В математике имеется достаточно небольшое количество элементарных функций, область определения которых ограничена. Все остальные "сложные" функции - это всего лишь их сочетания и комбинации.
1. Дробная функция - ограничение на знаменатель.
2. Корень четной степени - ограничение на подкоренное выражение.
3. Логарифмы - ограничение на основание логарифма и подлогарифмическое выражение.
3. Тригонометрические tg(x) и ctg(x) - ограничение на аргумент.
Для тангенса:
4. Обратные тригонометрические функции.
| Арксинус | Арккосинус | Арктангенс, Арккотангенс |
 |
 |
 |
Далее решаются следующие примеры на тему "Область определения функций".
| Пример 1 | Пример 2 |
 |
| Пример 3 | Пример 4 |
 |
 |
| Пример 5 | Пример 6 |
 |
 |
| Пример 7 | Пример 8 |
 |
 |
| Пример 9 | Пример 10 |
 |
| Пример 11 | Пример 12 |
 |
 |
| Пример 13 | Пример 14 |
 |
| Пример 15 | Пример 16 |
Пример нахождения области определения функции №1
Нахождение области определения любой линейной функции, т.е. функции первой степени:
y = 2x + 3 - уравнение задает прямую на плоскости.
Посмотрим внимательно на функцию и подумаем, какие же числовые значения мы сможем подставить в уравнение вместо переменной х?
Попробуем подставить значение х=0
Так как y = 2·0 + 3 = 3 - получили числовое значение, следовательно функция существует при взятом значении переменной х=0.
Попробуем подставить значение х=10
так как y = 2·10 + 3 = 23 - функция существует при взятом значении переменной х=10 .
Попробуем подставить значение х=-10
так как y = 2·(-10) + 3 = -17 - функция существует при взятом значении переменной х=-10 .
Уравнение задает прямую линию на плоcкости, а прямая не имеет ни начала ни конца, следовательно она существует для любых значений х.
Заметим, что какие бы числовые значения мы не подставляли в заданную функцию вместо х, всегда получим числовое значение переменной y.
Следовательно, функция существует для любого значения x ∈ R или запишем так: D(f) = R
Формы записи ответа: D(f)=R или D(f)=(-∞:+∞)или x∈R или x∈(-∞:+∞)
Сделаем вывод:
Для любой функции вида y = ax + b областью определения является множество действительных чисел.
Пример нахождения области определения функции №2
Задана функция вида:
y = 10/(x + 5) - уравнение гиперболы
Имея дело с дробной функцией, вспомним, что на ноль делить нельзя. Следовательно функция будет существовать для всех значений х, которые не
обращают знаменатель в ноль. Попробуем подставить какие-либо произвольные значения х.
При х = 0 имеем y = 10/(0 + 5) = 2 - функция существует.
При х = 10 имеем y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/ 3 - функция существует.
При х = -5 имеем y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - функция в этой точке не существует.
Т.е. если заданная функция дробная, то необходимо знаменатель приравнять нулю и найти такую точку, в которой функция не существует.
В нашем случае:
x + 5 = 0 → x = -5 - в этой точке заданная функция не существует.
x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5
Для наглядности изобразим графически:
На графике также видим, что гипербола максимально близко приближается к прямой х = -5 , но самого значения -5 не достигает.
Видим, что заданная функция существует во всех точках действительной оси, кроме точки x = -5
Формы записи ответа: D(f)=R\{-5} илиD(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) или x∈ R\{-5} илиx∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)
Если заданная функция дробная, то наличие знаменателя накладывает условие неравенства нулю знаменателя.
Пример нахождения области определения функции №3
Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:
Так как квадратный корень мы можем извлечь только из неотрицательного числа, следовательно, функция под корнем - неотрицательна.
2х - 8 ≥ 0
Решим простое неравенство:
2х - 8 ≥ 0 → 2х ≥ 8 → х ≥ 4
Заданная функция существует только при найденных значениях х ≥ 4
или D(f)= .
Все это говорит о том, как важно наличие ОДЗ. Пример 3
Найти ОДЗ выражения x 3 + 2 · x · y − 4 .
