Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием y(x 0)=y 0. Выберем шаг h и введем обозначения:
x i = x 0 + ih и y i = y(x i), где i = 0, 1, 2, ... .
Аналогично описанному выше методу производится решение
дифференциального уравнения. Отличие состоит в делении шага на 4 части.
Согласно методу Рунге-Кутта четвертого порядка, последовательные значения y i искомой функции y определяются по формуле:
y i+1 = y i +?y i
где i = 0, 1, 2 ...
Y=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6
a числа k1, k2 ,k3, k4 на каждом шаге вычисляются по формулам:
k1 = h*f(x i, y i)
k2 = f (x i +h/2, y i +k1 /2)*h
k3 = F(x i +h/2, y i +k2 /2)*h
k4 = F(x i +h, y i +k3)*h
Это явный четырехэтапный метод 4 порядка точности.
Блок-схема процедуры решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта приведена на рисунке 6.
F(x, у) - заданная функция - должна быть описана отдельно.
Входные параметры:
Х0, XК - начальное и конечное
значения независимой
переменной;
Y0 - значение y 0 из начального условия
N - количество отрезков разбиения;
Выходные параметры:
Y - массив значений искомого решения
в узлах сетки.
Алгоритм решения задачи
Решение в MathCAD
Листинг программы на языке Visual Basic
Dim xr(), yr(), xe(), ye(), xo(), yo() As Single
Private x0, y0, h, xk, k1, k2, c, k3, k4, yd As Single
Private n, i As Integer
Public Function f(ByVal a, ByVal b) As Single
f = -(a - b) / a
Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Button1.Click
x0 = Val(TextBox1.Text)
xk = Val(TextBox2.Text)
y0 = Val(TextBox4.Text)
h = Val(TextBox3.Text)
n = (xk - x0) / h
c = y0 / x0 + Math.Log(x0)
DataGridView1.ColumnCount = 4
DataGridView1.RowCount = n + 2
DataGridView1.Item(0, 0).Value = "x"
DataGridView1.Item(1, 0).Value = "Общее"
DataGridView1.Item(2, 0).Value = "Ейлер М"
DataGridView1.Item(3, 0).Value = "Рунге Кутт"
For i = 0 To n - 1
xe(i) = Math.Round((xe(0) + i * h), 2)
ye(i + 1) = ye(i) + h * f(xe(i) + h / 2, ye(i) + h / 2 * f(xe(i), ye(i)))
DataGridView1.Item(2, 1).Value = ye(0)
DataGridView1.Item(0, 1).Value = xe(0)
DataGridView1.Item(0, i + 1).Value = xe(i)
DataGridView1.Item(2, i + 1).Value = Str(ye(i))
For i = 0 To n - 1
xr(i) = Math.Round((xe(0) + i * h), 2)
k1 = h * f(xr(i), yr(i))
k2 = h * f(xr(i) + h / 2, yr(i) + k1 / 2)
k3 = h * f(xr(i) + h / 2, yr(i) + k2 / 2)
k4 = h * f(xr(i) + h, yr(i) + k3)
yd = (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
yr(i + 1) = yr(i) + yd
DataGridView1.Item(3, 1).Value = yr(0)
DataGridView1.Item(3, i + 1).Value = Str(yr(i))
For i = 0 To n - 1
xo(i) = Math.Round((xe(0) + i * h), 2)
yo(i) = xo(i) * (c - Math.Log(xo(i)))
DataGridView1.Item(1, 1).Value = yo(0)
DataGridView1.Item(1, i + 1).Value = Str(yo(i))
Chart1.Series.Add("Общее решение")
Chart1.Series("Общее решение").ChartType = SeriesChartType.Line
For i = 0 To n - 1
Chart1.Series("Общее решение").Points.AddXY(xo(i), yo(i))
Chart1.Series("Общее решение").ChartArea = "ChartArea1"
Chart1.Series.Add("Эйлер М")
Chart1.Series("Эйлер М").ChartType = SeriesChartType.Point
For i = 0 To n - 1
Chart1.Series("Эйлер М").Points.AddXY(xe(i), ye(i))
Chart1.Series("Эйлер М").ChartArea = "ChartArea1"
Chart1.Series("Эйлер М").Color = Color.Blue
Chart1.Series.Add("Рунге Кутт")
Chart1.Series("Рунге Кутт").ChartType = SeriesChartType.Line
For i = 0 To n - 1
Chart1.Series("Рунге Кутт").Points.AddXY(xr(i), yr(i))
Chart1.Series("Рунге Кутт").ChartArea = "ChartArea1"
Chart1.Series("Рунге Кутт").Color = Color.Green
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
с начальным условием
y(x 0) = y 0 .
Выберем шаг h и введём обозначения:
x i = x 0 + i . h и y i = y(x i) ,
где i = 0, 1, 2, …
x i – узлы сетки,
y i - значение интегральной функции в узлах .
Аналогично описанным выше методам производится решение дифференциального уравнения. Отличие состоит в делении шага на 4 части.
Согласно методу Рунге – Кутта четвёртого порядка, последовательные значения y i искомой функции y определяются по формуле:
, i = 0, 1, 2, …
а числа k 1 (i) , k 2 (i) , k 3 (i) , k 4 (i) на каждом шаге вычисляются по формулам:
Это явный четырёхэтапный метод четвёртого порядка точности.
Методы Рунге – Кутта легко программируются и обладают значительной точностью и устойчивостью для широкого круга задач.
На рисунке 6 приведена блок-схема процедуры RUNGE(X0, XK, Y0, N, Y) для решения задачи Коши описанным выше методом Рунге – Кутта.
i = 0, … , N-1
K1 = h * F(x, Yi)
K2 = h * F(x + h/2, Yi + K1 / 2)
K3 = h * F(x + h/2, Yi + K2 / 2)
K4 = h * F(x + h, Yi + K3)
K = (K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4) / 6
Рисунок 6 - Блок-схема процедуры RUNGE
На рисунке 7 приведена блок-схема алгоритма основной программы для решения задачи Коши и получения результатов с фиксированным количеством отрезков разбиения N. В основной программе происходит обращение к процедуре RUNGE(X0, XK, Y0, N, Y), вычисляющей значения искомой функции y j в точках x j методом Рунге – Кутта.
