Термин топология сети означает способ соединения компьютеров в сеть. Вы также можете услышать другие названия – структура сети или конфигурация сети (это одно и то же). Кроме того, понятие топологии включает множество правил, которые определяют места размещения компьютеров, способы прокладки кабеля, способы размещения связующего оборудования и многое другое. На сегодняшний день сформировались и устоялись несколько основных топологий. Из них можно отметить “шину ”, “кольцо ” и “звезду ”.

Топология “шина”

Топология шина (или, как ее еще часто называют общая шина или магистраль ) предполагает использование одного кабеля, к которому подсоединены все рабочие станции. Общий кабель используется всеми станциями по очереди. Все сообщения, посылаемые отдельными рабочими станциями, принимаются и прослушиваются всеми остальными компьютерами, подключенными к сети. Из этого потока каждая рабочая станция отбирает адресованные только ей сообщения.

Достоинства топологии “шина”:

• простота настройки;
• относительная простота монтажа и дешевизна, если все рабочие станции расположены рядом;
• выход из строя одной или нескольких рабочих станций никак не отражается на работе всей сети.

Недостатки топологии “шина”:

• неполадки шины в любом месте (обрыв кабеля, выход из строя сетевого коннектора) приводят к неработоспособности сети;
• сложность поиска неисправностей;
• низкая производительность – в каждый момент времени только один компьютер может передавать данные в сеть, с увеличением числа рабочих станций производительность сети падает;
• плохая масштабируемость – для добавления новых рабочих станций необходимо заменять участки существующей шины.

Именно по топологии “шина” строились локальные сети на коаксиальном кабеле . В этом случае в качестве шины выступали отрезки коаксиального кабеля, соединенные Т-коннекторами. Шина прокладывалась через все помещения и подходила к каждому компьютеру. Боковой вывод Т-коннектора вставлялся в разъем на сетевой карте. Вот как это выглядело:Сейчас такие сети безнадежно устарели и повсюду заменены “звездой” на витой паре, однако оборудование под коаксиальный кабель еще можно увидеть на некоторых предприятиях.

Топология “кольцо”

Кольцо – это топология локальной сети, в которой рабочие станции подключены последовательно друг к другу, образуя замкнутое кольцо. Данные передаются от одной рабочей станции к другой в одном направлении (по кругу). Каждый ПК работает как повторитель, ретранслируя сообщения к следующему ПК, т.е. данные передаются от одного компьютера к другому как бы по эстафете. Если компьютер получает данные, предназначенные для другого компьютера – он передает их дальше по кольцу, в ином случае они дальше не передаются.

Достоинства кольцевой топологии:

• простота установки;
• практически полное отсутствие дополнительного оборудования;
• возможность устойчивой работы без существенного падения скорости передачи данных при интенсивной загрузке сети.

Однако “кольцо” имеет и существенные недостатки:

• каждая рабочая станция должна активно участвовать в пересылке информации; в случае выхода из строя хотя бы одной из них или обрыва кабеля – работа всей сети останавливается;
• подключение новой рабочей станции требует краткосрочного выключения сети, поскольку во время установки нового ПК кольцо должно быть разомкнуто;
• сложность конфигурирования и настройки;
• сложность поиска неисправностей.

Кольцевая топология сети используется довольно редко. Основное применение она нашла в оптоволоконных сетях стандарта Token Ring.

Топология “звезда”

Звезда – это топология локальной сети, где каждая рабочая станция присоединена к центральному устройству (коммутатору или маршрутизатору). Центральное устройство управляет движением пакетов в сети. Каждый компьютер через сетевую карту подключается к коммутатору отдельным кабелем. При необходимости можно объединить вместе несколько сетей с топологией “звезда” – в результате вы получите конфигурацию сети с древовидной топологией. Древовидная топология распространена в крупных компаниях. Мы не будем ее подробно рассматривать в данной статье.

Топология “звезда” на сегодняшний день стала основной при построении локальных сетей. Это произошло благодаря ее многочисленным достоинствам:

• выход из строя одной рабочей станции или повреждение ее кабеля не отражается на работе всей сети в целом;
• отличная масштабируемость: для подключения новой рабочей станции достаточно проложить от коммутатора отдельный кабель;
• легкий поиск и устранение неисправностей и обрывов в сети;
• высокая производительность;
• простота настройки и администрирования;
• в сеть легко встраивается дополнительное оборудование.

