ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................. 3

1. ..…………….4

2. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ ………………………………………..6

2.1 Алгоритм метода ветвей и грани ц…………………………………....10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………….14

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………… ………….15

ВВЕДЕНИЕ

Впервые метод ветвей и границ был предложен Лендом и Дойгом в 1960 для решения общей задачи целочисленного линейного программирования. Интерес к этому методу и фактически его “второе рождение” связано с работой Литтла, Мурти, Суини и Кэрела, посвященной задаче комивояжера. Начиная с этого момента, появилось большое число работ, посвященных методу ветвей и границ и различным его модификациям. Столь большой успех объясняется тем, что авторы первыми обратили внимание на широту возможностей метода, отметили важность использования специфики задачи и сами воспользовались спецификой задачи коммивояжера.

В основе метода ветвей и границ лежит идея последовательного разбиения множества допустимых решений на подмножества (стратегия “разделяй и властвуй”). На каждом шаге метода элементы разбиения подвергаются проверке для выяснения, содержит данное подмножество оптимальное решение или нет. Проверка осуществляется посредством вычисления оценки снизу для целевой функции на данном подмножестве. Если оценка снизу не меньше рекорда - наилучшего из найденных решений, то подмножество может быть отброшено. Проверяемое подмножество может быть отброшено еще и в том случае, когда в нем удается найти наилучшее решение. Если значение целевой функции на найденном решении меньше рекорда, то происходит смена рекорда. По окончанию работы алгоритма рекорд является результатом его работы.

Если удается отбросить все элементы разбиения, то рекорд - оптимальное решение задачи. В противном случае, из не отброшенных подмножеств выбирается наиболее перспективное (например, с наименьшим значением нижней оценки), и оно подвергается разбиению. Новые подмножества вновь подвергаются проверке и т. д.

1. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Целочисленным (иногда его называют также дискретным) программированием называется раздел математического программирования, изучающий экстремальные задачи, в которых на искомые переменные накладывается условие целочисленности, а область допустимых решений конечна.

Огромное количество экономических задач носит дискретный, чаще всего целочисленный характер, что связано, как правило с физической неделимостью многих элементов расчета: например, нельзя построить два с половиной завода, купить полтора автомобиля и т. д. В ряде случаев такие задачи решаются обычными методами, например, симплексным методом, с последующим округлением до целых чисел.

Однако такой подход оправдан, когда отдельная единица составляет очень малую часть всего объема (например, товарных запасов); в противном случае он может внести значительные искажения в действительно оптимальное решение. Поэтому разработаны специальные методы решения целочисленных задач.

1. Количество целочисленных переменных уменьшать насколько возможно. Например, целочисленные переменные, значения которых должно быть не менее 20, можно рассматривать как непрерывные.

2. В отличие от общих задач ЛП, добавление новых ограничений особенно включающих целочисленные переменные, обычно уменьшают время решения задач ЦП.

3. Если нет острой необходимости в нахождении точного оптимального целочисленного решения, отличающегося от непрерывного решения, например, 3%. Тогда реализацию метода ветвей и границ для задачи максимизации можно заканчивать, если отношение разницы между верхней и нижней границ к верхней границы меньше 0,03.

Метод ветвей и границ можно применять для решения задач нелинейного программирования.

Метод ветвей и границ - один из комбинаторных методов. Его суть заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.

Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых решений (планов) некоторым способом разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс продолжается до тех пор, пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи.

2. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ

Одним из широко распространенных методов решения целочислен­ных задач является метод ветвей и границ, который может быть ис­пользован как для задач линейного программирования, так и для задач, не сводимых к задачам линейного программирования. Рассмотрим идею метода ветвей и границ на примере общей задачи дискретного про­граммирования

f(X) -> max,

Х€D,

где D - конечное множество.

Сначала найдем оценку £(D) (границу) функции f(X), X е D: f(X) ≤ £(D) для V X е D. Если для некоторого плана Х° задачи справедливо равенствоf(X0) = £(D), то Х° = X* является решением задачи. Если указанное условие не выполняется, то возмож­но разбиение (ветвление) множества D на конечное число непересека­ющихся подмножеств D1i: ỤD1i. = D, ∩D1i = Ө, и вычисление оценки £(D1i) (границ), 1≤i≤m (Рисунок 2.1)

Рисунок 2. 1

Если для некоторого плана X1i е Di1, 1 ≤ / ≤ m выполняется условие f(Xkl)= £(D1k)≥ £(D1i), 1≤i≤m то Xk1=X* является оптимальным планом (решением) задачи (7.9)-(7.10).

Если такого плана нет, то выбирается подмножество Dkl с наиболь­шей оценкой £(D1i) и разбивается на конечное число непересекающихся подмножеств D2kj: UD2kj=D1k, ∩D2kj=Ө. Для каждого подмножества находится оценка £(D2kj), 1≤j≤n (Рисунок 2.2)

Рисунок 2.2

Если при этом найдется план X2j е D2kJ, 1 ≤j ≤n, такой, что f(X2r)= £(D2kr)≥ £(D2kj), 1≤j≤n, то X2r= X* является решением задачи. Если такого плана нет, то процедуру ветвления осуществля­ют для множества D2kj с наибольшей оценкой £(D2kj) , 1≤j≤n. Способ ветвления определяется спецификой конкретной задачи.