Исходными данными в данной задаче являются:
X0, XK – начальное и конечное значения независимой переменной;
Y0 – значение y 0 из начального условия y(x 0) = y 0 ;
N – количество отрезков разбиения.
Результаты работы программы выводятся в виде двух столбцов:
X – массив значений узлов сетки;
Y – массив значений искомого решения в соответствующих узлах сетки.
Ввод X0, XK, Y0, N
 |
RUNGE(X0,XK,Y0,N,Y)
i=0…N
Вывод X, Y i
Рисунок 7 - Блок-схема алгоритма основной программы для решения задачи Коши с фиксированным количеством отрезков разбиения N
Решение дифференциальных уравнений в среде MathCad
Рисунок 8 - Пример решения дифференциального уравнения методом
Рунге-Кутта 4 порядка в среде MathCad.
Построение графиков функций в среде Visual Basic
Задача табулирования функций и построения их графиков является одной из основных задач в процессе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим эту задачу более подробно.
Задача.
Построить график функции y=sin(x) на отрезке . Шаг табулирования принять равным h.
Решение.
Для построения графика функции в среде Visual Basic удобно воспользоваться некоторыми графическими компонентами.
Рисунок 9 - Расположение основных компонентов в окне General
 |
Компонент Picture Box () используется в качестве контейнера для построения графика. Он представляет собой матрицу из точек (пикселей), причём имеется возможность управлять цветом каждой отдельной точки. Координаты любой точки определяются парой целых чисел – ее порядковым номером в строке Х и порядковым номером строки внутри объекта Y. Таким образом, координаты левого верхнего угла компонента (0, 0). Число точек в строке и число строк определяются размером компонента.
Рисунок 10 - Координаты объекта PictureBox
На рис. 10 показано расположение осей и координаты угловых точек объекта.
Компонент Line () используется для построения осей и отрезков ломаной графика функции.
Суть построения графика сводится к тому, что функцию необходимо представить в виде таблицы (протабулировать), а затем отметить на шаблоне графика точки и соединить их между собой.
Алгоритм построения графика функции приведен на рисунке 12. Алгоритм может быть модифицирован. В частности, некоторые процедуры могут быть объединены, а порядок действий в некоторых случаях может быть изменен.
Рассмотрим алгоритм более подробно.
До реализации алгоритма необходимо описать подпрограмму- функцию для построения графика. Это необходимо для облегчения модификации программы. Если потребуется построение графика другой функции, достаточно будет только изменить подпрограмму.
Так же до построения графика необходимо создать и отредактировать форму. Пример разработки формы приведен на рисунке 11. На форме надо расположить компоненты для ввода исходных данных, компонент для вывода на печать таблицы, командную кнопку, контейнер для размещения графика (PictureBox). Внутри PictureBox надо нарисовать оси координат с помощью прямых линий и расположить метки для записи границ отрезка значений аргумента функции и экстремумов функции на рассматриваемом отрезке.
Ввод исходных данных осуществляется в рассматриваемой программе при нажатии на командную кнопку. Очень часто ввод данных реализуется с помощью компонента TextBox.
Процедуру табулирования функции удобно осуществлять в цикле с параметром, так как известно количество обсчитываемых точек графика. До выполнения процедуры надо задать количество строк таблицы.
Количество строк рассчитывается по формуле k=n+2, где k – количество строк, а n – количество отрезков табулирования. Число строк должно быть больше количества отрезков на 2, так как необходимо учесть начальную точку (нулевую) и строку для записи заголовков столбцов страницы.
В самой процедуре табулирования можно совместить два действия – табулирование и расчет экстремумов. Такой вариант решения приведен в листинге программы на рисунке13.
Основной сложностью построения графика является переход от математического значения функции и аргумента к экранным координатам, используемым для построения графика. При решении этой проблемы необходимо учитывать противоположное направление осей на математическом графике и на объекте PictureBox и необходимость масштабирования картинки.
Коэффициенты масштабирования графика рассчитываются по следующим формулам:
где kx - коэффициент масштабирования по оси ОХ,
NPX – количество пикселей объекта PictureBox, отводимых для построения графика по горизонтали,
a – начальное значение отрезка аргумента функции,
b – конечное значение отрезка аргумента функции.
,
где Ky - коэффициент масштабирования по оси ОY,
NPY – количество пикселей объекта PictureBox, отводимых для построения графика по вертикали,
min – минимальное значение функции,
max – максимальное значение функции.
Перевод математических координат текущей точки в экранные производится по формулам:
zx = Round(ox + (x(i) - a) * kx),
zy = Round(oy - (y(i) - Min) * ky),
где zx, zy – экранные координаты текущей точки,
ox, oy - координаты точки пересечения осей в компоненте pictureBox,
x(i), y(i) – математические координаты текущей точки,
kx, ky – коэффициенты масштабирования.
В формуле расчета экранной координаты ординаты текущей точки используется знак «минус» для учета противоположного направления осей (на экране и на графике).
Листинг программы построения графика функции приведен на рисунке 13.
Примеры форм с результатами работы программы для различных исходных данных приведены на рисунках 14 и 15.
Рисунок 11 - Пример разработки формы
Рисунок 12 - Алгоритм построения графика функции
Rem Описание переменных
Dim x() As Single, y() As Single
Private a As Single
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ФЕДЕРАЛЬНОЕ Государственное АВТОНОМНОЕ образовательное учреждение Высшего профессионального образования
«БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт инженерных технологий и естественных наук
Кафедра математического и программного обеспечения информационных систем
программная реализация решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-кутта 4-го порядка
Курсовая работа
по дисциплине «Методы вычислений»
студента очного формы обучения
направления подготовки 010500.62
«Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем»
3 курса группы 07001302
Данькова Николая Алексеевича
БЕЛГОРОД 2016
Введение
1. Теоретическая часть
1.1 Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши
1.2 Суть метода Рунге-Кутта
1.3 Выбор среды разработки
2. Практическая часть
2.1 Программная реализация метода Рунге-Кутта 4-го порядка
3. Тестирование
3.1 Пример
Заключение
Приложение
Введение
При изучении самых разнообразных явлений окружающего мира, имеющих отношение как к точным, так и к гуманитарным наукам, исследователи сталкиваются в ряде случаев с тем, что функциональные зависимости между величинами находятся из уравнений, в которых присутствуют производные от искомых функций. Наиболее простыми среди них являются те, что содержат только производные первого порядка и могут быть записаны в виде
= f(x, y) ,
где у - искомая функция, х - независимая переменная, f(x,y) - непрерывная функция от х и у. Однако получить аналитическое решение этого уравнения для достаточно произвольной функции f не удается, и только для некоторых частных случаев, с которыми можно ознакомиться в справочной литературе.
