Функция уолша и разложение сигнала. Система сотовой подвижной связи CDMA

02.07.2020

Функциями Уолша называется семейство функций, образующих ортогональную систему, принимающих значения только 1 и −1 на всей области определения.

В принципе, функции Уолша могут быть представлены в непрерывной форме, но чаще их определяют как дискретные последовательности из элементов. Группа из функций Уолша образует матрицу Адамара.

Функции Уолша получили широкое распространение в радиосвязи, где с их помощью осуществляется кодовое разделение каналов (CDMA), например, в таких стандартах сотовой связи, как IS-95, CDMA2000 или UMTS.

Система функций Уолша является ортонормированным базисом и, как следствие, позволяет раскладывать сигналы произвольной формы в обобщённый ряд Фурье.

Преобразование Уолша-Адамара

Является частным случаем обобщённого преобразования Фурье, в котором базисом выступает система функций Уолша.

Обобщённый ряд Фурье представляется формулой:

где это одна из базисных функций, а - коэффициент.

Разложение сигнала по функциям Уолша имеет вид:

В дискретной форме формула запишется следующим образом:

Определить коэффициенты можно, осуществив скалярное произведение раскладываемого сигнала на соответствующую базисную функцию Уолша:

Следует учитывать периодический характер функций Уолша.

9. Интерполяция: спектральная трактовка, КИХ-фильтры для полиномиальной интерполяции 0- и 1-го порядка; использование полифазной структуры. Интерполяция – процесс цифр. обработки сигналов, приводящий к формированию сигнала y(nT) с повышенной частотой дискретизации из сигнала x(vT’)=x(vLT) с более низкой частотой дискретизации при определенных ограничениях на временные и спектральные изменения исх.сигнала.

Выделяют три разновидности процесса интерполяции ЦОС:

1. Увеличение частоты дискретизации осуществляется в соответствии с математическим понятием интерполяции;

2. При увеличении част.дискр. исходные отсчеты дискретного сигнала x(vT’) оказываются утерянными, однако отсчеты выходного сигала y(nT) могут рассматриваться как отсчеты исходного аналогового сигнала x(t), из которого путем дискретизации с интервалом T’ образован исходный дискретный сигнал x(vT’). В этом случае форма огибающей сигналов x(vT’) и y(nT) (и спектр) не изменяются;

3. Увеличение част.дискретизации приводит к изменению формы интерполируемого сигнала, однако модуль спектра не меняется.

Д-дискретизатор c интервалом дискретизации T’=LT., ИИ-идеальный интерполятор увеличивает част.дискр. в целое число L.После ИИ сигнал можно рассматривать, как результат дискретизации исх.аналогового сигнала x(t) с интервалом дискретизации T=T’/L. , Hφ-дискретная система с частотной хар-кой .

Частотная интерполяция процесса с целым коэффициентом L:

а)спектр исходного аналогового сигнала. б)спектр дискретизированного сигнала с часотой дискретизаии fд. в)спектр дискретизированного сигнала с частотой дискретизации fд’=3fд.

Т.О. процесс повышение частоты дискретизации (интерполяции) – преобразование спектра от б) к в), то есть подавление «лишних» частотных составляющих исх.спектра.

Увеличение частоты дискретизации исх.сигнала в нужное число раз L осуществляет экспандер частоты дискретизации (ЭЧД).

Использование полифазной структуры при интерполяции с использованием КИХ-фильтров. Особенность данной структуры в том, что вместо одного фильтра, работающего на высокой частоте дискретизации, используется несколько фильтров, работающих на низкой частоте. Полифазный фильтр представляет собой набор небольших фильтров, работающих параллельно, каждый из которых обрабатывает только подмножество отсчётов сигнала (если всего имеется N фильтров, каждый фильтр будет обрабатывать только каждый N-й отсчёт). Эквивалентная схема полифазной структуры:

Проектирование КИХ-фильтров для полиномиальной интерполяции 0- и 1-го порядка.

Нулевой порядок. При вычислении очередного отсчета вых сигнала y(nT) с интервалом дискретизации T исп-ся только один отсчет входного интерполируемого сигнала x(vT’) с интервалом дискретизации T’. При увеличении частоты дискретизации в L раз отсчет сигнала x(vT’) повторяется L раз на тактах n=vL, vL+1, …,vL+L-1:

y(nT)=x(vT’), n=vL, vL+1, …,vL+L-1, v=0,1,2,…

Процесс интерполяции нулевого порядка показан на след.рис, где Tз-задержка, вносимая фильтром.