Решение
В куб можно возводить любое число. Данное выражение не имеет дроби, поэтому значения x и у могут быть любыми. То есть ОДЗ – это любое число. Ответ:
x и y – любые значения. Пример 4
Найти ОДЗ выражения 1 3 - x + 1 0 . Решение
Видно, что имеется одна дробь, где в знаменателе ноль. Это говорит о том, что при любом значении х мы получим деление на ноль. Значит, можно сделать вывод о том, что это выражение считается неопределенным, то есть не имеет ОДЗ. Ответ:
∅ . Пример 5
Найти ОДЗ заданного выражения x + 2 · y + 3 - 5 · x . Решение
Наличие квадратного корня говорит о том, что это выражение обязательно должно быть больше или равно нулю. При отрицательном значении оно не имеет смысла. Значит, необходимо записать неравенство вида x + 2 · y + 3 ≥ 0 . То есть это и есть искомая область допустимых значений. Ответ:
множество x и y , где x + 2 · y + 3 ≥ 0 . Пример 6
Определить ОДЗ выражения вида 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) . Решение
По условию имеем дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. Получаем, что x + 1 - 1 ≠ 0 . Подкоренное выражение всегда имеет смысл, когда больше или равно нулю, то есть x + 1 ≥ 0 . Так как имеет логарифм, то его выражение должно быть строго положительным, то есть x 2 + 3 > 0 . Основание логарифма также должно иметь положительное значение и отличное от 1 , тогда добавляем еще условия x + 8 > 0 и x + 8 ≠ 1 . Отсюда следует, что искомое ОДЗ примет вид: x + 1 - 1 ≠ 0 , x + 1 ≥ 0 , x 2 + 3 > 0 , x + 8 > 0 , x + 8 ≠ 1 Иначе говоря, называют системой неравенств с одной переменной. Решение приведет к такой записи ОДЗ [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) . Ответ:
[ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞) При тождественных преобразованиях важно находить ОДЗ. Бывают случаи, когда существование ОДЗ не имеет место. Чтобы понять, имеет ли решение заданное выражение, нужно сравнить ОДЗ переменных исходного выражения и ОДЗ полученного. Тождественные преобразования: Рассмотрим на примере. Пример 7
Если имеем выражение вида x 2 + x + 3 · x , тогда его ОДЗ определено на всей области определения. Даже при приведении подобных слагаемых и упрощении выражения ОДЗ не меняется. Пример 8
Если взять пример выражения x + 3 x − 3 x , то дела обстоят иначе. У нас имеется дробное выражение. А мы знаем, что деление на ноль недопустимо. Тогда ОДЗ имеет вид (− ∞ , 0) ∪ (0 , + ∞) . Видно, что ноль не является решением, поэтому добавляем его с круглой скобкой. Рассмотрим пример с наличием подкоренного выражения. Пример 9
Если имеется x - 1 · x - 3 , тогда следует обратить внимание на ОДЗ, так как его необходимо записать в виде неравенства (x − 1) · (x − 3) ≥ 0 . Возможно решение методом интервалов, тогда получаем, что ОДЗ примет вид (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . После преобразования x - 1 · x - 3 и применения свойства корней имеем, что ОДЗ можно дополнить и записать все в виде системы неравенства вида x - 1 ≥ 0 , x - 3 ≥ 0 . При ее решении получаем, что [ 3 , + ∞) . Значит, ОДЗ полностью записывается так: (− ∞ , 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Нужно избегать преобразований, которые сужают ОДЗ. Пример 10
Рассмотрим пример выражения x - 1 · x - 3 , когда х = - 1 . При подстановке получим, что - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Если это выражение преобразовать и привести к виду x - 1 · x - 3 , тогда при вычислении получим, что 2 - 1 · 2 - 3 выражение смысла не имеет, так как подкоренное выражение не должно быть отрицательным. Следует придерживаться тождественных преобразований, которые ОДЗ не изменят. Если имеются примеры, которые его расширяют, тогда его нужно добавлять в ОДЗ. Пример 11
Рассмотрим на примере дроби вида x x 3 + x . Если сократить на x , тогда получаем, что 1 x 2 + 1 . Тогда ОДЗ расширяется и становится (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Причем при вычислении уже работаем со второй упрощенной дробью. При наличии логарифмов дело обстоит немного иначе. Пример 12
Если имеется выражение вида ln x + ln (x + 3) , его заменяют на ln (x · (x + 3)) , опираясь на свойство логарифма. Отсюда видно, что ОДЗ с (0 , + ∞) до (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Поэтому для определения ОДЗ ln (x · (x + 3)) необходимо производить вычисления на ОДЗ, то есть (0 , + ∞) множества. При решении всегда необходимо обращать внимание на структуру и вид данного по условию выражения. При правильном нахождении области определения результат будет положительным. Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter Если где-то нет чего-то, значит, где-то что-то есть
