Решение задач линейного программирования в Excel - Реферат. Пример решения задачи линейного программирования с помощью MS Excel

Введение

4.1. Исходные данные

4.2. Формулы для вычислений

4.3. Заполнение диалогового окна «Поиск решения»

4.4. Результаты решения

Заключение

Cписок литературы

Введение

линейный программирование excel оптимизационный задача

Решение широкого круга задач электроэнергетики и других отраслей народного хозяйства основывается на оптимизации сложной совокупности зависимостей, описанных математически с помощью некоторой «целевой функции» (ЦФ). Подобные функции можно записать для определения затрат на топливо для электростанций, на потери электроэнергии при транспорте ее от электростанции к потребителям и многие другие проблемные задачи. В таких случаях требуется найти ЦФ при определенных ограничениях, накладываемых на ее переменные. Если ЦФ линейно зависит от входящих в ее состав переменных и все ограничения образуют линейную систему уравнений и неравенств, то такая частная форма оптимизационной задачи получила название «задачи линейного программирования».

Тема курсовой работы «Решение задач линейного программирования в MS Excel», на примере «транспортная задача» взятой из области общей энергетики, получить практические навыки в использовании электронных таблиц Microsoft Excel и решения оптимизационных задач линейного программирования.

1. Исходные данные для решения задачи

Исходные данные включают в себя - схему расположения угольных бассейнов (УБ) и электрических станций (ЭС) с указанием транспортных связей между ними, таблицы, содержащие сведения о годовой производительности и удельной цене топлива УБ, установленной мощности, числе часов использования установленной мощности и удельный расход топлива на ЭС, расстояниях между УБ и ЭС и удельной стоимости перевозки топлива по трассам УБ-ЭС.

Рис.1. Исходные данные

2. Краткие сведения об электронных таблицах MS Excel

Рис. 2. Вид окна приложения

Табличными процессами называют пакеты программ, предназначенных для создания электронных таблиц и манипулирование их данными. Применение электронных таблиц упрощает работу с данными, позволяет автоматизировать вычисление без использования специального программирования. Наиболее широкое применение - в экономических и бухгалтерских расчетах. MS Excel предоставляет пользователю возможность:

.Использовать сложные формулы, содержащие встроенные функции.

2.Организовывать связи ячеек и таблиц, при этом изменение данных в исходных таблицах автоматически изменяет результаты в итоговых таблицах.

.Создавать сводные таблицы.

.Применять к таблицам сортировку и фильтрацию данных.

.Осуществлять консолидацию данных (объединение данных из нескольких таблиц в одну).

.Использовать сценарии - поименованные массивы исходных данных, по которым формируются конечные итоговые значения в одной и той же таблице.

.Выполнять автоматизированный поиск ошибок в формулах.

.Защищать данные.

.Использовать структурирование данных (скрывать и отображать части таблиц).

.Применять автозаполнение.

.Применять макросы.

.Строить диаграммы.

.Использовать автозамену и проверку орфографии.

.Использовать стили, шаблоны, автоформатирование.

.Обмениваться данными с другими приложениями.

Ключевые понятия :

.Рабочая книга - основные документы, хранится в файле.

2.Лист (объем: 256 столбцов, 65536 строк).

.Ячейка - наименьшая структурная единица размещения данных.

.Адрес ячейки - определяет положение ячейки в таблице.

.Формула - математическая запись вычислений.

.Ссылка - запись адреса ячейки в составе формулы.

.Функция - математическая запись, указывающая на выполнение определенных вычислительных операций. Состоит из имени и аргументов.

Ввод данных :

Данные могут быть следующих типов -

·Числа.

·Текст.

·Функции.

·Формулы.

Вводить можно -

·В ячейки.

·В строку формул.

Если на экране в ячейке после ввода появляется ########, значит число длинное и в ячейке не помещается, то надо увеличить ширину ячейки.

Формулы - определяют, каким образом величины в ячейках связаны друг с другом. Т.е. данные в ячейке получаются не заполнением, а автоматически вычисляются. При изменении содержимого ячеек, на которые есть ссылка в формуле, меняется и результат в вычисляемой ячейке. Все формулы начинаются знаком =. Далее могут следовать -

·Ссылка на ячейку (например, А6).

·Функция.

·Арифметический оператор (+, -, /, *).

·Операторы сравнения (>, <, <=, =>, =).

Можно вводить формулы прямо в ячейку, но удобнее вводить с помощью строки формул.

Функции - это стандартные формулы для выполнения определенных задач. Функции используются только в формулах.

Способ: Вставка - Функция или в строке формул щелкнуть на = . Появится диалоговое окно со списком десяти недавно использованных функций. Для расширения списка выбрать Другие функции…, откроется другое диалоговое окно, где функции сгруппированы по типам (категориям), приведено описание назначения функции и их параметров.

Полное описание по работе с электронными таблицами MS Excel, можно найти в учебниках и пособиях (специализированных).

3. Математическая постановка задачи

По критерию минимума затрат на топливо для ЭС указанного района электроснабжения необходимо определить их оптимальное топливоснабжение от трех угольных бассейнов с учетом ограничения по потребностям ЭС и производительности УБ.