Рассмотрим задачу, которую можно свести к задаче целочисленного линейного программирования.

Пример.

Контейнер объемом 5 м3 помещен на контейнеровоз грузо­подъемностью 12 т. Контейнер требуется заполнить грузом двух наиме­нований. Масса единицы груза mj (в тоннах), объем единицы груза Vj (в м3), стоимости Cj (в условных денежных единицах) приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Вид груза у			С j

Требуется загрузить контейнер таким образом, чтобы стоимость пе­ревозимого груза была максимальной.

Решение. Математическая модель задачи имеет вид

Z(X) = 10x1+12x2→max,

3x1+x2≤12,

x1+2x2≤5

x1≥0

x2≥0

x1, x2- целые числа

где x1, x2 - число единиц соответственно первого и второго груза.

Множество планов этой задачи обозначим через D - это множество целых точек многогранника ОАВС (Рисунок 2.3).

Рисунок 2. 3

Сначала решаем задачу без условия целочисленности, получим оценку множества D - значение функции Z(X) на оптималь­ном плане Х° = (19/5, 3/5).

Точка X не является оптимальным планом задачи. По­этому в соответствии с методом ветвей и границ требуется разбить множество D на непересекающиеся подмножества. Выберем первую нецелочисленную переменную x1=19/5=34/5 и разобьем множество D на два непересекающихся подмножества D11 и D22. Линии x1=3 (L3) и x4= (L3) являются линиями разбиения.

Рисунок 2. 4

L \

Найдем оценки £(D11) и £(D12), для чего решим задачи линейного программирования.

Z(X)=10x1+12x2→max,

3x1+x2≤12

x1+2x2≤5

x1≤3

x1≥0, x2 – целые числа

Z(X)=10x1+12x2→max,

3x1+ x2≤12

x1+2x2≤5

x1≥4

x1≥0, x2 – целые числа

Например, графическим методом:

X11eD11→X01= (3,1); £(D11)=42; X12eD12→X02= (4,0); £(D12)=40.

Результат ветвления приведен на Рисунок 2.5

Рисунок 2. 5

План X01 удовлетворяет условиям задачи, и для него выполняется условие: Z(X11)= £(D11)=42 > £(/)/) = 42 >£(D12) = 40. Следовательно, план X°1= (3, 1) является решением задачи (7.11)-(7.13), т. е. надо взять три единицы первого груза и одну единицу второго груза.

2.1 Алгоритм метода ветвей и границ

· Находим решение задачи линейного программирования без учета целочисленности.

· Составляет дополнительные ограничения на дробную компоненту плана.

· Находим решение двух задач с ограничениями на компоненту.

· Строим в случае необходимости дополнительные ограничения, согласно возможным четырем случаям получаем оптимальный целочисленный план либо устанавливаем неразрешимость задачи.

Алгоритм действия метода ветвей и границ

Первоначально находим, к примеру, симплекс-методом оптимальный план задачи без учета целочисленности переменных. Пусть им является план X0. Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение данной задачи и Fmax = F(X0).

Если же среди компонент плана X0 имеются дробные числа, то X0 не удовлетворяет условию целочисленности и необходимо осуществить упорядоченный переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи. Покажем, как это можно сделать, предварительно отметив, что F(X0) ³ F(X) для всякого последующего плана X в связи с увеличением количества ограничений.

Предполагая, что найденный оптимальный план X0 не удовлетворяет условию целочисленности переменных, тем самым считаем, что среди его компонент есть дробные числа. Пусть, например, переменная приняла в плане X0 дробное значение. Тогда в оптимальном целочисленном плане ее значение будет по крайней мере либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу, либо больше или равно ближайшему большему целому числу font-size:14.0pt">font-size:14.0pt">Найдем решение задач линейного программирования (5) и (6). Очевидно, здесь возможен один из следующих четырех случаев:

1. Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции на нем и дают решение исходной задачи.

2. Одна из задач неразрешима, а другая имеет оптимальный план, среди компонент которого есть дробные числа. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу, и строим две задачи, аналогичные задачам (5) и (6).

3. Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане другой задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значения целевой функции на этих планах и сравниваем их между собой.

3.1. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и он вместе со значением целевой функции на нем дает искомое решение.

3.2. Если же значение целевой функции больше на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то следует взять одно из таких чисел и для задачи, план которой рассматривается, необходимо построить две задачи, аналогичные (5) и (6).

4. Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда вычисляем значение целевой функции на данных оптимальных планах и рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. В оптимальном плане этой задачи выбираем одну из компонент, значение которой является дробным числом, и строим две задачи, аналогичные (5) и (6).

Общий алгоритм решения задач с помощью метода границ и ветвей, его суть

Таким образом, описанный выше итерационный процесс может быть представлен в виде некоторого дерева, на котором исходная вершина отвечает оптимальному плану Х0, а каждая соединенная с ней ветвью вершина отвечает оптимальным планам задач (5) и (6). Каждая из этих вершин имеет свои ветвления. При этом на каждом шаге выбирается та вершина, для которой значение функции является наибольшим. Если на некотором шаге будет получен план, имеющий целочисленные компоненты, и значение функции на нем окажется больше или равно, чем значение функции в других возможных для ветвления вершинах, то данный план является оптимальным планом исходной задачи целочисленного программирования и значение целевой функции на нем является максимальным.

