- Tutorial
# wget https://dl.fedoraproject.org/pub/epel/7/x86_64/
# yum localinstall epel-release-6-7.noarch.rpm
И только после этого yum install octave сработает.
Наконец, все готово и программа установлена.
# octave GNU Octave, version 3.8.2 Copyright (C) 2014 John W. Eaton and others. This is free software; see the source code for copying conditions. There is ABSOLUTELY NO WARRANTY; not even for MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. For details, type "warranty". Octave was configured for "x86_64-redhat-linux-gnu". Additional information about Octave is available at http://www.octave.org. Please contribute if you find this software useful. For more information, visit http://www.octave.org/get-involved.html Read http://www.octave.org/bugs.html to learn how to submit bug reports. For information about changes from previous versions, type "news". octave:1>
Операции с матрицами
Не будем терять время и делать операции, которые можно повторить с помощью bc и awk , о ктоторых речь шла в прошлый раз. Поиграемся немного с матрицами.
Сперва простое транспонирование матрицы:
octave:1> A= A = 1 3 5 2 4 6 octave:2> A" ans = 1 2 3 4 5 6
Попробуем решить систему линейных уравнений:
x + y + z = 9 2x + 4y - 3z = 1 3x + 6y - 5z = 0
Вбиваем матрицу A , вектор b и решаем уравнение Ax = b в матричном виде
octave:1> A= A = 1 1 1 2 4 -3 3 6 -5 octave:2> b= b = 9 1 0 octave:3> x=A\b x = 7.00000 -1.00000 3.00000
Находим детерминант и собственные значения матрицы.
octave:4> det (A) ans = -1.00000 octave:5> eig (A) ans = -2.88897 2.76372 0.12525
Комплексные числа тоже поддерживаются в вычислениях.
octave:6> A=[-3 0 2; 1 -1 0; -2 -1 0] A = -3 0 2 1 -1 0 -2 -1 0 octave:7> x=det (A) x = -6 octave:8> y=eig(A) y = -1.00000 + 1.41421i -1.00000 - 1.41421i -2.00000 + 0.00000i
Функции и переменные
В Octave переменные и функции создавать гораздо проще, чем, к примеру, в Java или C. На примере матриц, мы уже видели как объявлять переменные. Создания новой функции имеет следующий синтаксис
function = имя_функции (arg1, arg2, ..., argN) тело функции endfunction
Как правило, новую функцию создают либо в отдельном файле, либо в скрипт-файле Octave
до первого ее вызова. Если предполагается использовать пользовательскую функцию в разных скрипт-файлах, то, конечно, предпочтительно создать ее в отдельном файле. В GNU Octave файлы с функциями имеют расширение.m и загружаются автоматически. Имя файла должно строго совпадать с именем функции.
Напишем функцию для решения квадратичного уравнения ax² + bx + c = 0
octave:9> function = quadr(a, b, c) > D = sqrt(b^2-4*a*c); > x1 = (-b-D)/(2*a); > x2 = (-b+D)/(2*a); > endfunction octave:10> =quadr(a, b, c) y1 = 2 y2 = 3
Графический интерфейс
Вообще-то, мы тут за математику командной строки гутарим, но пока непонятно как вывести на экран график функции. Впрочем, никакого секрета тут нет - для этих целей используется Gnuplot . можно изобразить Аттрактор Лоренца , установив дополнительный пакет odepkg .
function = froessler (vt, vx) vyd = [- (vx(2) + vx(3)); vx(1) + 0.2 * vx(2); 0.2 + vx(1) * vx(3) - 5.7 * vx(3)]; endfunction A = odeset ("MaxStep", 1e-1); = ode78 (@froessler, , , A); subplot (2, 2, 1); grid ("on"); plot (t, y(:,1), "-b;f_x(t);", t, y(:,2), "-g;f_y(t);", \ t, y(:,3), "-r;f_z(t);"); subplot (2, 2, 2); grid ("on"); plot (y(:,1), y(:,2), "-b;f_{xyz}(x, y);"); subplot (2, 2, 3); grid ("on"); plot (y(:,2), y(:,3), "-b;f_{xyz}(y, z);"); subplot (2, 2, 4); grid ("on"); plot3 (y(:,1), y(:,2), y(:,3), "-b;f_{xyz}(x, y, z);");
Наиболее удобной графической оболочкой для работы с Octave является программа QtOctave . Последняя уже стабилизировалась и включена в состав пакета с момента выхода Octave 4.0 .
Что-же дальше?
Может возникнуть вопрос: а зачем вообще нужны открытые математические пакеты? Офисные приложения нужны всем, но ведь далеко не каждому необходимо сидя дома решать уравнения Пуассона, с помощью преобразования Лапласа. Для ВУЗ-ов MATLAB стоит значительно дешевле, нежели для физических лиц и коммерческих организаций. Коммерческие организации, если будет нужно, найдут денежные средства, а обычные люди пусть занимаются математикой в университетах или считают столбиком.
Конечно же, это ошибочное мнение. Научные расчеты, выполненные с использованием открытого ПО имеют дополнительный «уровень защиты», ведь при желании любой может повторить прогнать те же самые расчеты и проверить валидность результатов . Те же самые вычисления, выполненные на дорогущем ПО, частично отсекают возможность проверки результатов . Проблема на самом деле гораздо шире (английский текст) и дело не только в открытых или проприетарных математических программах. Не секрет, что научные журналы как правило не требуют от авторов предоставить данные и методику, достаточные для гарантированного повтора результатов эксперимента, проверки модели. Особенно часто этим грешат экономисты и финансисты, попросту засекречивая свои данные. Проверка расчетов и выводов среди выборки из массива статей с «засекреченными» данными Добавить метки
Соответственно, я не мог охватить всё - у меня на доклад было где-то 15 минут.
Вступление
Известные пакеты - это гиганты всё-в-одном
Когда мы говорим о математическом ПО, на ум приходят такие гиганты, как Maple, Mathematica, MatLAB… У них есть одно общее свойство: они пытаются охватить всё. Конечно, Mathematica известна прежде всего как система для символьных вычислений, а Matlab - для численных, но одновременно в Mathematica есть мощные алгоритмы для вычислений с плавающей точкой, а в Matlab - пакет для символьных вычислений. Причём эти второстепенные функции в программах по сравнению с программами, для этого предназначенными, выглядят убого и смешно. А небезызвестный MathCAD пытается включить в себя всё, при этом всё реализовано так себе. Причина проста: нельзя объять необъятное.
Свободные программы - делают одно дело хорошо
В противоположность этому, большинство свободных программ следует философии UNIX, гласящей: программа должна делать одно дело, но делать его хорошо. Свободного математического ПО очень много, при этом бóльшая часть их предназначена для какой-нибудь одной задачи. Например, есть программы, которые только и умеют, что строить сетку для метода конечных разностей. Или программа, которая предназначена для вычисления цифр числа Пи. Или программа, которая умеет только строить графики, но зато очень хорошо.
Однако, есть и программы, в той или иной степени являющиеся аналогами известных пакетов. Я расскажу о трёх.
Символьные вычисления: Maxima
История проекта
Начну я с истории этого проекта.
Сначала я напомню, что компьютеры - это, вообще-то, Электронные Вычислительные Машины, они создавались для вычислений над числами. Однако уже в конце 50-х появилась идея, что можно заставить компьютер работать не только с числами, но и с алгебраическими выражениями. В начале 60-х начали появляться первые системы компьютерной алгебры. И, конечно, такая система нужна была одному мирному американскому ведомству (департаменту энергетики, это практически подразделение Пентагона). Был объявлен тендер, и его выиграл проект под названием Macsyma (пишется через CS). В течение многих лет DOE Macsyma развивалась как коммерческий проект, финансируемый правительством. В 1982-м году Уильям Шелтер создал форк Macsyma, называемый Maxima. В начале 90-х распался СССР, кончилась холодная война, и косвенным следствием этого стало практически полное прекращение финансирования DOE Macsyma. К концу 90-х проект практически загнулся. Исходники Macsyma по кусочкам распродали, и они оказались в Maple и Mathematica. В 1998-м Уильям Шелтер добился от DOE разрешения на публикацию исходных текстов Maxima под лицензией GPL. Maxima стала свободной программой. В 2001-м Шелтер скончался, но к этому моменту над Maxima работало уже довольно много людей, и они подхватили проект.
Интерфейс: командная строка или wxMaxima
Maxima имеет традиционный для UNIX интерфейс командной строки, однако также умеет слушать сетевой порт, работая как сервер. Этот факт используют различные оболочки (фронтенды), предоставляющие графический интерфейс. Наиболее распространены TeXmacs и wxMaxima. TeXmacs - это научный текстовый редактор, в котором можно в документ вставить сессию Maxima. wxMaxima выглядит примерно так:
Последняя версия, 0.8.0, стала больше походить на Mathematica и Maple: раньше командная строка для ввода была отдельно, внизу.
Lisp-подобный язык
Язык Maxima берёт основные идеи из Lisp, так как Maxima написана на Lisp-e. При этом он похож одновременно на языки Mathematica и Maple, так как эти программы позаимствовали многие идеи и часть кода из Macsyma. Чтобы избежать долгого и нудного перечисления возможностей, я приведу пример решения типичных задач с первого курса.