Исходные данные задачи и переменные, подлежащие определению в ходе ее решения, можно представить в виде табл.3

Обозначение данных:

Вуб1, Вуб2, Вуб3 - производительность угольных бассейнов, тыс.тонн;

Суб1, Суб2, Суб3 - стоимость топлива на угольных бассейнах, у.е./тонн;

Lу - длина железнодорожного пути между УБ к ЭС, км;

Су - удельная стоимость перевозки топлива по трассе от УБ к ЭС, у.е./тонна*км (С11=С12=С13=С21=С22=С23=С31=С32=С33);

Ву - объем топлива, доставляемого от УБ на ЭС, тыс.тонн;

ВЭС1, ВЭС2, ВЭС3 - годовая потребность в топливе первой, второй, третьей ЭС соответственно, тыс.тонн;

Ву - являются параметрами переменными целевой функции, подлежащими определению в процессе решения задачи;

Необходимо определить оптимальный объем топлива (Ву), доставляемые от УБ к каждой из ЭС, при которых суммарные затраты на топливо для всех трех ЭС будут минимальными.

Целевой функцией, подлежащей оптимизации в процессе решения задачи, будут суммарные затраты на топливо для всех трех ЭС.

4. Решение задачи линейного программирования

.1 Исходные данные

Рис. 4. Исходные данные

4.2 Формулы для вычислений

Рис.5. Промежуточные расчеты

4.3 Заполнение диалогового окна «Поиск решения»

Рис. 6. Процесс оптимизации.

Рис.6.1.Задание ограничений (топлива должно быть>0).

Рис.6.2.Задание ограничений (кол-во привез. = кол-ву потреблен. топлива).

Рис.6.3.Задание ограничений (годовая отгрузка, не превышать производ. УБ1).

Рис.6.4.Задание ограничений (годовая отгрузка, не превышать производ. УБ2).

Рис.6.5.Задание ограничений (годовая отгрузка, не превышать производ. УБ3).

.4 Результаты решения

Рис.8. Результаты решения задачи

Ответ: Количество топлива (тыс. тонн), доставлено на:

ЭС4 из УБ1 составляет 118,17тн;

ЭС6 из УБ1 составляет 545,66тн;

ЭС5 из УБ2 составляет 19,66тн;

ЭС6 из УБ2 составляет 180,34тн;

ЭС5 из УБ3 составляет 277,94тн;

ЭС6 из УБ3 составляет 526,00тн;

ЭС4 всего 118,17тн;

ЭС5 всего 297,60тн;

ЭС6 всего 1252,00тн;

Затраты на топливо составили (у.е.):

Для ЭС4 - 496314,00.

Для ЭС5 - 227064,75.

Для ЭС6 - 23099064,78.

Суммарные затраты для всех ЭС составляют - 23822443,53 у.е.;

Заключение

Краткие сведения об электронных таблицах MS Excel. Решение задачи линейного программирования. Решение с помощью средств Microsoft Excel экономической оптимизационной задачи, на примере "транспортной задачи". Особенности оформления документа MS Word.

В курсовой работе показано как создавать и работать при оформлении документа MS Word, в рамках которого рассмотрено решение экономической оптимизационной задачи, на примере «транспортная задача», взятой из области общей энергетики, средствами Microsoft Excel.

Лабораторная работа "Использование средства Поиск решения"

Задание:

Решить в Excel все приведенные ниже задачи (каждую на отдельном листе) и сохранить решения в файле LAB4.xls на своем пользовательском диске.

Задача 1 1

Решение задачи линейного программирования с помощью EXCEL. 2

Задача 2 4

Задача планирования производства красок 4

Задача 3 5

Решение транспортной задачи с помощью средства Поиск решения 5

Задача 1

Задача распределения ресурсов.

Если финансы, оборудование, сырье и даже людей полагать ресурсами, то значительное число задач в экономике можно рассматривать как задачи распределения ресурсов. Достаточно часто математической моделью таких задач является задача линейного программирования.

Например:

Требуется определить, в каком количестве надо выпускать продукцию четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье, финансы. Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, приведена ниже.Составим математическую модель, для чего введем следущие обозначения:

x j - количество выпускаемой продукции j-го типа, j=1,4 ;

b i - количество располагаемого ресурса i-го вида, i=1,3 ;

a ij - норма расхода i-го ресурса для выпуска единицы продукции j-го типа;

c j - прибыль, получаемая от реализации единицы продукции j-го типа.

Теперь приступим к составлению модели.

Для выпуска единицы Прод1 требуется 6 единиц сырья, значит, для выпуска всей продукции Прод1 требуется 6 х 1 единиц сырья, где х 1 - количество выпускаемой продукции Прод1. С учетом того, что для других видов продукции зависимости аналогичны, ограничение по сырью будет иметь вид:

6х 1 +5х 2 +4х 3

В этом ограничении левая часть равна величине потребного ресурса, а правая показывает количество имеющегося ресурса. Аналогично можно составить ограничения для остальных ресурсов и написать зависимость для целевой функции. Тогда математическая модель задачи будет иметь вид:

F=60x 1 +70x 2 +120x 3 +130x 4 --> max

x 1 +x 2 +x 3 +x 4

6x 1 +5x 2 +4x 3 +3x 4

4x 1 +6x 2 +10x 3 +13x 4

x j >=0; j=1,4

Решение задачи линейного программирования с помощью EXCEL.

1
. Сделать активной ячейку F6.

2. Мастер функций  Математические  СУММПРОИЗВ  на жмите кнопку Далее. На экране диалоговое окно

3. Введите зависимости для левых частей ограничений.

Работа в диалоговом окне Поиск решения.

1

. Сервис, Поиск решения...

2 . Курсор в поле Установить целевую ячейку и введите адрес F6.

3 . Введите направление целевой функции: Максимальному значению .