Итак, процесс нахождения решения задачи целочисленного программирования методом ветвей и границ включает следующие основные этапы:

1. Находят решение задачи линейного программирования.

2. Составляют дополнительные ограничения для одной из переменных, значение которой в оптимальном плане является дробным числом.

3. Находят решение задач (5) и (6), которые получаются из задачи (1)-(3) в результате присоединения дополнительных ограничений.

4. В случае необходимости составляют дополнительные ограничения для переменной, значение которой является дробным, формулируют задачи, аналогичные задачам (5) и (6), и находят их решение.

Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока не будет найдена вершина, соответствующая целочисленному плану задачи (1)-(4) и такая, что значение функции в этой вершине больше или равно значению функции в других возможных для ветвления вершинах.

Описанный выше метод ветвей и границ имеет более простую логическую схему расчетов, чем метод Гомори. Поэтому в большинстве случаев для нахождения решения конкретных задач целочисленного программирования с использованием ЭВМ применяется именно этот метод.

Пример использования метода ветвей и границ

В качестве примера к методу ветвей и границ рассмотрим функцию z=4х1+х2+1®max при ограничениях:

font-size:14.0pt">Пусть Х0 = (0; 0), z0 = 1 - «оптимальное» решение. Выполним 1-й этап общего алгоритма и найдем с помощью симплекс-метода, а затем и двойственного симплекс-метода (см. Приложение 1) X1, исходя из ограничений Итак, X1 = (3; 0,5; 0; 1; 0; 2,5), z1= 13,5. Так как z1 дробное, то «оптимальным» так и остается план Х0,

Согласно 2-му пункту нашего плана, составим 2 новых системы ограничений для:

https://pandia.ru/text/79/453/images/image012_25.gif" alt="Описание: http://*****/images/paper/93/79/4327993.png" width="108" height="98"> .

Выполним 3-й пункт алгоритма. Для начала, решим задачу с помощью табличного процессора Microsoft Excel (Приложение 2) и получим X2 = (2; 1) z2= 10. Так как z2 ≥ z0, «оптимальным» становится план Х0.

Решим задачу. Из последнего уравнения очевидно, что x2 = 0. Отсюда следует, что x1 = 3 (максимально возможное). Тогда Х3 = (3; 0), z3 = 13, а следовательно, данный план является оптимальным (теперь уже без кавычек).

Нам не пришлось выполнять 4-й пункт нашего алгоритма в связи с тем, что оптимальное решение найдено, переменные целочисленные. Пример, в котором всё складывается не так просто, приведен в Приложении 3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе была рассмотрена сущность целочисленного программирования. Затронуты специальные методы решения целочисленных задач. Такие задачи возникают при моделировании разнообразных производственно-экономических, технических, военных и других ситуаций. В то же время ряд проблем самой математики может быть сформулирован как целочисленные экстремальные задачи.

Задачи такого типа весьма актуальны, так как к их решению сводится анализ разнообразных ситуаций, возникающих в экономике, технике, военном деле и других областях. Эти задачи интересны и с математической точки зрения. С появлением ЭВМ, ростом их производительности повысился интерес к задачам такого типа и к математике в целом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. Схрейвер. Теория линейного и целочисленного программирования: в 2-х томах.; перевод с английского. 1991г. 360с.

2. Т. Ху. Целочисленное программирование и потоки в сетях.; перевод с английского. 1974г.

3. , . Высшая математика: Математическое программирование. Ученик - 2-е издание. 2001г. 351с.

4. . Математическое программирование: Учебное пособие – 5-е издание, стереотип-М:ФИЗМАТ, 2001г.-264с.

5. , .: Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ЮНИТИ, 1999г.-391с.

6. , ; под ред. Проф. . : Исследование операций в экономике; учеб. Пособие для вузов.

Приложение 2

Решение задачи z = 4х1 + х2 +1 ® max при ограничениях:

с помощью табличного процессора Microsoft Excel.

Одна из самых известных и важных задач транспортной логистики (и класса задач оптимизации в целом) – задача коммивояжера (англ. «Travelling salesman problem», TSP ). Также встречается название «задача о бродячем торговце ». Суть задачи сводится к поиску оптимального, то есть кратчайшего пути проходящего через некие пункты по одному разу. Например, задача коммивояжера может применяться для нахождения самого выгодного маршрута, позволяющего объехать определенные города со своим товаром по одному разу и вернуться в исходную точку. Мерой выгодности маршрута будет минимальное время, проведенное в пути, минимальные расходы на дорогу или, в простейшем случае, минимальная длина пути.

Кто и когда впервые начал исследовать задачу коммивояжера неизвестно, но одним из первых предложил решение подобной проблемы выдающийся математик XIX в. – Уильям Гамильтон. Здесь мы рассмотрим замкнутый вариант задачи (т.е. такой, когда в итоге мы возвращаемся в исходную точку) и ее решение методом ветвей и границ .