Передаточная функция фильтра

Реализация однородного фильтра:

Входной сигнал x(vT’) записывается в регистр RG с частотой fд’=1/T’, а считывание сигнала y(nT) производится с частотой fд=Lfд’=1/T. Первый порядок(линейная интерполяция) . Пусть дан сигнал x(n)=cos(2πn∙0,125). Между кажд. отсчетом исх. сигнала вставляется L-1 отсчетов (повышение част.дискретизации). Записывается передаточная функция

10. Децимация: спектральная трактовка, КИХ-фильтры для полиномиальной децимации 0- и 1-го порядка; использование полифазной структуры.Децимация - процесс уменьшения частоты дискретизации сигнала.

Рассмотрис сигнал x(t), модуль его спекта а).

x(nT)-дискретизированный сигнал с интервалом дискретизации T, его модуль его спектра в первом случае б), во втором г).

x(лямбдаT)-дискретизированный сигнал x(t) с интервалом дискретизации T’=MT.(M=2), его модуль спектра в первом случае в), во втором д).

Случай 1. При дискретизации с частотой wд1 выполнилось условие условие wд1 2Мwmax.(в нашем случае wд1 4wmax). Сигнал можно восстановить, так как спектр не перекрывается.

Случай 2. При дискретизации с частотой wд2 не выполнилось условие условие wд2 2Мwmax. Сигнал восстановить нельзя, т.к спектр накладывается.

Для выполнения операции децимации в целое число раз М необходимо, чтобы частота дискретизации wд сигнала x(nT), подлежащего децимации, удовлетворяло условию wд 2Мwmax.

Операция децимации осуществляется с помощью компрессора частоты дискретизации(КЧД)(рис слева). КЧД представляет собой ключ, который замыкается в моменты t=nMT=лямбдаT’, то есть из входного сигнала x*(nT) с интервалом дискретизации Т берется только каждый М-й отсчет и формирует сигнал x(лямбдаT’)= x*(лямбдаМТ) с интервалом дискретизации Т=МТ

Использование полифазной структуры при децимации с использованием КИХ-фильтров. Данная структура содержит М параллельных ветвей обработки, в каждой из которых находится фильтр, работающий на «низкой» (выходной) частоте дискретизации. Уравнение, описывающее полифазную структуру децимации:

Где М-целочисл.коэффициент,

G-целое число, r=0, 1,…,M-1.

Т.е. выходная последовательность y(лямбдаT’) схемы есть сумма М последовательностей yk(лямбдаMT’), k=0,1,…,M-1, каждая из которых есть в свою очередь результат фильтрации последовательности yk*(лямбдаMT’)=x(лямбдаМТ-kT) дискретным фильтром с ПФ Hk*(zM) и импульсной характеристики brk=brM+k, причем отсчеты импульсной характеристики k-го фильтра есть отсчеты импульсной характеристики bl фильтра-прототипа,взятые через М-1 отсчет.

Проектирование КИХ-фильтров для полиномиальной децимации 0- и 1-го порядка.

Схема уменьшения частоты дискретизации

Нулевой порядок. В качестве фильтра используется однородный, передаточная функция которого:

АЧХ однородного фильтра

Условие, при котором выбирается порядок фильтра: N=k*M.

Первый порядок. В качестве фильтра используется триангулярный с ПФ.

Система сотовой подвижной связи CDMA

В последние годы значительный прогресс в телекоммуникационных технологиях достигнут благодаря переходу на цифровые виды связи, которые, в свою очередь, базируются на стремительном развитии микропроцессоров. Один из ярких примеров этого - появление и быстрое внедрение технологии связи с цифровыми шумоподобными сигналами на основе метода многостанционного доступа с кодовым разделением каналов (CDMA - Code Division Multiple Access), в ближайшие годы нового столетия затмит собой все остальные, вытесняя аналоговые NMT, AMPS и др. и составляя серьезную конкуренцию цифровым технологиям, таким как GSM.

Замечательное свойство цифровой связи с шумоподобными сигналами - защищенность канала связи от перехвата, помех и подслушивания. Именно поэтому данная технология была изначально разработана и использовалась для вооруженных сил США, и лишь недавно американская компания Qualcom на основе этой технологии создала стандарт IS-95 (CDMA one) и передала его для коммерческого использования. Оборудование для этого стандарта уже выпускают шесть компаний: Hughes Network Systems, Motorola и Samsung.

Общая характеристика и принципы функционирования

Принцип работы систем сотовой связи (ССС) с кодовым разделением каналов можно пояснить на следующем примере.

Предположим, что вы сидите в ресторане. За каждым столиком находится два человека. Одна пара разговаривает между собой на английском языке, другая на русском, третья на немецком и т.д. Получается так, что в ресторане все разговаривают в одно и то же время на одном диапазоне частот (речь от 3 кГц до 20 кГц), при этом вы, разговаривая со своим оппонентом, понимаете только его, но слышите всех.

