Значение нормального напряжения в точке. Сопромат.in.ua: Напряжения. Основы теории напряженного состояния

Зная компоненты напряжений в любой точке пластинки в условиях плоского напряженного состояния или плоской деформации, можно найти из уравнений статики напряжения на любой наклонной по отношению к осям х и у плоскости (площадке), проходящей через эту точку перпендикулярно пластинке. Обозначим через Р некоторую точку в напряженной пластинке и допустим, что компоненты напряжения известны (рис. 12). На малом расстоянии от Р проведем плоскость параллельную оси так, чтобы эта плоскость вместе с координатными плоскостями вырезала из пластинки очень малую треугольную призму Поскольку напряжения изменяются по объему тела непрерывно, то при уменьшении размеров вырезанного элемента напряжение, действующее на площадке будет стремиться к напряжению на параллельной площадке, проходящей через точку Р.

При рассмотрении условий равновесия малой треугольной призмы объемными силами можно пренебречь как величинами высшего порядка малости. Подобным образом, если вырезанный элемент очень мал, можно пренебречь изменениями напряжений по граням и предположить, что напряжения распределены равномерно. Тогда силы, действующие на треугольную призму, можно определить путем умножения компонент напряжений на площади граней. Пусть - направление нормали к плоскости а косинусы углов между нормалью и осями х и у обозначаются следующим образом:

Тогда, если через А обозначить площадь грани элемента, то площади двух других граней будут .

Если обозначить через X и компоненты напряжений, действующих на грани то условия равновесия призматического элемента приводят к следующим соотношениям:

Таким образом, компоненты напряжений на любой площади, определяемой направляющими косинусами и можно легко найти из соотношений (12), если известны три компоненты напряжения в точке Р.

Обозначим через а угол между нормалью к площадке и осью х, так что тогда из соотношений (12) для нормальной и касательной компоненты напряжений на площадке получим формулы:

Очевидно, угол можно выбрать таким образом, чтобы касательное напряжение на площадке стало равным нулю. Для этого случая получаем

Из этого уравнения можно найти два взаимно перпендикулярных направления, для которых касательные напряжения на соответствующих площадках равны нулю. Эти направления называются главными, а соответствующие нормальные напряжения - главными нормальными напряжениями.

Если за главные направления принять направления осей х и у, то компонента равна нулю и формулы (13) принимают более простой вид

Изменение компонент напряжений а и в зависимости от угла а можно легко представить графически в виде диаграммы в координатах а и Каждой ориентации площадки соответствует точка на этой диаграмме, координаты которой представляют собой значения напряжений действующих на этой площадке. Такая диаграмма представлена на рис. 13. Для площадок, перпендикулярных к главным направлениям, мы получаем точки А и В с абсциссами соответственно. Теперь можно

доказать, что компоненты напряжения для любой площадки определяемой углом а (рис. 12), будут представляться координатами некоторой точки на окружности, для которой отрезок А В является диаметром. Чтобы найти эту точку, достаточно отмерить от точки А в том же направлении, в каком измеряется угол а на рис. 12, дугу, отвечающую углу . Для координат построенной таким образом точки D из рис. 13 получим

Сравнение с формулами (13) показывает, что координаты точки D дают численные значения компонент напряжения на площадке определяемой углом а. Чтобы привести в соответствие знак касательной компоненты, примем, что положительные значения откладываются вверх (рис. 13, а), и будем считать касательные напряжения положительными, когда они дают момент, действующий по направлению часовой стрелки, как это имеет место на гранях элемента (рис. 13, б). Касательные напряжения противоположного направления, например действующие на гранях элемента, считаются отрицательными.

Будем менять ориентацию площадки вращая ее вокруг оси, перпендикулярной плоскости (рис. 12) по направлению часовой стрелки так, что угол а будет изменяться от 0 до при этом точка D на рис. 13 будет перемещаться от А к В. Таким образом, нижняя половина круга определяет изменение напряжений для всех значений а в этих пределах. В свою очередь верхняя часть круга дает напряжения для интервала

Продолжая радиус до точки (рис. 13), т. е. беря угол равным вместо , получаем напряжения на площадке, перпендикулярной площадке (рис. 12). Отсюда видно, что касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках численно друг другу равны, как это и было доказано ранее. Что касается нормальных напряжений, то мы видим из

рисунка, что т. е. сумма нормальных напряжений, действующих на двух взаимно перпендикулярных площадках, при изменении угла а остается постоянной.

Максимальное касательное напряжение ттах дается на диаграмме (рис. 13) максимальной ординатой окружности, т. е. равно радиусу окружности. Отсюда

Оно действует на площадке, для которой т. е. на площадке, нормаль к которой делит пополам угол между двумя главными направлениями.

Соответствующая диаграмма может быть построена и для случая, когда одно или оба главных напряжения отрицательны, т. е. для случая сжатия. Нужно только величину сжимающего напряжения откладывать в сторону отрицательных абсцисс. На рис. 14, а изображена диаграмма для случая, когда оба главных напряжения отрицательны, на рис. 14, б построена диаграмма для случая чистого сдвига.

Из рис. 13 и 14 видно, что напряжение в любой точке можно разложить на две части. Одна из них представляет собой двухосное растяжение (или сжатие), две компоненты которого равны между собой и по величине определяются абсциссой центра круга Мора.

Другая часть представляет собой чистый сдвиг с касательным напряжением, величина которого дается радиусом круга. При наложении нескольких плоских напряженных состояний равномерные растяжения (или сжатия) можно складывать друг с другом алгебраически. При наложении состояний чистого сдвига нужно учитывать направления плоскостей, на которые действуют соответствующие касательные напряжения. Можно показать, что при наложении друг на друга двух напряженных состояний чистого сдвига, для которых плоскости максимального касательного напряжения находятся под углом друг к другу, получающаяся в результате система сведется к другому случаю чистого сдвига. Например, рис. 15 показывает как определять напряжение, производимое двумя состояниями чистого сдвига с величинами касательных напряжений и на площадке, положение которой определяется углом Первое из этих состояний относится к плоскостям (рис. 15, а), а второе - к плоскостям, наклоненным к плоскостям

Предполагалось: балка имеет прямоугольное поперечное сечение (рис. 7.11), поэтому

;;;

где y – расстояние от точки, в которой определяется касательное напряжение, до нейтральной оси x.