Общий план решения задачи коммивояжера

Для решения задачи коммивояжера методом ветвей и границ необходимо выполнить следующий алгоритм (последовательность действий):

1. Построение матрицы с исходными данными.
2. Нахождение минимума по строкам.
3. Редукция строк.
4. Нахождение минимума по столбцам.
5. Редукция столбцов.
6. Вычисление оценок нулевых клеток.
7. Редукция матрицы.
8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9.
9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута.

Более подробно эти этапы решения задачи о бродячем торговце раскрыты ниже.

Подробная методика решения задачи коммивояжера

В целях лучшего понимания задачи будем оперировать не понятиями графа, его вершин и т.д., а понятиями простыми и максимально приближенными к реальности: вершины графа будут называться «города», ребра их соединяющие – «дороги».

Итак, методика решения задачи коммивояжера:

1. Построение матрицы с исходными данными

Сначала необходимо длины дорог соединяющих города представить в виде следующей таблицы:

В нашем примере у нас 4 города и в таблице указано расстояние от каждого города к 3-м другим, в зависимости от направления движения (т.к. некоторые ж/д пути могут быть с односторонним движением и т.д.).

Расстояние от города к этому же городу обозначено буквой M. Также используется знак бесконечности. Это сделано для того, чтобы данный отрезок путь был условно принят за бесконечно длинный. Тогда не будет смысла выбрать движение от 1-ого города к 1-му, от 2-ого ко 2-му, и т.п. в качестве отрезка маршрута.

2. Нахождение минимума по строкам

Находим минимальное значение в каждой строке (di ) и выписываем его в отдельный столбец.

3. Редукция строк

Производим редукцию строк – из каждого элемента в строке вычитаем соответствующее значение найденного минимума (di).

В итоге в каждой строке будет хотя бы одна нулевая клетка .

4. Нахождение минимума по столбцам

5. Редукция столбцов

Вычитаем из каждого элемента матрицы соответствующее ему dj.

В итоге в каждом столбце будет хотя бы одна нулевая клетка .

6. Вычисление оценок нулевых клеток

Для каждой нулевой клетки получившейся преобразованной матрицы находим «оценку ». Ею будет сумма минимального элемента по строке и минимального элемента по столбцу, в которых размещена данная нулевая клетка. Сама она при этом не учитывается. Найденные ранее di и dj не учитываются. Полученную оценку записываем рядом с нулем, в скобках.

И так по всем нулевым клеткам:

7. Редукция матрицы

Выбираем нулевую клетку с наибольшей оценкой. Заменяем ее на «М ». Мы нашли один из отрезков пути. Выписываем его (от какого города к какому движемся, в нашем примере от 4-ого к 2-му).

Ту строку и тот столбец, где образовалось две «М» полностью вычеркиваем. В клетку, соответствующую обратному пути , ставим еще одну букву «М» (т.к. мы уже не будем возвращаться обратно).

8. Если полный путь еще не найден, переходим к пункту 2, если найден к пункту 9

Если мы еще не нашли все отрезки пути, то возвращаемся ко 2 -му пункту и вновь ищем минимумы по строкам и столбцам, проводим их редукцию, считаем оценки нулевых клеток и т.д.

Если все отрезки пути найдены (или найдены еще не все отрезки, но оставшаяся часть пути очевидна) – переходим к пункту 9 .

9. Вычисление итоговой длины пути и построение маршрута

Найдя все отрезки пути, остается только соединить их между собой и рассчитать общую длину пути (стоимость поездки по этому маршруту, затраченное время и т.д.). Длины дорог соединяющих города берем из самой первой таблицы с исходными данными.

В нашем примере маршрут получился следующий: 4 → 2 → 3 → 1 → 4 .

Общая длина пути: L = 30 .

Практическое применение задачи коммивояжера

Применение задачи коммивояжера на практике довольно обширно. В частности ее можно использовать для поиска кратчайшего маршрута при гастролях эстрадной группы по городам, нахождения последовательности технологических операций обеспечивающей наименьшее время выполнения всего производственного цикла и пр.

Решение задачи коммивояжера онлайн

Галяутдинов Р.Р.

© Копирование материала допустимо только при указании прямой гиперссылки на

4.3.1. Общая схема метода «ветвей и границ». Другим широко применяемым для решения задач дискретного програм­мирования методом является метод ветвей и границ . Впервые данный метод для решения ЦЗЛП предложили в 1960 г. Лэнг и Дойг, а его «второе рождение» произошло в 1963 г. в связи с выходом работы Литтла, Мурти, Суини и Кэрел, посвященной решению задачи о коммивояжере .

Вообще говоря, термин «метод ветвей и границ» является соби­рательным и включает в себе целое семейство методов, применяе­мых для решения как линейных, так и нелинейных дискретных задач, объединяемое общими принципами. Кратко изложим их.

Пусть стоит задача:

где D - конечное множество.