В связи с быстрым развитием электронной вычислительной техники в последние десятилетия появилась возможность использовать приближенные математические методы для решения подобного рода задач. Один из таких подходов называется методом Рунге-Кутты и объединяет целую группу модификаций, связанных способом их получения.
Цель курсовой работы: изучить метод Рунге - Кутта 4-го порядка для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Постановка задачи: необходимо составить программу, позволяющую решать обыкновенные дифференциальные уравнения методом Рунге - Кутта 4-го порядка.
Курсовая работа состоит из 3 разделов, содержит 6 рисунков, 3 листинга, 1 приложение и 18 страниц.
1. Теоретическая часть
1.1 Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши
Для простоты рассмотрим двумерное пространство переменных х и у и некоторое открытое множество G, принадлежащее ему. Пусть на этом открытом множестве определена непрерывно дифференцируемая функция f(х, у) и задано уравнение
= f(x, y) (1)
Согласно теореме существования и единственности для любой точки (x 0 ,y 0) ?G найдется решение у = у(х), определенное на некотором интервале (х 0 -д, х 0 +д), удовлетворяющее условию y(x 0) = y 0, такое, что точки (x,y(x)) ?G и y` x ? f(x, y(x)), причем это решение будет единственным. Задача для уравнения (1) с начальным условием у(х 0) = y 0 (задача Коши) состоит в нахождении функции у(х), обращающей и уравнение (1), и начальное условие в тождество. Допустим, что значения, которые принимает независимое переменное х, принадлежат интервалу (Х 0 , X N) и запишем задачу Коши:
(2)
Разобьём отрезок [Х 0 , X N ] на N частей так, что x n +1 - х n = h n ,
n = 0, … ,N-1. В дальнейшем, не ограничивая общности, рассмотрим случай, когда разбиение равномерное, т.е. все h n = h = = const,
n = 0 ,… ,N-1.
1.2 Суть метода Рунге-Кутта
Методы Рунге-Кутта находят широкое применение при решении ДУ. Наибольшее применение нашел метод 4-го порядка.
(3)
(4)
(5)
- параметр, который определяет значение функции вблизи точки области определения.
Общепринятый метод 4-го порядка:
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Ошибка формулы (10) пропорциональна h 5 .
Этот метод намного более точен, чем методы Эйлера, но требует и большего объема вычислений: положение точки (x i +1 , y i +1) определяется в результате 4-кратного вычисления значения функции f (x,y). С появлением ЭВМ этот недостаток перестал быть существенным и метод Рунге-Кутта 4-го порядка применяется на практике чрезвычайно широко.
Число микроотрезков , на которые разбивается исходный отрезок , определяется требуемой точностью вычислений. Для достижения нужной точности задача решается несколько раз при последовательно удваиваемом числе микроотрезков n. Точность считается достигнутой, если при начальном и удвоенном числе n значения y i и y 2i (в совпадающих точках x) отличаются не более чем на заданную величину:
, i =0, ..,n, (11)
где p - порядок точности метода.
Метод Ругне-Кутта обладает следующими свойствами:
1. Метод является одноступенчатым (чтобы найти, нужна информация о предыдущей точке,)
2. Не требует вычисления производных от f(x,y), а требует вычисления самой функции
3. Имеет небольшую погрешность
1.3 Выбор среды разработки
C++ Builder-- программный продукт, инструмент быстрой разработки приложений (RAD), интегрированная среда программирования (IDE), система, используемая программистами для разработки программного обеспечения на языке программирования C++. Данный продукт позволяет создавать как консольные приложения, так и приложения с графическим интерфейсом.
Microsoft Visual Studio -- линейка продуктов компании Microsoft, включающих интегрированную среду разработки программного обеспечения и ряд других инструментальных средств. С помощью данного продукта можно разрабатывать консольные приложения, приложения с графическим интерфейсом, а также веб-сайты, веб-приложения, веб-службы как в родном, так и в управляемом кодах для всех платформ, поддерживаемых Windows, Windows Mobile, Windows CE, .NET Framework, Xbox, Windows Phone .NET Compact Framework и Silverlight.
Для выполнения поставленной задачи был выбран программный продукт C++ Builder. Так как является более простым в использовании и соответствует всем необходимым требованиям для создания консольного приложения.
2. Практическая часть
2.1 Программная реализация метода Ркнге-Кутта 4-го порядка
дифференциальный уравнение программирование коши
Разработка программы начинается с описания функций. Для этого мы используем оператор switch.
Листинг 1 «описание функций»
double s=0;
switch (tip){
case 1: {
break; }
case 2: {
break; }
case 3: {
break; }
case 4: {
s = a*(b*x+c*y)/(e*f)*d;
break; }
default:
{ s =0; }
}
return s;
}
Затем идет объявление и инициализация переменных, которые участвуют в вычислительном процессе: коэффициенты уравнений, границы отрезка, шаг, начальное условие.
Когда все нужные данные получены, мы переходим непосредственно к решению ОДУ методом Рунге - Кутта 4-го порядка.
Листинг 2 «программная реализация решения ОДУ методом Рунге - Кутта
4-го порядка»
for (i=0;i<=n;i++) {
x=x[i]+h;
cout<<"y"<
}
3. Тестирование
Запустив программу, мы увидим уравнения, предлагаемые для выбора.
Рис. 1 «выбор уравнения»
Если ввести номер не соответствующий представленным номерам уравнений программа отреагирует на это.
Рис. 2 «ввод неверного параметра»
Выбрав необходимое уравнение, вводим коэффициенты.
