Урок на тему: "График и свойства функции $y=x^3$. Примеры построения графиков"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Электронное учебное пособие для 7 класса "Алгебра за 10 минут"
Образовательный комплекс 1С "Алгебра, 7-9 классы"
Свойства функции $y=x^3$
Давайте опишем свойства данной функции:
1. x – независимая переменная, y – зависимая переменная.
2. Область определения: очевидно, что для любого значения аргумента (x) можно вычислить значение функции (y). Соответственно, область определения данной функции – вся числовая прямая.
3. Область значений: y может быть любым. Соответственно, область значений – также вся числовая прямая.
4. Если x= 0, то и y= 0.
График функции $y=x^3$
1. Составим таблицу значений:
2. Для положительных значений x график функции $y=x^3$ очень похож на параболу, ветви которой более "прижаты" к оси OY.
3. Поскольку для отрицательных значений x функция $y=x^3$ имеет противоположные значения, то график функции симметричен относительно начала координат.
Теперь отметим точки на координатной плоскости и построим график (см. рис. 1).
Эта кривая называется кубической параболой.
Примеры
I. На небольшом корабле полностью закончилась пресная вода. Необходимо привезти достаточное количество воды из города. Вода заказывается заранее и оплачивается за полный куб, даже если залить её чуть меньше. Сколько кубов надо заказать, что бы не переплачивать за лишний куб и полностью заполнить цистерну? Известно, что цистерна имеет одинаковые длину, ширину и высоту, которые равны 1,5 м. Решим эту задачу, не выполняя вычислений.
Решение:
1. Построим график функции $y=x^3$.
2. Найдем точку А, координата x, которой равна 1,5. Мы видим, что координата функции находится между значениями 3 и 4 (см. рис. 2). Значит надо заказать 4 куба.
Составим таблицу значений функции
Мы видим, что при (куб положительного числа положителен), а при (куб отрицательного числа отрицателен). Следовательно, график расположится на координатной плоскости в I и III четвертях. Заменим значение аргумента х противоположным значением тогда и функция примет противоположное значение; так как если , то
Значит, каждой точке графика соответствует точка того же графика, расположенная симметрично относительно начала координат.
Таким образом, начало координат является центром симметрии графика.
График функции изображён на чертеже 81. Эта линия называется кубической параболой.
В I четверти кубическая парабола (при ) «круто» поднимается
вверх (значения у «быстро» возрастают при возрастания х. см. таблицу), при малых значениях х линия «тесно» подходит к оси абсцисс (при «малых» значение у «весьма мало», см. таблицу). Левая часть кубической параболы (в III четверти) симметрична правой относительно начала координат.
Аккуратно вычерченный график может служить средством приближённого возведения чисел в куб. Так, например, положив найдём по графику
Для приближённого вычисления кубов составлены специальные таблицы.
Такая таблица имеется и в пособии В. М. Брадиса «Четырёхзначные математические таблицы».
Эта таблица содержит приближённые значения кубов чисел от 1 до 10, округлённые до 4-х значащих цифр.
Устройство таблицы кубов и правила пользования ею такие же, как и таблицы квадратов. Однако при увеличении (или уменьшении) числа в 10, 100 и т. д. раз его куб увеличивается (или уменьшается) в 1000, 1000 000 и т. д. раз. Значит, при пользовании таблицей кубов надо иметь в виду следующее правило переноса запятой:
Если в числе перенести запятую на несколько цифр, то в кубе этого числа надо перенести запятую в ту же сторону на утроенное количество цифр.
Поясним сказанное примерами:
1) Вычислить 2,2353. По таблице находим: ; прибавляем к последней цифре поправку 8 на последний знак:
2) Вычислить . Так как то находим
По таблице найдем перенеся запятую, получим
Приближённые формулы. Если в тождестве
число а мало по сравнению с единицей, то, отбросив члены с получим приближённые формулы:
По этим формулам легко найти приближённые кубы чисел, близких к единице, например: точный куб: 1,061208;
Y= k/ x у= х3 ГРАФИКИ ФУНКЦИИ Графиком функции у = х2 Называют параболой График функции у= Называют кубической функцией х3 График функции y = называют гиперболой. k/x
Кубическая функция y = аx 3 а‡ 0 Кубическая функция – это функция вида y = x 3. График функции называется кубической параболой и представляет собой винтообразную кривую, проходящую через начало координат из первой четверти в третью.
Кубическая функция - это функция вида y=ax³, где a - число (a≠ 0). График кубической функции называется кубической параболой. Для начала рассмотрим свойства и график кубической функции y=x³ (при a=1). 1) Область определения - множество действительных чисел: D: x∈(-∞; ∞) или R 2) Область значений - все действительные числа: E: y∈(-∞; ∞). 3) Функция имеет один нуль: y=0 при x=0. 4) Точка O (0; 0) делит кубическую параболу на две равные части, каждая из которых называется ветвью кубической параболы. Ветви кубической параболы симметричны относительно точки O - начала координат. Отсюда следует, что противоположным значениям x соответствуют противоположные значения y: (-x)³= -x³. 5) Функция возрастает на всей числовой прямой. 6) Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения при x∈(0; ∞) (или y>0 при x>0); функция принимает отрицательные значения при x∈(-∞; 0) (или y
Чтобы построить график кубической функции, возьмём несколько точек. Берём точки с абсциссами x=0, x=± 1, x=± 2, x=± 3 и находим соответствующие значения функции: X -2 -1 0 1 2 Y -8 -1 0 1 8 Получили точки с координатами (0; 0), (1; 1), (-1; -1), (2; 8), (-2; -8). Удобно результаты вычислений оформлять в виде таблицы:
Графиком функции является кубическая парабола. Чтобы построить его, рассмотрим график функции. По правилам построения графиков с помощью элементарных преобразований, растянем его вдоль оси ординат в два раза и сдвинем на единицу вверх. На рисунке 2 черной пунктирной линией изображен график, а зеленой сплошной линией – график функции.