Пусть дана функция
maxima>> f(x) := x*tanh(x) + x + 1/x + 2;
Проверим, не является ли она чётной или нечётной:
Как видим, функция не является ни чётной, ни нечётной. Найдём пределы функции на плюс-минус бесконечности:
maxima>> limit(f(x),x,-inf);
maxima>> limit(f(x),x,inf);
Итак, на плюс бесконечности функция уходит в бесконечность. Нет ли у неё наклонной асимптоты?
maxima>> limit(f(x)/x, x,inf);
Наклонная асимптота есть - y=kx+b , причём k=2. Найдём b :
maxima>> limit(f(x)-2*x, x,inf);
Наконец, построим график:
maxima>> plot2d(f(x), , );
Найдём производную нашей функции:
maxima>> diff(f(x),x);
И заодно - неопределённый интеграл:
maxima>> integrate(f(x), x);
Интеграл до конца "не взялся". Можно показать, что этот интеграл в элементарных функциях и не берётся. Однако Maxima умеет брать некоторые из таких интегралов, используя специальные функции:
maxima>> part: risch(x/(exp(2*x)+1), x);
maxima>> ir: -2*part + log(x) + x^2 + 2*x;
Что-то ужасное. Раскроем скобки:
maxima>> expand(ir);
Дифференциальные уравнения
Или вот пример более сложных вычислений. Пусть надо решить дифференциальное уравнение:
maxima>> eq: "diff(y,x) + x*y = 1-x^2;
maxima>> solution: ode2(eq,y,x);
maxima>> expand(solution);
По Maxima есть некоторое количество русскоязычных руководств, которые можно найти в интернете. На мой взгляд, самое удачное введение с обзором возможностей содержится в цикле статей Тихона Тарнавского в журнале LinuxFormat. Сейчас эти статьи выложены в открытый доступ, в том числе на русском сайте Maxima. Документация по продвинутым возможностям maxima существует, к сожалению, только на английском языке. Официальная документация составляет 712 страниц.
Численные вычисления: Scilab
Scilab совместим с MatLAB-ом
Наиболее известный пакет для численных расчётов - это MatLAB. Scilab создавался как конкурент matlab-а, более скромный по ценовой политике. Однако коммерчески проект себя не оправдал, и исходные коды были открыты под лицензией, похожей на GNU GPL. Язык scilab сделан по возможности совместимым с матлабом, так что большинство ваших наработок из matlab заработают в scilab. Только вот, как известно, основная мощь matlab-a сосредоточена в его тулбоксах - отдельно поставляемых модулях. Модули для scilab-а тоже есть, однако их сильно меньше.
Octave - это GPL-аналог Matlab
Позже появился проект GNU Octave, нацеленный на создание аналога matlab-a, распространяемого по GNU GPL без всяких заморочек. Язык тоже практически совместим с матлабом, но здесь нет аналога Simulink - средства моделирования и симулирования динамических систем.
Зато Octave имеет чисто консольный интерфейс (конечно, графические фронтенды тоже есть, самый развитый - QtOctave), что позволяет использовать его в скриптах, для автоматизации расчётов, и упрощает встраивание в сложные программные комплексы. Для Octave написаны десятки пакетов расширений.
По Scilab есть статьи на русском языке, кроме того, не так давно в издательстве AltLinux вышла книга `Scilab: Решение инженерных и математических задач". Книгу можно приобрести в интернет-магазине, кроме того, её электронная версия свободно доступна на сайте AltLinux.
Обработка данных: GNU R
Формально, средства обработки данных относятся к программам для численных расчётов, ибо всё что они делают - это вычисления над числами. Однако, как известно, специализированный инструмент всегда лучше универсального. Под словами обработка данных скрывается довольно много различных видов деятельности: статистический анализ, статистическое моделирование, выборка только нужных данных, преобразование данных, построение различных графиков и гистограмм.
Программы для обработки данных можно разделить по типичному размеру выборки, для которого они предназначены. Для небольших выборок подойдёт, например, Statistica. Для средних по размеру выборок хорошо подходит GNU R (она хранит все данные в оперативной памяти, так что на типичном PC получим ограничение в 1-2-4 гигабайта). Для больших и очень больших объёмов данных (от сотен гигабайт до сотен терабайт) предназначены разработанные в CERN свободные системы PAW и ROOT.
GNU R - это интерпретируемый язык программироваммирования, предназначенный для статистического анализа и моделирования. R - это свободная реализация давно существующего языка S. Язык этот весьма эклектичен, он местами похож на C, местами - на Python, местами - на Haskell. Для GNU R существует почти полторы тысячи пакетов расширений (написанных на самом R, на C или Fortran), собранных в репозитории CRAN (Comprehensive R Archive Network).
Типы данных - числа, строки, факторы, векторы, списки и таблицы данных
Основные типы данных в языке - это числа, строки, факторы, векторы, списки и таблицы данных (data frames). Фактор - это данные, которые могут принимать одно из нескольких значений (пол; сорт дерева; логический тип и др). Векторы являются аналогами массивов - это набор из нескольких значений одного типа, размер вектора меняться не может. Тут же надо заметить, что в R нету скаляров ; например, число - это, с точки зрения R, вектор из одного элемента. Списки - это обобщение векторов, они могут содержать объекты разных типов, и длина их может меняться. Кроме того, отдельным элементам списка можно присвоить имена, и обращаться к элементам не по номерам, а по именам. Пример:
(присваивание в R обозначается обычно знаком ← , хотя можно использовать и более привычное = ; кроме того, есть форма value → variable ). Для обращения к элементам списка по номеру используются двойные квадратные скобки:
Назначим имена элементам списка:
(функция c создаёт векторы). Теперь к элементам списка можно обращаться по именам:
Таблица данных (фрейм данных) в R - это список, состоящий из векторов. Создаются таблицы данных чаще всего загрузкой из внешнего файла.
тождественные преобразования выражений (в том числе упрощение), аналитическое решение уравнений и систем;
дифференцирование и интегрирование, аналитическое и численное;
решение дифференциальных уравнений;
проведение серий расчетов с разными значениями начальных условий и других параметров.
При этом спектр задач, решаемых подобными системами, очень широк:
- проведение математических исследований, требующих вычислений и аналитических выкладок;
- разработка и анализ алгоритмов;
- математическое моделирование и компьютерный эксперимент;
- анализ и обработка данных;
- визуализация, научная и инженерная графика;
- разработка графических и расчетных приложений.
Принципы построения математических моделей. Основные этапы моделирования.
Математическое моделирование –создание математического описания реального объекта и изучение этого описания.
Принципы построения математических моделей
Основные этапы моделирования
Весь процесс моделирования можно подразделить на следующие этапы:
постановка задачи моделирования;
построение схемы модели, выделение основных частей и процессов;
определение критерия оптимизации или значения, которое надо рассчитать;
выделение основных изменяемых параметров;
математическое описание основных частей и процессов;
построение решения, связывающего изменяемые параметры и критерий оптимизации или рассчитываемое значение;
исследование решения на экстремум или расчет искомого параметра.
Постановка задачи моделирования
Постановка задачи обычно формулируется в виде словесного описания. На этапе постановки должен быть описан объект моделирования, цели построения модели и критерии оптимизации.
Построение схемы модели, выделение основных частей и процессов
На этом этапе, на базе постановки задачи, объект моделирования делится на основные части и определяется перечень процессов взаимодействия этих частей.
Здесь пакеты общего назначения также ничем помочь не могут. Специализированные пакеты, обычно, уже содержат элементы деления модели на части для своей предметной области.
Должен быть сформулирован поддающийся количественной оценке критерий оптимизации или искомый количественный параметр.
Должен быть сформулирован перечень всех изменяемых параметров и их характерное количественное выражение.
Математическое описание основных частей и процессов
Взаимодействие частей модели должно быть выражено математическими формулами. Раздел математики, который будет использован для описания, выбирается из соображений удобства. Т.е. прежде всего, этот раздел должен иметь возможность количественного описания данного типа взаимодействий.
Результатом этого этапа является система уравнений или иных математических выражений формально описывающая взаимодействие частей и допускающая решение, т.е. получение зависимости: критерий оптимизации как функция изменяемых параметров.
В частности, желательна замкнутость системы уравнений и наличие формального доказательства существования решения.
Здесь пакетам общего назначения предоставляют только аппарат. Специализированные пакеты, обычно, имеют предопределенный математический аппарат и опираются на готовое математическое описание задачи.
Построение решения, связывающего изменяемые параметры и критерий оптимизации
Строится РЕШЕНИЕ, т.е. определяется явная функциональная связь: критерий оптимизации или расчетный параметр как функция изменяемых параметров.
Именно этот этап и есть основное поле приложения сил прикладных пакетов математического моделирования. Это связано с тем, что аналитические решения для математического описания сложных объектов обычно невозможны. И построение решения сводится к построению «численного решателя», который по заданным значениям изменяемых параметров может вычислить значение критерия оптимизации.
В редких случаях существования аналитического решения модели, роль прикладных пакетов математического моделирования низводится до определения функции-решения.
Существуют особые подсистемы прикладных пакетов математического моделирования - системы аналитических (символьных) вычислений - эти подсистемы могут использоваться для максимизации аналитичности решения, т.е. замены численных методов на поиск функционального выражения решений. Аналитические решения практически всегда «лучше» численных, ибо позволяют выразить искомые закономерности через известные функции, что сильно ускоряет расчеты и повышает точность вычислений.
Исследование решения на экстремум
Сложность исследования решения на экстремум чаще всего связана с значительными затратами времени на вычисление критерия оптимизации по заданным значениям изменяемых параметров и/или многочисленностью допустимых сочетаний изменяемых параметров, приводящему к огромному количеству вычислений и, опять же, значительным затратам времени.
Этот этап - еще одно поле приложения сил пакетам. Методы исследования функций на экстремумы хорошо разработаны в математике и могут быть формально применены к любой заданной функции.
Parametric Surface Creator
Surfer
пакет Simulink
gnuplot ImageMagick
Parametric Surface Creator
Программа предназначена для наглядного представления геометрических объектов, описываемых параметрически задаваемыми поверхностями, таких как сфера, тор, лента Мёбиуса и прочие. Для описания объектов используется Паскаль-подобный язык с поддержкой всех стандартных математических функций языка Паскаль и нескольких дополнительных. Полученный объект отображается в векторной форме с использованием оригинального алгоритма растеризации векторов, позволяющим получить плавное и естественное изображение даже на низком разрешении монитора и не требующим никакой аппаратной поддержки. Возможен экспорт изображения в BMP файл.