Однако, как и любая топология, “звезда” не лишена недостатков:

• выход из строя центрального коммутатора обернется неработоспособностью всей сети;
• дополнительные затраты на сетевое оборудование – устройство, к которому будут подключены все компьютеры сети (коммутатор);
• число рабочих станций ограничено количеством портов в центральном коммутаторе.

Звезда – самая распространенная топология для проводных и беспроводных сетей. Примером звездообразной топологии является сеть с кабелем типа витая пара, и коммутатором в качестве центрального устройства. Именно такие сети встречаются в большинстве организаций.

Обновлено — 2017-02-16

Типы топологии сетей локальных сетей. Кому-то этот вопрос может показаться не интересным и скучным, но для общего развития, хотя бы вкратце – не помешает. Может, даже где-то вы сможете блеснуть своими познаниями локальной сети, и на вас начнут смотреть с уважением. А может, ваша жизнь повернет так, что вам даже придется столкнуться с этим вопросом вплотную.

У меня именно так и произошло – чего я больше всего боялась, с тем мне и пришлось работать. И оказалось, что все мои страхи были только от не знания, а сейчас мне даже очень нравиться заниматься локальными сетями, и самой обжимать кабеля. Я буду писать коротко и ясно, чтобы не утомить вас подробностями, которые действительно могут вам и не пригодиться.

В чем преимущества локальных сетей вы можете почитать в этих статьях:

Схема физического соединения компьютеров называется топологией сети .

Существует три основных типа топологии сетей . Типы топологии сети — что это такое? Какой тип сети выбрать , чтобы и дешево было и надежно.

1. Кольцевая топология сети . При этом типе топологии сети концы кабелей соединены друг с другом, т.е. образуют кольцо. Каждая рабочая станция соединена с двумя соседними. Данные передаются по кругу в одном направлении, а каждая станция играет роль повторителя, который принимает и отвечает на адресованные ему пакеты и передает другие пакеты следующей рабочей станции.

Преимуществом такой сети является её достаточно высокая надёжность. Чем больше компьютеров находится в кольце, тем дольше сеть реагирует на запросы. Но самый большой недостаток в том, что при выходе из строя хотя бы одного устройства отказывалась функционировать вся сеть. Да и стоимость такой сети высокая за счёт расходов на кабели сетевые адаптеры и другое оборудование.

2. Линейная топология сети или общая шина . При линейной топологии все элементы сети подключаются друг за другом с помощью одного кабеля.

Концы сегментов должны быть затерминированы специальными сопротивлениями, которые называются терминаторами .

При создании такой сети не используется дополнительное оборудование – только кабель. Все подключенные устройства в такой сети «слушают» и принимают только те пакеты информации, которые предназначены только для них, а остальные игнорируются.

Преимущества такой сети – простота организации и дешевизна. Но существенным недостатком является низкая устойчивость к повреждениям. Любое повреждение кабеля влечет за собой выход из строя всей сети. Причем поиск неисправности очень сложен.

3. Звездообразная топология является доминирующей в современных локальных сетях. Она наиболее функциональная и стабильная. Каждый компьютер сети подключается к особому устройству, называемому концентратором (hub) или коммутатором (switch). При создании этой топологии каждое устройство получает доступ к сети независимо друг от друга и при обрыве одного соединяющего кабеля перестает работать только один из элементов сети, что существенно упрощает поиск неисправности.

Что такое топология

Введение

1. Основные этапы развития топологии

2. Общая характеристика топологии

3. Общая топология

4. Топологическое пространство

5. Важные проблемы и результаты

Заключение

Введение

Топология – сравнительно молодая математическая наука. Примерно за сто лет ее существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики. Поэтому проникновение в «мир топологии» для начинающего несколько затруднительно, так как требует знания многих фактов геометрии, алгебры, анализа и других разделов математики, а также умения рассуждать.

Топология оказывает влияние на многие разделы математики. Она изучает, в частности, такие свойства произвольных геометрических образов, которые сохраняются при преобразованиях, происходящих без разрывов и склеивания, или, как говорят математики, – при взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях. Такие преобразования называют топологическими. Два геометрических образа в топологии рассматриваются как «одинаковые», если один из них можно перевести в другой топологическим преобразованием. Например, круг и квадрат на плоскости можно преобразовать друг в друга топологическим преобразованием – это топологически эквивалентные фигуры. В то же время круг и кольцевая область, получаемая из круга «выбрасыванием» концентричного круга меньшего радиуса, с точки зрения топологии – различны.