4 . Курсор в поле Изменяя ячейки и введите адреса B3:E3

5. Нажмите кнопку Добавить... и в ведите граничные условия на переменные

6. После ввода ограничений, нажмите кнопку Выполнить . В результате вычислений в ячейках В3:Е3, будут отражены найденные числовые значения х i , а в ячейке F6 – значение целевой функции.

Т.О, видно, что в оптимальном решении Прод1=В3=10, Прод2=С3=0, Прод3=D3=6, Прод4=Е3=0.

При этом максимальная прибыль будет составлять F6=1320 , количество использованных ресурсов равно трудовых=F9=16, сырья=F10=84, финансов=F11=100.

С помощью диалогового окна Результат поиска решения. Решение найдено можно получить отчеты трех типов: результаты, устойчивость, пределы.

Задача 2

Задача планирования производства красок

Для производства красок для наружных и внутренних работ используют два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно.

Суточный спрос на краску для внутренних работ никогда не превышает спроса на краску для наружных работ более чем на 1т.

Спрос на краску для внутренних работ не превышает 2т. в сутки.

Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 руб. для краски для наружных работ и 2000 руб. для краски для внутренних работ .

Какое количество краски каждого вида следует производить, чтобы доход от реализации был максимальным?

Расходы продуктов А и В на 1т. приведены в таблице:

исходный продукт	расход исходных продуктов на тонну краски		максимально возможный запас
	для внутренних работ	для наружных работ

х 1 - суточный объем производства краски для внутренних работ

х 2 - суточный объем производства краски для наружных работ

f -суммарная суточная прибыль от производства обоих видов красок (целевая функция)

f = 3000х 1 +2000х 2

Определить при каких допустимых значениях х 1 и х 2 значение f - максимальное

Ограничения:

Решение задачи в Excel

	Переменные
	Целевая функция:		3000*А3+2000*В3
	Ограничения

Выполните: Cервис, Поиск решения

Целевая ячейка С4

Установить: М аксимальному значению

Изменяемые ячейки: А3:В3

Ограничения:

После ввода данных нажмите кнопку Выполнить

Полученное решение:

	Переменные
	Целевая функция:
	Ограничения:

Вывод: оптимальным является производство 3,3 т. краски для наружных работ и 1,3 т. краски для внутренних работ в сутки. Этот объем принесет прибыль 12,7 тыс. руб.

Задача 3

Решение транспортной задачи с помощью средства Поиск решения

Фирма имеет четыре фабрики: А, В, С, D и пять центров распределения ее товаров: №1, №2, №3, №4, №5.

Производственные возможности фабрик соответственно составляют:

А – 200, В – 150, С – 225, D – 175 единиц продукции ежедневно.

Потребности центров распределения соответственно составляют:

№1 – 100, №2 – 200, №3 – 50, №4 – 250, №5 – 150 единиц продукции ежедневно.

Хранение на фабрике единицы продукции, не поставленной в центр распределения, составляет $0,75 в день.

Штраф за просроченную поставку единицы продукции, заказанной потребителем в центре распределения, но там не находящейся, равен $2,5 в день.

Стоимость перевозки единицы продукции с фабрик в пункты распределения представлена в таблице:

Спланировать перевозки так, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы.

Модель рассматриваемой задачи сбалансирована (суммарный объем произведенной продукции равен суммарному объему потребностей в ней), значит не нужно учитывать издержки, связанные как со складированием, так и с недопоставками продукции. В противном случае в модель следует ввести:

В случае перепроизводства – фиктивный пункт распределения, стоимость перевозок единицы продукции, в который полагается равной стоимости складирования, а объемы перевозок – объемам складирования излишков продукции на фабриках.

В случае дефицита – фиктивную фабрику, стоимость перевозок единицы продукции с которой полагается равной стоимости штрафов за недопоставку продукции, а объемы перевозок – объемам недопоставок продукции в пункты распределения.

x ij – объем перевозок с i-й фабрики в j-й центр распределения.

c ij – стоимость перевозки единицы продукции с i-й фабрики в j-й центр распределения.

а i – объем производства на i-й фабрике.

в j – спрос в j-м центре распределения.

Т

ребуется минимизировать суммарные транспортные расходы, т.е.

Ограничения:

x



ij  0 , i  , j 

Механизм решения задачи в Excel с использованием средства Поиск решения

В ячейки А1:Е4 введите стоимости перевозок.

А6:Е9 – отведите под значения неизвестных (объемы перевозок).

В ячейки G6:G9 введите объемы производства на фабриках.

В А11:Е11 – потребность в продукции в пунктах распределения.

В ячейку F10 – введите целевую функцию

В А10:Е10 –введите формулы, определяющие объем продукции, ввозимой в центры распределения

В F6: F9 – формулы, вычисляющие объем продукции, вывозимой с фабрик.

						СУММ(A6:E6)
						СУММ(A7:E7)
						СУММ(A8:E8)
						СУММ(A9:E9)
	СУММ(A6:A9)	СУММ(B6:B9)	СУММ(C6:C9)	СУММ(D6:D9)	СУММ(E6:E9)	СУММПРОИЗВ(A1:E4;A6:E9)

Сервис  Поиск решения

В окне диалога Поиск решения:
Установить целевую ячейку $F$10
Равной мин имальному значению
Изменяя ячейки: $А$6:$E$9
Ограничения:
$А$10:$E$10=$A$11:$E$11
$А$6:$E$9>=0
$F$6:$F$9=$G$6:$G$9

Щелкните на кнопке Параметры… и установите флажок Линейная модель

Нажмите кнопку Выполнить

Оптимальное решение транспортной задачи будет отражено в диапазоне А6:Е9

Решите транспортную задачу самостоятельно, используя выше описанный механизм.