Подставляя эти формулы в формулу Журавского, для получим:

Касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения по закону квадратичной параболы (см. рис. 7.11).

При (для наиболее удаленных от нейтральной оси точек) .

Для точек, расположенных на нейтральной оси (при ), .

Эпюры касательных напряжений двутаврового сечения

Характерная особенность двутаврового сечения: резкое изменение ширины поперечного сечения (), где полка соединяется со стенкой.

Определим касательное напряжение в некоторой точке K (рис. 7.12), проведя через нее сечение, ширина которого равна толщине стенки: .

Рассмотрим верхнюю отсеченную часть поперечного сечения (заштрихована на рис. 7.12), статический момент инерции которой относительно x равен сумме статических моментов инерции полки и заштрихованной части стенки:

Эпюра касательных напряжений для двутаврового сечения представлена на рис. 7.12, б.

Касательные напряжения , возникающие в точках полки , по формуле Журавского вычислять нельзя , поскольку при ее выводе использовалось допущение о равномерности распределения касательных напряжений по ширине поперечного сечения, что справедливо только если ширина сечения невелика. Однако очевидно, что касательные напряжения малы и не оказывают практического влияния на прочность балки. Эпюра касательных напряжений для двутаврового сечения показана штриховой линией (см. рис. 7.12, б).

Формула касательного напряжения в точке L (где полка соединяется со стенкой):

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках, лежащих на нейтральной оси x.

Эпюры касательных напряжений круглого сечения

Для построения эпюры касательных напряжений круглого сечения выясним направление касательных напряжений при изгибе , возникающих в некоторой точке контура поперечного сечения стержня.

Рассмотрим произвольное поперечное сечение стержня (рис. 7.13, а).

Предположим: в некоторой точке контура К касательное напряжение при изгибе направлено произвольно по отношению к контуру. Разложим касательное напряжение на две составляющие и , направленные соответственно по нормали и касательной к контуру. Если касательное напряжение существует, то по закону парности касательных напряжений на поверхности стержня должно существовать равное ему по значению касательное напряжение при изгибе . Поскольку поверхность стержня свободна от внешних сил, параллельных оси балки z, касательное напряжение на поверхности стержня и, следовательно, .

Таким образом, в точке контура поперечного сечения, поверхность которого не нагружена продольными , касательное напряжение при изгибе направлено по касательной к контуру.

Покажем, что в вершине угла поперечного сечения стержня касательное напряжение равно нулю (рис. 7.13, б).

Предположим, что в вершине угла (в точке M) возникает касательное напряжение . Разложим его на составляющие касательные напряжения и . По

Подставим выражения закона Гука в уравнение совместности деформаций:

Решая данное уравнение совместно с уравнениями равновесия, найдем неизвестные внутренние усилия в стержнях.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Напряжения в точке. Главные напряжения и главные площадки.

Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении. Внешние сипы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие при этом напряжения препятствуют их смещению. Расположенная в данной точке частица по-разному взаимодействует с каждой из соседних частиц. Поэтому в общем случае в одной и той же точке напряжения различны по различным направлениям.

В сложных случаях действия сил на брус (в отличие от растяжения или сжатия) вопрос об определении наибольших напряжений, а также положения площадок, на которых они дей­ствуют, усложняется. Для решения этого вопроса приходится специально исследовать за­коны изменения напряжений при изменении положения площадок, проходящих через данную точку. Возникает проблема исследования напряженного состояния в точке деформируемого тела.

Напряженное состояние в точке - совокупность напряжений (нормальных и касательных), действующих по всевозможным площадкам (сечениям), проведенным через эту точку.

Изучение напряженного состояния дает возможность анализировать прочность материала для любого случая нагружения тела.

Исследуя напряженное состояние в данной точке деформируемого тела, в ее окрестно­сти выделяют бесконечно малый (элемен­тарный) параллелепипед, ребра которого направлены вдоль соответствующих координатных осей. При действии на тело внешних сил на каждой из граней элемен­тарного параллелепипеда возникают на­пряжения, которые представляют нормаль­ными и касательными напряжениями проекциями полных напряжений на коор­динатные оси (рис. 5.1).

Нормальные напряжения обозначают буквой σ с индексом, соответствующим нормали к площадке, на которой они действуют. Касательные напряже­ния обозначают буквой τ с двумя индексами: первый соответствует нормали к площадке, а второй - направлению самого напряжения (или наоборот).

Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки нагруженного тела, действует девять компонентов напря­жения. Их можно записать в виде следующей квадратной матрицы:

σ х τ ху τ х z

Т σ = τ у x σ у τ у z

τ zx τ z у σ z

Эта совокупность напряжений называется тензором напряжений .

Тензор напряжений полностью описывает напряженное состояние в точке, то есть если известен тензор напряжений в данной точке, то можно найти напряжения на любой из площадок, проходящих через данную точку (заметим, что тензор представляет собой особый математический объект, компоненты которого при повороте координатных осей подчиняются специфическим правилам тензорного преобразования, при этом тензорное исчисление составляет отдельный раздел высшей математики и здесь не рассматривается).

Используем принятое правило знаков для напряжений в общем виде. Нормальное напряжение σ считается положительным, если совпадает по направлению с внешней нормалью к площадке, касательные напряжения τ считаются положительными, если вектор касательных напряжений следует поворачивать против хода часовой стрелки до совпадения с внешней нормалью (рис. 5.2). Отрицательными считаются напряжения обратных направлений.

Не все девять компонентов напряжений, действующих на гранях параллеле­пипеда, независимые (несвязанные друг с другом). В этом легко убедится, составив уравнения равновесия элемента в отношении его вращений относи­тельно координатных осей. Записав уравнения моментов от сил, действую­щих по граням параллелепипеда, и пренебрегая их изменением при переходе от одной грани к другой ей параллельной, получим, что

τ ху = τ ух, τ х z = τ z х, τ yz = τ zy (5.1)

Данные равенства называют законом парности касательных на­пряжений.