Surfer - программа для создания трехмерных поверхностей. Коммерческие программы-симуляторы для задач с преобладанием "логических аспектов": AutoMod, Process Model, SIMFACTORY и др.
пакет Simulink , ориентированный именно на задачи имитационного моделирования.
gnuplot 1 – популярная программа для создания двух- и трёхмерных графиков. gnuplot имеет собственную систему команд, может работать интерактивно (в режиме командной строки) и выполнять скрипты, читаемые из файлов. Используется gnuplot в качестве системы вывода изображений в различных математических пакетах: GNU Octave, Maxima и многих других. ImageMagick – кроссплатформенный пакет программ для пакетной обработки графических файлов. Поддерживает огромное количество графических форматов. Может использоваться с языками Perl, C, C++, Python, Ruby, PHP, Pascal, Java, в скриптах командной оболочки или самостоятельно.
Использование компонентов
В документах-программах Mathcad есть возможность вставки модулей (component
) других приложений для расширения возможностей визуализации, анализа данных, выполнение специфических вычислений.
Для расширенной визуализации данных предназначен компонент Axum Graph. Для работы с табличными данными - Microsoft Excel .
Компоненты Data Acquisition, ODBC Input позволяют пользоваться внешними базами данных .
Предлагаются также бесплатные модули (add-in) для интеграции Mathcad с программами Excel, AutoCAD .
Для статистического анализа предназначен компонент Axum S-PLUS Script.
Значительное расширение возможностей пакета достигается при интеграции со сверхмощным приложением MATLAB.
Комплектации
Версии Mathcad могут отличатся комплектацией и лицензией пользователя. В разное время поставлялись версии Mathcad Professional , Mathcad Premium , Mathcad Enterprise Edition (отличаются комплектацией). Для академических пользователей предназначена версия Mathcad Academic Professor (обладает полной функциональностью, но отличается лицензией пользователя и имеет в несколько раз меньшую стоимость).
Некоторое время выпускались также упрощенные и заметно «урезанные» студенческие версии программы.
Однако пока математические возможности MathCad в области компьютерной алгебры намного уступают системам Maple, Mathematica, MatLab и даже малютке Derive. Однако по программе MathCad выпущено много книг и обучающих курсов, в том числе у нас в России. Сегодня эта система стала буквально международным стандартом для технических вычислений и даже многие школьники осваивают и используют MathCad. Для небольшого объема вычислений MathCad идеален - здесь все можно проделать очень быстро и эффективно, а затем оформить работу в привычном виде (MathCad предоставляет широкие возможности для оформления результатов, вплоть до публикации в Интернете). Пакет имеет удобные возможности импорта/экспорта данных. Например, можно работать с электронными таблицами Microsoft Excel прямо внутри MathCad-документа.
В общем, MathCad - это очень простая и удобная программа, которую можно рекомендовать широкому кругу пользователей, в том числе не очень сведущих в математике, а особенно тем, кто только постигает ее азы.
В качестве более дешевых, простых, но идеологически близких альтернатив программе MathCad можно отметить такие пакеты, как уже упомянутый YaCaS, коммерческую систему MuPAD (http://www.mupad.de/ ) и бесплатную программу KmPlot
Математический пакет Mupad
Что касается программы MuPAD (Рисунок 2.6), то она представляет собой современную интегрированную систему математических вычислений, при помощи которой можно производить численные и символьные преобразования, а также чертить двумерные и трехмерные графики геометрических объектов. Однако по своим возможностям MuPAD значительно уступает своим маститым конкурентам и является, скорее, системой начального уровня, предназначенной для обучения.
MuPAD Pro 3 – это сравнительно новая система компьютерной алгебры с обширным набором инструментов, включающая математические алгоритмы для символьных и численных расчётов, и инструментарий для визуализации, анимации и интерактивных манипуляций с двумерными и трёхмерными графиками и другими математическими объектами.
Ключевые возможности Matlab
· Платформонезависимый высокоуровневый язык программирования ориентированный на матричные вычисления и разработку алгоритмов
· Интерактивная среда для разработки кода, управления файлами и данными
· Функции линейной алгебры, статистики, анализ Фурье, решение дифференциальных уравнений и др.
· Богатые средства визуализации, 2-D и 3-D графика.
· Встроенные средства разработки пользовательского интерфейса для создания законченных приложений на MATLAB
· Средства интеграции с C/C++, наследование кода, ActiveX технологии
В базовый набор MatLab входят арифметические, алгебраические, тригонометрические и некоторые специальные функции, функции быстрого прямого и обратного преобразования Фурье и цифровой фильтрации, векторные и матричные функции. MatLab «умеет» выполнять операции с полиномами и комплексными числами, строить графики в декартовой и полярой системах координат, формировать изображения трехмерных поверхностей. MatLab имеет средства для расчета и проектирования аналоговых и цифровых фильтров, построения их частотных, импульсных и переходных характеристик и таких же характеристик для линейных электрических цепей, средства для спектрального анализа и синтеза.
Библиотека C Math (компилятор MatLab) является объектной и содержит свыше 300 процедур обработки данных на языке C. Внутри пакета можно использовать как процедуры самой MatLab, так и стандартные процедуры языка C, что делает этот инструмент мощнейшим подспорьем при разработке приложений (используя компилятор C Math, можно встраивать любые процедуры MatLab в готовые приложения).
Библиотека C Math позволяет пользоваться следующими категориями функций:
· операции с матрицами;.
· сравнение матриц;
· решение линейных уравнений;
· разложение операторов и поиск собственных значений;
· нахождение обратной матрицы;
· поиск определителя;
· вычисление матричного экспоненциала;
· элементарная математика;
· функции beta, gamma, erf и эллиптические функции;
· основы статистики и анализа данных;
· поиск корней полиномов;
· фильтрация, свертка;
· быстрое преобразование Фурье (FFT);
· интерполяция;
· операции со строками;
· операции ввода-вывода файлов и т.д.
При этом все библиотеки MatLab отличаются высокой скоростью численных вычислений. Однако матрицы широко применяются не только в таких математических расчетах, как решение задач линейной алгебры и математического моделирования, обсчета статических и динамических систем и объектов. Они являются основой автоматического составления и решения уравнений состояния динамических объектов и систем. Именно универсальность аппарата матричного исчисления значительно повышает интерес к системе MatLab, вобравшей в себя лучшие достижения в области быстрого решения матричных задач. Поэтому MatLab давно уже вышла за рамки специализированной матричной системы, превратившись в одну из наиболее мощных универсальных интегрированных систем компьютерной математики.
Математический пакет Maple.
Maple (http://www.maplesoft.com/ )
Процессор Pentium III 650 МГц;
400 Мбайт дискового пространства;
Операционные системы: Windows NT 4 (SP5)/98/ME/2000/2003 Server/XP Pro/XP Home.
Программа Maple (последняя версия 10.02) - своего рода патриарх в семействе систем символьной математики и до сих пор является одним из лидеров среди универсальных систем символьных вычислений. (Рисунок 2.15,2.16) Она предоставляет пользователю удобную интеллектуальную среду для математических исследований любого уровня и пользуется особой популярностью в научной среде.
Отметим, что символьный анализатор программы Maple является наиболее сильной частью этого ПО, поэтому именно он был позаимствован и включен в ряд других CAE-пакетов, таких как MathCad и MatLab, а также в состав пакетов для подготовки научных публикаций Scientific WorkPlace и Math Office for Word. Пакет Maple - совместная разработка Университета Ватерлоо (шт. Онтарио, Канада) и Высшей технической школы (ETHZ, Цюрих, Швейцария).
Для его продажи была создана специальная компания - Waterloo Maple, Inc., которая, к сожалению, больше прославилась математической проработкой своего проекта, чем уровнем его коммерческой реализации. В результате система Maple ранее была доступна преимущественно узкому кругу профессионалов. Сейчас эта компания работает совместно с более преуспевающей в коммерции и в проработке пользовательского интерфейса математических систем фирмой MathSoft, Inc. - создательницей весьма популярных и массовых систем для численных расчетов MathCad, ставших международным стандартом для технических вычислений.
Maple предоставляет удобную среду для компьютерных экспериментов, в ходе которых пробуются различные подходы к задаче, анализируются частные решения, а при необходимости программирования отбираются требующие особой скорости фрагменты.
Пакет позволяет создавать интегрированные среды с участием других систем и универсальных языков программирования высокого уровня. Когда расчеты произведены и требуется оформить результаты, то можно использовать средства этого пакета для визуализации данных и подготовки иллюстраций для публикации. Для завершения работы остается подготовить печатный материал (отчет, статью, книгу) прямо в среде Maple, а затем можно приступать к очередному исследованию. Работа проходит интерактивно - пользователь вводит команды и тут же видит на экране результат их выполнения. При этом пакет Maple совсем не похож на традиционную среду программирования, где требуется жесткая формализация всех переменных и действий с ними. Здесь же автоматически обеспечивается выбор подходящих типов переменных и проверяется корректность выполнения операций, так что в общем случае не требуется описания переменных и строгой формализации записи.
Пакет Maple состоит из ядра (процедур, написанных на языке С и хорошо оптимизированных), библиотеки, написанной на Maple-языке, и развитого внешнего интерфейса. Ядро выполняет большинство базовых операций, а библиотека содержит множество команд - процедур, выполняемых в режиме интерпретации.
Интерфейс Maple основан на концепции рабочего поля (worksheet) или документа, содержащего строки ввода-вывода и текст, а также графику (Рисунок 2.17).
Работа с пакетом происходит в режиме интерпретатора. В строке ввода пользователь задает команду, нажимает клавишу Enter и получает результат - строку (или строки) вывода либо сообщение об ошибочно введенной команде. Тут же выдается приглашение вводить новую команду и т.д.