Рис. 3 «ввод коэффициентов»
Далее вводим начало и конец отрезка, на котором будет производиться расчет, шаг и начальное условие. Выбор последнего параметра необходимо выполнить пользователю самостоятельно.
Рис. 4 «ввод необходимых параметров»
После окончания вычисления программа выводит решение.
Рис. 5 «вывод результата»
3.1 Пример
Решить задачу Коши:
на отрезке . Найти решение на равномерной сетке с шагом 0.1
Решение. Так как f(x ,y) = х + у, то получаем
= + ,
= ++ ,
= ++ ,
= +h+ ,
= +() ,
= +h ,
для значений i = 1, 2, 3, 4.
Полагая =0, = 1, последовательно находим:
при i = 1
= 0,1(0 +1) = 0,1 ,
= 0,1(0 + 0,05 +1 + 0,05) = 0,11 ,
= 0,1(0 + 0,05 +1 + 0,055) = 0,1105 ,
= 0,1(0 + 0,1 +1 + 0,1105) = 0,121050 ,
= 1 + *(0,1 + 2*0,11+2*0,1105 + 0,12105) = 1,110342 ,
= 0+0,1=0.1 ,
при i = 2
= 0,1*(0 + 1,110342) = 0,121034 ,
= 0,1*(0,1 + 0,05 +1,110342 + 0,0605171) = 0,1320859 ,
= 0,1*(0,1 + 0,05+1,110342 + 0,06604295) = 0,1326385 ,
= 0,1*(0,1 + 0,1 + 1,110342 + 0,11326385)= 0,1442980 ,
= 1,110342 + *(0,121034 + 2*0,1320859+2*0,1326385 + 0,1442980) = 1,242805 ,
= 0,1+0,1 ,
Далее получаем:
при i = 3 = 0,3, =1,399717,
при i = 4 = 0.4, = 1,583648.
Погрешность полученного решения не превышает величины
|y 4 - ц(x 4) | ? 0.000001.
Для наглядности в таблице 1 приведены численные решения одной и той же задачи Коши методами Эйлера, Эйлера-Коши и Рунге-Кутта.
Таблица 1 Численные решения задачи коши разными методами
Значения, найденного методом
Точное решение
ц(x i)=2- x i -1
Эйлера - Коши
Рунге - Кутта
Теперь сравним полученные результаты с расчетами нашей программы.
Рис. 6 «результат работы программы»
Как мы видим из примера - точность вычисления сохраняется до пятого знака после запятой.
Заключение
В ходе выполнения курсовой работы была реализована поставленная задача, а именно составлена программа, позволяющая решать обыкновенные дифференциальные уравнения методом Рунге - Кутта 4-го порядка.
В ходе тестирования программы были получены результаты, по которым видно, что результаты решения методом Рунге - Кутта 4-го порядка совпадают, с достаточной точностью, с аналитическим.
Список использованных источников
1. Березин И.С., Жидков Н.П., Методы вычислений: Т.2 - М.: ГИФМЛ, 1960. - 620 с.
2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. - М.: Бином, 2001 - с. 363-375.
3. Копченова Н.В., Марон И.А., Вычислительная математика в примерах и задачах - М.: Наука, 1972. - 368 с.
4. https://ru.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Visual_Studio
5. https://ru.wikipedia.org/wiki/C%2B%2B_Builder
Приложение 1
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
char* rus(const char* text) {
char *buffRus=new char;
CharToOem(text, buffRus);
return buffRus;
}
double func(int tip,double x,double y,double a,double b,double c, double d, double e, double f) {
double s=0;
switch (tip) {
case 1: {
s = a+b*(y*c*sin(d*x))-(e*y*f*y);
break; }
case 2: {
s =a*cos(b*x+c*y)+d*(e*x-f*y);
break; }
case 3: {
s=((a*cos(b*x)/(x+c))-(d*y*e*y)*f);
break; }
case 4: {
s = a*(b*x+c*y)/(e*f)*d;
break; }
default:
{ s =0; }
}
return s;
}
int main() {
int tip, i=0, n=0;
double h=0.0, ot1=1.0, ot2=0.0, k1=0.0, k2=0.0, k3=0.0, k4=0.0, a=1.0, b=1.0, c=1.0, d=1.0, e=1.0, f=1.0, res=0.0;
bool flag=0;
cout<
cout<<" 1. y"=a+b*(y*c*sin(d*x))-(e*y*f*y)\n 2. y"=a*cos(b*x+c*y)+d*(e*x-f*y)\n 3. y"=((a*cos(b*x)/(x+c))-(d*y*e*y)*f)\n 4. y"=a*(b*x+c*y)/(e*f)*d\n";
while (!flag) {
cout<
cin>>tip;
if((tip == 1) || (tip == 2) || (tip == 3) || (tip == 4)){
flag=1; }
else {
cout <
}
}
cout<
cout <<" a= ";cin>>a;
cout <<" b= ";cin>>b;
cout <<" c= ";cin>>c;
cout <<" d= ";cin>>d;
cout <<" e= ";cin>>e;
cout <<" f= ";cin>>f;
cout<
while (ot1>ot2) {
cout<
return 0;
}
Приложение 2
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Анализ предметной области объектно-ориентированного программирования. Языки Delphi, Object Pascal - объектно-ориентированная среда программирования. Основные алгоритмические решения. Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта в среде Excel.
курсовая работа , добавлен 02.04.2011
Составление программы на алгоритмическом языке Turbo Pascal. Разработка блок-схемы алгоритма её решения. Составление исходной Pascal-программы и реализация вычислений по составленной программе. Применение методов Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона.
курсовая работа , добавлен 17.09.2009
Суть метода Рунге-Кутта и его свойства. Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Вычислительный блок Given/Odesolve. Встроенные функции rkfixed, Rkadapt, Bulstoer. Решения линейных алгебраических уравнений в среде MathCad и Microsoft Excel.
курсовая работа , добавлен 02.06.2014
Обзор методов решения в Excel. Рекурентные формулы метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка. Метод Эйлера с шагом h/2. Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Модифицированный метод Эйлера.
курсовая работа , добавлен 18.01.2011
Математическое описание задачи решения обыкновенного дифференциального уравнения численным явным методом Рунге-Кутта, разработка схемы алгоритма и написание программы в среде программирования Microsoft Visual Studio 2010. Тестирование работы программы.