Закон парности касательных напряжений: по двум взаимно перпендикуляр­ным площадкам касательные напряжения, перпендикулярные линии пересе­чения этих площадок, равны между собой.

Закон парности касательных напряжений устанавливает зависимость между величинами и направлениями пар касательных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам элементарного параллелепипеда.

В окрестности исследуемой точки можно выделить бесконечное множество взаимно перпендикулярных площадок. В том числе можно найти и такие площадки, на которых действуют только нормальные напряжения, а каса­тельные напряжения равны нулю. Такие площадки называют главными (более точно – площадки главных напряжений ).

Рассмотрим две взаимно перпендикулярные площадки с касательными напряжениями τ ху и τ ух. Согласно закону парности касательных напряжений эти напряжения равны. Поэтому, если площадку с напряжением τ ху поворачивать до совпадения с площадкой с напряжением τ ух, то обязательно найдется такое положение площадки, когда касательное напряжение τ = 0.

Главные площадки - три взаимно перпендикулярные площадки в окрестно­сти исследуемой точки, на которых касательные напряжения равны нулю.

Главные напряжения - нормальные напряжения, действующие по главным площадкам (то есть площадкам, на которых отсутствуют касательные напряжения).

Главные напряжения обозначаются σ 1 , σ 2 , σ 3 , причем σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 .

На главных площадках нормальные напряжения (главные напряжения) принимают свои экстремальные значения – максимум σ 1 , минимум σ 3 .

Тензор напряжений, записанный через главные напряжения, принимает наиболее простой вид:

Т σ = 0 σ 2 0

В зависимости от того, сколько главных напряжений действует в окрестности данной точки, различают три вида напряженного состояния:

1) линейное (одноосное) - если одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю (σ 1 ≠0, σ 2 = 0, σ 3 = 0);

2) плоское (двухосное) - если два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю (σ 1 ≠0, σ 2 ≠ 0, σ 3 = 0);

3) объемное (трехосное) - если все три главных напряжения отличны от нуля (σ 1 ≠0, σ 2 ≠ 0, σ 3 ≠ 0).

Линейное напряженное состояние

Линейным или одноосным называется напряженное состояние, при котором два из трех главных напряжений равны нулю (рис. 5.3, а).

Элементы, находящиеся в линейном напряженном состоянии, можно выделить в окрест­ности некоторых точек стержня, работающего на изгиб, иногда - при сложном нагружении, но главным образом на растяжение или сжатие.

Рассмотрим стержень, испытывающий простое растяжение (рис.5.4). Нормальные напряжения в его по­перечных сечениях определяются следующим образом:

Касательные напряжения здесь равны нулю. Следовательно, эти сечения являются главными площадками (σ 1 = σ 0).

Перейдем теперь к определению напряжений на неглавных, наклонных площадках. Выделим площадку, нормаль к которой составляет с осью стержня угол α (рис. 5.5). Проведенную таким образом наклонную площадку будем обозначать α -площадкой, а действующие на ней полные, нор­мальные и касательные напряжения - р α , σ α, τ α соответственно. При этом площадь α -площадки (А α)связана с площадью поперечного сечения стержня (А 0 )следующим образом: А α = А 0 /cos α .

Для определения напряжений воспользуемся методом мысленных сечений. Считая, что наклонная площадка рассекла стержень на две части, отбросим одну из них (верхнюю) и рассмотрим равновесие оставшейся (нижней). Осевая сила (N ) в сечении представляет собой равнодействующую полных на­пряжений р α . Следовательно,

N = р α · А α .

р α = = cos α = σ 0 cos α.

Нормальные и касательные напряжения определим, проецируя полное на­пряжение на нормаль и плоскость α -площадки соответственно:

σ α = р α · cos α;

τ α = р α · sin α,

или, учитывая, что р 0 = σ 0 cos α;

σ α = σ 0 cos 2 α;

τ α = 0,5σ 0 sin 2α .

Из анализа формул видно, что:

1) На площадках, перпендикулярных оси, касательные напряжения равны нулю (такие площадки называются главными , а действующие на них нормальные напряжения – главными нормальными напряжениями ), т.е. при α = 0 в поперечных сечениях стержня τ α = 0, σ α = σ 0 (σ 1 = σ 0 , σ 2 = 0, σ 3 = 0);

2) На площадках, параллельных оси, никаких напряжений нет, поэтому это также главная площадка, т.е. при α = π / 2 в поперечных сечениях стержня τ α = 0, σ α = 0;

3) Наибольшие нормальные напряжения действуют в поперечных сечениях, а наибольшие касательные – на площадках, наклоненных к ним под углом 45°, т.е. при α = ± π / 4 в поперечных сечениях стержня возникают максимальные касательные напряжения τ α = τ max = σ 0 / 2 (нормальные напряжения σ α = σ 0 / 2).

Напряжения на наклонных площадках при плоском напряженном состоянии

Плоским или двухосным называется напряженное состояние, при котором одно из трех главных напряжений равно нулю (рис. 5.3, б).

Плоское (двухосное) напряженное состояние встречается при кручении, изгибе и сложном сопротивлении и является одним из наиболее распространенных видов напряженного со­стояния.

Определим напряжения на наклонных пло­щадках при плоском напряженном состоя­нии. Рассмотрим элементарный параллеле­пипед, грани которого являются главными площадками (рис. 5.6). По ним действуют положи­тельные напряжения σ 1 и σ 2 , а третье глав­ное напряжение σ 3 = 0.

Проведем сечение, нормаль к которому по­вернута на угол α от большего из двух глав­ных напряжений (σ 1) против часовой стрел­ки (положительное направление α ). Напря­жения σ α и τ α на этой площадке будут вызываться как действием σ 1 . так и действием σ 2 .

Запишем правила знаков . Будем считать положительными следующие направления напряжений и углов: нормальные напряжения σ - растягивающие: касательные напряжения τ - вращающие элемент по часовой стрелке: угол α - против часовой стрелки от наибольшего из главных напряжений (α < 45°).