Вычисления в Maple
Систему Maple можно использовать и на самом элементарном уровне ее возможностей - как очень мощный калькулятор для вычислений по заданным формулам, но главным ее достоинством является способность выполнять арифметические действия в символьном виде, то есть так, как это делает человек. При работе с дробями и корнями программа не приводит их в процессе вычислений к десятичному виду, а производит необходимые сокращения и преобразования в столбик, что позволяет избежать ошибок при округлении.
Для работы с десятичными эквивалентами в системе Maple имеется специальная команда, аппроксимирующая значение выражения в формате чисел с плавающей запятой. Система Maple вычисляет конечные и бесконечные суммы и произведения, выполняет вычислительные операции с комплексными числами, легко приводит комплексное число к числу в полярных координатах, вычисляет числовые значения элементарных функций, а также знает много специальных функций и математических констант (таких, например, как «е» и «пи»). Maple поддерживает сотни специальных функций и чисел, встречающихся во многих областях математики, науки и техники.
Программирование в Maple.
Система Maple использует процедурный язык 4-го поколения (4GL). Этот язык специально предназначен для быстрой разработки математических подпрограмм и пользовательских приложений. Синтаксис данного языка аналогичен синтаксису универсальных языков высокого уровня: C, Fortran, Basic и Pascal.
Maple может генерировать код, совместимый с такими языками программирования, как Fortran или C, и с языком набора текста LaTeX, который пользуется большой популярностью в научном мире и применяется для оформления публикаций. Одно из преимуществ этого свойства - способность обеспечивать доступ к специализированным числовым программам, максимально ускоряющим решение сложных задач. Например, используя систему Maple, можно разработать определенную математическую модель, а затем с ее помощью сгенерировать код на языке C, соответствующий этой модели. Язык 4GL, специально оптимизированный для разработки математических приложений, позволяет сократить процесс разработки, а настроить пользовательский интерфейс помогают элементы Maplets или документы Maple со встроенными графическими компонентами.
Одновременно в среде Maple можно подготовить и документацию к приложению, так как средства пакета позволяют создавать технические документы профессионального вида, содержащие текст, интерактивные математические вычисления, графики, рисунки и даже звук. Вы также можете создавать интерактивные документы и презентации, добавляя кнопки, бегунки и другие компоненты, и, наконец, публиковать документы в Интернете и развертывать интерактивные вычисления в Сети, используя сервер MapleNet.
Пакет Mathematica.
Mathematica (http://www.wolfram.com/ )
Минимальные требования к системе:
процессор Pentium II или выше;
400-550 Мбайт дискового пространства;
операционные системы: Windows 98/Me/ NT 4.0/2000/2003 Server/2003x64/XP/XP x64.
Компания Wolfram Reseach, Inc., разработавшая систему компьютерной математики Mathematica (Рисунок 2.27,2.28), по праву считается старейшим и наиболее солидным игроком в этой области. Пакет Mathematica (текущая версия 5.2) повсеместно применяется при расчетах в современных научных исследованиях и получил широкую известность в научной и образовательной среде. Можно даже сказать, что Mathematica обладает значительной функциональной избыточностью (там, в частности, есть даже возможность для синтеза звука).
Mathematica объединяет в единое целое числовое и символьное вычислительное ядро, графическую систему, язык программирования, систему документации и возможность взаимодействия с другими приложениями. Для всей среды Mathematica нет единственного конкурента. Вообще говоря, конкуренты делятся на следующие группы: численные пакеты, системы компьютерной алгебры, приложения дл набора текста и подготовки документации, графические и статистические системы, традиционные языки программирования (средства разработки интерфейсов) и электронные таблицы. С тех пор, как Mathematica впервые появилась, другие математические пакеты существенно расширили спектр собственных возможностей, первоначально они предназначались для решения задач, относящихся лишь к одной или двум вышеперечисленным категориям.
Однако вряд ли эта мощная математическая система, претендующая на мировое лидерство, нужна секретарше или даже директору небольшой коммерческой фирмы, не говоря уже о рядовых пользователях. Но, несомненно, любая серьезная научная лаборатория или кафедра вуза должна иметь подобную программу, если там всерьез заинтересованы в автоматизации выполнения математических расчетов любой степени сложности. Несмотря на свою направленность на серьезные математические вычисления, системы класса Mathematica просты в освоении и могут использоваться довольно широкой категорией пользователей - студентами и преподавателями вузов, инженерами, аспирантами, научными работниками и даже учащимся математических классов общеобразовательных и специальных школ. Все они найдут в подобной системе многочисленные полезные возможности для применения.
При этом широчайшие функции программы не перегружают ее интерфейс и не замедляют вычислений. Mathematica неизменно демонстрирует высокую скорость символьных преобразований и численных расчетов. Программа Mathematica из всех рассматриваемых систем наиболее полна и универсальна, однако у каждой программы есть как свои достоинства, так и недостатки. А главное - у них есть свои приверженцы, которых бесполезно убеждать в превосходстве другой системы. Но те, кто серьезно работает с системами компьютерной математики, должны пользоваться несколькими программами, ибо только это гарантирует высокий уровень надежности сложных вычислений.
Отметим, что в разработках различных версий системы Mathematica, наряду с головной фирмой Wolfram Research, Inc., принимали участие другие фирмы и сотни специалистов высокой квалификации, в том числе математики и программисты. Есть среди них и представители пользующейся уважением и спросом за рубежом математической школы России. Система Mathematica является одной из самых крупных программных систем и реализует наиболее эффективные алгоритмы вычислений. К их числу, например, относится механизм контекстов, исключающий появление в программах побочных эффектов.
Система Mathematica сегодня рассматривается как мировой лидер среди компьютерных систем символьной математики для ПК, обеспечивающих не только возможности выполнения сложных численных расчетов с выводом их результатов в самом изысканном графическом виде, но и проведение особо трудоемких аналитических преобразований и вычислений.
Mathematica имеет несколько основных особенностей и предназначена для решения широкого спектра задач. Вот некоторые классы задач, решаемых с помощью Mathematica:
1. Работа с символьными комплексными вычислениями, использующими сотни тысяч или миллионы членов.
агрузка, анализ и визуализация данных.
2. Решение обычных и дифференциальных уравнений, а также задач численной или символьной минимизации.
3. Численное моделирование и имитация, построение систем управления, начиная от простейших и заканчивая столкновениями галактик, финансовыми убытками, сложными биологическими системами, химическими реакциями, изучением влияния на окружающую среду и магнитными полями в ускорителях элементарных частиц.
4. Простая и быстрая разработка приложений (RAD) для технических компаний и финансовых учреждений.
5. Создание профессиональных, интерактивных, технических отчетов и документов для распространения в электронном виде или на бумаге.
6. Подробная техническая документация, например, для патентов США.
7. Проведение специальных презентаций и семинаров.
8. Иллюстрирование математических или научных концепций для учащихся, начиная от колледжа и заканчивая аспирантурой.
Версии системы под Windows имеют современный пользовательский интерфейс и позволяют готовить документы в форме Notebooks (записных книжек). Они объединяют исходные данные, описания алгоритмов решения задач, программ и результатов решения в самой разнообразной форме (математические формулы, числа, векторы, матрицы, таблицы и графики).
Mathematica была задумана как система, максимально автоматизирующая труд научных работников и математиков-аналитиков, поэтому она заслуживает изучения даже в качестве типичного представителя элитных и высокоинтеллектуальных программных продуктов высшей степени сложности. Однако куда больший интерес она представляет как мощный и гибкий математический инструментарий, который может оказать неоценимую помощь большинству научных работников, преподавателей университетов и вузов, студентов, инженеров и даже школьников.
С самого начала большое внимание уделялось графике, в том числе динамической, и даже возможностям мультимедиа - воспроизведению динамической анимации и синтезу звуков. Набор функций графики и изменяющих их действие опций очень широк. Графика всегда была сильной стороной различных версий системы Mathematica и обеспечивала им лидерство среди систем компьютерной математики.
В результате Mathematica быстро заняла ведущие позиции на рынке символьных математических систем. Особенно привлекательны обширные графические возможности системы и реализация интерфейса типа Notebook. При этом система обеспечивала динамическую связь между ячейками документов в стиле электронных таблиц даже при решении символьных задач, что принципиально и выгодно отличало ее от других подобных систем.
Кстати, центральное место в системах класса Mathematica занимает машинно-независимое ядро математических операций, которое позволяет переносить систему на различные компьютерные платформы. Для переноса системы на другую компьютерную платформу используется программный интерфейсный процессор Front End. Именно он определяет, какой вид имеет пользовательский интерфейс системы, то есть интерфейсные процессоры систем Mathematica для других платформ могут обладать своими нюансами. Ядро сделано достаточно компактным для того, чтобы можно было очень быстро вызвать из него любую функцию. Для расширения набора функций служат библиотека (Library) и набор пакетов расширения (Add-on Packages). Пакеты расширений готовятся на собственном языке программирования систем Mathematica и являются главным средством для развития возможностей системы и их адаптации к решению конкретных классов задач пользователя. Кроме того, системы имеют встроенную электронную справочную систему - Help, которая содержит электронные книги с реальными примерами.
Таким образом, Mathematica - это, с одной стороны, типичная система программирования на базе одного из самых мощных проблемноориентированных языков функционального программирования высокого уровня, предназначенная для решения различных задач (в том числе и математических), а с другой - интерактивная система для решения большинства математических задач в диалоговом режиме без традиционного программирования. Таким образом, Mathematica как система программирования имеет все возможности для разработки и создания практически любых управляющих структур, организации ввода-вывода, работы с системными функциями и обслуживания любых периферийных устройств, а с помощью пакетов расширения (Add-ons) появляется возможность подстраиваться под запросы любого пользователя, (хотя рядовому пользователю эти средства программирования могут и не понадобиться - он вполне обойдется встроенными математическими функциями системы, поражающими своим обилием и многообразием даже опытных математиков).