Продолжаем изучение раздела «Функции и графики», и следующая станция нашего путешествия – . Активное обсуждение данного понятия началось в статье о множествах и продолжилось на первом уроке о графиках функций
, где я рассмотрел элементарные функции, и, в частности, их области определения. Поэтому чайникам рекомендую начать с азов темы, поскольку я не буду вновь останавливаться на некоторых базовых моментах. Предполагается, читатель знает область определения следующих функций: линейной, квадратичной, кубической функции, многочленов, экспоненты, синуса, косинуса. Они определены на (множестве всех действительных чисел)
. За тангенсы, арксинусы, так и быть, прощаю =) – более редкие графики запоминаются далеко не сразу. Область определения – вроде бы вещь простая, и возникает закономерный вопрос, о чём же будет статья? На данном уроке я рассмотрю распространённые задачи на нахождение области определения функции. Кроме того, мы повторим неравенства с одной переменной
, навыки решения которых потребуются и в других задачах высшей математики. Материал, к слову, весь школьный, поэтому будет полезен не только студентам, но и учащимся. Информация, конечно, не претендует на энциклопедичность, но зато здесь не надуманные «мёртвые» примеры, а жареные каштаны, которые взяты из настоящих практических работ. Начнём с экспресс-вруба в тему. Коротко о главном: речь идёт о функции одной переменной . Её область определения – это множество значений «икс»
, для которых существуют
значения «игреков». Рассмотрим условный пример: Грубо говоря, где область определения – там есть график функции. А вот полуинтервал и точка «цэ» не входят в область определения и графика там нет. Как найти область определения функции? Многие помнят детскую считалку: «камень, ножницы, бумага», и в данном случае её можно смело перефразировать: «корень, дробь и логарифм». Таким образом, если вам на жизненном пути встречается дробь, корень или логарифм, то следует сразу же очень и очень насторожиться! Намного реже встречаются тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, и о них мы тоже поговорим. Но сначала зарисовки из жизни муравьёв: Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь . Как вы знаете, на ноль делить нельзя: , поэтому те значения «икс», которые обращают знаменатель в ноль – не входят в область определения данной функции
. Не буду останавливаться на самых простых функциях вроде Пример 1
Найти область определения функции Решение
: в числителе ничего особенного нет, а вот знаменатель должен быть ненулевым. Давайте приравняем его к нулю и попытаемся найти «плохие» точки: Полученное уравнение имеет два корня: Ответ
: область определения: Запись читается так: «область определения – все действительные числа за исключением множества, состоящего из значений Кому как нравится. В точках Пример 2
Найти область определения функции Задание, по существу, устное и многие из вас практически сразу найдут область определения. Ответ в конце урока. Всегда ли дробь будет «нехорошей»? Нет. Например, функция определена на всей числовой оси. Какое бы значение «икс» мы не взяли, знаменатель не обратится в ноль, более того, будет всегда положителен: . Таким образом, область определения данной функции: . Все функции наподобие Чуть более сложнА ситуация, когда знаменатель оккупировал квадратный трёхчлен: Пример 3
Найти область определения функции Решение
: попытаемся найти точки, в которых знаменатель обращается в ноль. Для этого решим квадратное уравнение
: Дискриминант получился отрицательным, а значит, действительных корней нет, и наша функция определена на всей числовой оси. Ответ
: область определения: Пример 4
Найти область определения функции Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока. Советую не лениться с простыми задачками, поскольку к дальнейшим примерам накопится недопонимание. Функция с квадратным корнем определена только при тех значениях «икс», когда подкоренное выражение неотрицательно
: . Если корень расположился в знаменателе , то условие очевидным образом ужесточается: . Аналогичные выкладки справедливы для любого корня положительной чётной степени: Пример 5
Найти область определения функции Решение
: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: Прежде чем продолжить решение, напомню основные правила работы с неравенствами, известные ещё со школы. Обращаю особое внимание!