Плоское напряженное состояние может быть представле­но как наложение (суперпозиция) двух взаимноперпендикулярных (ортогональных) одноосных напряженных состояний (рис. 5.7). При этом:

σ α = σ α ΄ + σ α ΄΄,

τ α = τ α ΄ + τ α ΄΄,

где σ α ΄, τ α ΄-напряжения, вызванные действием σ 1 ;

σ α ΄΄, τ α ΄΄ - напряжения, вызванные действием σ 2 .

Напряжения при одноосном напряженном состоянии (от действия Ci) связаны между собой как

σ α ΄ = σ 1 cos 2 α;

τ α ΄ = 0,5 σ 1 sin 2α .

Напряжения σ α ΄΄, τ α ΄΄, вызванные действием σ 2 , можно найти аналогично, но при этом необходимо учесть, что вместо угла α в формулы необходимо под­ставить угол β = - (90°- α ) - угол между α -площадкой и напряжением σ 2 .Отсюда получим

σ α ΄΄ = σ 2 ∙ cos 2 [- (90°- α )] → σ α ΄΄ = σ 2 sin 2 α ;

τ α ΄΄ = 0,5 σ 2 sin 2[- (90°- α )] → τ α ΄΄ = - 0,5 σ 2 sin2 α ;

Окончательно можем записать

σ α = σ 1 cos 2 α + σ 2 sin 2 α = + cos2α ; (5.2)

τ α = 0,5 σ 1 sin 2α - 0,5 σ 2 sin2 α = sin2α . (5.3)

Задача 4.1.1: Совокупность напряжений, возникающих на множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называют …

2) полным напряжением;

3) нормальным напряжением;

4) касательным напряжением.

Решение:

1) Ответ верный. Напряженное состояние в точке полностью определяется шестью компонентами тензора напряжений: σ x , σ y , σ z , τ xy , τ yz , τ zx . Зная эти компоненты, можно определить напряжения на любой площадке, проходящей через данную точку. Совокупность напряжений, действующих по множеству площадок (сечений), проходящих через данную точку, называется напряженным состоянием в точке.

2) Ответ неверный! Незнание определения полного напряжения в точке (сила, приходящаяся на единицу площади сечения).

3) Ответ неверный! Напомним, что проекция вектора полного напряжения на нормаль к сечению называется нормальным напряжением.

4) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении термина «касательное напряжение».
Проекция вектора полного напряжения на ось, лежащую в плоскости сечения, называется касательным напряжением.

Задача 4.1.2: Площадки в исследуемой точке напряженного тела, на которых касательные напряжения равны нулю, называют …

1) ориентированными; 2) главными площадками;

Решение:

1) Ответ неверный! Термин не соответствует заданному условию. Под ориентированными понимаются площадки, которые проходят через точку по заранее заданному направлению.

2) Ответ верный.

При повороте элементарного объема 1 можно отыскать такую его пространственную ориентацию 2, при которой касательные напряжения на его гранях исчезнут и останутся только нормальные напряжения (некоторые из них могут быть равными нулю). Площадки (грани), на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками.

3) Ответ неверный! Термин не соответствует заданному условию. Октаэдрическими называют площадки равнонаклоненные к главным. Касательные напряжения на октаэдрических площадках не равны нулю.

4) Ответ неверный! Напоминаем, что под секущими понимают площадки проведенные через точку, в которой исследуется напряженное состояние.

Задача 4.1.3: Главные напряжения для напряженного состояния, показанного на рисунке, равны… (Значения напряжений указаны в МПа ).

1)σ 1 =150 МПа, σ 2 =50 МПа; 2) σ 1 =0 МПа, σ 2 =50 МПа, σ 3 =150 МПа;

3) σ 1 =150 МПа, σ 2 =50 МПа, σ 3 =0 МПа;

4) σ 1 =100 МПа, σ 2 =100 МПа, σ 3 =0 МПа;

Решение:

1) Ответ неверный! Не указано значение главного напряжения σ 3 =0 МПа.

2) Ответ неверный! Обозначения главных напряжений не соответствуют правилу нумерации.

3) Ответ верный. Одна грань элемента свободна от касательных напряжений. Поэтому это главная площадка, а нормальное напряжение (главное напряжение) на этой площадке также равно нулю.
Для определения двух других значений главных напряжений воспользуемся формулой
,
где положительные направления напряжений показаны на рисунке.

Для приведенного примера имеем , , . После преобразований найдем
В соответствии с правилом нумерации главных напряжений имеем , , , т.е. плоское напряженное состояние.

4) Ответ неверный! Это не главные напряжения, а заданные значения нормальных напряжений, действующие на выделенный элемент.

Задача 4.1.4: В исследуемой точке напряженного тела на трех главных площадках определены значения нормальных напряжений: Главные напряжения в этом случае равны...

1)σ 1 =150 МПа, σ 2 =50 МПа, σ 3 =-100 МПа;

2) σ 1 =150 МПа, σ 2 =-100 МПа, σ 3 =50 МПа;

3) σ 1 =50 МПа, σ 2 =-100 МПа, σ 3 =150 МПа;

4) σ 1 =-100 МПа, σ 2 =50 МПа, σ 3 =150 МПа;

Решение:

1) Ответ верный. Главным напряжениям присваивают индексы 1, 2, 3 так, чтобы выполнялось условие . Следовательно,

2), 3), 4) Ответ неверный! Главным напряжениям присваивают индексы 1, 2, 3 так, чтобы выполнялось условие (в алгебраическом смысле).

Задача 4.1.5: На гранях элементарного объема (см. рисунок) определены значения напряжений в МПа . Угол между положительным направлением оси x и внешней нормалью к главной площадке, на которой действует минимальное главное напряжение, равен …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1), 2), 4) Ответ неверный! По всей видимости, неправильно записана формула для определения угла. Правильная запись:

3) Ответ верный.

Угол определяется по формуле
Подставляя числовые значения напряжений, получаем Поскольку угол отрицательный, откладываем угол по часовой стрелке.

Задача 4.1.6: Значения главных напряжений определяют из решения кубического уравнения Коэффициенты , , называют…

1) инвариантами напряженного состояния; 2) упругими постоянными;

4) коэффициентами пропорциональности.