К недостаткам системы Mathematica следует отнести разве что весьма необычный язык программирования, обращение к которому, впрочем, облегчает подробная система помощи.
FlatGraph - программа для построения графиков функций (обычных и параметрических) с расширенными возможностями (Рисунок 2.33). Дифференцирование любого порядка (с упрощением). Построение касательных к графику. Программа рассчитана как на неопытного, так и на профессионального пользователя, т.к она совмещает в себе интуитивный интерфейс с профессиональными функциями.
FlatGraph позволяет:
Вводить одно или несколько функциональных выражений любой сложности для отображения и (или) их дифференцирования;
Выполнять символьное дифференцирование для указанного порядка производной, а также выполнять упрощение полученной производной;
Исследовать "живое" изменение различных параметров функций с одновременным отображением новых графиков, что позволяет определить влияние параметров функций на их вид;
Использовать автоматическое или ручное масштабирование графиков функций для линейных шкал;
Задавать и выводить графически параметрические функции, отображающие, например, эллипсоиды, кардиоиды, лемнискаты Бернулли и другие подобные графики (где абсцисса и ордината зависят от одного параметра "t");
Решать уравнений, системы уравнений и неравенств графическим способом;
Получать и отображать касательную к графику функции в точке x0(задается пользователем).
FlatGraph имеет простой и понятный интерфейс, снабжен подробнейшей документацией по использованию и примерами работы.
Математические пакеты. Моделирование. Перечислить возможности и основные задачи, решаемые пакетами.
Математические пакеты являются составной частью мира CAE-систем.(Computer Aided Engeneering) В настоящее время в математических пакетах применяется принцип конструирования модели, а не традиционное «искусство программирования». То есть пользователь ставит задачу, а методы и алгоритмы решения система находит сама. Современные математические пакеты можно использовать и как обычный калькулятор, и как средства для упрощения выражений при решении каких-либо задач, а также как генератор графики или даже звука! В настоящее время практически все современные математические имеют встроенные функции символьных вычислений. Однако наиболее известными и приспособленными для математических символьных вычислений считаются Maple, MathCad, Mathematica и MatLab. Математическое моделирование – создание математического описания реального объекта и изучение этого описания.
Первоначально любые расчеты по моделям производились вручную. По мере развития вычислительных устройств, эти устройства применялись для ускорения расчетов.
Компьютер позволяет использовать его как средство автоматизации научной работы и для решения сложных расчетных задач используют различные специализированные программы.
В то же время, в научной работе встречается широкий спектр несложных математических задач, для решения которых можно использовать универсальные профессиональные средства.
К таким несложным задачам относятся, например, следующие:
подготовка научно-технических документов, содержащих текст и формулы, записанные в привычной для специалистов форме;
вычисление результатов математических операций, в которых участвуют числовые константы, переменные и размерные физические величины;
операции с векторами и матрицами;
решение уравнений и систем уравнений (неравенств);
статистические расчеты и анализ данных;
построение двумерных и трехмерных графиков;
тождественные преобразования выражений (в том числе упрощение), аналитическо
Подбор программного обеспечения для успешного решения студенческих и научно-исследовательских задач в области математических и естественнонаучных дисциплин является очень важным вопросом. В настоящее время существуют мощные коммерческие математические программы с закрытыми исходными кодами: Matlab, Maple, Mathcad, Mathematica . Однако, существует большое количество свободно распространяемых программ, как с открытым, так и закрытом кодом. К свободно распространяем, относятся программы, которые выходят под лицензией GNU GPL и её различными модификациями. Данное открытое лицензионное соглашение разрешает запуск программы, её модификацию, свободное распространение копий исходного и исполняемого кода.
Математический пакет Mathematica разработнный компаниейWolfram Reseach Inc , по праву считается старейшей и мощной системой компьютерной математики. ПакетMathematica повсеместно применяется при расчетах в современных научных исследованиях и получил широкую известность в научной и образовательной среде. Можно даже сказать, чтоMathematica обладает значительной функциональной избыточностью (там, в частности, есть даже возможность для синтеза звука). Поэтому,несомненно, любая серьезная научная лаборатория или кафедра вуза должна иметь подобную программу, если там всерьез заинтересованы в автоматизации выполнения математических расчетов любой степени сложности.
Несмотря на свою направленность на серьезные математические вычисления, системы класса Mathematica просты в освоении и могут использоваться довольно широкой категорией пользователей - студентами и преподавателями вузов, инженерами, аспирантами, научными работниками и даже учащимся математических классов общеобразовательных и специальных школ. Все они найдут в подобной системе многочисленные полезные возможности для применения.
Широчайшие функции программы не перегружают ее интерфейс и не замедляют вычислений. Mathematica неизменно демонстрирует высокую скорость символьных преобразований и численных расчетов. СистемаMathematica сегодня рассматривается как мировой лидер среди компьютерных систем символьной математики для ПК, обеспечивающих не только возможности выполнения сложных численных расчетов с выводом их результатов в самом изысканном графическом виде, но и проведение особо трудоемких аналитических преобразований и вычислений. Версии системы под Windows имеют современный пользовательский интерфейс и позволяют готовить документы в форме Notebooks (записных книжек). Они объединяют исходные данные, описания алгоритмов решения задач, программ и результатов решения в самой разнообразной форме (математические формулы, числа, векторы, матрицы, таблицы и графики).
С самого начала большое внимание уделялось графике, в том числе динамической, и даже возможностям мультимедиа – воспроизведению динамической анимации и синтезу звуков. Набор функций графики и изменяющих их действие опций очень широк. Графика всегда была сильной стороной различных версий системы Mathematica и обеспечивала им лидерство среди систем компьютерной математики.
Кстати, центральное место в системах класса Mathematica занимает машинно-независимое ядро математических операций, которое позволяет переносить систему на различные компьютерные платформы.
Таким образом, Mathematica– это, с одной стороны, типичная система программирования на базе одного из самых мощных проблемноориентированных языков функционального программирования высокого уровня, предназначенная для решения различных задач (в том числе и математических), а с другой - интерактивная система для решения большинства математических задач в диалоговом режиме без традиционного программирования. Кроме того,Mathematica, как система программирования, имеет все возможности для разработки и создания практически любых управляющих структур, организации ввода-вывода, работы с системными функциями и обслуживания любых периферийных устройств. Здесь с помощью пакетов расширения (Add-ons ) появляется возможность подстраиваться под запросы любого пользователя, (хотя рядовому пользователю эти средства программирования могут и не понадобиться– он вполне обойдется встроенными математическими функциями системы, поражающими своим обилием и многообразием даже опытных математиков).
К недостаткам системы Mathematica следует отнести разве что весьма необычный язык программирования, обращение к которому, впрочем, облегчает подробная система помощи.
В качестве более простых, но идеологически близких альтернатив программы Mathematica можно назвать такие пакеты, какMaxima .
Система Maxima – это некоммерческий проект с открытым кодом. В программеMaxima для математической работы используется язык, сходный с языком в пакетеMathematica , а графический интерфейс построен по тем же принципам.
Кроме того, сейчас у системы Maxima есть еще более мощный, эффективный и дружественный кроссплатформенный графический интерфейс, который называетсяWxmaxima.
СКМ Maple – это своего рода патриарх в семействе систем символьной математики и до сих пор является одним из лидеров среди универсальных систем символьных вычислений. Она предоставляет пользователю удобную интеллектуальную среду для математических исследований любого уровня и пользуется особой популярностью в научной среде.
Пакет Maple – это совместная разработка Университета Ватерлоо (шт. Онтарио, Канада) и Высшей технической школы (ETHZ, Цюрих, Швейцария)..
Maple предоставляет удобную среду для компьютерных экспериментов, в ходе которых пробуются различные подходы к задаче, анализируются частные решения, а при необходимости программирования отбираются требующие особой скорости фрагменты. Пакет позволяет создавать интегрированные среды с участием других систем и универсальных языков программирования высокого уровня. Когда расчеты произведены и требуется оформить результаты, то можно использовать средства этого пакета для визуализации данных и подготовки иллюстраций для публикации. Для завершения работы остается подготовить печатный материал (отчет, статью, книгу) прямо в средеMaple , а затем можно приступать к очередному исследованию. Работа проходит интерактивно– пользователь вводит команды и тут же видит на экране результат их выполнения. При этом пакетMaple совсем не похож на традиционную среду программирования, где требуется жесткая формализация всех переменных и действий с ними. Здесь же автоматически обеспечивается выбор подходящих типов переменных и проверяется корректность выполнения операций, так что в общем случае не требуется описания переменных и строгой формализации записи.
Пакет Maple состоит из ядра (процедур, написанных на языкеС и хорошо оптимизированных), библиотеки, написанной наMaple -языке, и развитого внешнего интерфейса. Ядро выполняет большинство базовых операций, а библиотека содержит множество команд– процедур, выполняемых в режиме интерпретации.
Интерфейс Maple основан на концепции рабочего поля (worksheet) или документа, содержащего строки ввода-вывода и текст, а также графику. Работа с пакетом происходит в режиме интерпретатора. В строке ввода пользователь задает команду, нажимает клавишу Enter и получает результат– строку (или строки) вывода либо сообщение об ошибочно введенной команде. Тут же выдается приглашение вводить новую команду и т.д.
Рабочие окна (листы) системы Maple могут быть использованы либо как интерактивные среды для решения задач, либо как система для подготовки технической документации. Исполнительные группы и электронные таблицы упрощают взаимодействие пользователя с движком Maple, выполняя роль тех первичных средств, при помощи которых в систему Maple передаются запросы на выполнение конкретных задач и вывод результатов. Оба эти типа первичных средств допускают возможность ввода команд Maple.
