Линейное программирование – направление математики, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием оптимальности.
Несколько слов о самом термине линейное программирование. Он требует правильного понимания. В данном случае программирование - это, конечно, не составление программ для ЭВМ. Программирование здесь должно интерпретироваться как планирование, формирование планов, разработка программы действий.
К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.
Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк. Это, например:
· задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;
· задача о смесях (планирование состава продукции);
· задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");
· транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).
Линейное программирование – наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования (кроме того, сюда относят: целочисленное, динамическое, нелинейное, параметрическое программирование). Это объясняется следующим:
· математические модели большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;
· данный тип задач в настоящее время наиболее изучен. Для него разработаны специальные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие программы для ЭВМ;
· многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли широкое применение;
· некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.
Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.
В общем виде модель записывается следующим образом:
целевая функция:
F = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn → max(min);
ограничения:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn {≤ = ≥} b1,
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn {≤ = ≥} b2,
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn {≤ = ≥} bm;
требование неотрицательности:
Задача состоит в нахождении оптимального значения функции при соблюдении ограничений.
Итак , Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.
Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.
Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующих систему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называется допустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.
Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями производства. Задачей линейного программирования (ЗЛП) является выбор из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).
Симплекс-метод является основным в линейном программировании . Решение задачи начинается с рассмотрений одной из вершин многогранника условий. Если исследуемая вершина не соответствует максимуму (минимуму), то переходят к соседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. Таким образом, переход от одной вершины к другой улучшает значение функции цели. Так как число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима.
Этот метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного программирования в канонической форме . Система ограничений здесь - система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен r , то мы можем выбрать r неизвестных, которые выразим через остальные неизвестные. Для определенности предположим, что выбраны первые, идущие подряд, неизвестные X 1 , X 2 , ..., X r . Тогда наша система уравнений может быть записана как
К такому виду можно привести любую совместную систему , например, методом Гаусса. Правда, не всегда можно выражать через остальные первые r неизвестных (мы это сделали для определенности записи). Однако такие r неизвестных обязательно найдутся. Эти неизвестные (переменные) называются базисными, остальные свободными.
Придавая определенные значения свободным переменным и вычисляя значения базисных (выраженных через свободные), мы будем получать различные решения нашей системы ограничений. Таким образом, можно получить любое ее решение. Нас будут интересовать особые решения, получаемые в случае, когда свободные переменные равны нулю. Такие решения называются базисными , их столько же, сколько различных базисных видов у данной системы ограничений. Базисное решение называется допустимым базисным решением или опорным решением , если в нем значения переменных неотрицательны. Если в качестве базисных взяты переменные X 1 , X 2 , ..., X r , то решение {b 1 , b 2 ,..., b r , 0, ..., 0} будет опорным при условии, что b 1 , b 2 ,..., b r ≥ 0 .
Симплекс-метод основан на теореме, которая называется фундаментальной теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных планов задачи линейного программирования в канонической форме обязательно есть опорное решение ее системы ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системы ограничений конечное число. Поэтому решение задачи в канонической форме можно было бы искать перебором опорных решений и выбором среди них того, для которого значение F самое большое. Но, во-первых, все опорные решения неизвестны и их нужно находить, a, во-вторых, в реальных задачах этих решений очень много и прямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод представляет собой некоторую процедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из некоторого, найденного заранее опорного решения по определенному алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором значение целевой функции F не меньше, чем на старом. После ряда шагов мы приходим к опорному решению, которое является оптимальным планом.
Итак, симплексный метод вносит определенный порядок как при нахождении первого (исходного) базисного решения, так и при переходе к другим базисным решениям. Его идея состоит в следующем.
Имея систему ограничений , приведенную к общему виду, то есть к системе m линейных уравнений с n переменными (m < n) , находят любое базисное решение этой системы, заботясь только о том, чтобы найти его как можно проще.
Если первое же найденное базисное решение оказалось допустимым , то проверяют его на оптимальность . Если оно не оптимально , то, осуществляется переход к другому, обязательно допустимому базисному решению .
Симплексный метод гарантирует, что при этом новом решении линейная форма, если и не достигнет оптимума, то приблизится к нему. С новым допустимым базисным решением поступают так же, пока не находят решение, которое является оптимальным.