Решение:

1) Ответ верный. Корни уравнения – главные напряжения − определяются характером напряженного состояния в точке и не зависят от выбора исходной системы координат. Следовательно, при повороте системы осей координат коэффициенты



должны оставаться неизменными. Они называются инвариантами напряженного состояния.

2) Ответ неверный! Ошибка в определении термина. Упругие постоянные характеризуют свойства материала.

3) Ответ неверный! Напомним, что направляющие косинусы – это косинусы углов, которые образует нормаль с осями координат.

4) Ответ неверный! Термин не соответствует условию вопроса

Через любую точку напряженного тела можно провести, как правило, _____________ взаимно перпендикулярные площадки (-ок), на которых касательные напряжения будут равны нулю.

			три
			две
			четыре
			шесть

Решение:

На рисунке показано тело, нагруженное внешними силами, и элементарный объем с напряжениями на его гранях. При мысленном повороте элементарного объема можно отыскать такую его пространственную ориентацию, при которой касательные напряжения на гранях будут равны нулю. Эти грани и будут главными площадками.

Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения
Главными осями напряженного состояния называются …

Решение:

На рисунке показан элементарный объем, выделенный в окрестности произвольной точки нагруженного тела. Если при данной ориентации элементарного объема касательные напряжения на его гранях равны нулю, то оси x , y , z называются главными осями напряженного состояния. При переходе от одной точки к другой направления главных осей в общем случае изменяются.

Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения
Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются …

Решение:
Три взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными площадками. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями. Максимальное из трех главных напряжений является одновременно наибольшим полным напряжением, действующим по множеству площадок, проходящих через данную точку. Минимальное из трех главных напряжений является наименьшим из множества полных напряжений.

Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения

Напряженное состояние элементарного объема, показанное на рисунке, − плоское. Верхняя грань элементарного объема является главной площадкой. Положение двух других главных площадок определяется углом

Решение:

На рисунке показан элементарный объем (вид сверху). Направление нормали к главной площадке определим по формуле где − угол между положительным направлением оси x и нормалью к одной из главных площадок. Для нашего случая Подставляя эти значения в формулу, получаем откуда а

Тема: Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения

На рисунке показан стержень, растянутый силами F , и элементарный объем выделенный гранями, параллельными плоскостям стержня. При повороте элементарного объема вокруг оси «u » на угол, равный 45 0 , напряженное состояние …

Решение:
На рисунке элементарный объем выделен главными площадками. Главные напряжения: Напряженное состояние – линейное. Вид напряженного состояния не зависит от пространственной ориентации элементарного объема и при любом угле поворота остается линейным.

4.2. Виды напряженного состояния

Задача 4.2.1: Стержень круглого сечения диаметром d испытывает деформации чистый изгиб и кручение. Напряженное состояние в точке В показано на рисунке…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! Крутящий момент вызывает появление касательных напряжений в плоскости перпендикулярной оси стержня.

2) Ответ неверный! Направление касательного напряжения в точке В поперечного сечения должно соответствовать направлению крутящего момента в данном сечении.

3) Ответ верный. Секущими плоскостями, ориентированными вдоль и поперек оси стержня, выделим объемный элемент. В сечении стержня у заделки действуют изгибающий момент М и крутящий момент 2М . От изгибающего момента М в точке В возникает нормальное растягивающее напряжение . Крутящий момент 2М , действующий в плоскости, перпендикулярной оси стержня, вызывает касательное напряжение . Направление касательного напряжения должно быть согласовано с направлением крутящего момента. Поэтому напряженное состояние элемента на рисунке 4 соответствует напряженному состоянию в точке В .

4) Ответ неверный! От крутящего момента в точке В поперечного сечения возникает касательное напряжение . Направление касательного напряжения должно быть согласовано с направлением крутящего момента.

Задача 4.2.2: Стержень испытывает деформации растяжение и чистый изгиб. Напряженное состояние, которое возникает в опасной точке, называется…

1) плоским; 2) объемным; 3) линейным; 4) чистым сдвигом.

Решение:

1) Ответ неверный! При плоском напряженном состоянии одно значение главного напряжения равно нулю.

2) Ответ неверный! В опасной точке отлично от нуля только одно главное напряжение. При объемном напряженном состоянии отличны от нуля три главных напряжения.

3) Ответ верный. Опасные точки расположены бесконечно близко к верхней грани элемента. В них возникают только растягивающие нормальные напряжения от продольной силы и изгибающего момента. Эпюры распределения напряжений от каждого внутреннего силового фактора и результирующая эпюра показаны на рисунке.

Следовательно, в опасной точке будет линейное напряженное состояние.

4) Ответ неверный! При чистом сдвиге два главных напряжения равны, но противоположны по знаку, а третье равно нулю.

Задача 4.2.3: Напряженное состояние «чистый сдвиг» показано на рисунке…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1) Ответ неверный! На рисунке показано плоское напряженное состояние – двухосное растяжение.

2) Ответ неверный! Элемент находится в условиях плоского напряженного состояния – двухосного смешанного напряженного состояния.

3) Ответ верный.

Чистый сдвиг – напряженное состояние, когда на гранях выделенного элементарного объема действуют только касательные напряжения. Если элементарный объем повернуть на угол, равный , то касательные напряжения на его гранях (площадках) будут равны нулю, но появятся нормальные (главные) напряжения и . Таким образом, чистый сдвиг может быть реализован растяжением и сжатием в двух взаимно перпендикулярных направлениях напряжениями, равными по абсолютной величине.
Следовательно, напряженное состояние «чистый сдвиг» показано на рисунке 3.

4) Ответ неверный! Данный элемент испытывает линейное напряженное состояние.

Задача 4.2.4: Тип напряженного состояния, показанного на рисунке, называется…

1) линейным; 2) плоским; 3) объемным; 4) чистым сдвигом.

Решение:

1) Ответ верный. Тип напряженного состояния определяется в зависимости от значений главных напряжений. В примере одна грань свободна от касательных напряжений – это главная площадка. Нормальное напряжение, действующее на главной площадке, называют главным напряжением. В данном случае оно равно нулю. Используя формулу , найдем два других главных напряжения. После преобразований получим , . В соответствии с принятыми обозначениями имеем , . Два главных напряжения равны нулю. Следовательно, на рисунке показано линейное напряженное состояние.