Так же и в стандарте CDMA передаваемая в эфире информация от базовой станции к мобильной или наоборот попадает ко всем абонентам сети, но каждый абонент понимает только ту информацию, которая предназначена для него, т.е. русский понимает только русского, немец только немца, а остальная информация отсеивается. Язык общения в данный момент является кодом. В CDMA это организовано за счет применения кодирования передаваемых данных, если точнее, то за это отвечает блок умножения на функцию Уолша.

В отличие от стандарта GSM, который использует TDMA (Time Division Multiple Access - многостанционный доступ с временным разделением канала, т.е. несколько абонентом могут разговаривать на одной и той же частоте, как и в CDMA, но в отличие от CDMA, в разное время), стандарт IS-95 диапазон частот использует более экономично.

CDMA называют широкополосной системой и сигналы идущие в эфире шумоподобными. Широкополосная - потому, что занимает широкую полосу частот. Шумоподобные сигналы - потому, что когда в эфире на одной частоте, в одно и то же время работают несколько абонентов, сигналы накладываются друг на друга (можно представить шум в ресторане, когда все одновременно говорят). Помехоустойчивая - потому, что при возникновении в широкой полосе частот(1,23 Мгц) сигнала-помехи, узкого диапазона (<150кГц), сигнал примется почти неискаженный. За счет помехоустойчивого кодирования потерянные данные система восстановит, см. рис 1, где показан полезный сигнал и помеха (СЗС - селективная помеха).

А в стандарте GSM такое не получится. Из-за того, что GSM изначально сам узкополосный. Ширина полосы, которая используется, равна 200 кГц.

Система CDMA фирмы Qualcom рассчитана на работу в диапазоне частот 800 Мгц. Система CDMA построена по методу прямого расширения спектра частот на основе использования 64 видов последовательностей, сформированных по закону функций Уолша. Для передачи речевых сообщений выбрано речепреобразующее устройство с алгоритмом CELP со скоростью преобразования 8000 бит/с (9600 бит/с в канале). Возможны режимы работы на скоростях 4800, 2400, 1200 бит/с.

В каналах системы CDMA применяется сверточное кодирование со скоростью? (в каналах от базовой станции) и 1/3 (в каналах от подвижной станции), декодер Витерби с мягким решением, перемежение передаваемых сообщений. Общая полоса канала связи составляет 1,25 Мгц.

Основные характеристики приведены в таблице.

Диапазон частот передачи MS	824,040 – 848, 860 Мгц
Диапазон частот передачи BTS	869,040 – 893,970 мгц
Относительная нестабильность несущей частоты BTS	+/- 5*10^-8
Относительная нестабильность несущей частоты MS	+/- 2,5*10^-6
Вид модуляции несущей частоты	QPSK(BTS), O-QPSK(MS)
Ширина спектра излучаемого cигнала: по уровню минус 3 Дб по уровню минус 40 Дб
Тактовая частота ПСП М-функции	1,2288 Мгц
Количество каналов BTS на 1 несущей частоте	1 пилот-канал 1 канал синхронизации 7 каналов персонально вызова 55 каналов связи
Количество каналов MS	1 канал доступа 1 канал связи
Скорость передачи данных: В канале синхронизации В канале перс.вызова и доступа В каналах связи	9600, 4800 бит/с 9600, 4800, 2400, 1200 бит/с
Кодирование в каналах передачи BTS	Сверточный код R=1/2, К=9
Кодирование в каналах передачи MS	Сверточный код R=1/3, K=9
Требуемое для приема отношение энергии бита информации	6-7 дБ
Максимальная эффективная излучаемая мощность BTS	50 Вт
Максимально эффективная излучаемая мощность MS	6,3 – 1,0 Вт

В стандарте используется раздельная обработка отраженных сигналов, приходящих с разными задержками, и последующее их весовое сложение, что значительно снижает отрицательное влияние эффекта многолучевости. При раздельной обработке лучей в каждом канале приема на базовой используется 4 параллельно работающих коррелятора, а на подвижной станции 3 коррелятора. Наличие параллельно работающих корреляторов позволяет осуществить мягкий режим "эстафетной передачи" при переходе из соты в соту.

Мягкий режим "эстафетной передачи" происходит за счет управления подвижной станцией двумя или более базовыми станциями. Транскодер, входящий в состав основного оборудования, проводит оценку качества приема сигналов от двух базовых станций последовательно кадр за кадром. Процесс выбора лучшего кадра приводит к тому, что результирующий сигнал может быть сформирован в процессе непрерывной коммутации и последующего "склеивания" кадров, принимаемых разными базовыми станциями, участвующими в "эстафетной передаче".