Рабочие листы можно организовать иерархически, в виде разделов и подразделов. Разделы и подразделы можно как расширять, так и сворачивать. Система Maple, подобно другим текстовым редакторам, поддерживает опцию закладок.
Систему Maple можно использовать и на самом элементарном уровне ее возможностей– как очень мощный калькулятор для вычислений по заданным формулам, но главным ее достоинством является способность выполнять арифметические действия в символьном виде, то есть так, как это делает человек. При работе с дробями и корнями программа не приводит их в процессе вычислений к десятичному виду, а производит необходимые сокращения и преобразования в столбик, что позволяет избежать ошибок при округлении. Для работы с десятичными эквивалентами в системеMaple имеется специальная команда, аппроксимирующая значение выражения в формате чисел с плавающей запятой. СистемаMaple вычисляет конечные и бесконечные суммы и произведения, выполняет вычислительные операции с комплексными числами, легко приводит комплексное число к числу в полярных координатах, вычисляет числовые значения элементарных функций, а также знает много специальных функций и математических констант (таких, например, как «е» и «пи»).Maple поддерживает сотни специальных функций и чисел, встречающихся во многих областях математики, науки и техники.
Система Maple предлагает различные способы представления, сокращения и преобразования выражений, например такие операции, как упрощение и разложение на множители алгебраических выражений и приведение их к различному виду. Таким образом, Maple можно использовать для решения уравнений и систем..Программу можно использовать для решения задач дифференциального и интегрального исчисления, вычисления пределов, разложений в ряды, суммирования рядов, умножения, интегральных преобразований (таких как преобразование Лапласа, Z-преобразование, преобразование Меллина или Фурье), а также для исследования непрерывных или кусочно-непрерывных функций.
Maple может вычислять пределы функций, как конечные, так и стремящиеся к бесконечности, а также распознает неопределенности в пределах. В этой системе можно решать множество обычных дифференциальных уравнений, а также дифференциальные уравнения в частных производных,в том числе задачи с начальными условиями и задачи с граничными условиями.
Одним из наиболее часто используемых в системе Maple пакетов программ является пакет линейной алгебры, содержащий мощный набор команд для работы с векторами и матрицами. Maple может находить собственные значения и собственные векторы операторов, вычислять криволинейные координаты, находить матричные нормы и вычислять множество различных типов разложения матриц.
Для технических применений в Maple включены справочники физических констант и единицы физических величин с автоматическим пересчетом формул. Особенно эффективна Maple при обучении математике. Высочайший интеллект этой системы символьной математики сочетается с прекрасными средствами математического численного моделирования и с просто потрясающими возможностями графической визуализации решений. Такие системы, какMaple , можно применять как в преподавании, так и для самообразования при изучении математики от самых азов до вершин.
Система Maple поддерживает какдвумерную , так итрехмерную графику. Таким образом, можно представить явные, неявные и параметрические функции, а также многомерные функции и просто наборы данных в графическом виде и визуально искать закономерности. Графические средстваMaple позволяют строить двумерные графики сразу нескольких функций, создавать графики конформных преобразований функций с комплексными числами и строить графики функций в логарифмической, двойной логарифмической, параметрической, фазовой, полярной и контурной форме.
Maple является первым универсальным математическим пакетом, который предлагает полную поддержку стандарта MathML 2.0, управляющего как внешним видом, так и смыслом математики в Интернете. Эта эксклюзивная функция делает текущую версию MathML основным средством Интернет-математики, а также устанавливает новый уровень совместимости многопользовательской среды. TCP/IP-протокол обеспечивает динамический доступ к информации из других Интернет-ресурсов, например к данным для финансового анализа в реальном времени или к данным о погоде.
Последние версии Maple , помимо дополнительных алгоритмов и методов решения математических задач, получили более удобный графический интерфейс, продвинутые инструменты визуализации и построения графиков, а также дополнительные средства программирования. Начиная с девятой версии, в пакет был добавлен импорт документов из программы Mathematica, а в справочную систему были введены определения математических и инженерных понятий и расширена навигация по страницам справки.
Таким образом, Maple - это, пожалуй, наиболее удачно сбалансированная система и бесспорный лидер по возможностям символьных вычислений для математики. При этом оригинальный символьный движок сочетается здесь с легко запоминающимся структурным языком программирования, так что Maple может быть использован как для небольших задач, так и для серьезных проектов.
К недостаткам системы Maple можно отнести лишь ее некоторую «задумчивость», причем не всегда обоснованную, а также очень высокую стоимость этой программы
Все эти возможности в сочетании с прекрасно выполненным и удобным пользовательским интерфейсом и мощной справочной системой делают Maple первоклассной программной средой для решения самых разнообразных математических задач, способной оказать пользователям действенную помощь в решении учебных и реальных научно-технических задач.
Существует большое количество альтернативных пакетов. В качестве более простых, но идеологически близких альтернатив программеMaple можно отметить такие пакеты, какDerive ,ScientificWorkPlace. Благодаря встроенной системе компьютерной алгебры вы можете производить вычисления прямо в документе. Конечно, у этой программы нет таких возможностей, как у Maple, однако она маленькая и простая в использовании.
Другая маленькая коммерческая математическая система Derive (текущая версия 6.1) существует уже довольно давно, но, конечно, не может рассматриваться как полноценная альтернатива Maple, хотя она и по сей день привлекательна своей нетребовательностью к аппаратным ресурсам ПК. Более того, при решении задач умеренной сложности она демонстрирует даже более высокое быстродействие и большую надежность решения, чем первые версии систем Maple и Mathematica. Впрочем, системе Derive трудно всерьез конкурировать с этими системами - как по обилию функций и правил аналитических преобразований, так и по возможностям машинной графики и по удобству пользовательского интерфейса. Пока чтоDerive является больше учебной системой компьютерной алгебры начального уровня.
И хотя новейшая версия Derive 6 под Windows уже имеет современный удобный интерфейс, он во многом уступает изысканному интерфейсу маститых конкурентов. А в плане возможности графической визуализации результатов вычислений Derive и вообще далеко отстает от конкурентов.
СКМ MatLab относится к среднему уровню продуктов, предназначенных для символьной математики, но рассчитана на широкое применение в сфере CAE (то есть сильна и в других областях).MatLab - это одна из старейших, тщательно проработанных и проверенных временем систем автоматизации математических расчетов, построенная на расширенном представлении и применении матричных операций. Это нашло отражение и в самом названии системы -MATrix LABoratory , то есть матричная лаборатория. Однако синтаксис языка программирования системы продуман настолько тщательно, что данная ориентация почти не ощущается теми пользователями, которых не интересуют непосредственно матричные вычисления.
Несмотря на то, что изначально MatLab предназначалась исключительно для вычислений, в процессе эволюции (а сейчас выпущена уже версия 12), в дополнение к прекрасным вычислительным средствам, у фирмы Waterloo Maple для MatLab было приобретено ядро символьных преобразований, а также появились библиотеки, которые обеспечивают в MatLab уникальные для математических пакетов функции.
В системе MatLab также существуют широкие возможности для программирования. Ее библиотека C Math (компилятор MatLab) являетсяобъектной и содержит свыше 300 процедур обработки данных на языке C. Внутри пакета можно использовать как процедуры самой MatLab, так и стандартные процедуры языка C, что делает этот инструмент мощнейшим подспорьем при разработке приложений (используя компилятор C Math, можно встраивать любые процедуры MatLab в готовые приложения).
Библиотека C Math позволяет пользоваться следующими категориями функций:
операции с матрицами;
сравнение матриц;
решение линейных уравнений;
разложение операторов и поиск собственных значений;
нахождение обратной матрицы;
поиск определителя;
вычисление матричного экспоненциала;
элементарная математика;
функции beta, gamma, erf и эллиптические функции;
основы статистики и анализа данных;
поиск корней полиномов;
фильтрация, свертка;
быстрое преобразование Фурье (FFT);
интерполяция;
операции со строками;
операции ввода-вывода файлов и т.д.
Все библиотеки MatLab отличаются высокой скоростью численных вычислений. Однако матрицы широко применяются не только в таких математических расчетах, как решение задач линейной алгебры и математического моделирования, обсчета статических и динамических систем и объектов. Они являются основой автоматического составления и решения уравнений состояния динамических объектов и систем. Именно универсальность аппарата матричного исчисления значительно повышает интерес к системеMatLab , вобравшей в себя лучшие достижения в области быстрого решения матричных задач. ПоэтомуMatLab давно уже вышла за рамки специализированной матричной системы, превратившись в одну из наиболее мощных универсальных интегрированных систем компьютерной математики.
Для визуализации моделирования система MatLab имеет библиотекуImage Processing Toolbox , которая обеспечивает широкий спектр функций, поддерживающих визуализацию проводимых вычислений непосредственно из среды MatLab, увеличение и анализ, а также возможность построения алгоритмов обработки изображений. Усовершенствованные методы графической библиотеки в соединении с языком программированияMatLab обеспечивают открытую расширяемую систему, которая может быть использована для создания специальных приложений, пригодных для обработки графики.
Основные средства библиотеки Image Processing Tollbox:
построение фильтров, фильтрация и восстановление изображений;
увеличение изображений;
анализ и статистическая обработка изображений;
выделение областей интересов, геометрические и морфологические операции;
манипуляции с цветом;
двумерные преобразования;
блок обработки;
средство визуализации;
запись/чтение графических файлов.
Таким образом, систему MatLab можно использовать для обработки изображений, сконструировав собственные алгоритмы, которые будут работать с массивами графики как с матрицами данных. Поскольку языкMatLab оптимизирован для работы с матрицами, в результате обеспечивается простота использования, высокая скорость и экономичность проведения операций над изображениями.