Алгоритм является итеративным, и на каждой итерации про­исходит работа с некоторым подмножеством множества D . На­зовем это подмножество текущим и будем обозначать его как D ( q ) , где q - индекс итерации. Перед началом первой итерации в качестве текущего множества выбирается все множество D (D (1) =D ), и для него некоторым способом вычисляется значе­ние верхней оценки для целевой функции max f(x) ≤ ξ( D (1)). Стандартная итерация алгоритма состоит из следующих этапов:

1°. Если можно указать план x (q ) ∊D (q ) , для которого f(x (q ) ) ≤ξ( D (q )), то x (q ) =х* - решение задачи (4.29).

2°. Если такой план не найден, то область определения D (q ) некоторым образом разбивается на подмножества D 1 (q ) , D 2 (q ) , ..., D lq (q ) , удовлетворяющие условиям:

Для каждого подмножества находятся оценки сверху (вер­хние границы) для целевой функции ξD 1 ( q ) , ξD 2 ( q ) , ..., ξD l 1 ( q ) , уточняющие ранее полученную оценку ξD ( q ) , то есть ξD i ( q ) ≤ ξD ( q ) , i ∊1:l q . Возможно одно из двух:

2.1. Если существует такой план х ( q ) , что

то этот план оптимальный.

2.2. Если такой план не найден, то выбирается одно из мно­жеств D i ( q ) , i ∊1:l q (как правило, имеющее наибольшую оценку

Все имеющиеся к текущему моменту концевые подмножества, т. е. те подмножества, которые еще не подверглись процессу дробления, переобозначаются как D 1 ( q +1) , D 2 ( q +1) ,..., D l ( q +1) ( q +1) , после чего процесс повторяется.

Схема дробления множества D представлена на рис. 4.3 в виде графа. Существуют и более сложные системы индексации подмножеств, при которых не требуется их переобозначение на каждом шаге.

Конкретные реализации метода ветвей и границ связаны с правилами разбиения на подмножества (правилами ветвления) и построения оценок значений целевых функций на данных под­множествах (границ).

4.3.2. Решение ЦЗЛП методом ветвей и границ. Рас­смотрим применение алгоритма метода ветвей и границ для решения ЦЗЛП (4.2)-(4.3). Как уже упоминалось, через D ( q ) обозначается подмножество множества допустимых планов за­дачи. Перед началом первой итерации (q = 1) в качестве теку­щего множества берется все множество D (D (1) = D ), после чего решается стандартная задача линейного программирования (D (1) , f ). Нетрудно заметить, что она является непрерывным аналогом

исходной задачи (4.2)-(4.3). Если найденный оптималь­ный план (1) содержит только целочисленные компоненты, то он является и оптимальным планом для (4.2)-(4.3): (1) = x* . В противном случае значение f ( (1)) становится оценкой (верх­ней границей) значения целевой функции на множестве D (1) , и мы переходим к выполнению стандартной итерации алгоритма. Опишем входящие в нее этапы.

1) Выбирается некоторая нецелочисленная компонента пла­на k ( q ) . Поскольку в оптимальном плане она должна быть це­лой, то можно наложить ограничения x k ≤ [ k ( q ) ] и x k ≥ [ k ( q ) ]+1. Таким образом, D ( q ) разбивается на подмножества

Графическая интерпретация такого разбиения множества D ( q ) приведена на рис. 4.4.

2) Решаются задачи линейного программирования

Соответствующие максимальные значения целевой функции принимаются как ее оценки на этих множествах:

Если оптимальный план для одной из решенных задач удов­летворяет условию

и содержит только целые компоненты, то, значит, найдено ре­шение основной задачи (4.2)-(4.3). В противном случае среди всех концевых подмножеств , полученных как на предыду­щих (D i ( q )), так и на текущем (D 1 ( q ) , D 2 ( q )) этапе, выбирается об­ласть с наибольшей оценкой ξ(D i ( q )). Она становится текущим рассматриваемым подмножеством (D ( q +1)). Далее производится перенумерация концевых множеств и вычислительный процесс итеративно повторяется.

При решении задач (D 1 ( q ) , f ) и (D 2 ( q ) , f ) можно воспользовать­ся результатами решения предыдущей задачи (D ( q ) , f ). Рас­смотрим вариант организации вычислительного процесса на примере задачи ( 1 ( q ) , f ) (для ( 2 ( q ) , f ) он выглядит аналогично с точностью до знаков неравенств).

Предположим, что на последнем шаге решения задачи (D ( q ) , f ) был получен оптимальный базис β. Без ограничения общности можно считать, что он состоит из первых m столбцов матрицы задачи. Данное предположение делается исключитель­но для обеспечения наглядности дальнейшего изложения и оче­видно, что его выполнения можно всегда добиться за счет про­стой перенумерации векторов а j . По аналогии с предыдущим параграфом введем обозначения для элементов матрицы задачи (D ( q ) , f ) и ее вектора ограничений относительно базиса :

Тогда система ограничений задачи (D ( q ) , f ) может быть пред­ставлена как

а получаемая на ее основе система ограничений задачи ( 1 ( q ) , f ) как

где х n +1 ≥ 0 - фиктивная переменная, которой соответствует нулевой коэффициент в целевой функции, добавляемая для пре­образования неравенства в строгое равенство.