2) Ответ неверный! При плоском напряженном состоянии одно главное напряжение равно нулю. В данном случае два главных напряжения равны нулю.

3) Ответ неверный! При объемном напряженном состоянии В данном случае два главных напряжения равны нулю. Поэтому данное напряженное состояние не является объемным.

4) Ответ неверный! При чистом сдвиге , . Расчеты показывают, что для данного случая это неверно.

Задача 4.2.5: Напряженное состояние при значениях , , называют…

1) объемным; 2) чистым сдвигом; 3) плоским; 4) линейным.

Решение:

1) Ответ неверный! При объемном напряженном состоянии отличны от нуля все три главных напряжения.

2) Ответ неверный! При чистом сдвиге одно значение главного напряжения равно нулю, а два других равны по величине, но противоположны по знаку.

3) Ответ верный. Тип напряженного состояния определяется значениями главных напряжений. В случае, когда все три главных напряжения отличны от нуля, имеем объемное напряженное состояние. Если одно главное напряжение равно нулю - плоское напряженное состояние, а когда два равны нулю – линейное. Следовательно, в данном примере будет плоское напряженное состояние.

4) Ответ неверный! При линейном напряженном состоянии только одно главное напряжение отлично от нуля.

Задача 4.2.6: На гранях элементарного объема (см. рисунок) действуют напряжения заданные в МПа . Напряженное состояние в точке …

1) линейное; 2) плоское (чистый сдвиг); 3) плоское; 4) объемное.

Решение:

1) Ответ неверный! Фронтальная грань элементарного объема свободна от касательных напряжений. Это означает, что данная грань является главной площадкой и одно из трех главных напряжений равно (-50МПа ). Два других главных напряжения определите по формуле

2) Ответ неверный! Напомним, что при чистом сдвиге одно из главных напряжений равно нулю. Два других равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

3) Ответ верный. Передняя грань элементарного объема свободна от касательных напряжений. Это означает, что она является главной площадкой и одно из трех главных напряжений равно (-50 МПа ). Два других главных напряжения определим по формуле

Поставляя числовые значения, получаем


Присваивая главным напряжениям индексы, имеем:

Таким образом, напряженное состояние плоское (двухосное сжатие).

4) Ответ неверный! Фронтальная грань элементарного объема свободна от касательных напряжений. Это означает, что данная грань является главной площадкой и одно из трех главных напряжений равно (-50 МПа ). Два других главных напряжения можно определить по формуле
Результаты расчетов покажут, какое напряженное состояние изображено на рисунке.

Напряженное состояние элементарного объема, показанное на рисунке, является – …

Решение:
Главные напряжения являются корнями кубического уравнения
где:



В нашем случае , и кубическое уравнение принимает вид откуда
Таким образом, напряженное состояние элементарного объема линейное (одноосное растяжение).

Тема: Виды напряженного состояния

Стальной кубик вставлен без зазора в жесткую обойму (см. рис.). На верхнюю грань кубика действует равномерно распределенное давление интенсивности р . Поверхности кубика и обоймы абсолютно гладкие. Напряженное состояние кубика показано на рисунке …

			в
			г
			б
			а

Решение:

Силы трения между абсолютно гладкими поверхностями кубика и обоймы отсутствуют. Поэтому касательные напряжения на гранях кубика равны нулю, и все грани являются главными площадками. В процессе сжатия ребра кубика, направленные вдоль осей x и y , стремятся удлиниться. Удлинение вдоль оси y происходит свободно. Удлинение вдоль оси x невозможно (мешает жесткая обойма). В связи с невозможностью удлинения вдоль оси x , со стороны вертикальных плоскостей обоймы на кубик действуют усилия в виде равномерно распределенных по площади нагрузок с некоторой интенсивностью . Интенсивности р и следует рассматривать как главные напряжения. Таким образом, из трех главных напряжений одно (по фронтальной грани кубика). Поэтому напряженное состояние кубика плоское (рис. в ).

Тема: Виды напряженного состояния

На рисунке показан стержень, работающий на кручение с растяжением. Напряженное состояние в точке К является – …

Решение:

В точке К поперечного сечения действует нормальное напряжение от силы F . Эпюра касательных напряжений от крутящего момента показана на рисунке 1. В угловых точках Поэтому напряженное состояние в точке К − линейное (одноосное растяжение, рис. 2).

Тема: Виды напряженного состояния

Напряженное состояние элементарного объема является – …

Решение:

Верхняя грань элементарного объема является главной площадкой, поэтому одно главное напряжение равно Два других главных напряжения вычисляем по формуле
В данном случае (см. рис.) Подставляя в формулу, получаем
Присваивая главным напряжениям соответствующие индексы, получаем
Напряженное состояние − объемное.

Тема: Виды напряженного состояния

На тело действует равномерно распределенное по поверхности давление р (см. рис.). Напряженное состояние элементарного объема является – …

Решение:

Если на тело действует равномерно распределенное по поверхности давление р (см. рис.), то напряженное состояние в любой точке тела объемное (трехосное сжатие). При этом при любой пространственной ориентации элементарного объема.

Ранее мы для простоты и наглядности рассматривали обычную деревянную линейку в качестве балки, что позволило с известными допущениями вывести основные уравнения и формулы для расчета несущей способности балки. Благодаря этим уравнениям мы построили эпюры поперечных сил "Q" и эпюры изгибающих моментов "М".

Рисунок 149.2.1 . Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, действующих в поперечных сечениях балки при сосредоточенной нагрузке.

Что в итоге позволило достаточно просто и наглядно определить значение максимального изгибающего момента и соответственно значение максимальных нормальных растягивающих и сжимающих напряжений, возникающих в наиболее нагруженном поперечном сечении балки.

Дальше, зная расчетное сопротивление материала балки (значения расчетных сопротивлений проводятся в соответствующих СНиПах), можно достаточно легко определить момент сопротивления поперечного сечения, а затем и другие параметры балки, высоту и ширину, если балка прямоугольного сечения, диаметр, если балка круглого сечения, номер по сортаменту, если балка из металлического горячекатаного профиля.