				Excel необходимо: ... Задачи линейного программирования. Графический метод решения задач линейного программирования Решение Microsoft Excel . Решение задач выпуклого программирования при помощи линейной аппроксимации. Приближённое решение задач математического программирования методом сепарабельного программирования . Экономические задачи , решаемые с помощью ... Инструкция по использованию microsoft Excel для решения задач лп 5 3 Одноиндексные задачи лп 6 > 3 Ввод исходных данных 6 > 3 Решение задачи 13 Инструкция 1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 “РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ Microsoft Excel ” 1.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Приобретение навыков решения задач линейного программирования (ЛП) в табличном... Некоторые понятия линейного программирования Документ Мы приведем решение этой задачи с помощью программы Tora. рассмотрим реализацию задачи линейного программирования в... задачи с помощью Microsoft Excel . 1. Осуществляем ввод данных в таблицу Excel (рис. 1). Рис. 1. Заполнение листа для решения задачи ...

Линейное программирование является разделом, с которого начала развиваться дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программ) для ЭВМ» не имеет, так как дисциплина «линейное программирование» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться при решении математических, инженерных, экономических и других задач. Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми. Задачи линейного программирования является удобной математической моделью для большого числа экономических задач (планирование производства, расходование материалов, транспортные перевозки и т.д.). Использование метода линейного программирования представляет собой важность и ценность - оптимальный вариант выбирается из достаточно значительного количества альтернативных вариантов. Также все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями.В электронных таблицах Excel с помощью функции поиска решения можно вести поиск значения в целевой ячейке, изменения значения переменных. При этом для каждой переменной можно задать ограничения, например верхнюю границу. Перед тем как запустить поиск решения, необходимо четко сформулировать в модели решаемую проблему, т.е. определить условия, выполняемые при оптимизации. Отправленной точкой при поиске оптимального решения является модель вычисления, созданная в рабочем листе. Программе поиска решения при этом необходимы следующие данные. 1. Целевая ячейка - это ячейка в модели вычисления, значения в которой должно быть максимизировано, минимизировано или же равняться определенному указанному значению. Она должна содержать формулу, которая прямо или косвенно ссылается на изменяемые ячейки, или же самой быть изменяемой. 2. Значения в изменяемых ячейках будут последовательно (методом итераций) изменяться до тех пор, пока не будет получено нужное значение в целевой ячейке. Эти ячейки, следовательно, прямо или косвенно должны влиять на значение целевой ячейки. 3. Вы можете задать как для целевой, так и для изменяемых ячеек, ограничения и граничные условия. Можно задать также ограничения для других ячеек. Прямо или косвенно присутствующих в модели. Программа предоставляет возможность задать специальные параметры, определяющие процесс поиска решения. После задания всех необходимых параметров можно запустить поиск решения. Функция поиска решения создаст по итогам своей работы три отчета, которые можно пометить в рабочую книгу.Ограничения - это условия, которые должны быть выполнены аппаратом поиска решения при оптимизации модели.

Изучение литературы показало, что:

1. Линейное программирование - это один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование».

Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

• · рационального использования сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;
• · оптимизации производственной программы предприятий;
• · оптимального размещения и концентрации производства;
• · составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;
• · управления производственными запасами;
• · и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.
• 2. Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки. Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

Требуется определить, в каком количестве надо выпустить продукцию четырех типов Прод1, Прод2, Прод3, Прод4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье и финансы. Количество ресурса каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, приведены на рис. 1.

Ресурс	Прод1	Прод2	Прод3	Прод4	Знак	Наличие
Прибыль
Трудовые
Сырье
Финансы

Рисунок 1.

Математическая модель задачи имеет вид:

где x j – количество выпускаемой продукции j-го типа; F – функция цели; в левых частях выражений ограничений указаны величины потребного ресурса , а правые части показывают количество имеющегося ресурса .

Ввод условий задачи

Для решения задачи с помощью Excel следует создать форму для ввода исходных данных и ввести их. Форма ввода показана на рис. 2.

В ячейку F6 введено выражение целевой функции как суммы произведений значений прибыли от выпуска единицы продукции каждого типа на количество выпускаемой продукции соответствующего типа. Для наглядности на рис. 3 представлена форма ввода исходных данных в режиме вывода формул.

В ячейки F8:F10 введены левые части ограничений для ресурсов каждого вида.

Рисунок 2.

Рисунок 3.

Решение задачи линейного программирования

Для решения задач линейного программирования в Excel используется мощный инструмент, называемый Поиск решения . Обращение к Поиску решения осуществляется из меню Сервис , на экран выводится диалоговое окно Поиска решения (рис. 4).

Рисунок 4.

Ввод условий задачи для поиска ее решения состоит из следующих шагов:

1 Назначить целевую функцию, для чего установить курсор в поле Установить целевую ячейку окна Поиск решения и щелкнуть в ячейке F6 в форме ввода;

2 Включить переключатель значения целевой функции, т.е. указать ее Равной Максимальному значению ;

3 Ввести адреса изменяемых переменных (x j): для этого установить курсор в поле Изменяя ячейки окна Поиск решения, а затем выделить диапазон ячеек B3:E3 в форме ввода;

4 Нажать кнопку Добавить окна Поиск решения для ввода ограничений задачи линейного программирования; на экран выводится окно Добавление ограничения (рис. 5) :

Ввести граничные условия для переменных x j (x j ³0), для этого в поле Ссылка на ячейку указать ячейку В3, соответствующую х 1 , выбрать из списка нужный знак (³), в поле Ограничение указать ячейку формы ввода, в которой хранится соответствующее значение граничного условия, (ячейка В4), нажать кнопку Добавить ; повторить описанные действия для переменных х 2 , х 3 и х 4 ;

Ввести ограничения для каждого вида ресурса, для этого в поле Ссылка на ячейку окна Добавление ограничения указать ячейку F9 формы ввода, в которой содержится выражение левой части ограничения, наложенного на трудовые ресурсы, в полях Ограничение указать знак £ и адрес Н9 правой части ограничения, нажать кнопку Добавить ; аналогично ввести ограничения на остальные виды ресурсов;

После ввода последнего ограничения вместо Добавить нажать ОК и возвратиться в окно Поиск решения.