Топология делится на два раздела – общую или теоретико-множественную топологию и алгебраическую топологию. Деление это в значительной мере условно. Одна из основных задач общей топологии – анализ математической концепции непрерывности в ее наиболее общей форме. Для этого было введено понятие топологического пространства. В топологии разработана весьма изощренная алгебраическая и аналитическая техника, значение которой выходит далеко за пределы первоначальной сферы ее применения. Сюда входит, в частности, так называемая гомологическая алгебра, которая является рабочим инструментом также и в теории уравнений с частными производными, в теории функций многих комплексных переменных и т.д. Один из разделов общей топологии – теория размерности. Что значит, что некоторое пространство двумерно, трехмерно или, вообще, n-мерно? Размерность есть одна из фундаментальных характеристик топологического пространства. Определение ее в общем случае оказывается весьма непростым. В. Кузьминовым был построен ряд примеров, показывающих парадоксальность поведения размерности в определенных ситуациях. И. Шведовым изучалась задача об аксиоматическом определении размерностей, и он опроверг, в частности, некоторые известные гипотезы, связанные с этой задачей. Другой раздел топологии носит название теории Ходжа. Эта теория объединяет в себе представления, относящиеся к теории уравнений в частных производных, римановой геометрии и топологии. В. Кузьминовым, И. Шведовым и В. Гольдштейном в серии работ было построено некоторое обобщение теории Ходжа, применимое к изучению многообразий с особенностями и многообразий, удовлетворяющих пониженным (в сравнении с обычной теорией Ходжа) требованиям гладкости. Отличие этой обобщенной теории Ходжа, – с точки зрения дифференциальных уравнений, – в том, что эта теория существенно нелинейно.

1. Основные этапы развития топологии

2. Общая характеристика топологии

Одним из самых неожиданных явлений в развитии математики XX в. стал головокружительный взлет науки, известной под названием топология.

Топология (от греч. τόπος – место и λόγος – слово, учение) – раздел геометрии, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость.

Желая пояснить, что такое топология, иногда говорят, что это «геометрия на резиновой поверхности». Это малопонятное и туманное описание позволяет, тем не менее, уловить суть предмета. Топология изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях. Непрерывные преобразования характеризуются тем, что точки, расположенные «близко одна к другой» до преобразования, остаются такими и после того, как преобразование закончено. При топологических преобразованиях разрешается растягивать и изгибать, но не разрешается ломать и рвать. (Однако, с одной оговоркой: когда речь идет о преобразованиях, нас не интересует, что происходит в процессе этих преобразований, важны только начальное положение и конечный результат. Поэтому допускаются, скажем, разрезы по каким-то линиям, которые потом склеиваются по тем же линиям. Например, если шнурок завязан узлом и его концы соединены, можно разрезать его где-то, развязать узел и снова соединить на месте разреза).

Топологию можно подразделить на три области:

1) комбинаторную топологию, изучающую геометрические формы посредством их разбиения на простейшие фигуры, регулярным образом примыкающие друг к другу;

2) алгебраическую топологию, занимающуюся изучением алгебраических структур, связанных с топологическими пространствами, с упором на теорию групп;

3) теоретико-множественную топологию, изучающую множества как скопления точек (в отличие от комбинаторных методов, представляющих объект как объединение более простых объектов) и описывающую множества в терминах таких топологических свойств, как открытость, замкнутость, связность и т.д. Разумеется, такое деление топологии на области в чем-то произвольно; многие топологи предпочитают выделять в ней другие разделы.

Какого рода свойства являются топологическими? Ясно, что не те, которые изучаются в обычной евклидовой геометрии. Прямолинейность не есть топологическое свойство, потому что прямую линию можно изогнуть и она станет волнистой. Треугольник – тоже не является топологическим свойством, ибо треугольник можно непрерывно деформировать в окружность.

Итак, в топологии треугольник и окружность – одно и то же. Длины отрезков, величины углов, площади – все эти понятия изменяются при непрерывных преобразованиях, и о них следует забыть. Очень немногие привычные понятия геометрии годятся для топологии, поэтому приходится искать новые. Этим топология трудна для начинающих, пока они не постигнут сути дела.