Если первое найденное базисное решение окажется недопустимым , то с помощью симплексного метода осуществляется переход к другим базисным решениям , которые приближают нас к области допустимых решений, пока на каком-то шаге решения либо базисное решение окажется допустимым и к нему применяют алгоритм симплексного метода, либо мы убеждаемся в противоречивости системы ограничений.
Таким образом, применение симплексного метода распадается на два этапа: нахождение допустимого базисного решения системы ограничений или установление факта ее несовместности; нахождение оптимального решения.
При этом каждый этап может включать несколько шагов, соответствующих тому или иному базисному решению. Но так как число базисных решений всегда ограниченно, то ограниченно и число шагов симплексного метода.
Приведенная схема симплексного метода явно выражает его алгоритмический характер (характер четкого предписания о выполнении последовательных операций), что позволяет успешно программировать и реализовать этот метод на ЭВМ. Задачи же с небольшим числом переменных и ограничений могут быть решены симплексным методом вручную.
Не останавливаясь подробнее на сути алгоритма, опишем его вычислительную сторону. Вычисления по симплекс-методу организуются в виде симплекс-таблиц , которые являются сокращенной записью задачи линейного программирования в канонической форме. Перед составлением симплекс-таблицы задача должна быть преобразована , система ограничений приведена к допустимому базисному виду , c помощью которого из целевой функции должны быть исключены базисные переменные. Вопрос об этих предварительных преобразованиях мы рассмотрим ниже. Сейчас же будем считать, что они уже выполнены и задача имеет вид.
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для решения задач линейного программирования симплексным методом путем перехода к КЗЛП и СЗЛП . При этом задача на минимум целевой функции сводятся к задаче на поиск максимума через преобразование целевой функции F*(X) = -F(X) . Также имеется возможность составить двойственную задачу .Решение происходит в три этапа:
- Переход к КЗЛП. Любая ЗЛП вида ax ≤ b , ax ≥ b , ax = b (F(X) → extr) сводится к виду ax = b , F(X) → max ;
- Переход к СЗЛП. КЗЛП вида ax = b сводится к виду ax ≤ b , F(X) → max ;
- Решение симплексным методом;
Инструкция . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений). Полученное решение сохраняется в файле Word .
Переход от задачи минимизации целевой функции к задаче максимизации
Задача минимизации целевой функции F(X) легко может быть сведена к задаче максимизации функции F*(X) при тех же ограничениях путем введения функции: F*(X) = -F(X) . Обе задачи имеют одно и то же решение X*, и при этом min(F(X)) = -max(F*(X)) .Проиллюстрируем этот факт графически:
| F(x) → min
|
F(x) → max
 |
Опорный план – план с определёнными через свободные базисными переменными.
Базисный план – опорный план с нулевыми базисными переменными.
Оптимальный план – базисный план, удовлетворяющий оптимальной функции цели (ФЦ).
Ведущий (разрешающий) элемент
– коэффициент свободной неизвестной, которая становится базисной, а сам коэффициент преобразуется в единицу.
Направляющая строка
– строка ведущего элемента, в которой расположена с единичным коэффициентом базисная неизвестная, исключаемая при преобразовании (строка с минимальным предельным коэффициентом, см. далее).
Направляющий столбец
– столбец ведущего элемента, свободная неизвестная которого переводится в базисную (столбец с максимальной выгодой, см. далее).
Переменные x 1 , …, x m , входящие с единичными коэффициентами только в одно уравнение системы, с нулевыми - в остальные, называются базисными
или зависимыми
. В канонической системе каждому уравнению соответствует ровно одна базисная переменная. Переход осуществляется с помощью метода Гаусса-Жордана . Основная идея этого метода состоит в сведении системы m уравнений с n неизвестными к каноническому виду при помощи элементарных операций над строками.
Остальные n-m переменных (x m +1 ,…, x n) называются небазисными
или независимыми переменными
.
Базисное решение
называется допустимым базисным решением
, если значения входящих в него базисных переменных x j ≥0, что эквивалентно условию неотрицательности b j ≥0.
Допустимое базисное решение является угловой точкой
допустимого множества S задачи линейного программирования и называется иногда опорным планом
.
Если среди неотрицательных чисел b j есть равные нулю, то допустимое базисное решение называется вырожденным
(вырожденной угловой точкой) и соответствующая задача линейного программирования называется вырожденной
.
Пример №1
. Свести задачу линейного программирования к стандартной ЗЛП.