курсовая работа , добавлен 22.01.2014
Реализация решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка методом Рунге-Кутты. Построение на ЭВМ системы отображения результатов в табличной форме и в виде графика. Архитектура и требования к разрабатываемым программным средствам.
курсовая работа , добавлен 05.11.2011
Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Варианты методов Рунге-Кутта различных порядков. Основные методы численного решения задачи Коши. Повышение точности вычислений и итерационный метод уточнения. Дискретная числовая последовательность.
лабораторная работа , добавлен 14.05.2012
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и Рунге. Техники приближенного решения данных уравнений: метод конечных разностей, разностной прогонки, коллокаций; анализ результатов.
курсовая работа , добавлен 14.01.2014
Анализ преимуществ и недостатков различных численных методов решения дифференциальных уравнений высших порядков. Обоснование выбора метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Разработка программы, моделирующей физическое и математическое поведение маятника.
курсовая работа , добавлен 11.07.2012
Решение дифференциальных уравнений с использованием классических алгоритмов численных методов Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка. Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений. Результат работы программы.
}
3. Тестирование
Запустив программу, мы увидим уравнения, предлагаемые для выбора.
Рис. 1 «выбор уравнения»
Если ввести номер не соответствующий представленным номерам уравнений программа отреагирует на это.
Рис. 2 «ввод неверного параметра»
Выбрав необходимое уравнение, вводим коэффициенты.
Рис. 3 «ввод коэффициентов»
Далее вводим начало и конец отрезка, на котором будет производиться расчет, шаг и начальное условие. Выбор последнего параметра необходимо выполнить пользователю самостоятельно.
Рис. 4 «ввод необходимых параметров»
После окончания вычисления программа выводит решение.
Рис. 5 «вывод результата»
3.1 Пример
Решить задачу Коши:
на отрезке . Найти решение на равномерной сетке с шагом 0.1
Решение. Так как f(x ,y) = х + у, то получаем
= + ,
= ++ ,
= ++ ,
= +h+ ,
= +() ,
= +h ,
для значений i = 1, 2, 3, 4.
Полагая =0, = 1, последовательно находим:
при i = 1
= 0,1(0 +1) = 0,1 ,
= 0,1(0 + 0,05 +1 + 0,05) = 0,11 ,
= 0,1(0 + 0,05 +1 + 0,055) = 0,1105 ,
= 0,1(0 + 0,1 +1 + 0,1105) = 0,121050 ,
= 1 + *(0,1 + 2*0,11+2*0,1105 + 0,12105) = 1,110342 ,
= 0+0,1=0.1 ,
при i = 2
= 0,1*(0 + 1,110342) = 0,121034 ,
= 0,1*(0,1 + 0,05 +1,110342 + 0,0605171) = 0,1320859 ,
= 0,1*(0,1 + 0,05+1,110342 + 0,06604295) = 0,1326385 ,
= 0,1*(0,1 + 0,1 + 1,110342 + 0,11326385)= 0,1442980 ,
= 1,110342 + *(0,121034 + 2*0,1320859+2*0,1326385 + 0,1442980) = 1,242805 ,
= 0,1+0,1 ,
Далее получаем:
при i = 3 = 0,3, =1,399717,
при i = 4 = 0.4, = 1,583648.
Погрешность полученного решения не превышает величины
|y 4 - ц(x 4) | ? 0.000001.
Для наглядности в таблице 1 приведены численные решения одной и той же задачи Коши методами Эйлера, Эйлера-Коши и Рунге-Кутта.
Таблица 1 Численные решения задачи коши разными методами
|
Значения, найденного методом |
Точное решениец(x i)=2- x i -1 |
|||||
|
Эйлера - Коши |
Рунге - Кутта |
|||||
Теперь сравним полученные результаты с расчетами нашей программы.
Рис. 6 «результат работы программы»
Как мы видим из примера - точность вычисления сохраняется до пятого знака после запятой.
Заключение
В ходе выполнения курсовой работы была реализована поставленная задача, а именно составлена программа, позволяющая решать обыкновенные дифференциальные уравнения методом Рунге - Кутта 4-го порядка.
В ходе тестирования программы были получены результаты, по которым видно, что результаты решения методом Рунге - Кутта 4-го порядка совпадают, с достаточной точностью, с аналитическим.
Список использованных источников
1. Березин И.С., Жидков Н.П., Методы вычислений: Т.2 - М.: ГИФМЛ, 1960. - 620 с.
2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. - М.: Бином, 2001 - с. 363-375.
3. Копченова Н.В., Марон И.А., Вычислительная математика в примерах и задачах - М.: Наука, 1972. - 368 с.
4. https://ru.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Visual_Studio
5. https://ru.wikipedia.org/wiki/C%2B%2B_Builder
Приложение 1
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
char* rus(const char* text) {
char *buffRus=new char;
CharToOem(text, buffRus);
return buffRus;
}
double func(int tip,double x,double y,double a,double b,double c, double d, double e, double f) {
double s=0;
switch (tip) {
case 1: {
s = a+b*(y*c*sin(d*x))-(e*y*f*y);
break; }
case 2: {
s =a*cos(b*x+c*y)+d*(e*x-f*y);
break; }
case 3: {
s=((a*cos(b*x)/(x+c))-(d*y*e*y)*f);
break; }
case 4: {
s = a*(b*x+c*y)/(e*f)*d;
break; }
default:
{ s =0; }
}
return s;
}
int main() {
int tip, i=0, n=0;
double h=0.0, ot1=1.0, ot2=0.0, k1=0.0, k2=0.0, k3=0.0, k4=0.0, a=1.0, b=1.0, c=1.0, d=1.0, e=1.0, f=1.0, res=0.0;
bool flag=0;
cout<
cout<<" 1. y"=a+b*(y*c*sin(d*x))-(e*y*f*y)\n 2. y"=a*cos(b*x+c*y)+d*(e*x-f*y)\n 3. y"=((a*cos(b*x)/(x+c))-(d*y*e*y)*f)\n 4. y"=a*(b*x+c*y)/(e*f)*d\n";
while (!flag) {
cout<
cin>>tip;
if((tip == 1) || (tip == 2) || (tip == 3) || (tip == 4)){
flag=1; }
else {
cout <
}
}
cout<
cout <<" a= ";cin>>a;
cout <<" b= ";cin>>b;
cout <<" c= ";cin>>c;
cout <<" d= ";cin>>d;
cout <<" e= ";cin>>e;
cout <<" f= ";cin>>f;
cout<
while (ot1>ot2) {
cout<
return 0;
}
Приложение 2
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Анализ предметной области объектно-ориентированного программирования. Языки Delphi, Object Pascal - объектно-ориентированная среда программирования. Основные алгоритмические решения. Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта в среде Excel.