Программу MatLab можно использовать для восстановления испорченных изображений, шаблонного распознавания объектов на изображениях или же для разработки каких-либо собственных оригинальных алгоритмов обработки изображений. Библиотека Image Processing Tollbox упрощает разработку высокоточных алгоритмов, поскольку каждая из функций, включенных в эту библиотеку, оптимизирована для максимального быстродействия, эффективности и достоверности вычислений. Кроме того, библиотека обеспечивает разработчика многочисленным инструментарием для создания собственных решений и для реализаций сложных приложений обработки графики. А при анализе изображений использование мгновенного доступа к мощным средствам визуализации помогает моментально увидеть эффекты увеличения, восстановления и фильтрации.
Среди других библиотек системы MatLab можно также отметить System Identification Toolbox – набор инструментов для создания математических моделей динамических систем, основанных на наблюдаемых входных/выходных данных. Особенностью этого инструментария является наличие гибкого пользовательского интерфейса, позволяющего организовать данные и модели. Библиотека System Identification Toolbox поддерживает как параметрические, так и непараметрические методы. Интерфейс системы облегчает предварительную обработку данных, работу с итеративным процессом создания моделей для получения оценок и выделения наиболее значимых данных. Быстрое выполнение с минимальными усилиями таких операций, как открытие/сохранение данных, выделение области возможных значений данных, удаление погрешностей, предотвращение ухода данных от характерного для них уровня.
Наборы данных и идентифицируемые модели организуются графически, что позволяет легко вызвать результаты предыдущих анализов в течение процесса идентификации системы и выбрать следующие возможные шаги процесса. Основной пользовательский интерфейс организует данные для показа уже полученного результата. Это облегчает быстрое сравнение по оценкам моделей, позволяет выделять графическими средствами наиболее значимые модели и исследовать их показатели.
А что касается математических вычислений, то MatLab предоставляет доступ к огромному количеству подпрограмм, содержащихся в библиотеке NAG Foundation Library компании Numerical Algorithms Group Ltd (инструментарий имеет сотни функций из различных областей математики, и многие из этих программ были разработаны широко известными в мире специалистами). Это уникальная коллекция реализаций современных численных методов компьютерной математики, созданных за последние три десятка лет. Таким образом, MatLab вобрала и опыт, и правила, и методы математических вычислений, накопленные за тысячи лет развития математики. Одну только прилагаемую к системе обширную документацию вполне можно рассматривать как фундаментальный многотомный электронный справочник по математическому обеспечению.
Из недостатков системы MatLab можно отметить невысокую интегрированность среды (очень много окон, с которыми лучше работать на двух мониторах), не очень внятную справочную систему (а между тем объем фирменной документации достигает почти 5 тыс. страниц, что делает ее трудно обозримой) и специфический редактор кода MatLab-программ. Сегодня система MatLab широко используется в технике, науке и образовании, но все-таки она больше подходит для анализа данных и организации вычислений, нежели для чисто математических выкладок.
Для проведения аналитических преобразований в MatLab используется ядро символьных преобразований Maple, а из Maple для численных расчетов можно обращаться к MatLab. Ведь недаром символьная математика Maple вошла составной частью в целый ряд современных пакетов, а численный анализ от MatLab и наборы инструментов (Toolboxes) уникальны. Математические пакеты Maple и MatLab - это интеллектуальные лидеры в своих классах, это образцы, определяющие развитие компьютерной математики.
В качестве более простых, но идеологически близких альтернатив программе MatLab можно отметить такие пакеты, как Octave ,KOctave иGenius .
Octave - это программа числовых вычислений, хорошо совместимая с MatLab. Интерфейс системы Octave, конечно, беднее, и у нее нет таких уникальных библиотек, как у MatLab, зато это очень простая в освоении программа, нетребовательная к системным ресурсам. Распространяется Octave на условиях открытой лицензии с исходным кодом (OpenSource) и может стать хорошим подспорьем для учебных заведений.
Программа KOctave по сути представляет собой более продвинутый графический интерфейс для системы Octave. В результате использования KOctave система Octave становится полностью похожей на MatLab.
Простенькая математическая программа Genius , естественно, не может поспорить по мощности с именитыми конкурентами, но идеология математических преобразований у нее сходна с MatLab и Maple. Распространяется Genius тоже на условиях открытой лицензии с исходным кодом (OpenSource). Она имеет собственный язык GEL, развитый инструментарий Genius Math Tool и хорошую систему подготовки документов для публикации (с использованием таких языков оформления, как LaTeX, Troff (eqn) и MathML). Очень хороший графический интерфейс программы Genius сделает работу с ней простой и удобной.
СКМ MathCad в отличие от мощного и ориентированного на высокоэффективные вычисления при анализе данных пакетаMatLab , программаMathCad (текущая версия 14-15) - это, скорее, простой, но продвинутый редактор математических текстов с широкими возможностями символьных вычислений и прекрасным интерфейсом.MathCad не имеет языка программирования как такового, а движок символьных вычислений заимствован из пакетаMaple . Зато интерфейс программыMathCad очень простой, а возможности визуализации богатые. Все вычисления здесь осуществляются на уровне визуальной записи выражений в общепринятой математической форме. Пакет имеет хорошие подсказки, подробную документацию, функцию обучения использованию, целый ряд дополнительных модулей и приличную техническую поддержку. Пока математические возможностиMathCad в области компьютерной алгебры намного уступают системамMaple ,Mathematica , MatLab и даже малютке Derive. Однако по программеMathCad выпущено много книг и обучающих курсов, в том числе у нас в России. Сегодня эта система стала буквально международным стандартом для студентов.
Для небольшого объема вычислений пакет MathCad просто идеален. Здесь все можно проделать очень быстро и эффективно, а затем оформить работу в привычном виде (MathCad предоставляет широкие возможности для оформления результатов, вплоть до публикации в Интернете). Пакет имеет удобные возможности импорта/экспорта данных. Например, можно работать с электронными таблицами Microsoft Excel прямо внутриMathCad -документа.
В общем, MathCad – это очень простая и удобная программа, которую можно рекомендовать широкому кругу пользователей, в том числе не очень сведущих в математике, а особенно тем, кто только постигает ее азы.
MathCad – это СКМ, очень похожая на пакет Mathematica.Программа MathCad ориентирована на поддержку концепций рабочего листа. Уравнения и выражения выражаются на рабочем листе так, как они выглядели бы на какой-нибуть презентации, а не так, как выглядят на языке программирования. Некоторые задачи, которые выполняет программа,решениедифференциальных уравнений, построение графиков на плоскости и в пространстве, символьноеисчисление, операции с векторами и матрицами, символьное решение систем уравнений, подбор графиков, набор статистических функций и вероятностных распределений.
ПрограммаMaxima является потомком DOE Macsyma, которая начала свое существование в конце 1960 годав MIT (англ. Massachusetts Institute of Technology _Массачусетсский технологический институт).Maxima первая создала систему компьютерной алгебры, она проложила путь для таких программ,какMaple иMathematica. Главный вариантMaxim a разрабатывался Вильямом Шелтером с 1982 по2001 год. В 1998 году он получил разрешение на реализацию открытого кода на GPL. Благодаря егоумению Maxima сумела выжить и сохранить свой оригинальный код в рабочем состоянии. ВскореВильям передал Maxima группе пользователей и разработчиков, которые обеспечили ее поддержкуи развитие. На сегодняшний день пакет достаточно активно развивается и во многих отношенияхне уступает таким развитым системам компьютерной математики, как Maple или Matematica.
Свободно распространяемые программы для решения математических задач можно разделить на 4 группы: программы численных расчетов, программы аналитических вычислений, программы построения графиков, программы верстки математических текстов.
К программам численного моделирования и инженерных расчетов относится программа Scilab , развиваемая под лицензией CeCILL. Приложение является кроссплатформенным и может быть установлено в Linux, Windows, Mac OS. Все данные имеют матричное представление, при этом собственный язык программирования и синтаксисScilab полностью аналогичен коммерческому пакетуMatlab , что позволяет обучать студентов без затрат на покупку дорогостоящих программ. В дальнейшем, специалист может быстро и в полной мере освоить коммерческий продуктMatla b, если этого потребуют обстоятельства.
Основные области применения Scilab находит в задачах линейной алгебры, статистического анализа, математического моделирования, а так же в инженерных расчетах с помощью библиотек расширения toolboxes.Toolboxes реализуют специальные математические функции, быстрые алгоритмы линейной.
Математический пакет GNU Octave выпускается под лицензией GNU GPL. Приложение может работать с различными операционными системами. Переменные и данные представляются в виде матриц. Синтаксис языка программирования и формат команд аналогичен Scilab, Matlab . Помимо встроенных математических функций существует мощный инструментарий для создания пользовательских функций. УGNU Octav e существуют различные графические интерфейсы. Как иScilab данный пакет может быть заменой коммерческого пакетаMatlab в обучении.
Свободно распространяемым пакетом аналитических вычислений является пакет maxima . Программа ориентирована на проведение вычислений и преобразования символьных и численных выражений, начиная от упрощения алгебраических выражений до дифференцирования, интегрирования, разложения в ряд, преобразования Лапласа, решения дифференциальных уравнений, задач тензорной и линейной алгебры. Разработка данного пакета, как одного из направлений системы Macsyma, велась Уильмом Шелтером с 1982 года. После его смерти в 2001 году проект продолжил свое развитие. В настоящее время выполняется перевод документации maxima на русский язык. Программа работает в режиме командной строки, однако, существуют несколько графических оболочек: TeXmacs,wxMaxima, imaxima . Данный пакет по свой функциональности может использовать с замен коммерческих пакетовMaple, Mathematica .