Протоколы установления связи в CDMA, так же как в стандартах AMPS основаны на использовании логических каналов.

В CDMA каналы для передачи с базовой станции называются прямыми (Forward), для приема базовой станцией - обратными (Reverse). Структура каналов в CDMA в стандарте IS-95 показана на рис:

Прямые каналы в CDMA:

Пилотный канал - используется подвижной станцией для начальной синхронизации с сетью и контроля за сигналами базовой станции по времени, частоте и фазе.
Канал синхронизации - обеспечивает идентификацию базовой станции, уровень излучения пилотного сигнала, а так же фазу псевдослучайной последовательности базовой станции. После завершения указанных этапов синхронизации начинаются процессы установления соединения.
Канал вызова - используется для вызова подвижной станции. После приема сигнала вызова подвижная станция передает сигнал подтверждения на базовую станцию, после чего по каналу вызова на подвижную станцию передается информация об установлении соединения и назначения канала связи. Канал персонального вызова начинает работать после того, как подвижная станция получит всю системную информацию (частота несущей, тактовая частота, задержка сигнала по каналу синхронизации).
Канал прямого доступа - предназначен для передачи речевых сообщений и данных, а так же управляющей информации с базовой станции на подвижную.

Обратные каналы в CDMA:

Канал доступа - обеспечивает связь подвижной станции с базовой станций, когда подвижная станция еще не использует канал трафика. Канал доступа используется для установления вызовов и ответов на сообщения, передаваемые по каналу вызова, команды и запросы на регистрацию в сети. Каналы доступа совмещаются (объединяются) каналами вызова.
Канал обратного трафика - обеспечивает передачу речевых сообщений и управляющей информации с подвижной станции на базовую станцию.

Структура каналов передачи базовой станции показана на рис:

Каждому логическому каналу назначается свой код Уолша. Всего в одном физическом канале логических каналов может быть 64, т.к. последовательностей Уолша, которым в соответствие ставятся логические каналы, всего 64, каждая из которых имеет длину по 64 бита. Из всех 64 каналов на 1-й канал назначается первый код Уолша (W0) которому соответствует "Пилотный канал", на следующий канал назначается тридцать второй код Уолша (W32), следующим 7-ми каналам так же назначаются свои коды Уолша (W1,W2,W3,W4,W5,W6,W7) которым соответствуют каналы вызова, и оставшиеся 55 каналов предназначены для передачи данных по "Каналу прямого трафика".

При изменении знака бита информационного сообщения фаза используемой последовательности Уолша изменяется на 180 градусов. Так как эти последовательности взаимно ортогональны, то взаимные помехи между каналами передачи одной базовой станции отсутствуют. Помехи по каналам передачи базовой станции создают лишь соседние базовые станции, которые работают в той же полосе радиочастот и используют ту же самую ПСП, но с другим циклическим сдвигом.

Порядок прохождения речевых данных в мобильной станции до момента отправки в эфир.

Давайте подробней рассмотрим структурную схему обратного канала трафика. В прямом и обратном канале эта схема повторяется; в зависимости от того, какой канал используется в данный момент, некоторые блоки этой схемы исключаются.

Речевой сигнал поступает на речевой кодек.
На этом этапе речевой сигнал оцифровывается и сжимается по алгоритму CELP..
Далее сигнал поступает на блок помехоустойчивого кодирования, который может исправлять до 3-х ошибок в пакете данных.
Далее сигнал поступает в блок перемежения сигнала.
Блок предназначен для борьбы с пачками ошибок в эфире. Пачки ошибок - искажение нескольких бит информации подряд.
Принцип такой. Поток данных записывается в матрицу по строкам. Как только матрица заполнена, начинаем с нее передавать информацию по столбцам. Следовательно, когда в эфире искажаются подряд несколько бит информации, при приеме пачка ошибок, пройдя через обратную матрицу, преобразуется в одиночные ошибки.
Далее сигнал поступает в блок кодирования (от подслушивания).
На информацию накладывается маска (последовательность) длиной 42 бита. Эта маска является секретной. При несанкционированном перехвате данных в эфире невозможно декодировать сигнал, не зная маски. Метод перебора всевозможных значений не эффективен т.к. при генерации этой маски, перебирая всевозможные значения, придется генерировать 8.7 триллиона масок длиной 42 бита. Хакер, пользуясь персональным компьютером, пропуская через каждую маску сигнал и преобразовывая его в файл звукового формата, потом, распознавая его на наличие речи, потратит уйму времени.
Блок перемежения на код Уолша.
Цифровой поток данных перемножается на последовательность бит, сгенерированных по функции Уолша.
На этом этапе кодирования сигнала происходит расширение спектра частот, т.е. каждый бит информации кодируется последовательностью, построенной по функции Уолша, длиной 64 бита. Т.о. скорость потока данных в канале увеличивается в 64 раза. Следовательно, в блоке модуляции сигнала скорость манипуляции сигнала возрастает, отсюда и расширение спектра частот.
Так же функция Уолша отвечает за отсев ненужной информации от других абонентов. В момент начала сеанса связи абоненту назначается частота, на которой он будет работать и один (из 64 возможных) логический канал, который определяет функция Уолша. В момент принятия сигнал по схеме проходит в обратную сторону. Принятый сигнал умножается на кодовую последовательность Уолша
По результату умножения вычисляется корреляционный интеграл.
Если Z пороговая удовлетворяет предельному значению, значит, сигнал наш. Последовательность функции Уолша ортогональны и обладают хорошими корреляционными и автокорреляционными свойствами, поэтому вероятность спутать свой сигнал с чужим равна 0.01 %.
Блок перемножения сигнала на две М-функции (М1 - длиной 15 бит, М2 - длиной 42 бита) или еще их называют ПСП- псевдослучайными последовательностями.
Блок предназначен для перемешивания сигнала для блока модуляции. Каждой назначенной частоте назначаются разные М -функции.
Блок модуляции сигнала.
В стандарте CDMA используется фазовая модуляция ФМ4, ОФМ4.