Очевидно, что 1≤k≤m , т. к. небазисные компоненты опти­мального плана (m +1≤j≤n ) равны нулю, т. е. являются заведо­мо целочисленными. Тогда с учетом сделанных предположений о виде базиса можно записать:

Как видно из (4.39), в k -м столбце имеется всего два отлич­ных от нуля элемента: в k -й и (m +1)-й строках. Если вычесть из (m +1)-го уравнения k -e, то, учитывая, что [ά k ] – ά k =-{ά k }, по­лучим эквивалентную систему:

Проведенные преобразования системы ограничений D 1 ( q ) по­зволили явно выделить сопряженный базис, образуемый столб­цами с номерами 1,..., m , n +1, и соответствующий ему псевдо­план (ά 1 , ..., ά m , 0,...., 0, -{ά k }), т.е. для решения задачи (D 1 ( q ) , f ) может быть применен алгоритм двойственного симплекс-мето­да. Практически вычислительный процесс для данного этапа сводится к преобразованию к симплекс-таблицы, показанному на рис. 4.5.

Для случая задачи (D 2 ( q ) , f ) преобразование симплекс-табли­цы, получаемое на базе аналогичных рассуждений, приведено на рис. 4.6.

Очевидным недостатком алгоритма метода ветвей и границ при решении задач большой размерности является необходи­мость перебрать слишком большое количество вариантов пе­ред тем, как будет найден оптимальный план. Однако он отчасти может быть преодолен, если ограничиться поиском не опти­мального, а просто «хорошего» (близкого к оптимальному) пла­на. О степени такой близости и скорости приближения к экст­ремуму нетрудно судить по изменению значений оценок.

Подчеркнем, что приведенная реализация метода ветвей и границ является одной из многих . Помимо нее, например, очень популярна версия метода решения задачи коммивояжера, в которой для ветвления и построения оценок используют специфические свойства данной модели. При желании о ней мож­но прочесть в .

КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ

Ø Ø Задачи с неделимостями.

Ø Ø Экстремальные комбинаторные задачи.

Ø Ø Задачи с разрывными целевыми функциями.

Ø Ø Правильное отсечение.

Ø Ø Метод Гомори.

Ø Ø Методы ветвей и границ.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

4.1. Какие основные проблемы возникают при решении дис­кретных задач?

4.2. Сформулируйте задачу о ранце.

4.3. Какие экономико-математические модели могут быть све­дены к задаче о коммивояжере?

4.4. Приведите пример моделей с разрывными целевыми функ­циями.

4.5. Какой принцип используется для построения правильно­го отсечения в методе Гомори?

4.6. Перечислите основные этапы, входящие в «большую» итерацию метода Гомори.

4.7. Какую роль играет алгоритм двойственного симплекс-ме­тода при решении целочисленной

линейной задачи мето­дом Гомори?

4.8. Перечислите принципиальные идеи, лежащие в основе ме­тодов ветвей и границ.

4.9. Как производится построение отсечения при решении це­лочисленной линейной задачи методом

ветвей и границ?

4.10. Опишите схему решения целочисленной задачи линейно­го программирования методом ветвей и

4.11. За счет каких преобразований удается построить сопря­женный базис при добавлении

отсекающего ограничения?

Решение будем вести с использованием калькулятора . Возьмем в качестве произвольного маршрута:
X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1)
Тогда F(X 0) = 90 + 40 + 60 + 50 + 20 = 260
Для определения нижней границы множества воспользуемся операцией редукции или приведения матрицы по строкам, для чего необходимо в каждой строке матрицы D найти минимальный элемент.
d i = min(j) d ij

i j	1	2	3	4	5	d i
1	M	90	80	40	100	40
2	60	M	40	50	70	40
3	50	30	M	60	20	20
4	10	70	20	M	50	10
5	20	40	50	20	M	20

Затем вычитаем d i из элементов рассматриваемой строки. В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке будет как минимум один ноль.

i j	1	2	3	4	5
1	M	50	40	0	60
2	20	M	0	10	30
3	30	10	M	40	0
4	0	60	10	M	40
5	0	20	30	0	M

Такую же операцию редукции проводим по столбцам, для чего в каждом столбце находим минимальный элемент:
d j = min(i) d ij

i j	1	2	3	4	5
1	M	50	40	0	60
2	20	M	0	10	30
3	30	10	M	40	0
4	0	60	10	M	40
5	0	20	30	0	M
d j	0	10	0	0	0

После вычитания минимальных элементов получаем полностью редуцированную матрицу, где величины d i и d j называются константами приведения .

i j	1	2	3	4	5
1	M	40	40	0	60
2	20	M	0	10	30
3	30	0	M	40	0
4	0	50	10	M	40
5	0	10	30	0	M