F(X) = x 1 + 2x 2 - 2x 3 → min при ограничениях:
4x 1 + 3x 2 - x 3 ≤10
- 2x 2 + 5x 3 ≥3
x 1 + 2x 3 =9
Для приведения ЗЛП к канонической форме необходимо:
1. Поменять знак у целевой функции. Сведем задачу F(X) → min к задаче F(X) → max. Для этого умножаем F(X) на (-1). В первом неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x 4 ; во втором неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x 5 со знаком минус.
4x 1 + 3x 2 -1x 3 + 1x 4 + 0x 5 = 10
0x 1 -2x 2 + 5x 3 + 0x 4 -1x 5 = 3
1x 1 + 0x 2 + 2x 3 + 0x 4 + 0x 5 = 9
F(X) = - x 1 - 2x 2 + 2x 3
Переход к СЗЛП
.
Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:
| 4 | 3 | -1 | 1 | 0 | 10 |
| 0 | -2 | 5 | 0 | -1 | 3 |
| 1 | 0 | 2 | 0 | 0 | 9 |
Приведем систему к единичной матрице методом жордановских преобразований.
1. В качестве базовой переменной можно выбрать x 4 .
2. В качестве базовой переменной выбираем x 2 .
Разрешающий элемент РЭ=-2. Строка, соответствующая переменной x 2 , получена в результате деления всех элементов строки x 2 на разрешающий элемент РЭ=-2. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x 2 записываем нули. Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
| 4-(0 3):-2 | 3-(-2 3):-2 | -1-(5 3):-2 | 1-(0 3):-2 | 0-(-1 3):-2 | 10-(3 3):-2 |
| 0: -2 | -2: -2 | 5: -2 | 0: -2 | -1: -2 | 3: -2 |
| 1-(0 0):-2 | 0-(-2 0):-2 | 2-(5 0):-2 | 0-(0 0):-2 | 0-(-1 0):-2 | 9-(3 0):-2 |
Получаем новую матрицу:
| 4 | 0 | 6 1 / 2 | 1 | -1 1 / 2 | 14 1 / 2 |
| 0 | 1 | -2 1 / 2 | 0 | 1 / 2 | -1 1 / 2 |
| 1 | 0 | 2 | 0 | 0 | 9 |
3. В качестве базовой переменной выбираем x 3 .
Разрешающий элемент РЭ=2. Строка, соответствующая переменной x 3 , получена в результате деления всех элементов строки x 3 на разрешающий элемент РЭ=2. На месте разрешающего элемента получаем 1. В остальных клетках столбца x 3 записываем нули. Все остальные элементы определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
| 4-(1 6 1 / 2):2 | 0-(0 6 1 / 2):2 | 6 1 / 2 -(2 6 1 / 2):2 | 1-(0 6 1 / 2):2 | -1 1 / 2 -(0 6 1 / 2):2 | 14 1 / 2 -(9 6 1 / 2):2 |
| 0-(1 -2 1 / 2):2 | 1-(0 -2 1 / 2):2 | -2 1 / 2 -(2 -2 1 / 2):2 | 0-(0 -2 1 / 2):2 | 1 / 2 -(0 -2 1 / 2):2 | -1 1 / 2 -(9 -2 1 / 2):2 |
| 1: 2 | 0: 2 | 2: 2 | 0: 2 | 0: 2 | 9: 2 |
Получаем новую матрицу:
| 3 / 4 | 0 | 0 | 1 | -1 1 / 2 | -14 3 / 4 |
| 1 1 / 4 | 1 | 0 | 0 | 1 / 2 | 9 3 / 4 |
| 1 / 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 4 1 / 2 |
Поскольку в системе имеется единичная матрица, то в качестве базисных переменных принимаем X = (4,2,3).
Соответствующие уравнения имеют вид:
3 / 4 x 1 + x 4 - 1 1 / 2 x 5 = -14 3 / 4
1 1 / 4 x 1 + x 2 + 1 / 2 x 5 = 9 3 / 4
1 / 2 x 1 + x 3 = 4 1 / 2
Выразим базисные переменные через остальные:
x 4 = - 3 / 4 x 1 + 1 1 / 2 x 5 -14 3 / 4
x 2 = - 1 1 / 4 x 1 - 1 / 2 x 5 +9 3 / 4
x 3 = - 1 / 2 x 1 +4 1 / 2
Подставим их в целевую функцию:
F(X) = - x 1 - 2(- 1 1 / 4 x 1 - 1 / 2 x 5 +9 3 / 4) + 2(- 1 / 2 x 1 +4 1 / 2)
или
Система неравенств:
- 3 / 4 x 1 + 1 1 / 2 x 5 -14 3 / 4 ≥ 0
- 1 1 / 4 x 1 - 1 / 2 x 5 +9 3 / 4 ≥ 0
- 1 / 2 x 1 +4 1 / 2 ≥ 0
Приводим систему неравенств к следующему виду:
3 / 4 x 1 - 1 1 / 2 x 5 ≤ -14 3 / 4
1 1 / 4 x 1 + 1 / 2 x 5 ≤ 9 3 / 4
1 / 2 x 1 ≤ 4 1 / 2
F(X) = 1 / 2 x 1 + x 5 -10 1 / 2 → max
Упростим систему.
3 / 4 x 1 - 1 1 / 2 x 2 ≤ -14 3 / 4
1 1 / 4 x 1 + 1 / 2 x 2 ≤ 9 3 / 4
1 / 2 x 1 ≤ 4 1 / 2
F(X) = 1 / 2 x 1 + x 2 -10 1 / 2 → max
Пример №2
. Найдите сначала графическим методом, а затем симплекс-методом решение задачи
F(X) = x 1 + x 2 - x 3 + x 5 +15 → max (min) при ограничениях:
-3x 1 + x 2 + x 3 =3
4x 1 + 2x 2 - x 4 =12
2x 1 - x 2 + x 5 =2
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0
Линейное программирование рассматривается как революционное достижение, давшее человеку способность формулировать общие цели и находить посредством симплекс-метода оптимальные решения для широкого класса практических задач принятия решений большой сложности.
Линейное программирование – математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах n -мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.
Можно сказать, что линейное программирование применимо для решения математических моделей тех процессов и систем, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.
Задача линейного программирования (ЛП), состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при линейных ограничениях.
Линейное программирование применяется при решении следующих экономических задач:
1. Задача управления и планирования производства.
2. Задач определения оптимального размещения оборудования на морских судах, в цехах.
3. Задача определения оптимального плана перевозок груза (транспортная задача).
4. Задача оптимального распределения кадров.
5. Задач о смесях, диете (планирование состава продукции) и т.д.
3. МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ, ЕЁ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ MS EXCEL.
Традиционно наукой управления называют построение детально разработанных моделей, в результате анализа которых принимаются управленческие решения. Сегодня миллионы менеджеров для анализа деловых задач применяют электронные таблицы. Современные электронные таблицы имеют много мощных средств, которые можно использовать для более точного анализа моделей, в результате чего могут приниматься более взвешенные и близкие к оптимальным решения. С учетом все более широкого применения электронных таблиц в процессе управления будущим специалистам необходимо владеть профессиональными навыкам разработки моделей – как «спланировать» чистый рабочий лист так, чтобы получить полезную и практическую модель деловой ситуации, не углубляясь в алгоритмические и математические тонкости расчетов.
Основные этапы создания модели линейного программирования в Excel:
1. Написание и проверка символической модели линейного программирования. Модель записывается на бумаге в математическом виде.
2. Создание и отладка табличной модели линейного программирования. На основе символической модели ЛП создается ее представление в Excel.
3. Попытка оптимизации модели с помощью надстройки ПОИСК РЕШЕНИЯ.
4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАДСТРОЙКИ ПОИСК РЕШЕНИЯ .
С помощью электронных таблиц можно моделировать реальные ситуации и оценивать полученные результаты. Другими словами с помощью электронных таблиц можно делать анализ результатов деятельности и прогнозирования будущих перспектив предприятия. Эти задачи в среде MS Excel дает возможность решать надстройка Поиск решения.
Поиск решения – это надстройка, которая предназначена для оптимизации моделей при наличии ограничений. Она состоит из двух программных компонентов: программы написанной на языке Visual Basic, который транслирует представленную на рабочем письме информацию для внутреннего представления, которая используется другой программой. Вторая программа находится в памяти компьютера в виде отдельного программного модуля. Она выполняет оптимизацию и возвращает найденное решение первой программе, которая возобновляет данные на рабочем листе. С помощью ее можно найти оптимальное значение формулы, которая сохраняется в целевой ячейке. Эта процедура работает с группой ячеек, которые непосредственно связанные с формулой в целевой ячейке. Чтобы получить результат по формуле в целевой ячейке, процедура изменяет значение в ячейках, которые влияют на поиск. Для того, чтобы уменьшить множественное число значений, которые используются в модели задачи, применяют ограничение. Эти ограничения могут содержать ссылку на другие ячейки, которые влияют на поиск.
Общий алгоритм работы с надстройкой Поиск решения.
- В меню Сервис выбрать команду Поиск решения .
- В поле Установит целевую ячейку введите адрес ячейки, в которй находится формула, для оптимизации модели.
- Для того, чтобы максимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение Максимальному значению . Для того, чтобы минимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение Минимальному значению . Для того, чтобы целевая ячейка приобретала значение конкретного числа, установите переключатель в положение Значение и введите соответствующее число.
- В поле Изменяя ячейки введите адреса ячеек, которые изменяют свои значения, разделяя их запятыми. Изменяемые ячейки должны быть прямо или непрямо связанные с целевой ячейкой. Допускается установка до 200 изменяемых ячеек.
- В поле Ограничения введите все ограничения, которые налагаются на поиск решения.
- Нажмите кнопку Выполнить .
- Для сохранения найденного решения установите переключатель в диалоговом окне Результаты поиска решения в положение Сохранить найденное решение . Для возобновления входных данных установите переключатель в положение Восстановить исходные значения.
- Для того, чтобы прервать поиск решения, нажмите клавишу Еsс . MS Excel пересчитает лист с учетом найденных значений ячеек, которые влияют на результат.
Алгоритм роботи з надбудовою Поиск решения.
5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ПРОГРАММЫ MS EXCEL.
Пример. Кондитерский цех для изготовления трех видов карамели А, В, С использует три основных вида сырья: сахар, патоку и фруктовое пюре. Нормы затрат сахара на изготовление 1кг карамели каждого вида соответственно уровни: 0,8кг; 0,5кг; 0,6кг; патоки – 04кг; 0,4кг; 0,3кг; фруктового пюре – 0кг; 0,1кг; 0,1кг. Конфеты можно производить в любых количествах (реализация обеспечена), но запас сырья ограниченный: запасы сахара – 80кг, патоки – 60кг, фруктового пюре – 12кг. Прибыль от реализации 1кг карамели вида А составляет 10грн., вида В – 11грн., вида С – 12грн.
Таблица 1
Определить план производства карамели, которая обеспечивает максимальную прибыль от деятельности кондитерского цеха.
Методы линейного программирования применяются для решения многих экстремальных задач, с которыми довольно часто приходится иметь дело в экономике. Решение таких задач сводится к нахождению крайних значений (максимума и минимума) некоторых функций переменных величин.
Линейное программирование основано на решении системы линейных уравнений (с преобразованием в уравнения и неравенства), когда зависимость между изучаемыми явлениями строго функциональна. Для него характерны математическое выражение переменных величин, определенный порядок, последовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления.
С помощью этого метода в промышленном производстве, например, исчисляется оптимальная общая производительность машин, агрегатов, поточных линий (при заданном ассортименте продукции и иных заданных величинах), решается задача рационального раскроя материалов (с оптимальным выходом заготовок). В сельском хозяйстве он используется для определения минимальной стоимости кормовых рационов при заданном количестве кормов (по видам и содержащимся в них питательным веществам). Задача о смесях может найти применение и в литейном производстве (состав металлургической шихты). Этим же методом решаются транспортная задача, задача рационального прикрепления предприятий-потребителей к предприятиям-производителям.
Все экономические задачи, решаемые с применением линейного программирования, отличаются альтернативностью решения и определенными ограничивающими условиями. Решить такую задачу - значит выбрать из всех допустимо возможных (альтернативных) вариантов лучший, Оптимальный. Важность и ценность использования в экономике метода линейного программирования состоят в том, что оптимальный вариант выбирается из весьма значительного количества альтернативных вариантов. При помощи других способов решать такие задачи практически невозможно.
В качестве примера рассмотрим решение задачи рациональности использования времени работы производственного оборудования.
В соответствии с оперативным планом участок шлифовки за первую неделю декабря выпустил 500 колец для подшипников типа А, 300 колец для подшипников типа Б и 450 колец для подшипников типа В. Все кольца шлифовались на двух взаимозаменяемых станках разной производительности. Машинное время каждого станка составляет 5000 мин. Трудоемкость операций (в минутах на одно кольцо) при изготовлении различных колец характеризуется следующими данными (табл. 6.5).
Таблица 6.5
Следует определить оптимальный вариант распределения операций по станкам и время, которое было бы затрачено при этом оптимальном варианте. Задачу выполним симплексным методом.
Для составления математической модели данной задачи введем следующие условные обозначения: jc, х2, хъ, - соответственно количество колец для подшипников типов Л, Б, В, производимых на станке I; х4, х5, х6, - соответственно количество колец для подшипников типов А, Б, В, производимых на станке II.
Линейная форма, отражающая критерий оптимальности, будет иметь вид:
min а(х) = 4x,-f 10x2-f 10x3-f 6x4-f 8х5+20х6 при ограничениях
4х, -f 10х2 -f 10;t3 lt; 5000
6х4 -f 8х5 -f 20х6 ~lt; 5000
х, = 500
х2 +х5 = 300
х3 +х6 = 450
Xj^0,j=l, ..., 6
Преобразуем условие задачи введением дополнительных (вспомогательных) и фиктивных переменных. Условие запишем так:
шіп lt;х(х) = 4дг, + 10x2+ 10x3 + 6x4 + 8x5 + 20x6+
+ Мх9 + Мх{0+Мх{,
Система уравнений, отражающая ограничительные условия машинного времени и количество произведенной продукции:
4х, + l(bc2 + 10х3 +х1 = 5000
6х4 + 8х5 + 20х6 + xs = 5000
Xj +х4 +х9 = 500
х2 +х5 +х10 = 300
XJ +X6 + *!1 = 450
-*,^0,7=1, ..., 11
Решение этой задачи представлено в табл. 6.6. Оптимальный вариант получен на седьмом этапе (итерации). Если бы на станке I производилось 125 колец подшипников типа А, 450 колец подшипников типа В, на станке II - 375 колец подшипников типа А и 300 колец подшипников типа Б, то при такой загрузке оборудования было бы высвобождено 350 мин машинного времени станка II. Общие затраты времени по оптимальному варианту составили бы 9650 мин, тогда как фактически затрачено 10000 мин машинного времени.
Весьма типичной задачей, решаемой с помощью линейного программирования, является транспортная задача. Ее смысл заключается в минимизации грузооборота при доставке товаров широкого потребления от производителя к потребителю, с оптовых складов и баз в розничные торговые предприятия. Она решается симплекс-методом или распределительным методом.
Решение транспортной задачи распределительным методом было дано в третьем издании учебника «Теория экономического анализа» («Финансы и статистика», 1996).
Решение задачи рациональности использования станков симплексным методом
| Базис | с | Ро | 4 | 10 | 10 | 6 | 8 | 20 | 0 | 0 | м | м | м |
| Л | Рг | Ръ | Л | Р ъ | | Pi | Р8 | р* | Л 0 | Л, |
|||
| Л | 0 | 5000 | 4 | 10 | 0 | 0 | 0 | 0 | і | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Р, | 0 | 5000 | 0 | 0 | 0 | 6 | 8 | 20 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| Л | м | 500 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| Л 0 | м | 300 | ш | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| Л. | м | 450 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| Zj-Cj | | 1250М | М-4 | М-10 | М-10 | М-6 | М-8 | М-20 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Pi | 0 | 3000 | 0 | 10 | 10 | -4 | 0 | 0 | 0 | 0 | -4 | 0 | 0 |
| р* | 0 | 5000 | 0 | 0 | 0 | 6 | 8 | 20 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| Ро | 4 | 500 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| Ло | м | 300 | 0 | 1 | 0 | 0 | ш | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| Л. | м | 450 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| zr-9 | | 750Л/+2000 | 0 | М-10 | М-10 | -2 | М-8 | О 2 | 0 | 0 | -М + 4 | 0 | 0 |
| Базис | С | Р0 | 4 | Pi | 10 | 6 | 8 | 20 | 0 | 0 | м | м | М |
| | | Pi | 10 | ^3 | л | Р5 | р6 | Pi | р« | р9 | Pi 0 | Рц |