Сейчас рассматриваются неравенства с одной переменной
– то есть для нас существует только одна размерность по оси
. Пожалуйста, не путайте с неравенствами двух переменных
, где геометрически задействована вся координатная плоскость. Однако есть и приятные совпадения! Итак, для неравенства равносильны следующие преобразования: 1) Слагаемые можно переносить из части в часть, меняя у них (слагаемых)
знаки. 2) Обе части неравенства можно умножить на положительное число. 3) Если обе части неравенства умножить на отрицательное
число, то необходимо сменить знак самого неравенства
. Например, если было «больше», то станет «меньше»; если было «меньше либо равно», то станет «больше либо равно». В неравенстве перенесём «тройку» в правую часть со сменой знака (правило №1): Умножим обе части неравенства на –1 (правило №3): Умножим обе части неравенства на (правило №2): Ответ
: область определения: Ответ также можно записать эквивалентной фразой: «функция определена при ». В большинстве случаев годится чисто аналитическое нахождение области определения, но когда функция сильно заморочена, следует чертить ось и делать пометки. Пример 6
Найти область определения функции Это пример для самостоятельного решения. Когда под квадратным корнем находится квадратный двучлен или трёхчлен, ситуация немного усложняется, и сейчас мы подробно разберём технику решения: Пример 7
Найти область определения функции Решение
: подкоренное выражение должно быть строго положительным, то есть нам необходимо решить неравенство . На первом шаге пытаемся разложить квадратный трёхчлен на множители: Поскольку коэффициент , то ветви параболы смотрят вверх. Из вышесказанного следует, что на интервалах выполнено неравенство (ветки параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству : Обратите внимание, что сами точки выколоты (не входят в решение), поскольку неравенство у нас строгое. Ответ
: область определения: Вообще, многие неравенства (в том числе рассмотренное) решаются универсальным методом интервалов
, известным опять же из школьной программы. Но в случаях квадратных дву- и трёхчленов, на мой взгляд, гораздо удобнее и быстрее проанализировать расположение параболы относительно оси . А основной способ – метод интервалов мы детально разберём в статье Нули функции. Интервалы знакопостоянства
. Пример 8
Найти область определения функции Это пример для самостоятельного решения. В образце подробно закомментирована логика рассуждений + второй способ решения и ещё одно важное преобразование неравенства, без знания которого студент будет хромать на одну ногу…, …хмм… на счёт ноги, пожалуй, погорячился, скорее – на один палец. Большой палец. Может ли функция с квадратным корнем быть определена на всей числовой прямой? Конечно. Знакомые всё лица: . Или аналогичная сумма с экспонентой: . Действительно, для любых значения «икс» и «ка»: , поэтому подАвно и . А вот менее очевидный пример: Вопрос противоположный: может ли область определения функции быть пустой
? Да, и сразу напрашивается примитивный пример С нечётными корнями Третья распространённая функция – логарифм. В качестве образца я буду рисовать натуральный логарифм, который попадается примерно в 99 примерах из 100. Если некоторая функция содержит логарифм , то в её область определения должны входить только те значения «икс», которые удовлетворяют неравенству . Если логарифм находится в знаменателе: , то дополнительно
накладывается условие (так как ). Пример 9
Найти область определения функции Решение
: в соответствии с вышесказанным составим и решим систему: Графическое решение для чайников: Остановлюсь ещё на одном техническом моменте – у меня ведь не указан масштаб и не проставлены деления по оси. Возникает вопрос: как выполнять подобные чертежи в тетради на клетчатой бумаге? Отмерять ли расстояние между точками по клеточкам строго по масштабу? Каноничнее и строже, конечно, масштабировать, но вполне допустим и схематический чертёж, принципиально отражающий ситуацию. Пример 10
Найти область определения функции Для решения задачи можно использовать метод предыдущего параграфа – проанализировать, как парабола расположена относительно оси абсцисс. Ответ в конце урока. Как видите, в царстве логарифмов всё очень похоже на ситуацию с квадратным корнем: функция Полезная информация
: интересна типовая функция , она определена на всей числовой прямой кроме точки . Согласно свойству логарифма , «двойку» можно вынести множителем за пределы логарифма, но, чтобы функция не изменилась, «икс» необходимо заключить под знак модуля: Чтобы не повторяться, давайте усложним задание: Пример 11
Найти область определения функции Решение
: в данной функции у нас присутствует и корень и логарифм. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: , а выражение под знаком логарифма – строго положительным: . Таким образом, необходимо решить систему: Многие из вас прекрасно знают или интуитивно догадываются, что решение системы должно удовлетворять каждому
условию. Исследуя расположение параболы относительно оси , приходим к выводу, что неравенству удовлетворяет интервал (синяя штриховка): Поскольку оба условия должны выполняться одновременно
, то решением системы является пересечение данных интервалов. «Общие интересы» соблюдены на полуинтервале . Ответ
: область определения: Типовое неравенство , как демонстрировалось в Примере №8, нетрудно разрешить и аналитически. Найденная область определения не изменится для «похожих функций», например, для Пример 12
Найти область определения функции Это пример для самостоятельного решения. Использование чертежа вполне уместно, так как функция не самая простая. Ещё пару примеров для закрепления материала: Пример 13
Найти область определения функции Решение
: составим и решим систему: Ответ
: область определения Небольшой математический каламбур на вариацию 13-го примера: Пример 14
Найти область определения функции Это пример для самостоятельного решения. Кто пропустил, тот в пролёте;-) Завершающий раздел урока посвящен более редким, но тоже «рабочим» функциям: Если в некоторую функцию входит , то из её области определения исключаются
точки Убиваться сильно не будем: Пример 15
Найти область определения функции Решение
: в данном случае и в область определения не войдут следующие точки: В принципе, ответ можно записать и в виде объединения бесконечного количества интервалов, но конструкция получится весьма громоздкой: Аналитическое решение полностью согласуется с геометрическим преобразованием графика
: если аргумент функции умножить на 2, то её график сожмётся к оси в два раза. Заметьте, как у функции уполовинился период, и точки разрыва
участились в два раза. Тахикардия. Похожая история с котангенсом. Если в некоторую функцию входит , то из её области определения исключаются точки . В частности, для функции автоматной очередью расстреливаем следующие значения:Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований?