В настоящее время оборудование стандарта CDMA является самым новым и самым дорогим, но в то же время самым надежным и самым защищенным. Европейским Сообществом в рамках исследовательской программы RACE разрабатывается проект CODIT по созданию одного из вариантов Универсальной системы подвижной связи (UMTS) на принципе кодового разделения каналов с использованием широкополосных сигналов с прямым расширением спектра (DS-CDMA).

Основным отличием концепции CODIT будет эффективное и гибкое использование частотного ресурса. Как мы раньше пояснили, на широкополосный сигнал CDMA влияние узкополосной помехи практически не сказывается. За счет этого свойства в стандарте CODIT для передачи данных дополнительно будут использоваться защитные интервалы между несущими частотами.

Базисная тригонометрическая ф-я описывается:- номер гармоники.

Интервал ортогональности. При нормировке по мощности базисная ф-ия:Ω=2π\T

;

;
;
;

, A i -амплитуда гармоник, Θ i -фаза

;

2. Разложение сигналов и помех по функциям Уолша.

Ф-ии Уолша складываются из ф-ий Радемахера
,k=1,2...;

sgn– знаковая функция.

Интервал -разбивается на 2 k интервалы ∆T. В них ф-я Радемахера принимает значения “+1” и ”–1”. (Ф-я сохраняет свою ортогональность.)wal 0 =1 – функ-я Уолша “0” порядка 1.

Получение ф-ии walболее высоких порядков (k=1,2,3…):

1)Записывают число kв двоичной системе в

прямом коде.

m-число разрядов кода необходимых для представления ф-ий Уолшаk-го порядка, γ i -весовой коэффициент, имеющий значения 1 или 0 (в зависимости от того, учитывается или нет данный разряд при суммировании).

2)Число kперекодируют по правилу кода Грэя., код комбинации складывают поmod2 с той же комбинацией сдвинутой на 1 разряд вправо. При этом младший разряд откидывают, полученный код называют кодом Уолша.

3) Представление ф. Уолша в ряд Родомахера:

Это правило показывает, что ф. Уолша получается перемножением ф-ии Родомахера в определенной комбинации с коэффициентом b i . Для 4kф. Уолша строим:

для этой системы характерны расположения ф-ий в порядке возрастания

числа переменных знака на интервале . В этой системе четные

относительно середины интервала чередуются с нечетными при этом

число перемен знака на интервале для четных ф-ий число

перемен знака m/2 и для нечетных (m+1)/2.

-ф. Уолша в ортогональной системе.

3. Геометрическое представление сигналов и помех.

Математический объект A i является элементом множества А 1 .

ifнад объектомA i можно произвести линейные операции то множество А 1 принадлежит линейному пространству, а его элементыA i являются точками этого пространства.

Пространство имеет любую размерность m.

Ifв таком пространстве определено расстояние м/у точкамиA i и A j то пространство - метрическое, а расстояние м/у началом координат и какой-либо точкой - норма, а пространство нормированное. Соответственно норму и расстояние можно определить. В линейном нормированном пространстве определена норма в виде
и расстояние
-пространство называется Евклидовым.ifn→∞ - Гильбертово пространство.A i – вектор, его длина – норма.