Образцом топологического свойства объекта служит наличие дырки у бублика (причем довольно тонкая сторона этого дела – тот факт, что дырка не является частью бублика). Какую бы непрерывную деформацию ни претерпел бублик, дырка останется. Существует крылатая фраза, что тополог (математик, занимающийся топологией) – это человек, не отличающий бублик от чайной чашки. Это означает, что наиболее общие (топологические) свойства бублика и чашки одинаковы (они телесны и имеют одну дырку).

Другое топологическое свойство – наличие края. Поверхность сферы не имеет края, а пустая полусфера имеет, и никакое непрерывное преобразование не в состоянии это изменить.

Основные объекты изучения в топологии называются топологическими пространствами. Интуитивно их можно представлять себе как геометрические фигуры. Математически это – множества (иногда – подмножества евклидова пространства), наделенные дополнительной структурой под названием топология, которая позволяет формализовать понятие непрерывности. Поверхность сферы, бублика (правильнее – тора) или двойного тора – это примеры топологических пространств.

Два топологических пространства топологические эквиваленты, если можно непрерывным образом перейти от одного из них к другому и непрерывным же образом вернуться обратно.

Нам приходится вводить требование непрерывности, как прямого отображения, так и обратного к нему, по следующей причине. Возьмем два куска глины и слепим их вместе. Такое преобразование непрерывно, поскольку близкие друг к другу точки останутся таковыми.

Однако при обратном преобразовании один кусок распадается на два, и, следовательно, близкие точки по разные стороны от линии раздела окажутся далеко друг от друга, т.е. обратное преобразование не будет непрерывным. Такие преобразования нам не подходят.

Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными. Окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний, например, растяжением границы квадрата на описанную вокруг него окружность). Сфера и поверхность куба также гомеоморфны. Чтобы доказать гомеоморфность фигур, достаточно указать соответствующее преобразование, но тот факт, что для каких-то фигур найти преобразование нам не удается, не доказывает, что эти фигуры не гомеоморфны. Здесь помогают топологические свойства.

Локальная сеть - важный элемент любого современного предприятия, без которого невозможно добиться максимальной производительности труда. Однако чтобы использовать возможности сетей на полную мощность, необходимо их правильно настроить, учитывая также и то, что расположение подсоединенных компьютеров будет влиять на производительность ЛВС.

Понятие топологии

Топология локальных компьютерных сетей - это месторасположение рабочих станций и узлов относительно друг друга и варианты их соединения. Фактически это архитектура ЛВС. Размещение компьютеров определяет технические характеристики сети, и выбор любого вида топологии повлияет на:

• Разновидности и характеристики сетевого оборудования.
• Надежность и возможность масштабирования ЛВС.
• Способ управления локальной сетью.

Таких вариантов расположения рабочих узлов и способов их соединения много, и количество их увеличивается прямо пропорционально повышению числа подсоединенных компьютеров. Основные топологии локальных сетей - это "звезда", "шина" и "кольцо".

Факторы, которые следует учесть при выборе топологии

До того как окончательно определиться с выбором топологии, необходимо учесть несколько особенностей, влияющих на работоспособность сети. Опираясь на них, можно подобрать наиболее подходящую топологию, анализируя достоинства и недостатки каждой из них и соотнеся эти данные с имеющимися для монтажа условиями.

• Работоспособность и исправность каждой из рабочих станций, подсоединенных к ЛВС. Некоторые виды топологии локальной сети целиком зависят от этого.
• Исправность оборудования (маршрутизаторов, адаптеров и т. д.). Поломка сетевого оборудования может как полностью нарушить работу ЛВС, так и остановить обмен информацией с одним компьютером.
• Надежность используемого кабеля. Повреждение его нарушает передачу и прием данных по всей ЛВС или же по одному ее сегменту.
• Ограничение длины кабеля. Этот фактор также важен при выборе топологии. Если кабеля в наличии немного, можно выбрать такой способ расположения, при котором его потребуется меньше.

О топологии «звезда»

Этот вид расположения рабочих станций имеет выделенный центр - сервер, к которому подсоединены все остальные компьютеры. Именно через сервер происходят процессы обмена данными. Поэтому оборудование его должно быть более сложным.