курсовая работа , добавлен 02.04.2011
Составление программы на алгоритмическом языке Turbo Pascal. Разработка блок-схемы алгоритма её решения. Составление исходной Pascal-программы и реализация вычислений по составленной программе. Применение методов Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона.
курсовая работа , добавлен 17.09.2009
Суть метода Рунге-Кутта и его свойства. Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Вычислительный блок Given/Odesolve. Встроенные функции rkfixed, Rkadapt, Bulstoer. Решения линейных алгебраических уравнений в среде MathCad и Microsoft Excel.
курсовая работа , добавлен 02.06.2014
Обзор методов решения в Excel. Рекурентные формулы метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка. Метод Эйлера с шагом h/2. Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Модифицированный метод Эйлера.
курсовая работа , добавлен 18.01.2011
Математическое описание задачи решения обыкновенного дифференциального уравнения численным явным методом Рунге-Кутта, разработка схемы алгоритма и написание программы в среде программирования Microsoft Visual Studio 2010. Тестирование работы программы.
курсовая работа , добавлен 22.01.2014
Реализация решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка методом Рунге-Кутты. Построение на ЭВМ системы отображения результатов в табличной форме и в виде графика. Архитектура и требования к разрабатываемым программным средствам.
курсовая работа , добавлен 05.11.2011
Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Варианты методов Рунге-Кутта различных порядков. Основные методы численного решения задачи Коши. Повышение точности вычислений и итерационный метод уточнения. Дискретная числовая последовательность.
лабораторная работа , добавлен 14.05.2012
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и Рунге. Техники приближенного решения данных уравнений: метод конечных разностей, разностной прогонки, коллокаций; анализ результатов.
курсовая работа , добавлен 14.01.2014
Анализ преимуществ и недостатков различных численных методов решения дифференциальных уравнений высших порядков. Обоснование выбора метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Разработка программы, моделирующей физическое и математическое поведение маятника.
курсовая работа , добавлен 11.07.2012
Решение дифференциальных уравнений с использованием классических алгоритмов численных методов Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка. Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений. Результат работы программы.
cout<<" 1. y"=a+b*(y*c*sin(d*x))-(e*y*f*y)\n 2. y"=a*cos(b*x+c*y)+d*(e*x-f*y)\n 3. y"=((a*cos(b*x)/(x+c))-(d*y*e*y)*f)\n 4. y"=a*(b*x+c*y)/(e*f)*d\n";
while (!flag) {
cout<
cin>>tip;
if((tip == 1) || (tip == 2) || (tip == 3) || (tip == 4)){
flag=1; }
else {
cout <
}
}
cout<
cout <<" a= ";cin>>a;
cout <<" b= ";cin>>b;
cout <<" c= ";cin>>c;
cout <<" d= ";cin>>d;
cout <<" e= ";cin>>e;
cout <<" f= ";cin>>f;
cout<
while (ot1>ot2) {
cout<
return 0;
}
Приложение 2
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Анализ предметной области объектно-ориентированного программирования. Языки Delphi, Object Pascal - объектно-ориентированная среда программирования. Основные алгоритмические решения. Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта в среде Excel.
курсовая работа , добавлен 02.04.2011
Составление программы на алгоритмическом языке Turbo Pascal. Разработка блок-схемы алгоритма её решения. Составление исходной Pascal-программы и реализация вычислений по составленной программе. Применение методов Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона.
курсовая работа , добавлен 17.09.2009
Суть метода Рунге-Кутта и его свойства. Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Вычислительный блок Given/Odesolve. Встроенные функции rkfixed, Rkadapt, Bulstoer. Решения линейных алгебраических уравнений в среде MathCad и Microsoft Excel.
курсовая работа , добавлен 02.06.2014
Обзор методов решения в Excel. Рекурентные формулы метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка. Метод Эйлера с шагом h/2. Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Модифицированный метод Эйлера.
курсовая работа , добавлен 18.01.2011
Математическое описание задачи решения обыкновенного дифференциального уравнения численным явным методом Рунге-Кутта, разработка схемы алгоритма и написание программы в среде программирования Microsoft Visual Studio 2010. Тестирование работы программы.
курсовая работа , добавлен 22.01.2014
Реализация решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка методом Рунге-Кутты. Построение на ЭВМ системы отображения результатов в табличной форме и в виде графика. Архитектура и требования к разрабатываемым программным средствам.
курсовая работа , добавлен 05.11.2011
Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Варианты методов Рунге-Кутта различных порядков. Основные методы численного решения задачи Коши. Повышение точности вычислений и итерационный метод уточнения. Дискретная числовая последовательность.
лабораторная работа , добавлен 14.05.2012
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и Рунге. Техники приближенного решения данных уравнений: метод конечных разностей, разностной прогонки, коллокаций; анализ результатов.
курсовая работа , добавлен 14.01.2014
Анализ преимуществ и недостатков различных численных методов решения дифференциальных уравнений высших порядков. Обоснование выбора метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Разработка программы, моделирующей физическое и математическое поведение маятника.
курсовая работа , добавлен 11.07.2012
Решение дифференциальных уравнений с использованием классических алгоритмов численных методов Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка. Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений. Результат работы программы.
cin>>tip;
if((tip == 1) || (tip == 2) || (tip == 3) || (tip == 4)){
flag=1; }
else {
cout <
}
}
cout<
cout <<" a= ";cin>>a;
cout <<" b= ";cin>>b;
cout <<" c= ";cin>>c;
cout <<" d= ";cin>>d;
cout <<" e= ";cin>>e;
cout <<" f= ";cin>>f;
cout<
while (ot1>ot2) {
cout<
return 0;
}
Приложение 2
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Анализ предметной области объектно-ориентированного программирования. Языки Delphi, Object Pascal - объектно-ориентированная среда программирования. Основные алгоритмические решения. Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта в среде Excel.