Тогда колебанию U i (t) можно сопоставить точкуA i или вектор вn-мерном пространстве размерность которого равна числу степеней свободы колебанияu(t). Пусть колебанияu a (t) иu b (t) разлагаются по ортогональной системе функций φ i (t).
,
Этим колебаниям будут соответствовать вектора
с координатами
. Их длинна

. Приняв во внимание условие ортогональности, а точнее ортонормальности. Длина и норма совпадают.

P a иP b -средняя удельная мощность колебания. Длинна вектора вn-мерном пространстве, определяется эффективным значением соответствующего колебания

-Характеризует степень близости. Расстояние можно рассматривать как модуль разности
, чем меньше эта величина тем меньше различия м/у колебаниями.

* - среднее значение произведения колебаний.
**-эффективное взаимодействие м/у колебаниямиu a иu b .взаимная мощность колебаний-P ab .Ifвзять в качестве базисной ф-ии
, то выражения * и ** совпадут.ifu a иu b ортогональны =0.If U a =–U b тогда P ab = – P a = – P b . Сигнал и помеху можно представить как вектор. При геометрическом представлении кодированных сигналов. Широкоusen-мерное пространство в Неевклидовой метрике. Расстояние в этом пространстве определяется по алгоритму
,n- число элементов комбинации данного кода, аx i иy i –значения соответствующих разрядов. Геометрической модельюn- значного двоичного кода являетсяn-мерный куб с ребром = 1, каждая из вершин которого представляет одну из возможных комбинаций. 000,001,010,100,101,110,011,111 Расстояние -. Кодированный сигнал в видеn-мерного куба.

Из (2.48) получим

(2.49)

С учетом того, что функции Уолша равны ±1, выражение (2.49) запишем в виде

(2.50)

где а п (к) = 0 или 1, определяет знак функции Уолша на интервале
Примеры спектров Уолша.

1. Спектр Уолша прямоугольного импульса s(t) = 1, 0 ≤ t ≤ т (рис. 2.9)

Из (2.50) находим

Спектр Уолша прямоугольного импульса зависит от соотношения между т и Т. При τ/T = 2 v где v - целое положительное число, с учетом значений функций Уолша получим

Разложение прямоугольного импульса по функциям Уолша имеет вид

Спектр состоит из 2 V составляющих с одинаковыми амплитудами, равными 1/2 V . Спектр содержит конечное число составляющих. При т/Т≠ 2 V структура спектра изменится.

2. Спектр Уолша треугольного импульса (рис. 2.10) При описании треугольного импульса

удобно перейти к безразмерному времени х= t/T

В соответствии с (2.50) находим:

Спектры Уолша при нумерации Хармута и Пэли изображены на рис.2.10, б и в.

3. Спектр Уолша синусоидального импульса (рис. 2.11)

Для синусоидального импульса

переходя к безразмерному времени x = t/T, запишем

Из (2.50) в системе Хармута находим (рис. 2.11):

Спектры Уолша рассматриваемого сигнала при нумерации Хармута и Пэли приведены на рис.2.11,6 и в.

2.7А. Свойства спектров Уолша

При анализе сигналов с использованием функций Уолша полезно учитывать свойства разложения сигналов в базисе Уолша - спектров Уолша.

1. Спектр суммы сигналов равен сумме спектров каждого из сигналов.

Спектр сигнала в системе функций Уолша определяется коэффициентами разложения (2.47). Для суммы сигналов коэффициенты разложения определяются выражением

(2.52)

где а пк - коэффициенты разложения сигнала s k (t).

2. Умножение сигнала на функцию Уолша с номером n изменяет номера коэффициентов разложения с k по закону двоичного сдвига по модулю два

3. Спектр Уолша произведения сигналов s 1 (t) и s 2 (t). определенных на интервале . Такие функции описывают периодические сигналы с ограниченной мощностью.

Для четной функции s(t), как это следует из (3.2),

(3.3)

для нечетной функции s(t):

(3.4)

Обычно при анализе сигналов используется разложение s(t) в виде

(3.5)

Периодический сигнал представляется в виде суммы гармонических составляющих с амплитудами А n и начальными фазами.

Совокупность амплитуд {Д,} определяет амплитудный спектр, а совокупность начальных фаз {φ n } - фазовый спектр сигнала (рис.3.1,а). Как следует из (3.5), спектры периодических сигналов являются дискретными или линейчатыми, интервал дискретизации по частоте равен частоте сигнала ω 1 = 2π/ Т.

Тригонометрический ряд Фурье можно записать в комплексной форме

(3.7)

(3.8)

Переход от (3.1) к (3.7) очевиден с учетом формулы Эйлера

(3.9)

Коэффициенты с n в общем случае являются комплексными величинами

При использовании комплексной формы ряда Фурье сигнал определяется совокупностью комплексных амплитуд {с n }. Модули комплексных амплитуд |с n | описывают амплитудный спектр, аргументы φ n - фазовый спектр сигнала (рис. 3.1,6).