Рисунок 5.

Решение задачи линейного программирования начинается с установки параметров поиска:

В окне Поиск решения нажать кнопку Параметры , на экран выводится окно Параметры поиска решения (рис. 6);

Установить флажок Линейная модель, что обеспечивает применение симплекс-метода;

Указать предельное число итераций (по умолчанию – 100, что подходит для решения большинства задач);

Установить флажок , если необходимо просмотреть все этапы поиска оптимального решения;

Нажать ОК , возврат в окно Поиск решения .

Рисунок 6.

Для решения задачи нажать кнопку Выполнить в окне Поиск решения , на экране – окно Результаты поиска решения (рис. 7), в котором содержится сообщение Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены. Если условия задачи несовместны, то выводится сообщение Поиск не может найти подходящего решения . Если целевая функция не ограничена, то появляется сообщение Значения целевой ячейки не сходятся .

Рисунок 7.

Для рассматриваемого примера решение найдено и результат оптимального решения задачи выводится в форме ввода: значение целевой функции, соответствующее максимальной прибыли и равное 1320, указывается в ячейке F6 формы ввода, оптимальный план выпуска продукции х 1 =10, х 2 =0, х 3 =6, х 4 =0 указывается в ячейках В3:С3 формы ввода (рис. 8).

Количество использованных для выпуска продукции ресурсов выводится в ячейки F9:F11: трудовых – 16, сырья – 84, финансов – 100.

Рисунок 8.

Если при установке параметров в окне Параметры поиска решения (рис. 6) был установлен флажок Показывать результаты итераций , то будут показаны последовательно все шаги поиска. На экран будет выводиться окно (рис. 9). При этом текущие значения переменных и функции цели будут показаны в форме ввода. Так, результаты первой итерации поиска решения исходной задачи представлены в форме ввода на рисунке 10 .

Рисунок 9.

Рисунок 10.

Чтобы продолжить поиск решения, следует нажимать кнопку Продолжить в окне Текущее состояние поиска решения .

Анализ оптимального решения

Прежде чем, перейти к анализу результатов решения, представим исходную задачу в форме

введя дополнительные переменные у i , представляющие собой величины неиспользованных ресурсов.

Составим для исходной задачи двойственную задачу и введем дополнительные двойственные переменные v i .

Анализ результатов поиска решения позволит увязать их с переменными исходной и двойственной задач.

С помощью окна Результаты поиска решения можно вызвать отчеты трех типов, позволяющие анализировать найденное оптимальное решение:

Результаты,

Устойчивость,

Пределы.

Для вызова отчета в поле Тип отчета выделить название нужного типа и нажать ОК .

1 Отчет по результатам (рис. 11) состоит из трех таблиц:

Таблица 1 содержит сведения о целевой функции; в столбце Исходно указывается значение целевой функции до начала вычислений;

Таблица 2 содержит значения искомых переменных x j , полученных в результате решения задачи (оптимальный план выпуска продукции);

Таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий.

Для Ограничений в графе Формула приведены зависимости, которые были введены при задании ограничений в окне Поиск решения ; в графе Значение указаны величины использованного ресурса; в графе Разница показано количество неиспользованного ресурса. Если ресурс используется полностью, то в графе Состояние выводится сообщение связанное ; при неполном использовании ресурса в этой графе указывается не связан. Для Граничных условий приводятся аналогичные величины с той лишь разницей, что вместо неиспользованного ресурса показана разность между значением переменной x j в найденном оптимальном решении и заданным для нее граничным условием (x j ³0).

Именно в графе Разница можно увидеть значения дополнительных переменных y i исходной задачи в формулировке (2). Здесь у 1 =у 3 =0, т.е. величины неиспользованных трудовых и финансовых ресурсов равны нулю. Эти ресурсы используются полностью. Вместе с тем, величина неиспользованных ресурсов для сырья у 2 =26, значит, имеются излишки сырья.

Рисунок 11.

2 Отчет по устойчивости (рис. 12)состоит из двух таблиц.

В таблице 1 приводятся следующие значения:

Результат решения задачи (оптимальный план выпуска);

- Нормир. стоимость , т.е. величины, показывающие, насколько изменится целевая функция при принудительном включении единицы продукции соответствующего типа в оптимальный план;

Коэффициенты целевой функции;

Предельные значения приращения коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется оптимальный план выпуска.

В таблице 2 содержатся аналогичные данные для ограничений:

Величины использованных ресурсов;

- Теневая цена , показывающая, как изменится целевая функция при изменении величины соответствующего ресурса на единицу;

Допустимые значения приращений ресурсов, при которых сохраняется оптимальный план выпуска продукции.

Рисунок 12.

Отчет по устойчивости позволяет позволяет получить двойственные оценки.

Как известно, двойственные переменные z i показывают, как изменится целевая функция при изменении ресурса i-го типа на единицу. В отчете Excel двойственная оценка называется Теневой ценой .