Такой расчет на прочность является расчетом по первой группе предельных состояний и позволяет определить максимально допустимую нагрузку, которую может выдержать рассчитываемая конструкция. Превышение максимально допустимой нагрузки приведет к разрушению конструкции. Как именно будет разрушаться конструкция, нас в данном случае не интересует, так как данный сайт посвящен не вопросам теоретических и практических исследований предельных состояний материалов, а всего лишь некоторым методам расчетов наиболее распространенных строительных конструкций.

Как правило инженерные расчеты конструкций, которые будут использоваться сотнями тонн и десятками кубометров, выполняются так, чтобы получить максимально загруженную конструкцию. Поэтому такие расчеты достаточно сложные и разного рода коэффициентов, учитывающих срок службы конструкции, характер нагрузок, цикличность, динамичность нагрузок, неоднородность используемого материала и т.д. - десятки. Это логично так как при валовом производстве каждый процент в итоге дает ощутимую экономию. В частном строительстве, выполняемом один раз, прочность конструкции, пусть даже с двукратным запасом намного важнее возможной экономии материалов и потому расчеты для частного малоэтажного строительства можно максимально упростить, используя всего лишь один поправочный коэффициент γ = 1.6÷2, если на этот коэффициент будут умножаться значения напряжений, или γ = 0.5÷0.7, если на этот коэффициент будет умножаться значение расчетного сопротивления. Однако этим даже такие простые расчеты не ограничиваются.

Любая балка, имеющая длину значительно больше, чем высоту поперечного сечения, представляющая собой стержень, под действием нагрузок будет деформироваться. Результатами деформации являются смещение центральной оси балки по оси у относительно оси х , проще говоря прогиб, а также поворот поперечных сечений балки относительно плоскости поперечного сечения. И эти самые прогибы и углы поворота вне зависимости от того, какие опоры у балки и какие на нее действуют нагрузки, также можно определить. Для определения максимального угла поворота и максимального прогиба также строятся соответствующие эпюры, позволяющие определить, какое поперечное сечение сместится в результате прогиба больше всего и какое будет наклонено больше всего.

Рисунок 174.5.6 . Эпюра углов поворота при действии сосредоточенной нагрузки посредине балки

Эпюра прогибов здесь не приводится, но как ни странно, это самая простая эпюра, показывающая положение оси, проходящей через поперечные сечения балки в результате деформации и эту эпюру воочию можно наблюдать на любой достаточно прогнувшейся балке или любой другой конструкции. Зная модуль упругости материала балки и момент инерции поперечного сечения определить максимальный прогиб также не очень сложно. Максимально упростить решение этих задач позволяют расчетные схемы для балок , к которым в зависимости от характера опор и вида нагружения даны соответствующие формулы.

Такой расчет деформаций является расчетом по предельным состояниям второй группы и достаточно наглядно показывает, на какую величину прогнется балка. Это бывает важно не только в связи с технологическими ограничениями, например для подкрановых балок, но также и из эстетических соображений. Например, когда потолок, а точнее перекрытие, хотя и достаточно прочное, заметно прогнется, то приятного в этом мало. Максимально допустимые величины прогибов для различных строительных конструкций приводятся в СНиП 2.01.07-85 "Нагрузки и воздействия" (в его актуализированной редакции). Впрочем при расчетах для себя никто не запрещает использовать еще меньшие значения прогиба.

Тут у читателя может возникнуть вполне резонный вопрос, а зачем понадобилось строить эпюру касательных напряжений "Q", если ни в каких расчетах эта эпюра не участвует. Что ж, пришло время ответить на этот вопрос.

Дело в том, что расчет разного рода балок, особенно постоянного прямоугольного сечения, лежащих горизонтально, на прочность при действии касательных напряжений очень редко является определяющим в отличие от приведенных выше расчетов. Тем не менее знать, что такое - касательные напряжения - и как они влияют на работу конструкции, пусть даже очень упрощенно, но все-таки надо.

Как следует из определения, касательные напряжения действуют в плоскости поперечного сечения, как бы касаются поперечного сечения потому и названы касательными. Определить значение касательных напряжений на первый взгляд просто: достаточно разделить значение поперечной силы (для этого нам и нужна эпюра "Q"), на площадь поперечного сечения (в рассматриваемом нами примере поперечные силы действовали только вдоль оси у и далее этого нам вполне хватит, усложнить любой расчет мы успеем всегда):

т = Q/F = Q/(bh) (270.1)

В итоге мы можем построить эпюру касательных напряжений "τ "(в дополнение к нормальным напряжениям "σ") следующего вида:

Рисунок 270.1 . Предварительная эпюра касательных напряжений "τ "

Однако такая эпюра касательных напряжений была бы справедлива для некоего абстрактного материала, обладающего линейной упругостью вдоль оси у , и абсолютно жесткого вдоль оси z , в результате чего в поперечном сечении такого материала не происходит перераспределения напряжений и есть только один вид деформации относительно оси у . В действительности же любое тело, обладающее изотропными свойствами, под действием нагрузок пытается сохранить свой объем, а значит и рассматриваемое нами сечение пытается сохранить свою площадь. Наглядный пример, когда вы садитесь на мяч, высота его под действием вашего веса уменьшается, но увеличивается ширина. Причем процесс этот носит не линейный характер. Если вырезать из теста кубик или параллелепипед, а затем надавить на него, то боковые грани станут выпуклыми, подобный процесс происходит и при лабораторных испытаниях на сжатие образцов металла или других материалов.