Как ?
Примеры решений
Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
(для тех, кто позабыл: – значок объединения). Иными словами, если взять любое значение «икс» из интервала , или из , или из , то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».Область определения функции, в которой есть дробь
и т.п., поскольку все прекрасно видят точки, которые не входят в их области определения. Рассмотрим более содержательные дроби:
. Данные значения не входят в область определения функции
. Действительно, подставьте или в функцию и вы увидите, что знаменатель обращается в ноль.
». Напоминаю, что значок обратного слеша в математике обозначает логическое вычитание , а фигурные скобки – множество . Ответ можно равносильно записать в виде объединения трёх интервалов:
функция терпит бесконечные разрывы
, а прямые, заданные уравнениями 
являются вертикальными асимптотами
для графика данной функции. Впрочем, это уже немного другая тема, и далее я на этом не буду особо заострять внимание.
определены и непрерывны
на .
Область определения функции с корнем
, правда, корень уже 4-й степени в исследованиях функций
не припоминаю.
Геометрически область определения изображается штриховкой соответствующих интервалов на оси абсцисс. В данном случае:
Ещё раз напоминаю геометрический смысл области определения – график функции 
существует только на заштрихованном участке и отсутствует при .
Дискриминант положителен, ищем корни:
Таким образом, парабола 
пересекает ось абсцисс в двух точках, а это значит, что часть параболы расположена ниже оси (неравенство ), а часть параболы – выше оси (нужное нам неравенство ).
! Примечание:
если вам не до конца понятны объяснения, пожалуйста, начертите вторую ось и параболу целиком! Целесообразно вернуться к статье и методичке Горячие формулы школьного курса математики
.
. Здесь дискриминант отрицателен (парабола не пересекает ось абсцисс), при этом ветви параболы направлены вверх, следовательно, и область определения: .
, где подкоренное выражение отрицательно при любом значении «икс», и область определения: (значок пустого множества). Такая функция не определена вообще (разумеется, график тоже иллюзорен).
и т.д. всё обстоит гораздо лучше – тут подкоренное выражение может быть и отрицательным
. Например, функция определена на всей числовой прямой. Однако у функции единственная точка всё же не входит в область определения, поскольку обращают знаменатель в ноль. По той же причине для функции 
исключаются точки .Область определения функции с логарифмом
Ответ
: область определения: 
(квадратный трёхчлен из Примера №7) определена на интервалах , а функция 
(квадратный двучлен из Примера №6) на интервале . Неловко уже и говорить, функции типа определены на всей числовой прямой.
. Вот вам и ещё одно «практическое применение» модуля =). Так необходимо поступать в большинстве случаев, когда вы снОсите чётную
степень, например: 
. Если же основание степени заведомо положительно, например, , то в знаке модуля отпадает необходимость и достаточно обойтись круглыми скобками: .
Неравенству , очевидно, соответствует «красный» полуинтервал .
или 
. Также можно добавить какие-нибудь непрерывные на функции, например: , или так: 
, или даже так: . Как говорится, корень и логарифм – вещь упрямая. Единственное, если одну из функций «сбросить» в знаменатель, то область определения изменится (хотя в общем случае это не всегда справедливо). Ну а в теории матана по поводу этого словесного… ой… существуют теоремы.
Все действия уже разобраны по ходу статьи. Изобразим на числовой прямой интервал, соответствующий неравенству и, согласно второму условию, исключим две точки:
Значение оказалось вообще не при делах.
Области определения функций
с тангенсами, котангенсами, арксинусами, арккосинусами
, где Z
– множество целых чисел . В частности, как отмечалось в статье Графики и свойства элементарных функций
, у функции выколоты следующие значения:
То есть, область определения тангенса: 
.
Скинем «двойку» левой части в знаменатель правой части:
В результате 
:
Ответ
: область определения: 
.
Иными словами:
