если для некоторого действительного числа А выполняется соотношение Ах = λx. При этом число λ называют собственным значением (собственным числом) линейного оператора А.
Пример 5.3. В линейном пространстве К n [х] многочленов степени не выше n содержатся многочлены нулевой степени, т.е. постоянные функции. Так как dc/dx = 0 = 0 с, многочлены нулевой степени р(х) = с ≠ 0 являются собственными векторами линейного оператора дифференцирования, а число λ = 0 - собственным значением этого оператора. #
Множество всех собственных значений линейного оператора называют спектром линейного оператора . Каждый собственный вектор связан со своим собственным значением. Действительно, если вектор х одновременно удовлетворяет двум равенствам Ах = λx и Ах = μх, то λx = μх, откуда (λ - μ)х = 0. Если λ - μ ≠ 0, умножим равенство на число (λ - μ) -1 и в результате получим, что x = 0. Но это противоречат определению собственного вектора, так как собственный вектор всегда ненулевой.
Каждому собственному значению отвечают свои собствен-ные векторы, причем таких бесконечно много. Действительно, если x - собственный вектор линейного оператора А с собственным значением λ, т.е. Ах = λx, то для любого ненулевого действительного числа α имеем αx ≠ 0 и А(αх) = α(Ах) = αλx = λ(αx). Значит, и вектор αx является для линейного оператора собственным.
Замечание 5.1. Часто говорят о собственных значениях (числах), спектре и собственных векторах квадратной матрицы . При этом имеют в виду следующее. Матрица А порядка n является матрицей некоторого линейного оператора в фиксированном базисе , действующего в n-мерном линейном пространстве . Например, если остановиться на стандартном базисе в линейном арифметическом пространстве R n , то матрица А определяет линейный оператор А, отображающий вектор х ∈ R n со столбцом координат х в вектор со столбцом координат Ах. Матрицей А как раз и является матрица А. Естественно отождествить оператор с его матрицей аналогично тому, как арифметический вектор отождествляется со столбцом своих координат. Такое отождествление, которое часто используется и при этом не всегда оговаривается, позволяет перенести на матрицы "операторные" термины.
Спектр линейного оператора тесно связан с его характеристическим уравнением .
Теорема 5.3. Для того чтобы действительное число λ являлось собственным значением линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем характеристического уравнения этого оператора.
◄ Необходимость. Пусть число λ является собственным значением линейного оператора А: L → L. Это значит, что существует вектор x ≠ 0, для которого
Ах = λx. (5.2)
Отметим, что в L действует тождественный оператор I: Ix = x для любого вектора x. Используя этот оператор, преобразуем равенство (5.2): Ах = λIx, или
(А - λI)х = 0. (5.3)
Запишем векторное равенство (5.3) в каком-либо базисе b. Матрицей линейного оператора А - λI будет матрица А - λE, где А - матрица линейного оператора А в базисе b, а Е - еди-ничная матрица, и пусть х - столбец координат собственного вектора x. Тогда х ≠ 0, а векторное равенство (5.3) равносильно матричному
(А - λE)x = 0, (5.4)
которое представляет собой матричную форму записи одно-родной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с квадратной матрицей А - λЕ порядка n. Эта система имеет ненулевое решение, являющееся столбцом координат х собственного вектора x. Поэтому матрица А - λЕ системы (5.4) имеет нулевой определитель , т.е. det(A - λЕ) = 0. А это означает, что λ является корнем характеристического уравнения линейного оператора А.
Достаточность. Легко убедиться, что приведенные рассуждения можно провести в обратном порядке. Если λ является корнем характеристического уравнения, то в заданном базисе b выполняется равенство det (A - λЕ) = 0. Следовательно, матрица однородной СЛАУ (5.4), записанной в матричной форме, вырождена, и система имеет ненулевое решение х. Это ненулевое решение представляет собой набор координат в базисе b некоторого ненулевого вектора x, для которого выполняется векторное равенство (5.3) или ему эквивалентное равенство (5.2) . Мы приходим к выводу, что число λ является собствен-ным значением линейного оператора А.
Каждому собственному значению λ матрицы (линейного оператора) сопоставляют его кратность , полагая ее равной кратности корня λ характеристического уравнения этой матрицы (этого линейного оператора).
Множество всех собственных векторов, отвечающих данно-му собственному значению линейного оператора, не является линейным подпространством , так как это множество не содержит нулевого вектора , который, по определению, не может быть собственным. Но это формальное и легко устранимое препятствие является единственным. Обозначим через £(А, λ) множество всех собственных векторов линейного оператора А в линейном пространстве L, отвечающих собственному значению λ, с добавленным к этому множеству нулевым вектором.
Теорема 5.4. Множество £(А,λ) является линейным подпространством в L.
◄ Выберем произвольные два вектора x,у ∈ £(А, λ) и докажем, что для любых действительных α и β вектор αх + βу также принадлежит £(А, λ). Для этого вычислим образ этого вектора под действием линейного оператора А:
А(αх + βу) = А((αx) + А(βу) = αАх + βАу = α(λх) + β(λу) = λ(αx) + λ(βу) = λ(αx + βу).
Таким образом, для вектора z = αх + βу выполняется соотношение Az = λz. Если z - нулевой вектор, то он принадлежит £(А,λ). Если же он ненулевой, то, согласно доказанному соотношению, он является собственным с собственным значением λ и опять-таки принадлежит множеству £(А, λ).
Линейное подпространство £(А,λ) иногда называют собственным подпространством линейного оператора * . Оно является частным случаем инвариантного подпространства линейного оператора А - такого линейного подпространства что для любого вектора х ∈ H вектор Ах также принадлежит H.
Инвариантным подпространством линейного оператора яв-ляется также линейная оболочка любой системы его собствен-ных векторов. Инвариантным подпространством линейного оператора, не связанным с его собственными векторами, является образ оператора .
1. Понятие линейного оператора
Пусть R и S линейные пространства, которые имеют размерность n и m соответственно. Оператором A действующим из R в S называется отображение вида , сопоставляющее каждому элементу x пространства R некоторый элемент y пространства S . Для этого отображения будем использовать обозначение y=A (x) или y=A x .
Определение 1. Оператор A действующий из R в S называется линейным, если для любых элементов x 1 и x 2 пространства R и любого λ из числового поля K выполняются соотношения
- A (x 1 +x 2)=A x 1 +A x 2 .
- A (λx )=λ A x .
Если пространство S совпадает с пространством R , то линейный оператор, который действует из R в R называют линейным преобразованием пространства R .
Пусть заданы два векторных пространства n- мерный R и m- мерный S , и пусть в этих пространствах заданы базисы и соответственно. Пусть задано отображение
Покажем теперь обратное, т.е. что для любого линейного оператора A , отображающего пространство R в S и произвольных базисов и в R и S соответственно, существует такая матрица A с элементами из численного поля K , что определяемое этой матрицей линейное отображение (1) выражает координаты отображенного вектора y через координаты исходного вектора x .
Пусть x − произвольный элемент в R . Тогда
где a ij − координаты полученного вектора в базисе .
Тогда применяя оператор A к элементу x и учитывая (3) и (4), имеем
Тогда равенство (5) примет следующий вид:
Тогда выражение (6) можно записать в матричном виде:
где x ∈R означает, что x принадлежит пространстве R .
Сумма линейных операторов обозначается так C=A+B . Легко убедится, что сумма линейных операторов также является линейным оператором.
Применим оператор C к базисному вектору e j , тогда:
3. Умножение линейных операторов
Пусть заданы три линейных пространства R , S и T . Пусть линейный оператор B отображает R в S , а линейный оператор A отображает S в T .
Определение 3. Произведением операторов A и B называется оператор C , для которого выполняется следующее равенство при любом x из R :
| (12) |
Произведение линейных операторов обозначается C=AB . Легко убедится, что произведение линейных операторов также является линейным оператором.
Таким образом оператор C отображает пространство R в T . Выберем в пространствах R, S и T базисы и обозначим через A, B и C матрицы операторов A , B и C соответствующие этим базисам. Тогда отображения линейных операторов A , B , C
Учитывая произвольность х, получим
Таким образом оператор C отображает пространство R в S . Выберем в пространствах R и S базисы и обозначим через A матрицу оператора A соответствующее этим базисам векторные равенства
можно записать в виде матричных равенств
где x, y, z − векторы x , y , z − представленные в виде координатных столбцов. Тогда
Учитывая произвольность х , получим
Следовательно произведению оператора C на число λ соответствует произведение матрицы A на число λ .
5. Нулевой оператор
Оператор, отображающий все элементы пространства R в нулевой элемент пространства S называется нулевым оператором и обозначается через O . Действие нулевого оператора можно записать так:
7. Ядро линейного оператора
Определение 5. Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов x пространства R Ax =0.
Ядро линейного оператора также называют дефектом оператора. Ядро линейного оператора обозначается символом ker A .
8. Образ линейного оператора
Определение 6. Образом линейного оператора A называется множество всех элементов y пространства R , для которых выполняется следующее равенство: y=Ax для всех x из R .
Образ линейного оператора обозначается символом im A .
9. Ранг линейного оператора
Определение 7. Рангом линейного оператора A обозначаемое символом rang A называется число равное размерности образа im A оператора A , т.е.: rang A =dim(im A ).