Достоинства:

• Топология локальных сетей "звезда" выгодно отличается от других полным отсутствием конфликтов в ЛВС - это достигается за счет централизованного управления.
• Поломка одного из узлов или повреждение кабеля не окажет никакого влияния на сеть в целом.
• Наличие только двух абонентов, основного и периферийного, позволяет упростить сетевое оборудование.
• Скопление точек подключения в небольшом радиусе упрощает процесс контроля сети, а также позволяет повысить ее безопасность путем ограничения доступа посторонних.

Недостатки:

• Такая локальная сеть в случае отказа центрального сервера полностью становится неработоспособной.
• Стоимость "звезды" выше, чем остальных топологий, поскольку кабеля требуется гораздо больше.

Топология «шина»: просто и дешево

В этом способе соединения все рабочие станции подключены к единственной линии - коаксиальному кабелю, а данные от одного абонента отсылаются остальным в режиме полудуплексного обмена. Топологии локальных сетей подобного вида предполагают наличие на каждом конце шины специального терминатора, без которого сигнал искажается.

Достоинства:

• Все компьютеры равноправны.
• Возможность легкого масштабирования сети даже во время ее работы.
• Выход из строя одного узла не оказывает влияния на остальные.
• Расход кабеля существенно уменьшен.

Недостатки:

• Недостаточная надежность сети из-за проблем с разъемами кабеля.
• Маленькая производительность, обусловленная разделением канала между всеми абонентами.
• Сложность управления и обнаружения неисправностей за счет параллельно включенных адаптеров.
• Длина линии связи ограничена, потому эти виды топологии локальной сети применяют только для небольшого количества компьютеров.

Характеристики топологии «кольцо»

Такой вид связи предполагает соединение рабочего узла с двумя другими, от одного из них принимаются данные, а второму передаются. Главной же особенностью этой топологии является то, что каждый терминал выступает в роли ретранслятора, исключая возможность затухания сигнала в ЛВС.

Достоинства:

• Быстрое создание и настройка этой топологии локальных сетей.
• Легкое масштабирование, требующее, однако, прекращения работы сети на время установки нового узла.
• Большое количество возможных абонентов.
• Устойчивость к перегрузкам и отсутствие сетевых конфликтов.
• Возможность увеличения сети до огромных размеров за счет ретрансляции сигнала между компьютерами.

Недостатки:

• Ненадежность сети в целом.
• Отсутствие устойчивости к повреждениям кабеля, поэтому обычно предусматривается наличие параллельной резервной линии.
• Большой расход кабеля.

Типы локальных сетей

Выбор топологии локальных сетей также следует производить, основываясь на имеющемся типе ЛВС. Сеть может быть представлена двумя моделями: одноранговой и иерархической. Они не очень отличаются функционально, что позволяет при необходимости переходить от одной из них к другой. Однако несколько различий между ними все же есть.

Что касается одноранговой модели, ее применение рекомендуется в ситуациях, когда возможность организации большой сети отсутствует, но создание какой-либо системы связи все же необходимо. Рекомендуется создавать ее только для небольшого числа компьютеров. Связь с централизованным управлением обычно применяется на различных предприятиях для контроля рабочих станций.

Одноранговая сеть

Этот тип ЛВС подразумевает равноправие каждой рабочей станции, распределяя данные между ними. Доступ к информации, хранящейся на узле, может быть разрешен либо запрещен его пользователем. Как правило, в таких случаях топология локальных компьютерных сетей «шина» будет наиболее подходящей.

Одноранговая сеть подразумевает доступность ресурсов рабочей станции остальным пользователям. Это означает возможность редактирования документа одного компьютера при работе за другим, удаленной распечатки и запуска приложений.

Достоинства однорангового типа ЛВС:

• Легкость реализации, монтажа и обслуживания.
• Небольшие финансовые затраты. Такая модель исключает надобность в покупке дорогого сервера.

Недостатки:

• Быстродействие сети уменьшается пропорционально увеличению количества подсоединенных рабочих узлов.
• Отсутствует единая система безопасности.
• Доступность информации: при выключении компьютера данные, находящиеся в нем, станут недоступными для остальных.
• Нет единой информационной базы.

Иерархическая модель

Наиболее часто используемые топологии локальных сетей основаны именно на этом типе ЛВС. Его еще называют «клиент-сервер». Суть данной модели состоит в том, что при наличии некоторого количества абонентов имеется один главный элемент - сервер. Этот управляющий компьютер хранит все данные и занимается их обработкой.

Достоинства:

• Отличное быстродействие сети.
• Единая надежная система безопасности.
• Одна, общая для всех, информационная база.
• Облегченное управление всей сетью и ее элементами.