В нашем примере сырье не используется полностью и его ресурс у 2 =26. Очевидно, что увеличение количества сырья, например, до 111 не повлечет за собой увеличения целевой функции. Следовательно, для второго ограничения двойственная переменная z 2 =0. Таким образом, если по данному ресурсу есть резерв, то дополнительная переменная будет больше нуля, а двойственная оценка этого ограничения равна нулю.

В рассматриваемом примере трудовые ресурсы и финансы использовались полностью, поэтому их дополнительные переменные равны нулю (у 1 =у 3 =0). Если ресурс используется полностью, то его увеличение или уменьшение повлияет на объем выпускаемой продукции, и следовательно, на величину целевой функции. Двойственные оценки ограничений на трудовые и финансовые ресурсы отличны от нуля, т.е. z 1 =20, z 3 =10.

Значения двойственных оценок находим в Отчете по устойчивости , в таблице 2, в графе Теневая цена .

При увеличении (уменьшении) трудовых ресурсов на единицу целевая функция увеличится (уменьшится) на 20 единиц и будет равна

F=1320+20×1=1340 (при увеличении).

Аналогично, при увеличении объема финансов на единицу целевая функция будет

F=1320+10×1=1330.

Здесь же, в графах Допустимое увеличение и Допустимое уменьшение таблицы 2, показаны допустимые пределы изменения количества ресурсов j-го вида. Например, для при изменении приращения величины трудовых ресурсов в пределах от –6 до 3,55, как показано в таблице, структура оптимального решения сохраняется, т.е наибольшую прибыль обеспечивает выпуск Прод1 и Прод3, но в других количествах.

Дополнительные двойственные переменные также отражены в Отчете по устойчивости в графе Нормир. стоимость таблицы 1.

Если основные переменные не вошли в оптимальное решение, т.е. равны нулю (в примере х 2 =х 4 =0), то соответствующие им дополнительные переменные имеют положительные значения (v 2 =10, v 4 =20). Если же основные переменные вошли в оптимальное решение (х 1 =10, х 3 =6), то их дополнительные двойственные переменные равны нулю (v 1 =0, v 3 =0).

Эти величины показывают, насколько уменьшится (поэтому знак минус в значениях переменных v 2 и v 4) целевая функция при принудительном выпуске единицы данной продукции. Следовательно, если мы захотим принудительно выпустить единицу продукции вида Прод3, то целевая функция уменьшится на 10 единиц и будет равна 1320 -10×1 =1310.

Обозначим через Dс j изменение коэффициентов целевой функции в исходной модели (1). Эти коэффициенты определяют прибыль, получаемую при реализации единицы продукции j-го вида.

В графах Допустимое увеличение и Допустимое Уменьшение таблицы 1 Отчета по устойчивости показаны пределы изменения Dс j , при которых сохраняется структура оптимального плана, т.е. будет выгодно по-прежнему выпускать продукцию вида Продj. Например, при изменении Dс 1 в пределах -12£ Dс 1 £ 40, как показано в отчете, по-прежнему будет выгодно выпускать продукцию вида Прод1. При этом значение целевой функции будет F=1320+x 1 ×Dс j =1320+10×Dс j .

3 Отчет по пределам приведен на рис. 13. В нем показывается, в каких пределах могут изменяться значения x j , вошедшие в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения. Кроме этого, для каждого типа продукции приводятся значения целевой функции, получаемые при подстановке в оптимальное решение значения нижнего предела выпуска изделий соответствующего типа при неизменных значениях выпуска остальных типов. Например, если при оптимальном решении х 1 =10, х 2 =0, х 3 =6, х 4 =0 положить х 1 =0 (нижний предел) при неизменных х 2 , х 3 и х 4 , то значение целевой функции будет равно 60×0+70×0+120×6+130×0=720.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Частное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский университет технологий управления и экономики»

Кафедра экономики и менеджмента

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Выполнил:

Студент (ка) 3 курса, группа № 19731Д/3-2

Крюк Альбина Владимировна

Руководитель:

к.э.н., доцент Ж.М. Козлова.

Барнаул 2016

• Введение
• Заключение
• ВВЕДЕНИЕ
• Решение широкого круга задач электроэнергетики и других отраслей народного хозяйства основывается на оптимизации сложной совокупности зависимостей, описанных математически с помощью некоторой «целевой функции» (ЦФ). Подобные функции можно записать для определения затрат на топливо для электростанций, на потери электроэнергии при транспорте ее от электростанции к потребителям и многие другие проблемные задачи. В таких случаях требуется найти ЦФ при определенных ограничениях, накладываемых на ее переменные. Если ЦФ линейно зависит от входящих в ее состав переменных и все ограничения образуют линейную систему уравнений и неравенств, то такая частная форма оптимизационной задачи получила название «задачи линейного программирования».
• Темы контрольной работы «Решение задач линейного программирования в MS Excel», получить практические навыки в использовании электронных таблиц Microsoft Excel и решения оптимизационных задач линейного программирования.

1. Типовые задачи оптимизации и их экономико-математические модели

Экономико-математическое моделирование представляет собой процесс выражения экономических явлений математическими мо­делями. Экономическая модель -- это схематичное представление экономического явления или процесса с использованием научной абстракции, отражение их характерных черт. Математические мо­дели -- основное средство решения задач оптимизации любой дея­тельности. По своей сути эти модели -- средство плановых расче­тов. Ценность их для экономического анализа и оптимизации реше­ний состоит в том, что они позволяют оценить напряженность плановых заданий, определить лимитирующую группу оборудова­ния, видов ресурсов, получать оценки их дефицитности и т.п. Мате­матическое моделирование экономических явлений и процессов дает возможность получить четкое представление об исследуемом объекте, охарактеризовать и количественно описать его внутреннюю струк­туру и внешние связи. Модель -- условный образ объекта управле­ния /1/.