курсовая работа , добавлен 02.04.2011
Составление программы на алгоритмическом языке Turbo Pascal. Разработка блок-схемы алгоритма её решения. Составление исходной Pascal-программы и реализация вычислений по составленной программе. Применение методов Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона.
курсовая работа , добавлен 17.09.2009
Суть метода Рунге-Кутта и его свойства. Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Вычислительный блок Given/Odesolve. Встроенные функции rkfixed, Rkadapt, Bulstoer. Решения линейных алгебраических уравнений в среде MathCad и Microsoft Excel.
курсовая работа , добавлен 02.06.2014
Обзор методов решения в Excel. Рекурентные формулы метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка. Метод Эйлера с шагом h/2. Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Модифицированный метод Эйлера.
курсовая работа , добавлен 18.01.2011
Математическое описание задачи решения обыкновенного дифференциального уравнения численным явным методом Рунге-Кутта, разработка схемы алгоритма и написание программы в среде программирования Microsoft Visual Studio 2010. Тестирование работы программы.
курсовая работа , добавлен 22.01.2014
Реализация решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка методом Рунге-Кутты. Построение на ЭВМ системы отображения результатов в табличной форме и в виде графика. Архитектура и требования к разрабатываемым программным средствам.
курсовая работа , добавлен 05.11.2011
Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Варианты методов Рунге-Кутта различных порядков. Основные методы численного решения задачи Коши. Повышение точности вычислений и итерационный метод уточнения. Дискретная числовая последовательность.
лабораторная работа , добавлен 14.05.2012
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и Рунге. Техники приближенного решения данных уравнений: метод конечных разностей, разностной прогонки, коллокаций; анализ результатов.
курсовая работа , добавлен 14.01.2014
Анализ преимуществ и недостатков различных численных методов решения дифференциальных уравнений высших порядков. Обоснование выбора метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Разработка программы, моделирующей физическое и математическое поведение маятника.
курсовая работа , добавлен 11.07.2012
Решение дифференциальных уравнений с использованием классических алгоритмов численных методов Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка. Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений. Результат работы программы.
}
}
cout<
cout <<" a= ";cin>>a;
cout <<" b= ";cin>>b;
cout <<" c= ";cin>>c;
cout <<" d= ";cin>>d;
cout <<" e= ";cin>>e;
cout <<" f= ";cin>>f;
cout<
while (ot1>ot2) {
cout<
return 0;
}
Приложение 2
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Анализ предметной области объектно-ориентированного программирования. Языки Delphi, Object Pascal - объектно-ориентированная среда программирования. Основные алгоритмические решения. Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта в среде Excel.
курсовая работа , добавлен 02.04.2011
Составление программы на алгоритмическом языке Turbo Pascal. Разработка блок-схемы алгоритма её решения. Составление исходной Pascal-программы и реализация вычислений по составленной программе. Применение методов Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона.
курсовая работа , добавлен 17.09.2009
Суть метода Рунге-Кутта и его свойства. Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Вычислительный блок Given/Odesolve. Встроенные функции rkfixed, Rkadapt, Bulstoer. Решения линейных алгебраических уравнений в среде MathCad и Microsoft Excel.
курсовая работа , добавлен 02.06.2014
Обзор методов решения в Excel. Рекурентные формулы метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка. Метод Эйлера с шагом h/2. Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Модифицированный метод Эйлера.
курсовая работа , добавлен 18.01.2011
Математическое описание задачи решения обыкновенного дифференциального уравнения численным явным методом Рунге-Кутта, разработка схемы алгоритма и написание программы в среде программирования Microsoft Visual Studio 2010. Тестирование работы программы.
курсовая работа , добавлен 22.01.2014
Реализация решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка методом Рунге-Кутты. Построение на ЭВМ системы отображения результатов в табличной форме и в виде графика. Архитектура и требования к разрабатываемым программным средствам.
курсовая работа , добавлен 05.11.2011
Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Варианты методов Рунге-Кутта различных порядков. Основные методы численного решения задачи Коши. Повышение точности вычислений и итерационный метод уточнения. Дискретная числовая последовательность.
лабораторная работа , добавлен 14.05.2012
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и Рунге. Техники приближенного решения данных уравнений: метод конечных разностей, разностной прогонки, коллокаций; анализ результатов.
курсовая работа , добавлен 14.01.2014
Анализ преимуществ и недостатков различных численных методов решения дифференциальных уравнений высших порядков. Обоснование выбора метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Разработка программы, моделирующей физическое и математическое поведение маятника.
курсовая работа , добавлен 11.07.2012
Решение дифференциальных уравнений с использованием классических алгоритмов численных методов Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка. Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений. Результат работы программы.
cout <<" a= ";cin>>a;
cout <<" b= ";cin>>b;
cout <<" c= ";cin>>c;
cout <<" d= ";cin>>d;
cout <<" e= ";cin>>e;
cout <<" f= ";cin>>f;
cout<
while (ot1>ot2) {
cout<
return 0;
}
Приложение 2
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Анализ предметной области объектно-ориентированного программирования. Языки Delphi, Object Pascal - объектно-ориентированная среда программирования. Основные алгоритмические решения. Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта в среде Excel.
курсовая работа , добавлен 02.04.2011
Составление программы на алгоритмическом языке Turbo Pascal. Разработка блок-схемы алгоритма её решения. Составление исходной Pascal-программы и реализация вычислений по составленной программе. Применение методов Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона.
курсовая работа , добавлен 17.09.2009
Суть метода Рунге-Кутта и его свойства. Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Вычислительный блок Given/Odesolve. Встроенные функции rkfixed, Rkadapt, Bulstoer. Решения линейных алгебраических уравнений в среде MathCad и Microsoft Excel.
курсовая работа , добавлен 02.06.2014
Обзор методов решения в Excel. Рекурентные формулы метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка. Метод Эйлера с шагом h/2. Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Модифицированный метод Эйлера.