Недостатки:

• Необходимость наличия специальной кадровой единицы - администратора, который занимается мониторингом и обслуживанием сервера.
• Большие финансовые затраты на покупку главного компьютера.

Наиболее часто используемая конфигурация (топология) локальной компьютерной сети в иерархической модели - это «звезда».

Выбор топологии (компоновка сетевого оборудования и рабочих станций) является исключительно важным моментом при организации локальной сети. Выбранный вид связи должен обеспечивать максимально эффективную и безопасную работу ЛВС. Немаловажно также уделить внимание финансовым затратам и возможности дальнейшего расширения сети. Найти рациональное решение - непростая задача, которая выполняется благодаря тщательному анализу и ответственному подходу. Именно в таком случае правильно подобранные топологии локальных сетей обеспечат максимальную работоспособность всей ЛВС в целом.

ТОПОЛОГИЯ
раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация - это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (т.е. нарушения целостности фигуры) или склеиваний (т.е. отождествления ее точек). Такие геометрические свойства связаны с положением, а не с формой или величиной фигуры. В отличие от евклидовой и римановой геометрий, геометрии Лобачевского и других геометрий, занимающихся измерением длин и углов, топология имеет неметрический и качественный характер. Раньше она носила названия "анализ ситус" (анализ положения), а также "теория точечных множеств". В научно-популярной литературе топологию часто называют "геометрией на резиновом листе", поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию. Топология - один из новейших разделов математики.
История. В 1640 французский математик Р.Декарт (1596-1650) нашел инвариантное соотношение между числом вершин, ребер и граней простых многогранников. Это соотношение Декарт выразил формулой V - E + F = 2, где V - число вершин, E - число ребер и F - число граней. В 1752 швейцарский математик Л. Эйлер (1707-1783) дал строгое доказательство этой формулы. Еще один вклад Эйлера в развитие топологии - это решение знаменитой задачи о кенигсбергских мостах. Речь шла об острове на реке Прегель в Кенигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава - Старый и Новый Прегель) и семи мостах, соединяющих остров с берегами. Задача состояла в том, чтобы выяснить, можно ли обойти все семь мостов по непрерывному маршруту, побывав на каждом только один раз и вернувшись в исходную точку. Эйлер заменил участки суши точками, а мосты - линиями. Полученную конфигурацию Эйлер назвал графом, точки - его вершинами, а линии - ребрами. Вершины он разделил на четные и нечетные в зависимости от того, четное или нечетное число ребер выходит из вершины. Эйлер показал, что все ребра графа можно обойти ровна по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь если граф содержит только четные вершины. Так как граф в задаче о кенигсбергских мостах содержит только нечетные вершины, мосты невозможно обойти по непрерывному маршруту, побывав на каждом ровно по одному разу и вернувшись к началу маршрута. Предложенное Эйлером решение задачи о кенигсбергских мостах зависит только от взаимного расположения мостов. Оно положило формальное начало топологии как разделу математики. К.Гаусс (1777-1855) создал теорию узлов, которой позднее занимались И.Листинг (1808-1882), П. Тэйт (1831-1901) и Дж. Александер. В 1840 А. Мебиус (1790-1868) сформулировал так называемую проблему четырех красок, которую впоследствии исследовали О. де Морган (1806-1871) и А. Кэли (1821-1895). Первым систематическим трудом по топологии были Предварительные исследования по топологии Листинга (1874). Основателями современной топологии являются Г. Кантор (1845-1918), А. Пуанкаре (1854-1912) и Л. Брауэр (1881-1966).
Разделы топологии. Топологию можно подразделить на три области: 1) комбинаторную топологию, изучающую геометрические формы посредством их разбиения на простейшие фигуры, регулярным образом примыкающие друг к другу; 2) алгебраическую топологию, занимающуюся изучением алгебраических структур, связанных с топологическими пространствами, с упором на теорию групп; 3) теоретико-множественную топологию, изучающую множества как скопления точек (в отличие от комбинаторных методов, представляющих объект как объединение более простых объектов) и описывающую множества в терминах таких топологических свойств, как открытость, замкнутость, связность и т.д. Разумеется, такое деление топологии на области в чем-то произвольно; многие топологи предпочитают выделять в ней другие разделы.
Некоторые основные понятия. Топологическое пространство состоит из множества точек S и набора S подмножеств множества S, удовлетворяющего следующим аксиомам: (1) все множество S и пустое множество принадлежат набору S; (2) объединение любой совокупности множеств из S есть множество из S; (3) пересечение любого конечного числа множеств из S есть множество из S. Множества, входящие в набор S, называются открытыми множествами, а сам этот набор - топологией в S.
См. МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ . Топологическое преобразование, или гомеоморфизм, одной геометрической фигуры S на другую, S", - это отображение (p (r) p") точек p из S в точки p" из S", удовлетворяющее следующим условиям: 1) устанавливаемое им соответствие между точками из S и S" взаимно однозначно, т.е. каждой точке p из S соответствует только одна точка p" из S" и в каждую точку p" отображается только одна точка p; 2) отображение взаимно непрерывно (непрерывно в обе стороны), т.е. если заданы две точки p, q из S и точка p движется так, что расстояние между ней и точкой q стремится к нулю, то расстояние между соответствующими точками p", q" из S" также стремится к нулю, и наоборот. Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными. Окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний, например, растяжением границы квадрата на описанную вокруг него окружность). Сфера и поверхность куба также гомеоморфны. Чтобы доказать гомеоморфность фигур, достаточно указать соответствующее преобразование, но тот факт, что для каких-то фигур найти преобразование нам не удается, не доказывает, что эти фигуры не гомеоморфны. Здесь помогают топологические свойства.

Рис. 1. ПОВЕРХНОСТЬ КУБА И СФЕРА гомеоморфны, т.е. могут быть переведены друг в друга топологическим преобразованием, но ни поверхность куба, ни сфера не гомеоморфны тору (поверхности "бублика").

Топологическим свойством (или топологическим инвариантом) геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании. Любое открытое связное множество, содержащее по крайней мере одну точку, называется областью. Область, в которой любую замкнутую простую (т.е. гомеоморфную окружности) кривую можно стянуть в точку, оставаясь все время в этой области, называется односвязной, а соответствующее свойство области - односвязностью. Если же некоторую замкнутую простую кривую этой области нельзя стянуть в точку, оставаясь все время в этой области, то область называется многосвязной, а соответствующее свойство области - многосвязностью. Представьте себе две круговые области, или диски, одну без дыр, а другую с дырами. Первая область односвязна, вторая многосвязна. Односвязность и многосвязность - топологические свойства. Область с дырой не может перейти при гомеоморфизме в область без дыр. Интересно отметить, что если в многосвязном диске провести по разрезу от каждой из дыр до края диска, то он станет односвязным. Максимальное число замкнутых простых непересекающихся кривых, по которым можно разрезать замкнутую поверхность, не разделяя ее на отдельные части, называется родом поверхности. Род - топологический инвариант поверхности. Можно доказать, что род сферы равен нулю, род тора (поверхности "бублика") - единице, род кренделя (тора с двумя дырками) - двум, род поверхности с p дырами равен p. Отсюда следует, что ни поверхность куба, ни сфера не гомеоморфны тору. Среди топологических инвариантов поверхности можно также отметить число сторон и число краев. Диск имеет 2 стороны, 1 край и род 0. Тор имеет 2 стороны, не имеет краев, а его род равен 1. Введенные выше понятия позволяют уточнить определение топологии: топологией называется раздел математики, изучающий свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах.
Важные проблемы и результаты. Теорема Жордана о замкнутой кривой. Если на поверхности проведена простая замкнутая кривая, то существует ли какое-либо свойство кривой, которое сохраняется при деформации поверхности? Существование такого свойства вытекает из следующей теоремы: простая замкнутая кривая на плоскости делит плоскость на две области, внутреннюю и внешнюю. Эта кажущаяся тривиальной теорема очевидна для кривых простого вида, например, для окружности; однако для сложных замкнутых ломаных дело обстоит иначе. Теорема была впервые сформулирована и доказана К.Жорданом (1838-1922); однако доказательство Жордана оказалось ошибочным. Удовлетворительное доказательство было предложено О.Вебленом (1880-1960) в 1905.
Теорема Брауэра о неподвижной точке. Пусть D - замкнутая область, состоящая из окружности и ее внутренности. Теорема Брауэра утверждает, что для любого непрерывного преобразования, переводящего каждую точку области D в точку этой же области, существует некоторая точка, которая остается неподвижной при этом преобразовании. (Преобразование не предполагается взаимно однозначным.) Теорема Брауэра о неподвижной точке представляет особый интерес потому, что она, по-видимому, является, наиболее часто используемой в других разделах математики топологической теоремой.
Проблема четырех красок. Проблема заключается в следующем: можно ли любую карту раскрасить в четыре цвета так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были раскрашены в различные цвета? Проблема четырех красок топологическая, так как ни форма стран, ни конфигурация границ не имеют значения. Гипотеза о том, что четырех красок достаточно для соответствующей раскраски любой карты, была впервые высказана в 1852. Опыт показал, что четырех красок действительно достаточно, но строгого математического доказательства не удавалось получить на протяжении более ста лет. И только в 1976 К.Аппель и В. Хакен из Иллинойского университета, затратив более 1000 часов компьютерного времени, добились успеха.
Односторонние поверхности. Простейшей односторонней поверхностью является лист Мебиуса, названный так в честь А. Мебиуса, открывшего его необычайные топологические свойства в 1858. Пусть ABCD (рис. 2,а) - прямоугольная полоска бумаги. Если склеить точку A с точкой B, а точку C с точкой D (рис. 2,б), то получится кольцо с внутренней поверхностью, наружной поверхностью и двумя краями. Одну сторону кольца (рис. 2,б) можно окрасить. Окрашенная поверхность будет ограничена краями кольца. Жук может совершить "кругосветное путешествие" по кольцу, оставаясь либо на окрашенной, либо на неокрашенной поверхности. Но если полоску перед склеиванием концов перекрутить на полоборота и склеить точку A с точкой C, а B с D, то получится лист Мебиуса (рис. 2,в). У этой фигуры есть только одна поверхность и один край. Любая попытка окрасить только одну сторону листа Мебиуса обречена на неудачу, так как у листа Мебиуса всего одна сторона. Жук, ползущий по середине листа Мебиуса (не пересекая края), вернется в исходную точку в положении "вверх ногами". При разрезании листа Мебиуса по средней линии он не распадается на две части.