Представив (3.8) в виде

(3.11)

Как следует из записанных выражений, амплитудный спектр обладает четной, а фазовый - нечетной симметрией

(3.13)

Из сопоставления выражений (3.2) и (3.11) следует

В качестве примера рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов (рис. 3.2,а). При разложении периодической последовательности прямоугольных импульсов в тригонометрический ряд Фурье из (3.2) получим амплитудный и фазовый спектры в виде (рис.3.2,б):

При использовании комплексной формы ряда Фурье
из (3.8) следует:

Амплитудный и фазовый спектры сигнала равны

Предельным видом ряда Фурье является интеграл Фурье. Периодический сигнал при Т → ∞ становится непериодическим. Подставив (3.8) в (3.7), запишем

(3.16)

Гармонический анализ сигналов

Преобразуя (3.16), при T→∞ (в этом случае ω 1 → dω и пω 1 = ω), получаем

(3.17)

В квадратных скобках записан интеграл Фурье, он описывает спектральную плотность сигнала

Выражение (3.17) примет вид

Записанные соотношения представляют прямое и обратное преобразования Фурье. Они используются при гармоническом анализе непериодических сигналов.

3.2. Гармонический анализ непериодических сигналов

Прямое и обратное преобразования Фурье устанавливают взаимно однозначное соответствие между сигналом (временной функцией, описывающей сигнал s(t)) и его спектральной плотностью S(ω):

(3.18)

Соответствие по Фурье обозначим:

(3.19)

Условием существования преобразования Фурье является абсолютная интегрируемость функции s(t)

(3.20)

В практических приложениях более удобным является условие интегрируемости квадрата этой функции

(3.21)

Для реальных сигналов условие (3.21) эквивалентно условию (3.20), но имеет более очевидный физический смысл: условие (3.21) означает ограниченную энергию сигнала. Таким образом, можем считать возможным применение преобразования Фурье к сигналам с ограниченной энергией. Это непериодические (импульсные) сигналы. Для периодических сигналов разложение на гармо

нические составляющие производится с помощью ряда Фурье.

Функция S(ω) в общем случае является комплексной

где Re, lm - действительная и мнимая части комплексной величины; |s(w)|, ф(оо)- модуль и аргумент комплексной величины:

Модуль спектральной плотности сигнала |S(ω)| описывает распределение амплитуд гармонических составляющих по частоте, называется амплитудным спектром. Аргумент φ(ω) дает распределение фазы по частоте, называется фазовым спектром сигнала. Амплитудный спектр является четной функцией, а фазовый спектр - нечетной функцией частоты

С учетом формулы Эйлера (3.9) выражение для S(ω) запишем в виде

(3.24)

Если s(t)четная функция, то из (3.24) получим

(3.25)

Функция S(ω), как следует из (3.25), является действительной функцией. Фазовый спектр определяется как

(3.26)

Для нечетной функции s(t) из (3.24) получим

(3.27)

Функция S(ω) является чисто мнимой, фазовый спектр

(3.28)

Любой сигнал можно представить как сумму четной s ч (t) и нечетной s H (t) составляющих

(3.29)

Возможность такого представления становится ясной с учетом следующих равенств:

Из (3.24) и (3.29) получим

(3.30)

Следовательно, для действительной и мнимой частей спектральной плотности сигнала можно записать:

Таким образом, действительная часть спектральной плотности представляет преобразование Фурье от четной составляющей, мнимая часть - от нечетной составляющей сигнала. Действительная часть комплексной спектральной плотности сигнала является четной, а мнимая часть - нечетной функцией частоты.

Спектральная плотность сигнала при ω = 0

(3.31)

равна площади под кривой s(t).

В качестве примеров получим спектры некоторых сигналов.

1. Прямоугольный импульс (рис. 3.3,а)

где τ и - длительность импульса.

Спектральная плотность сигнала

Графики амплитудного и фазового спектров сигнала приведены на рис. 3.3,б,в.

2. Сигнал, описываемый функцией

Спектральная плотность сигнала определяется выражением

Интегрируя по частям n-1 раз, получаем

Сигнал (рис. 3.4,а)

имеет спектральную плотность

Графики амплитудного и фазового спектров изображены на рис. 3.4,б,в.

Сигнал (рис. 3.5,а)

имеет спектральную плотность

Графики амплитудного и фазового спектров - рис. 3.5,б,в.

Число примеров увеличивает табл. 3.1.