курсовая работа , добавлен 18.01.2011
Математическое описание задачи решения обыкновенного дифференциального уравнения численным явным методом Рунге-Кутта, разработка схемы алгоритма и написание программы в среде программирования Microsoft Visual Studio 2010. Тестирование работы программы.
курсовая работа , добавлен 22.01.2014
Реализация решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка методом Рунге-Кутты. Построение на ЭВМ системы отображения результатов в табличной форме и в виде графика. Архитектура и требования к разрабатываемым программным средствам.
курсовая работа , добавлен 05.11.2011
Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Варианты методов Рунге-Кутта различных порядков. Основные методы численного решения задачи Коши. Повышение точности вычислений и итерационный метод уточнения. Дискретная числовая последовательность.
лабораторная работа , добавлен 14.05.2012
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и Рунге. Техники приближенного решения данных уравнений: метод конечных разностей, разностной прогонки, коллокаций; анализ результатов.
курсовая работа , добавлен 14.01.2014
Анализ преимуществ и недостатков различных численных методов решения дифференциальных уравнений высших порядков. Обоснование выбора метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Разработка программы, моделирующей физическое и математическое поведение маятника.
курсовая работа , добавлен 11.07.2012
Решение дифференциальных уравнений с использованием классических алгоритмов численных методов Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка. Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений. Результат работы программы.
while (ot1>ot2) {
cout<
return 0;
}
Приложение 2
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Анализ предметной области объектно-ориентированного программирования. Языки Delphi, Object Pascal - объектно-ориентированная среда программирования. Основные алгоритмические решения. Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта в среде Excel.
курсовая работа , добавлен 02.04.2011
Составление программы на алгоритмическом языке Turbo Pascal. Разработка блок-схемы алгоритма её решения. Составление исходной Pascal-программы и реализация вычислений по составленной программе. Применение методов Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона.
курсовая работа , добавлен 17.09.2009
Суть метода Рунге-Кутта и его свойства. Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Вычислительный блок Given/Odesolve. Встроенные функции rkfixed, Rkadapt, Bulstoer. Решения линейных алгебраических уравнений в среде MathCad и Microsoft Excel.
курсовая работа , добавлен 02.06.2014
Обзор методов решения в Excel. Рекурентные формулы метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка. Метод Эйлера с шагом h/2. Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Модифицированный метод Эйлера.
курсовая работа , добавлен 18.01.2011
Математическое описание задачи решения обыкновенного дифференциального уравнения численным явным методом Рунге-Кутта, разработка схемы алгоритма и написание программы в среде программирования Microsoft Visual Studio 2010. Тестирование работы программы.
курсовая работа , добавлен 22.01.2014
Реализация решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка методом Рунге-Кутты. Построение на ЭВМ системы отображения результатов в табличной форме и в виде графика. Архитектура и требования к разрабатываемым программным средствам.
курсовая работа , добавлен 05.11.2011
Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Варианты методов Рунге-Кутта различных порядков. Основные методы численного решения задачи Коши. Повышение точности вычислений и итерационный метод уточнения. Дискретная числовая последовательность.
лабораторная работа , добавлен 14.05.2012
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и Рунге. Техники приближенного решения данных уравнений: метод конечных разностей, разностной прогонки, коллокаций; анализ результатов.
курсовая работа , добавлен 14.01.2014
Анализ преимуществ и недостатков различных численных методов решения дифференциальных уравнений высших порядков. Обоснование выбора метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Разработка программы, моделирующей физическое и математическое поведение маятника.
курсовая работа , добавлен 11.07.2012
Решение дифференциальных уравнений с использованием классических алгоритмов численных методов Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка. Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений. Результат работы программы.
return 0;
}
Приложение 2
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Анализ предметной области объектно-ориентированного программирования. Языки Delphi, Object Pascal - объектно-ориентированная среда программирования. Основные алгоритмические решения. Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта в среде Excel.
курсовая работа , добавлен 02.04.2011
Составление программы на алгоритмическом языке Turbo Pascal. Разработка блок-схемы алгоритма её решения. Составление исходной Pascal-программы и реализация вычислений по составленной программе. Применение методов Рунге-Кутта и Рунге-Кутта-Мерсона.
курсовая работа , добавлен 17.09.2009
Суть метода Рунге-Кутта и его свойства. Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Вычислительный блок Given/Odesolve. Встроенные функции rkfixed, Rkadapt, Bulstoer. Решения линейных алгебраических уравнений в среде MathCad и Microsoft Excel.
курсовая работа , добавлен 02.06.2014
Обзор методов решения в Excel. Рекурентные формулы метода Эйлера. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка для решения уравнения первого порядка. Метод Эйлера с шагом h/2. Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad. Модифицированный метод Эйлера.
курсовая работа , добавлен 18.01.2011
Математическое описание задачи решения обыкновенного дифференциального уравнения численным явным методом Рунге-Кутта, разработка схемы алгоритма и написание программы в среде программирования Microsoft Visual Studio 2010. Тестирование работы программы.
курсовая работа , добавлен 22.01.2014
Реализация решения обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка методом Рунге-Кутты. Построение на ЭВМ системы отображения результатов в табличной форме и в виде графика. Архитектура и требования к разрабатываемым программным средствам.
курсовая работа , добавлен 05.11.2011
Решение дифференциальных уравнений первого порядка. Варианты методов Рунге-Кутта различных порядков. Основные методы численного решения задачи Коши. Повышение точности вычислений и итерационный метод уточнения. Дискретная числовая последовательность.
лабораторная работа , добавлен 14.05.2012
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и Рунге. Техники приближенного решения данных уравнений: метод конечных разностей, разностной прогонки, коллокаций; анализ результатов.
курсовая работа , добавлен 14.01.2014
Анализ преимуществ и недостатков различных численных методов решения дифференциальных уравнений высших порядков. Обоснование выбора метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Разработка программы, моделирующей физическое и математическое поведение маятника.
курсовая работа , добавлен 11.07.2012
Решение дифференциальных уравнений с использованием классических алгоритмов численных методов Эйлера и Рунге-Кутта 4-го порядка. Команды, используемые при решении обыкновенных дифференциальных уравнений в системе вычислений. Результат работы программы.