Узлы. Узел можно представлять себе как запутанный кусок тонкой веревки с соединенными концами, расположенный в пространстве. Простейший пример - из куска веревки сделать петлю, пропустить один из ее концов сквозь петлю и соединить концы. В результате мы получим замкнутую кривую, которая остается топологически той же самой, как бы ее ни растягивать или скручивать, не разрывая и не склеивая при этом отдельные точки. Проблема классификации узлов по системе топологических инвариантов пока не решена.
ЛИТЕРАТУРА
Ху Сы-цзян. Теория гомотопий. М., 1964 Куратовский А. Топология, тт. 1-2. М., 1966, 1969 Спеньер Э. Алгебраическая топология. М., 1971 Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., 1977 Келли Дж. Общая топология. М., 1981

Энциклопедия Кольера. - Открытое общество . 2000 .

Синонимы :

Смотреть что такое "ТОПОЛОГИЯ" в других словарях:

Топология … Орфографический словарь-справочник

топология - Физическое или логическое распределение узлов сети. Физическая топология определяет физические связи (каналы) между узлами. Логическая топология описывает возможные соединения между сетевыми узлами. В локальных сетях наиболее распространены три… … Справочник технического переводчика

В широком смысле область математики, изучающая топологич. свойства разл. матем. и физ. объектов. Интуитивно, к топологич. относятся качественные, устойчивые свойства, не меняющиеся при деформациях. Матем. формализация идеи о топологич. свойствах… … Физическая энциклопедия

Наука, учение о местностях. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. топология (гр. topos место, местность + ...логия) раздел математики, изучающий наиболее общие свойства геометрических фигур (свойства, не… … Словарь иностранных слов русского языка

ТОПОЛОГИЯ, раздел математики, изучающий свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при любой деформации сдавливании, растягивании, скручивании (но без разрывов и склеиваний). Чашка с ручкой топологически эквивалентна бублику; куб,… … Научно-технический энциклопедический словарь

- (от греч. topos место и...логия) раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, т. е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных… … Большой Энциклопедический словарь

ТОПОЛОГИЯ, топологии, мн. нет, жен. (от греч. topos место и logos учение) (мат.). Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур (т.е. не зависящие от таких понятий, как длина, величина углов, прямолинейность и т.п.). Толковый словарь… … Толковый словарь Ушакова