Сумма констант приведения определяет нижнюю границу H:
H = ∑d i + ∑d j
H = 40+40+20+10+20+0+10+0+0+0 = 140
Элементы матрицы d ij соответствуют расстоянию от пункта i до пункта j.
Поскольку в матрице n городов, то D является матрицей nxn с неотрицательными элементами d ij >=0
Каждый допустимый маршрут представляет собой цикл, по которому коммивояжер посещает город только один раз и возвращается в исходный город.
Длина маршрута определяется выражением:
F(M k) = ∑d ij
Причем каждая строка и столбец входят в маршрут только один раз с элементом d ij .
Шаг №1 .
Определяем ребро ветвления

i j	1	2	3	4	5	d i
1	M	40	40	0(40)	60	40
2	20	M	0(20)	10	30	10
3	30	0(10)	M	40	0(30)	0
4	0(10)	50	10	M	40	10
5	0(0)	10	30	0(0)	M	0
d j	0	10	10	0	30	0

d(1,4) = 40 + 0 = 40; d(2,3) = 10 + 10 = 20; d(3,2) = 0 + 10 = 10; d(3,5) = 0 + 30 = 30; d(4,1) = 10 + 0 = 10; d(5,1) = 0 + 0 = 0; d(5,4) = 0 + 0 = 0;
Наибольшая сумма констант приведения равна (40 + 0) = 40 для ребра (1,4), следовательно, множество разбивается на два подмножества (1,4) и (1*,4*).

H(1*,4*) = 140 + 40 = 180
Исключение ребра (1,4) проводим путем замены элемента d 14 = 0 на M, после чего осуществляем очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества (1*,4*), в результате получим редуцированную матрицу.

i j	1	2	3	4	5	d i
1	M	40	40	M	60	40
2	20	M	0	10	30	0
3	30	0	M	40	0	0
4	0	50	10	M	40	0
5	0	10	30	0	M	0
d j	0	0	0	0	0	40

Включение ребра (1,4) проводится путем исключения всех элементов 1-ой строки и 4-го столбца, в которой элемент d 41 заменяем на М, для исключения образования негамильтонова цикла.
В результате получим другую сокращенную матрицу (4 x 4), которая подлежит операции приведения.

∑d i + ∑d j = 10

i j	1	2	3	5	d i
2	20	M	0	30	0
3	30	0	M	0	0
4	M	50	10	40	10
5	0	10	30	M	0
d j	0	0	0	0	10

Нижняя граница подмножества (1,4) равна:
H(1,4) = 140 + 10 = 150 ≤ 180
Поскольку нижняя граница этого подмножества (1,4) меньше, чем подмножества (1*,4*), то ребро (1,4) включаем в маршрут с новой границей H = 150
Шаг №2 .
Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).
С этой целью для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на М(бесконечность) и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения, они приведены в скобках.

i j	1	2	3	5	d i
2	20	M	0(20)	30	20
3	30	0(10)	M	0(30)	0
4	M	40	0(30)	30	30
5	0(30)	10	30	M	10
d j	20	10	0	30	0

d(2,3) = 20 + 0 = 20; d(3,2) = 0 + 10 = 10; d(3,5) = 0 + 30 = 30; d(4,3) = 30 + 0 = 30; d(5,1) = 10 + 20 = 30;
Наибольшая сумма констант приведения равна (0 + 30) = 30 для ребра (3,5), следовательно, множество разбивается на два подмножества (3,5) и (3*,5*).
Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества:
H(3*,5*) = 150 + 30 = 180
Исключение ребра (3,5) проводим путем замены элемента d 35 = 0 на M, после чего осуществляем очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества (3*,5*), в результате получим редуцированную матрицу.

i j	1	2	3	5	d i
2	20	M	0	30	0
3	30	0	M	M	0
4	M	40	0	30	0
5	0	10	30	M	0
d j	0	0	0	30	30

Включение ребра (3,5) проводится путем исключения всех элементов 3-ой строки и 5-го столбца, в которой элемент d 53 заменяем на М, для исключения образования негамильтонова цикла.
В результате получим другую сокращенную матрицу (3 x 3), которая подлежит операции приведения.
Сумма констант приведения сокращенной матрицы:
∑d i + ∑d j = 10
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

i j	1	2	3	d i
2	20	M	0	0
4	M	40	0	0
5	0	10	M	0
d j	0	10	0	10

Нижняя граница подмножества (3,5) равна:
H(3,5) = 150 + 10 = 160 ≤ 180
Поскольку нижняя граница этого подмножества (3,5) меньше, чем подмножества (3*,5*), то ребро (3,5) включаем в маршрут с новой границей H = 160
Шаг №3 .
Определяем ребро ветвления и разобьем все множество маршрутов относительно этого ребра на два подмножества (i,j) и (i*,j*).
С этой целью для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на М(бесконечность) и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения, они приведены в скобках.

i j	1	2	3	d i
2	20	M	0(20)	20
4	M	30	0(30)	30
5	0(20)	0(30)	M	0
d j	20	30	0	0

d(2,3) = 20 + 0 = 20; d(4,3) = 30 + 0 = 30; d(5,1) = 0 + 20 = 20; d(5,2) = 0 + 30 = 30;
Наибольшая сумма констант приведения равна (0 + 30) = 30 для ребра (5,2), следовательно, множество разбивается на два подмножества (5,2) и (5*,2*).
Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества:
H(5*,2*) = 160 + 30 = 190
Исключение ребра (5,2) проводим путем замены элемента d 52 = 0 на M, после чего осуществляем очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества (5*,2*), в результате получим редуцированную матрицу.