Самый простой линейный оператор - умножение вектора на число \(\lambda \). Этот оператор просто растягивает все вектора в \(\lambda \) раз. Его матричная форма в любом базисе - \(diag(\lambda ,\lambda ,...,\lambda)\). Фиксируем для определенности базис \(\{e\}\) в векторном пространстве \(\mathit{L}\) и рассмотрим линейный оператор с диагональной матричной формой в этом базисе, \(\alpha = diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\). Этот оператор, согласно определению матричной формы, растягивает \(e_k\) в \(\lambda _k\) раз, т.е. \(Ae_k=\lambda _ke_k\) для всех \(k=1,2,...,n\). С диагональными матрицами удобно работать, для них просто строится функциональное исчисление: для любой функции \(f(x)\) можно положить \(f(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n))=diag(f(\lambda _1),f(\lambda _2),...,f(\lambda _n))\). Таким образом возникает естественный вопрос: пусть имеется линейный оператор \(A\), можно ли выбрать такой базис в векторном пространстве, чтобы матричная форма оператора \(A\) была диагональной в этом базисе? Этот вопрос приводит к определению собственных чисел и собственных векторов.
Определение. Пусть для линейного оператора \(A\) существует ненулевой вектор \(u\) и число \(\lambda \) такие, что \[ Au=\lambda \cdot u. \quad \quad(59) \] Тогда вектор \(u\) называют собственным вектором оператора \(A\), а число \(\lambda \) - соответствующим собственным числом оператора \(A\). Совокупность всех собственных чисел называют спектром линейного оператора \(A\).
Возникает естественная задача: найти для заданного линейного оператора его собственные числа и соответствующие собственные вектора. Эту задачу называют задачей о спектре линейного оператора.
Уравнение для собственных значений
Фиксируем для определенности базис в векторном пространстве, т.е. будем считать, что он раз и навсегда задан. Тогда, как обсуждалось выше, рассмотрение линейных операторов можно свести к рассмотрению матриц - матричных форм линейных операторов. Уравнение (59) перепишем в виде \[ (\alpha -\lambda E)u=0. \] Здесь \(E\) - единичная матрица, а \(\alpha\) - матричная форма нашего линейного оператора \(A\). Это соотношение можно трактовать как систему \(n\) линейных уравнений для \(n\) неизвестных - координат вектора \(u\). Причем это однородная система уравнений, и нам следует найти ее нетривиальное решение. Ранее было приведено условие существования такого решения - для этого необходимо и достаточно, чтобы ранг системы был меньше числа неизвестных. Отсюда следует уравнение для собственных чисел: \[ det(\alpha -\lambda E)=0. \quad \quad(60) \]
Определение. Уравнение (60) называется характеристическим уравнением для линейного оператора \(A\).
Опишем свойства этого уравнения и его решений. Если его выписывать в явном виде, получим уравнение вида \[ (-1)^n\lambda ^n+...+det(A)=0. \quad \quad(61) \] В левой части стоит полином по переменной \(\lambda \). Такие уравнения называются алгебраическими степени \(n\). Приведем необходимые сведения об этих уравнениях.
Справка об алгебраических уравнениях.
Теорема. Пусть все собственные числа линейного оператора \(A\) - простые. Тогда набор собственных векторов, соответствующих этим собственным числам, образует базис векторного пространства.
Из условий теоремы следует, что все собственные числа оператора \(A\) различны. Предположим, что набор собственных векторов линейно зависим, так что существуют константы \(c_1,c_2,...,c_n\), не все из которых нули, удовлетворяющие условию: \[ \sum_{k=1}^nc_ku_k=0. \quad \quad(62) \]
Рассмотрим среди таких формул такую, которая включает минимальное число слагаемых, и подействуем на нее оператором \(A\). В силу его линейности получаем: \[ A\left (\sum_{k=1}^nc_ku_k \right)=\sum_{k=1}^nc_kAu_k=\sum_{k=1}^nc_k\lambda _ku_k=0. \quad \quad(63) \]
Пусть, для определенности, \(c_1 \neq 0\). Умножая (62) на \(\lambda _1\) и вычитая из (63), получим соотношение вида (62), но содержащее на одно слагаемое меньше. Противоречие доказывает теорему.
Итак, в условиях теоремы появляется базис, связанный с данным линейным оператором - базис его собственных векторов. Рассмотрим матричную форму оператора в таком базисе. Как упоминалось выше, \(k\)-ый столбец этой матрицы - это разложение вектора \(Au_k\) по базису. Однако по определению \(Au_k=\lambda _ku_k\), так что это разложение (то, что выписано в правой части) содержит только одно слагаемое и построенная матрица оказывается диагональной. В итоге получаем, что в условиях теоремы матричная форма оператора в базисе его собственных векторов равна \(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\). Поэтому если необходимо развивать функциональное исчисление для линейного оператора разумно работать в базисе его собственных векторов.
Если же среди собственных чисел линейного оператора есть кратные, описание ситуации становится сложнее и может включать так называемые жордановы клетки. Мы отошлем читателя к более продвинутым руководствам для изучения соответствующих ситуаций.