Сравнение (3.18) и (3.8) показывает, что спектральная плотность одиночного импульса при τ<

С учетом указанного соотношения определение спектра периодического сигнала в ряде случаев можно упростить, используя преобразование Фурье (3.18). Коэффициенты ряда Фурье находятся как

(3.32)

где S(ω) - спектральная плотность одного импульса.

Таким образом, при определении амплитудного и фазового спектров периодических сигналов полезно иметь в виду следующие равенства:

Коэффициент 1/T может рассматриваться как интервал частот между соседними составляющими спектра, а спектральная плотность как отношение амплитуды составляющей сигнала к интервалу частот, которому соответствует амплитуда. С учетом этого становится более понятным термин «спектральная плотность». Непрерывные амплитудный и фазовый спектры одиночного импульса являются огибающими дискретных амплитудного и фазового спектров периодической последовательности таких импульсов.

С помощью соотношений (3.33) результаты, приведенные в табл. 3.1, можно использовать для определения спектров периодических последовательностей импульсов. Такой подход иллюстрируют следующие примеры.

1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов (табл. 3.1, п. 1), рис. 3.2.

Записанное выражение повторяет результат примера п.3.1.

2. Периодическая последовательность меандровых импульсов (табл. 3.1, п.2), рис. 3.6, рис. 3.2.

3. Периодическая последовательность экспоненциальных импульсов (табл. 3.1, п.8), рис. 3.7.

Таблица 3.1

Сигналы и их спектры

3.3. Частотные спектры сигналов, представленных в виде обобщенного ряда Фурье

При представлении сигнала в виде обобщенного ряда Фурье полезно иметь преобразование Фурье базисных функций. Это позволит от спектра в базисе различных ортогональных систем перейти к частотному спектру. Ниже приведены примеры частотных спектров некоторых видов сигналов, описываемых базисными функциями ортогональных систем.

1 .Сигналы Лежандра.

Преобразование Фурье многочлена Лежандра (разд. 2) имеет вид

(3.34)

п= 1,2, ... - многочлен Лежандра; - функция Бесселя.

Используя (3.34), от сигнала, представленного в виде ряда

с коэффициентами

(3.35)

Выражение (3.35) описывает спектральную плотность сигнала s(f) в виде ряда.

Графики составляющих спектра с номерами 1 - 3 приведены на рис.3.8.

2. Сигналы Лагерра.

Преобразование Фурье функции Лагерра имеет вид

(3.36)

п= 1,2,...- функции Лагерра.

Используя (3.36), от сигнала, представленного в виде ряда разложения по многочленам Лагерра (разд. 2)

с коэффициентами

можно перейти к спектральной плотности сигнала

(3.37)

3. Сигналы Эрмита.

Преобразование Фурье функции Эрмита имеет вид

(3.38)

п= 1,2,...- функции Эрмита.

Из (3.38) следует, что функции Эрмита обладают свойством трансформируемости, т.е. функции и их преобразования Фурье равны (с точностью до постоянных коэффициентов). Используя (3.38), от сигнала, представленного в виде ряда разложения по многочленам Эрмита

с коэффициентами

можно перейти к спектральной плотности сигнала

(3.39)

4. Сигналы Уолша.

Частотные спектры сигналов Уолша (сигналов, описываемых функциями Уолша) определяются следующим преобразованием Фурье:

(3.40)

где wal(n,x) - функция Уолша.

Так как функции Уолша имеют N участков постоянных значений,

где х к - значение х на к-ом интервале.

Из (3.41) получим

где

Так как функции Уолша принимают значения ±1, то (3.42) можем записать в виде

(3.43)

где а n (к) = 0 или 1 определяет знак функции wal(n,x k).

На рис. 3.9 приведены графики амплитудных спектров первых шести сигналов Уолша.

3.4. Спектры сигналов, описываемых неинтегрируемыми функциями

Преобразование Фурье существует только для сигналов с конечной энергией (для которых выполняется условие (3.21)). Расширить класс сигналов, анализируемых с использованием преобразования Фурье, позволяет чисто формальный прием, основанный на введении понятия спектральной плотности для импульсной функции. Рассмотрим некоторые из таких сигналов.

1. Импульсная функция.

Импульсная функция (или δ - функция) определяется как

(3.44)

Из определения импульсной функции следует ее фильтрующее свойство

(3.45)

Спектральную плотность импульсной функции определим как

(3.46)

Амплитудный спектр равен единице, фазовый спектр φ(ω) = ωt 0 (рис. 3.10).

Обратное преобразование Фурье дает

По аналогии с (3.47) для частотной области запишем

(3.48)

Используя полученные выражения, определим спектральные плотности некоторых видов сигналов, описываемых функциями, для которых не существует преобразования Фурье.

2. Постоянный сигнал s(t) = s 0 .

С учетом (3.48) получим (рис. 3.11)

(3.49)