i j	1	2	3	d i
2	20	M	0	0
4	M	30	0	0
5	0	M	M	0
d j	0	30	0	30

Включение ребра (5,2) проводится путем исключения всех элементов 5-ой строки и 2-го столбца, в которой элемент d 25 заменяем на М, для исключения образования негамильтонова цикла.
В результате получим другую сокращенную матрицу (2 x 2), которая подлежит операции приведения.
Сумма констант приведения сокращенной матрицы:
∑d i + ∑d j = 20
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

i j	1	3	d i
2	20	0	0
4	M	0	0
d j	20	0	20

Нижняя граница подмножества (5,2) равна:
H(5,2) = 160 + 20 = 180 ≤ 190
Поскольку нижняя граница этого подмножества (5,2) меньше, чем подмножества (5*,2*), то ребро (5,2) включаем в маршрут с новой границей H = 180
В соответствии с этой матрицей включаем в гамильтонов маршрут ребра (2,1) и (4,3).
В результате по дереву ветвлений гамильтонов цикл образуют ребра:
(1,4), (4,3), (3,5), (5,2), (2,1),
Длина маршрута равна F(Mk) = 180

Впервые метод ветвей и границ был предложен в 1960 г. в работе Лэнд и Дойг применительно к задаче целочисленного линейного программирования. Однако эта работа не оказала заметного непосредственного влияния на развитие дискретного программирования. Фактически «второе рождение» метода ветвей и границ связано с работой Литтла, Мурти, Суини и Кэрел , посвященной задаче коммивояжера; в этой же работе было впервые предложено и общепринятое теперь название метода «метод ветвей и границ». Начиная с этого момента появляется весьма большое число работ, посвященных методу ветвей и границ и различным его модификациям. Столь большой успех (да еще применительно к «классически трудной» задаче о коммивояжере) объясняется тем, что Литтл, Мурти, Суини и Кэрел первыми обратили внимание на широту возможностей метода ветвей и границ, отметили важность использования специфики задачи и сами весьма удачно этой спецификой воспользовались.

В § 1 настоящей главы излагается общая идея метода ветвей и границ; в § 2 - алгоритм Лэнд и Дойг для задачи целочисленного линейного программирования, в § 3 - метод Литтла и др. авторов для задачи коммивояжера.

§ 1. Идея метода ветвей и границ

1.1. Рассмотрим задачу дискретного программирования в следующей общей форме.

Минимизировать

при условии

Здесь G - некоторое конечное множество.

1.2. В основе метода ветвей и границ лежат следующие построения, позволяющие в ряде случаев существенно уменьшить объем перебора.

I. Вычисление нижней границы (оценки).

Часто удается найти нижнюю границу (оценку) целевой функции на множестве планов (или на некотором его подмножестве т. е. такое число что для имеет место

(соответственно для имеет место Разбиение на подмножества (ветвление). Реализация метода связана с постепенным разбиением множества планов на дерево подмножеств (ветвлением). Ветвление происходит по следующей многошаговой схеме.

0-й шаг. Имеется множество Некоторым способом оно разбивается на конечное число (обычно не пересекающихся) подмножестве шаг Имеются множества , еще не подвергавгпиеся ветвлению. По некоторому правилу (указанному ниже) среди них выбирается множество и разбивается на конечное число подмножеств:

Еще не подвергавшиеся разбиению множества

заново обозначаются через

Несколько шагов такого процесса последовательного разбиения схематически изображены на рис. 10.1.1.

III. Пересчет оценок. Если множество то, очевидно,

Поэтому, разбивая в процессе решения некоторое множество на подмножества

В конкретных ситуациях часто оказывается возможным добиться улучшения оценки, т. е. получить хотя бы для некоторых строгое неравенство

IV. Вычисление планов. Для конкретных задач могут быть указаны различные способы нахождения планов в последовательно разветвляемых подмножествах. Любой такой способ существенно опирается на специфику задачи.

V. Признак оптимальности. Пусть

и план X принадлежит некоторому подмножеству Если при этом

то X - оптимальный план задачи (1.1) - (1.2).

Доказательство непосредственно следует из определения оценки.

Обычно этот признак применяется на некотором этапе ветвления (т. е., говоря формально, при ; см. п. II).

VI. Оценка точности приближенного решения. Пусть

Если X - некоторый план исходной задачи (т. е. ), то

Доказательство и здесь сразу следует из определения оценки.

Очевидно, что если разность невелика (т. е. не превышает некоторого выбранного для данной задачи числа), то X можно принять за приближенное решение, за оценку точности приближения.

1.3. Изложим формальную схему метода ветвей и границ.

0-й шаг. Вычисляем оценку . Если при этом удается найти такой план X, что

то X - оптимальный план.

Если оптимальный план не найден, то по некоторому способу разбиваем множество на конечное число подмножеств

и переходим к шагу.

1-й шаг. Вычисляем оценки Если при этом удается найти такой план X, что для некоторого и

то X - оптимальный план.

Если же оптимальный план не найден, то выбираем «наиболее перспективное» для дальнейшего разбиения множество по следующему правилу:

Разбиваем множество на несколько (обычно не пересекающихся) подмножеств.