Использование офисных пакет для построения научных и математических графиков наталкивается на значительную ограниченность возможностей точной настройки и визуализации функций, экспериментальных данных. Одним из пакет построения высококачественных графиков является пакет gnuplot, который интегрирован в большинство математических пакет как подсистема визуализации. Gnuplot - мобильный, графический пакет, запускаемый из командной строки, в различных операционных системах Linux, OS/2, MS Windows, и многих других. Исходные коды программы защищены авторскими правами, однако, распространяются бесплатно. Gnuplot разрабатывается специально для студенческих и научных задач с 1986 года. Пакет поддерживает разнообразные 2d, 3d графики в виде линий, точек, линий уровней, векторных полей, поверхностей и пользовательского текста на графиках. К отличительной особенности gnuplot можно отнести разнообразные возможности вывода готовых изображений: интерактивный экранный терминал, прямой вывод на графический плоттер или принтера, а так же в графические файлы eps, fig, jpeg, LaTeX, metafont, pbm, pdf, png, postscript, svg. Поэтому, gnuplot должен являться частью набора программ для построения графиков в студенческих и исследовательских работах.
Наиболее широкораспространённой системой верстки математических и технических текстов является издательская система LaTeX , созданная как пакет макрорасширений издательской системыTeX , автором которой является Дональд Кнут. В отличии от систем верстки текстов, где пользователь сразу видит расположение объектов и текста на макете страницы, в LaTeX автор не задумывается об оформлении текста. За дизайн страницы, размер шрифтов, отступов и т.п. отвечает стилевой файл, который и оформляет текст документа. Де факто, данная система верстки является стандартным форматом написания научных статей во всем мире. Помимо, предустановленных макрорасширений пользователь имеет возможность создавать свои макрокоманды для автоматизации набора текста. Унификация стандарта верстки сложных математических и научных статей позволяет автоматически создавать как статьи, так и презентационные слайды на основе одного и того текста, простой заменой стиля оформления документа. В обучении студентов математических специальностейLaTeX необходимо использовать для курсового и дипломного проектирования.
Обобщая вышесказанное, следует отметь, что использование математических программ открывают поистине безграничные возможности! Это связано с тем, что, CAE-системы охватывают практически все области математики и инженерных расчетов.
Когда-то системы символьной математики были ориентированы исключительно на узкий круг профессионалов и работали на больших компьютерах (мэйнфреймах). Но с появлением ПК эти системы были переработаны под них и доведены до уровня массовых серийных программных систем. В настоящее время на рынке сосуществуют системы символьной математики самого разного калибра: от системы, рассчитанной на широкий круг потребителей (системы MathCad), до компьютерных монстров (Mathematica, MatLab и Maple.
Практически все эти системы работают не только на персональных компьютерах, оснащенных популярными операционными системами Windows, но и под управлением операционных системы Linux, UNIX, Mac OS, а также на КПК. Они давно знакомы пользователям и широко распространены на всех платформах - от наладонника до суперкомпьютера.
С точки зрения распространения и использования программного обеспечения, программное обеспечение делят на закрытое/несвободное, открытое и свободное:
Закрытое/несвободное ПО – это ПО, на которое пользователь получает ограниченные права на использование, даже приобретая его. Пользователь не имеет права передавать его другим лицам, то есть, обязан использовать это ПО в рамках лицензионного соглашения. Лицензионное соглашение, как правило, регламентирует цели применения, например, только для обучения, и место применения, например, для домашнего компьютера. Несвободное программное обеспечения, в зависимости от приобретенной лицензии может иметь различный функционал, который, как правило, тем шире, чем дороже приобретенная лицензия. Распространять, просматривать исходный код и улучшать такие программы невозможно, что закреплено лицензионным соглашением. Нарушение лицензионного соглашения является нарушением авторских прав и может повлечь за собой применение мер юридической ответственности. За нарушение авторских прав на программные продукты российским законодательством предусмотрена гражданско-правовая, административная и уголовная ответственность. Предприятиям, нарушающим лицензионные соглашения, может быть предъявлен иск со стороны правообладателя, а ответственные сотрудники в организации могут быть привлечены к административной или уголовной ответственности.
Открытое программное обеспечение – имеет открытый исходный код, который позволяет любому человеку судить о методах, алгоритмах, интерфейсах и надежности программного продукта. Открытость кода не подразумевает бесплатное распространение программы. Лицензия оговаривает условия, на которых пользователь может изменять код программы с целью ее улучшения или использовать фрагменты кода программы в собственных разработках. Ответственность за нарушение условий лицензионного соглашения для открытого ПО аналогична закрытому/несвободному.
Свободное программное обеспечение – предоставляет пользователю права, или, если точнее, свободы на неограниченную установку и запуск, свободное использование и изучение кода программы, его распространение и изменение. Свободные программы так же защищены юридически, на них распространяются законы регламентирующие реализацию авторских прав.
Впервые явно принципы свободного ПО были сформулированы в 70-х годах прошлого века Ричардом Мэттью Столлманом. В соответствие этим причинам, авторы свободных программ передают любому пользователю следующие права и свободы:
«Нулевая свобода ». Программу можно свободно использовать с любой целью
«Первая свобода ». Можно изучать, как программа работает, и адаптировать её для своих целей. Условием этого является доступность исходного кода программы.
«Вторая свобода ». Можно свободно распространять копии программы.
«Третья свобода ». Программу можно свободно улучшать и публиковать свою улучшенную версию - с тем, чтобы принести пользу всему сообществу. Условием этой третьей свободы является доступность исходного текста программы и возможность внесения в них модификаций и исправлений.
Перечисленные принципы легли в основу первой лицензии свободного программного обеспечения GNU General Public License (GPL), созданной Фондом Свободного Программного Обеспечения (англ. Free Software Foundation, сокращённо FSF), который и был основан Столлманом. Одной из задач этого фонда является контроль за соблюдением условий лицензий, а так же отстаивание прав разработчиков и пользователей программного обеспечения разработанного под GPL.
Со временем, возникали и другие версии лицензии свободного ПО, но до сих пор сохраняется понятие «GPL совместимая лицензия», указывающее на близость этой лицензии принципам впервые юридически закрепленным в GPL.
На сегодняшний день, последней версией GPL является версия 3. После ее появления некоторые разработчики предпочли сохранить условия использования своих программ в рамках версии GPL 2.1, другие приняли новую, более строгую лицензию.
ПО с открытыми исходными кодами (Free Software/Open Source) - это ПО, которое дает вам права на свободу использования, копирования, распространения, обучения, улучшения и изменения программного обеспечения.
Эти "свободолюбивые правила", в течении последних лет дали большой толчок для создания сообществ разработчиков. GNU/Linux является одним из самых успешных примеров разработки, среди проектов сообществ Free Software/Open Source.
Свободное ПО ( FreeSostware ) программы для ПК, которые распространяются на условиях, предоставляющих пользователям четыре ключевые свободы (права):
Свободное использование программного обеспечения в любых целях.
Свободное изучение и адаптация ПО к нуждам пользователей при условии открытого доступа к исходному коду программы.
Свободное распространение программного обеспечения (за деньги или безвозмездно).
Свободное усовершенствование и публикация ПО, включая распространение усовершенствованных версий, при условии открытого доступа к исходному коду программы.
Каждый пользователь свободной программы, в отличие от несвободной (проприетарной ), является полноценным владельцем программы (обладает неисключительными авторскими имущественными правами на нее) и не зависит от воли разработчика программы или правообладателя.
Важнейшим следствием прав (2) и (4) является распространение свободной программы только при открытом доступе к её исходному коду.
Копилефт ( copyieft ) - система защиты прав пользователей свободных программ, разработанная в дополнение к действующему авторско-правовому законодательству( copyright ) . Основная идея копилефта заключается в обеспечении свободы программы, то есть однажды опубликованная на условиях копилефтной лицензии программа уже не может стать несвободной. При этом не все свободные программы являются копилефтными, многие распространенные свободные лицензии допускают превращение программы в проприетарную. Главным образом, это относится к лицензиям семействаBSD.
Почему существует так много свободных лицензий? Чем они друг от друга отличаются?
В первую очередь разнообразие свободных лицензий объясняется историческими причинами: ранние лицензии проще сформулированы, оговаривают меньше условий и не углубляются в юридические детали. По мере развития движения свободных программ, разработчики свободных программ столкнулись с новыми проблемами, например, с необходимостью решения проблемы патентов на ПО или согласования текстов лицензий с авторско-правовым законодательством различных государств. Попытки решения этих проблем приводят к появлению новых лицензий и усложнению их содержания.
Таким образом, в зависимости от конкретной юридической ситуации и намерений автора в разных случаях оптимальными могут быть разные лицензии.
Несмотря на то, что свободных лицензий насчитывается несколько десятков, их гораздо меньше, чем лицензий на несвободные программы. Каждый поставщик проприетарного ПО, как правило, имеет по одной или несколько различных лицензий для разных программ, в связи с чем, попытки систематизации и сопоставления условий лицензий на проприетарное ПО крайне затруднительны. В то же время в среде свободного ПО наиболее распространены пять-шесть лицензий, под которыми выходит большинство программ. К ним относятся:
Лицензия GNUGeneralPublicLicense - самая популярная на сегодняшний день свободная лицензия, текущая версия которой (3.0) опубликована Фондом свободного программного обеспечения 29 июня 2007 г. Текст лицензии отличает достаточно свободная форма изложения и в то же время юридическая точность.
GPL - одна из официальных лицензий проекта GNU, стоящего у истоков движения свободного ПО. На условиях GPL и ее специальной версии LGPL, допускающей в отдельных случаях сочетание с программами, распространяемыми на условиях иных лицензий, опубликованы такие принципиально важные разработки, как ядро операционной системыLinux , среда разработкиEmacs , набор компиляторовGCC и другие программы, которые входят в арсенал разработчиков ПО. Кроме того, GPL - первая лицензия, в которой оговорено условие копилефта (механизм сохранения свободы программы). Авторитет Фонда свободного программного обеспечения, последовательность позиций и продуманная юридическая техника принесли GPL заслуженную популярность среди разработчиков.