Экономико-математическая модель должна быть адекватной действительности, отражать существенные стороны и связи изучаемо­го объекта. Отметим принципиальные черты, характерные для по­строения экономико-математической модели любого вида. Процесс моделирования можно условно подразделить на три этапа:

1) ана­лиз теоретических закономерностей, свойственных изучаемому яв­лению или процессу и эмпирических данных о его структуре и особенностях; на основе такого анализа формируются модели;

2) определение методов, с помощью которых можно решить задачу;

3) анализ полученных результатов.

Важнейшим моментом первого этапа моделирования является четкая формулировка конечной цели построения модели, а также определение критерия, по которому будут сравниваться различные варианты решения. Такими критериями в системе менеджмента могут быть:

а) максимизация полезного эффекта товара при ограни­чении совокупности затрат;

б) максимизация прибыли фирмы при условии, что качество товара не снизится; в) снижение себестоимо­сти товара при условии, что его качество не снизится, затраты у потребителя не увеличатся;

г) рост производительности труда, улуч­шение использования оборудования или материалов, повышение оборачиваемости оборотных средств при условии, что качество то­вара не снизится и другие критерии не ухудшатся.

Таким образом, в качестве критерия оптимизации может быть целое или любой компонент прибыли, эффективности товара, объема рынка при ус­ловии, что другие компоненты при этом не ухудшатся.

Например, уравнение целевой функции (L) и система ограниче­ний по оптимизации прибыли фирмы (правда, у авторов нет огра­ничений по качеству товара) будет иметь следующий вид:

где хj -- количество производимой продукции j-го вида в нату­ральных измерениях;

Пj -- прибыль, получаемая от производства единицы про­дукции j-го вида;

аij -- норма расхода i-го производственного ресурса на про­изводство единицы j-го вида продукции;

щj -- запасы i-го вида производственного ресурса на рас­сматриваемый период времени.

Не для всякой экономической задачи нужна собственная модель. Некоторые процессы с математической точки зрения однотипны и могут описываться одинаковыми моделями. Например, в линейном программировании, теории массового обслуживания и других су­ществуют типовые модели, к которым приводится множество конк­ретных задач.

Вторым этапом моделирования экономических процессов являет­ся выбор наиболее рационального математического метода для реше­ния задачи. Например, для решения задач линейного программиро­вания известно много методов: симплексный, потенциалов и др. Луч­шей моделью является не самая сложная и самая похожая на реальное явление, а та, которая позволяет получить самое рациональное реше­ние и наиболее точные экономические оценки. Излишняя детализа­ция затрудняет построение модели, а излишнее укрупнение модели приводит к потере существенной экономической информации, к не­адекватному отражению реальности.

Третьим этапом моделирования является всесторонний анализ результата, полученного при изучении экономического явления. Окончательным критерием достоверности и качества модели явля­ются практика, соответствие полученных результатов и выводов реальным условиям, экономическая содержательность полученных оценок. Если результаты не соответствуют реальным условиям, то необходим анализ причин несоответствия, в качестве которых могут быть недостоверность информации, несоответствие модели эконо­мическим условиям и др. По результатам анализа причин несоответствия экономико-математическая модель корректируется и ре­шение задачи повторяется.

Решим графическим методом типовую задачу оптимизации

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный - 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. Ед., а улучшенный - 4 ден. Ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

Сформулируем прямую оптимизационную задачу.

Пусть х1 - количество обычных наборов удобрений;

х2 - количество улучшенных наборов удобрений.

А для некоторого газона требуется по крайней мере 10 кг азотных удобрений, следовательно:

3х1 + 2х2 ? 10

4х1 + 6х2 ? 20

Стоимость необходимых наборов удобрений составит:

Таким образом, получим следующую экономико-математическую модель задачи:

min (х) = 3х1 + 4х2

3х1 + 2х2 ? 10

4х1 + 6х2 ? 20

Построим область решений системы ограничений. Для этого рассмотрим равенства и построим их графики - прямые.

1) 3х1 + 2х2 ? 10

3х1 + 2х2 = 10

3) х1 + 3х2 ? 7

Неравенство не выполняется, значит, исходному неравенству соответствует полуплоскость, не содержащая точку О(0;0).

х1 = 0 - ось ОХ2.

х2 = 0 - ось ОХ1.

Следовательно, область решений системы ограничений находится только в первой четверти декартовой системы координат.

Рис.1. Графическое решение ЗЛП

Находим общую часть всех построенных полуплоскостей. Это выпуклая заштрихованная область.

Для нахождения оптимального решения задачи изобразим графически функцию цели:

(х) = d1x1 + d2x2

(х) = 3х1 + 4х2

Для этого строим вектор d, начало которого в точке (0;0), а конец в точке (d1;d2).

И строим одну из линий уровня функции цели (это линия, на которой функция цели принимает постоянное значение).

Для определения минимума данной функции, передвигаем линию уровня в направлении, противоположном вектору d, и видим, что она последний раз соприкасается с областью решений в точке В, где и будет достигнут min(х).

Определим координаты точки В:

3х1 + 2х2 = 10 *(-3)

4х1 + 6х2 = 20

9х1 - 6х2 = -30

4х1 + 6х2 = 20

Складываем почленно уравнения и получаем:

(х) = 3*2 + 4*2 = 14 (ден. ед.)