|
| Pi | 0 | 3000 | 0 | 10 | 10 | -4 | 0 | 0 | 1 | 0 | -4 | 0 | 0 |
| Р* | 0 | 2600 | 0 | -8 | 0 | 6 | 0 | 20 | 0 | 1 | 0 | -8 | 0 |
| Pi | 4 | 500 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| Р5 | 8 | 300 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| РП | М | 450 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| Zj-Cj | | 450Л/+4400 | 0 | -2 | М-10 | -2 | 0 | М-20 | 0 | 0 | -М+4 | -М+8 | 0 |
| Ръ | 10 | 300 | 0 | 1 | 1 | 4 10 | 0 | 0 | 1 10 | 0 | 4 10 | 0 | 0 |
| Р% | 0 | 2600 | 0 | -8 | 0 | 6 | 0 | 20 | 0 | 1 | 0 | -8 | 0 |
| Pi | 4 | 500 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| Р5 | 8 | 300 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| Рц | М | 150 | 0 | -1 | 0 | j4_ 10 | 0 | 1 | _ J_ 10 | 0 | 4 10 | 0 | 1 |
| zrCj | | 150Л/+7400 | 0 | -M+S | 0 | - М-6 10 | 0 | М-20 | - ~М+1 10 | 0 | -±м 10 | - Af+8" | 0 |
| Базис | с | Л, | 4 | 10 | 10 | 6 | 8 | 20 | 0 | 0 | М | М | м |
||
| Л | Рг | Л | л | PS | р6 | Pi | рamp; | Р9 | Ло | л. |
|||||
| Л | 10 | 300 | 0 | 1 | 1 | 4 | 0 | 0 | 1 | | 0 | | 4 | 0 | 0 |
| | | | | | | “10 | | | То | | | | “ 10 | | |
| р6 | 20 | 130 | 0 | 4 | 0 | 3 | 0 | 1 | 0 | | 1 | | 0 | 4 | 0 |
| | | | | ~Ї0 | | 10 | | | | | 20 | | | 10 | |
| л | 4 | 500 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | | 0 | | 1 | 0 | 0 |
| Ps | 8 | 300 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | | 0 | 1 | 0 |
| Р\\ | М | 20 | 0 | 6 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | | 1 | | 4 | 4 | 1 |
| | | | | 10 | | ~10 | | | То | | 20 | То | 10 | |
|
| Zj-Cj | | 20М+10000 | 0 | | 0 | -м | 0 | 0 | м+\ | | -м+\ | --М | -*М | 0 |
|
| | | | | 10 | | 10 | | | 10 | 20 | | 10 | 10 | |
|
| л | 10 | 380 | 0 | 14 | 1 | 0 | 0 | 0 | 3 | | 2 | | 12 | 0 | 0 |
| | | | | 10 | | | | | 10 | | 10 | 10 | | |
|
| р% | 20 | 70 | 0 | 14 | 0 | 0 | 0 | 1 | 3 | | 2 | | 12 | 16 | -3 |
| | | | | 10 | | | | | 10 | | 10 | | 10 | 10 | |
| Л | 4 | 300 | 1 | 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | | 1 | | -3 | | -10 |
| | | | | | | | | | | | 2 | | | | |
| р5 | 8 | 300 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | 0 | | 0 | 1 | 0 |
| Р4 | 6 | 200 | 0 | -6 | 0 | 1 | 0 | 0 | -1 | | 1 | | 4 | 4 | 10 |
| | | | | | | | | | | | ’ 2 | | | | |
| Z.-Ci | | 10000 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | -М | -М | -м |
||
| Базис | | Лgt; | 4 | 10 | 10 | 6 | 8 | 20 | 0 | 0 | м | м | л/ |
| о | Л | Рг | ръ | Р* | Р5 | Р6 | Л | Рamp; | р9 | Л 0 | л. |
||
| Рг | 10 | 450 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | | | |
| Р% | 0 | 350 | 0 | 7 | 0 | 0 | 0 | 5 | 3 5 | 1 | | | |
| Л | 4 | 125 | 1 | 5 2 | 0 | 0 | 0 | 5 2 | 1 4 | 0 | | | |
| Ps | 8 | 300 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | | | |
| Р4 | 6 | 375 | 0 | 5 2 | 0 | 1 | 0 | 5 2 | 1 4 | 0 | | | |
| Zj-Cj | | 9650 | 0 | -7 | 0 | 0 | 0 | -5 | 1 2 | 0 | | | |
Линейное программирование сформировалось как отдельный раздел прикладной математики в 40 – 50-х гг. ХХ в. благодаря работам советского ученого, лауреата Нобелевской премии Л.В. Канторовича. В 1939 году им была опубликована работа «Математические методы организации и планирования производства», в которой он с использованием математики решил экономические задачи о наилучшей загрузке машин, раскрое материалов с наименьшими расходами, распределении грузов по нескольким видам транспорта и другие, предложив метод разрешающих множителей 8 .