Кроме всего прочего это означает еще и то, что касательные напряжения, действующие вдоль оси у , вызывают появление касательных напряжений вдоль оси z и эпюра касательных напряжений вдоль оси z будет более наглядно показывать изменение касательных напряжений по отношению к высоте балки. При этом форма эпюры будет напоминать боковую грань сплюснутого кубика из теста, а площадь эпюры конечно же не изменится. Т.е. значения эпюры касательных напряжений в самом низу и в самом верху поперечного сечения будут равны нулю, а максимальное значение (при прямоугольном сечении) будет посредине высоты сечения и явно больше Q/F. Исходя из условия равенства площадей эпюр максимальное значение эпюры касательных напряжений не может быть более 2Q/F, да и то только в том случае, если эпюра будет представлять собой два треугольника и в этом случае максимальное значение и есть высота треугольников. Однако как мы уже выяснили эпюра по своему виду больше напоминает часть круга или параболу, т.е. значение максимального касательного напряжения будет составлять около 1.5Q/F :

Рисунок 270.2 . Более точная эпюра касательных напряжений.

Серой линией показана предварительно принятая нами эпюра касательных напряжений, но теперь касательные напряжения направлены вдоль оси z .

Математически изменение касательных напряжений в зависимости от высоты сечения можно выразить через изменение статического момента отсеченной части сечения с учетом изменения ширины сечения, так как далеко не всегда балки имеют прямоугольную форму сечения. В итоге формула для определения касательных напряжений (вывод формулы здесь не приводится) имеет следующий вид:

т = Q y S z отс /bI z (270.2) - формула проф. Д. И. Журавского

где Q y - значение поперечной силы в рассматриваемом поперечном сечении, определяется по эпюре "Q"

S z отс - статический момент отсеченной части сечения на рассматриваемой высоте относительно оси z . Определяется как площадь отсеченной части, умноженная на расстояние между центром тяжести всего сечения и центром тяжести отсеченной части сечения. Например, в самом низу поперечного сечения, т.е. при высоте h=0, площадь отсеченной части сечения будет также равна 0, а значит и касательные напряжения, действующие по ширине b поперечного сечения, также будут равны нулю. Для сечения, проходящего через центр тяжести поперечного сечения, т.е. при высоте отсеченной части сечения, равной h/2, статический момент будет составлять (bh/2)(h/4) = bh 2 /8. При высоте отсеченного сечения, равной высоте поперечного сечения статический момент будет равен нулю, так как центр тяжести отсеченной части сечения в этом случае будет совпадать с центром тяжести сечения.

b - ширина поперечного сечения на рассматриваемой высоте поперечного сечения. Для балок прямоугольного сечения ширина сечения величина постоянная, однако бывают балки круглого, таврового, двутаврового и любого другого сечения. Более того, определение касательных напряжений чаще всего и используется при расчете балок не прямоугольного сечения, так как при переходе сечения из полок в стенку появляется значительный скачок касательных напряжений в связи с изменением ширины сечения, причем переход из полок в стенку обычно происходит на такой высоте, где нормальные напряжения достаточно велики и это учитывается соответствующим расчетом.

I z - момент инерции поперечного сечения относительно оси z . В данном случае единственная более менее постоянная величина. Для прямоугольного поперечного сечения момент инерции составляет bh 3 /12.

Таким образом, согласно формулы (270.2) максимальное значение касательных напряжений составит:

т = 12Qbh 2 /(8b 2 h 3) = 1.5Q/F (270.3)

Такой же результат дала нам и геометрия.

И еще. Для материалов, обладающих ярко выраженными анизотропными свойствами, например, для древесины проверка на прочность по касательным напряжениям необходима. Дело в том, что прочность древесины сжатию вдоль волокон и прочность древесины сжатию поперек волокон - абсолютно разные вещи. Поэтому проверка выполняется для поперечных сечений, в которых касательные напряжения максимальны, как правило это сечения на опорах балки (при равномерно распределенной нагрузке). В этом случае полученное значение касательных напряжений сравнивается со значением расчетного сопротивления древесины сжатию или смятию поперек волокон - R c90 .

Впрочем, существует и другой подход к вопросу определения касательных напряжений: под действием нагрузок балка деформируется, при этом максимальные нормальные сжимающие и растягивающие напряжения возникают в самом низу и в самом верху поперечного сечения балки, что можно видеть по эпюре "σ" на рис.270.1.

При этом между волокнами такого неоднородного материала, как древесина, как впрочем и между слоями любого другого материала возникают касательные напряжения, направленные теперь по оси х , т.е. по той же оси, что и нормальные сжимающие и касательные напряжения, возникающие в результате действия изгибающего момента.

Происходит это от того, что каждый рассматриваемый слой испытывает разные по значению нормальные нагрузки и в результате все того же перераспределения напряжений и возникают касательные напряжения . Эти касательные напряжения как бы пытаются расколоть балку на отдельные слои, каждый из которых будет работать как отдельная балка.

Разница же несущей способности между отдельно взятыми слоями и цельной балкой очевидна. Например, если взять пачку бумаги хоть в 500 листов, то согнуть такую пачку - пара пустяков, а если склеить все листы, т.е. слои балки между собой, то мы получим цельную балку и вот ее уже согнуть будет намного труднее. Но между склеенными листами и будут возникать те самые, условно говоря, нормальные касательные напряжения. Впрочем, значение нормальных касательных напряжений определяется таким же образом и в расчетах участвует все та же поперечная сила, определяемая по эпюре "Q". Вот только рассматривается не отсеченная, а скалываемая часть сечения, соответственно статический момент может обозначаться - S z ск . В этом случае полученное значение касательных напряжений сравнивается со значением расчетного сопротивления древесины сколу вдоль волокон - R cк .

Правда, значения R с90 и R cк для древесины имеют одинаковое значение, но тем не менее касательные напряжения от действия поперечных сил и от деформаций в результате прогиба принято различать (так как рассматриваются две перрпендикулярные друг другу главные площадки напряжений), да и направление действия касательных напряжений важно при определении общего напряжения в исследуемой точке тела.

Впрочем, все это не более чем общие понятия о касательных напряжениях. В реальных материалах процесс перераспределения напряжений намного более сложный, все потому, что даже металл отнести к изотропным материалам можно достаточно условно. Впрочем эти вопросы рассматривает отдельная научная дисциплина - теория упругости. При расчете строительных конструкций, представляющих собой стержни - балки или пластины - плиты размером на помещение, вполне можно пользоваться формулой (270.2), выведенной на основе общих положений линейной теории упругости. При расчете массивных тел следует использовать методы нелинейной теории упругости.