Таким образом, чтобы минимизировать стоимость удобрений, нужно купить 2 обычных набора удобрений и 2 улучшенных набора удобрений. При этом минимальные затраты на покупку удобрений составят 14 денежных единиц. microsoft excel программирование математический

Если решать данную задачу на максимум, то конечного оптимума не найдем, т.к. функция цели неограниченна, область решений системы ограничений бесконечна.

2. Задачи линейного программирования, решение средствами MS Excel

Линейное программирование является разделом, с которого начала развиваться дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программ) для ЭВМ» не имеет, так как дисциплина «линейное программирование» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться при решении математических, инженерных, экономических и других задач. Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми. Задачи линейного программирования является удобной математической моделью для большого числа экономических задач (планирование производства, расходование материалов, транспортные перевозки и т.д.). Использование метода линейного программирования представляет собой важность и ценность - оптимальный вариант выбирается из достаточно значительного количества альтернативных вариантов. Также все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями.
В электронных таблицах Excel с помощью функции поиска решения можно вести поиск значения в целевой ячейке, изменения значения переменных. При этом для каждой переменной можно задать ограничения, например верхнюю границу. Перед тем как запустить поиск решения, необходимо четко сформулировать в модели решаемую проблему, т.е. определить условия, выполняемые при оптимизации. Отправленной точкой при поиске оптимального решения является модель вычисления, созданная в рабочем листе. Программе поиска решения при этом необходимы следующие данные. 1. Целевая ячейка - это ячейка в модели вычисления, значения в которой должно быть максимизировано, минимизировано или же равняться определенному указанному значению. Она должна содержать формулу, которая прямо или косвенно ссылается на изменяемые ячейки, или же самой быть изменяемой. 2. Значения в изменяемых ячейках будут последовательно (методом итераций) изменяться до тех пор, пока не будет получено нужное значение в целевой ячейке. Эти ячейки, следовательно, прямо или косвенно должны влиять на значение целевой ячейки. 3. Вы можете задать как для целевой, так и для изменяемых ячеек, ограничения и граничные условия. Можно задать также ограничения для других ячеек. Прямо или косвенно присутствующих в модели. Программа предоставляет возможность задать специальные параметры, определяющие процесс поиска решения. После задания всех необходимых параметров можно запустить поиск решения. Функция поиска решения создаст по итогам своей работы три отчета, которые можно пометить в рабочую книгу.Ограничения - это условия, которые должны быть выполнены аппаратом поиска решения при оптимизации модели.

Изучение литературы показало, что:

1. Линейное программирование - это один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование».

Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

· рационального использования сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

· оптимизации производственной программы предприятий;

· оптимального размещения и концентрации производства;

· составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;

· управления производственными запасами;

· и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

2. Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи.

Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки. Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции. Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

С помощью правильной постановки задачи планирования производства и наличия основных производственных параметров, мы можем найти план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль.

Благодаря программному продукту Excel, который входит в пакет MS Office, решение наших задач ускоряется в несколько десятков раз. А благодаря точным математическим расчетам данного ПО, мы можем без сомнения найти самые точные результаты исследований.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Краткие сведения об электронных таблицах MS Excel. Решение задачи линейного программирования. Решение с помощью средств Microsoft Excel экономической оптимизационной задачи, на примере "транспортной задачи". Особенности оформления документа MS Word.

курсовая работа , добавлен 27.08.2012


История развития и функции линейного программирования. Исследование условий типовых задач и возможностей табличного процессора. Решение задач о рационе питания, плане производства, раскрое материалов и рациональной перевозке груза в среде MS Excel.

курсовая работа , добавлен 28.04.2014


Принципы решения задач линейного программирования в среде электронных таблиц Excel, в среде пакета Mathcad. Порядок решения задачи о назначении в среде электронных таблиц Excel. Анализ экономических данных с помощью диаграмм Парето, оценка результатов.

лабораторная работа , добавлен 26.10.2013


Алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом. Построение математической модели задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования в Excel. Нахождение прибыли и оптимального плана выпуска продукции.

курсовая работа , добавлен 21.03.2012


Изучение и укрепление на практике всех моментов графического метода решения задач линейного программирования о производстве журналов "Автомеханик" и "Инструмент". Построение математической модели. Решение задачи с помощью электронной таблицы Excel.

курсовая работа , добавлен 10.06.2014


Общее понятие и характеристика задачи линейного программирования. Решение транспортной задачи с помощью программы MS Excel. Рекомендации по решению задач оптимизации с помощью надстройки "Поиск решения". Двойственная задача линейного программирования.

дипломная работа , добавлен 20.11.2010


Анализ метода линейного программирования для решения оптимизационных управленческих задач. Графический метод решения задачи линейного программирования. Проверка оптимального решения в среде MS Excel с использованием программной надстройки "Поиск решения".

курсовая работа , добавлен 29.05.2015


Разработка таблиц в Excel методами линейного программирования с целью оптимизации расходов ресурсов и запасов на изготовление продукции: определение переменных величин, структуры целевой функции, построение математической модели и блок-схем решения задач.

курсовая работа , добавлен 07.06.2010


Методы решения задач линейного программирования: планирования производства, составления рациона, задачи о раскрое материалов и транспортной. Разработка экономико-математической модели и решение задачи с использованием компьютерного моделирования.

курсовая работа , добавлен 13.03.2015


Графическое решение задач. Составление математической модели. Определение максимального значения целевой функции. Решение симплексным методом с искусственным базисом канонической задачи линейного программирования. Проверка оптимальности решения.