Л.В. Канторович впервые сформулировал такие широко используемые экономико-математические понятия, как оптимальный план, оптимальное распределение ресурсов, объективно обусловленные оценки, указав многочисленные области экономики, где они могут быть применены.
Понятие линейного программирования было введено американским математиком Д. Данцигом, который в 1949 г. предложил алгоритм решения задачи линейного программирования, получивший название «симплексный метод».
Математическое программирование, в которое входит линейное программирование, в настоящее время является одним из направлений исследования операций. В зависимости от вида решаемых задач в нем выделяют такие области, как линейное, нелинейное, дискретное, динамическое программирование и др. Термин «программирование» введен в связи с тем, что неизвестные переменные, которые находятся в процессе решения задачи, обычно определяют программу или план работы некоторого экономического объекта.
В классическом математическом анализе исследуются общая постановка задачи определения условного экстремума. Однако в связи с развитием промышленного производства, транспорта, агропромышленного комплекса, банковского сектора традиционных результатов математического анализа оказалось недостаточно. Потребности практики и развитие вычислительной техники привели к необходимости определения оптимальных решений при анализе сложных экономических систем.
Главным инструментом для решения таких задач является математическое моделирование. При этом сначала строится простая модель, затем проводится ее исследование, позволяющее понять, какие из интегрирующих свойств объекта не улавливаются формальной схемой, после чего за счет усложнения модели обеспечивается большая ее адекватность реальности. Во многих случаях первым приближением к действительности является модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние объекта, являются линейными. Практика показывает, что достаточное количество экономических процессов достаточно полно описывается линейными моделями. Следовательно, линейное программирование как аппарат, позволяющий отыскивать условный экстремум на множестве, заданном линейными уравнениями и неравенствами, играет важную роль при анализе этих процессов.
Линейное программирование получило широкое развитие в связи с тем, что было установлено: ряд задач сферы планирования и управления может быть сформулирован в виде задач линейного программирования, для решения которых имеются эффективные методы. По оценкам специалистов примерно 80–85 % всех решаемых на практике задач оптимизации относится к задачам линейного программирования.
Созданный математический аппарат в сочетании с компьютерными программами, производящими трудоемкие расчеты, позволяет широко использовать модели линейного программирования в экономической науке и практике.
Определение 1 9 . Линейное программирование (ЛП) – это область математического программирования, являющегося разделом математики и изучающего методы поиска экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции конечного числа переменных, на неизвестные которой наложены линейные ограничения.
Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые представляют количественные соотношения между переменными, выражающие условия и требования экономической задачи и математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений.
К задачам линейного программирования сводится широкий круг вопросов планирования экономических процессов, где ставится задача поиска наилучшего (оптимального) решения.
Общая задача линейного программирования (ЗЛП) состоит в нахождении экстремального значения (максимума или минимума) линейной функции, называемой целевой 10:
от n переменных x 1 , x 2 , …, х n при наложенных функциональных ограничениях:
(3.2)
и прямых ограничениях (требовании неотрицательности переменных)
, (3.3)
где a ij , b i , c j – заданные постоянные величины.
В системе ограничений (3.2) знаки «меньше или равно», «равно», «больше или равно» могут встречаться одновременно.
ЗЛП в более краткой записи имеет вид:
,
при ограничениях:
;
.
Вектор `Х = (x 1 , x 2 , …, х n ) компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи называют планом (или допустимым решением ) ЗЛП.
Все допустимые решения образуют область определения задачи линейного программирования, или область допустимых решений (ОДР). Допустимое решение, которое доставляет максимум или минимум целевой функции f (`X ), называется оптимальным планом задачи и обозначается f (`X * ), где ` Х * =(x 1 * , x 2 * , …, х n * ).
Еще одна форма записи ЗЛП:
,
где f (`X * ) есть максимальное (минимальное) значение f (С , х ), взятое по всем решениям, входящим в множество возможных решений Х .
Определение 2 11 . Математическое выражение целевой функции и ее ограничений называются математической моделью экономической задачи.
Для составления математической модели необходимо:
1) обозначить переменные;
2) составить целевую функцию исходя из цели задачи;
3) записать систему ограничений, учитывая имеющие в условии задачи показатели и их количественные закономерности.
