Динамические модели линейного программирования. Микроэкономические модели линейного программирования

28.05.2019

Линейное программирование - один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программ) для ЭВМ» не имеет, так как дисциплина «линейное программирование» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться при решении математических, инженерных, экономических и др. задач. Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми.

Итак, линейное программирование возникло после Второй Мировой Войны и стал быстро развиваться, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а так же математической «стройности».

Можно сказать, что линейное программирование применимо для построения математических моделей тех процессов, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира: экономических задач, задач управления и планирования, оптимального размещения оборудования и пр.

Задачами линейного программирования называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств. Кратко задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом: найти вектор значений переменных, доставляющих экстремум линейной целевой функции при m ограничениях в виде линейных равенств или неравенств.

Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

· рационального использования сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;
· оптимизации производственной программы предприятий;
· оптимального размещения и концентрации производства;
· составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;
· управления производственными запасами;
· и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Так, по оценкам американских экспертов, около 75% от общего числа применяемых оптимизационных методов приходится на линейное программирование. Около четверти машинного времени, затраченного в последние годы на проведение научных исследований, было отведено решению задач линейного программирования и их многочисленных модификаций.

Постановка задачи оптимизации предполагает существование конкурирующих свойств процесса, например:

· количество продукции - расход сырья
· количество продукции - качество продукции

Выбор компромиcного варианта для указанных свойств и представляет собой процедуру решения оптимизационной задачи.

При постановке задачи оптимизации необходимо:

1. Наличие объекта оптимизации и цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, т.е. одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимизации, т.к. практически всегда экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого. Приведем примеры.

Типичный пример неправильной постановки задачи оптимизации:

«Получить максимальную производительность при минимальной себестоимости».

Ошибка заключается в том, что ставится задача поиска оптимальности 2-х величин, противоречащих друг другу по своей сути.

Правильная постановка задачи могла быть следующая:

а) получить максимальную производительность при заданной себестоимости;
б) получить минимальную себестоимость при заданной производительности;

В первом случае критерий оптимизации - производительность, а во втором - себестоимость.

2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта.
3. Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.
4. Учет ограничений.

Обычно оптимизируемая величина связана с экономичностью работы рассматриваемого объекта (аппарат, цех, завод). Оптимизируемый вариант работы объекта должен оцениваться какой-то количественной мерой - критерием оптимальности.

Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта.

На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации.

Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции.

В зависимости от своей постановки, любая из задач оптимизации может решаться различными методами, и наоборот - любой метод может применяться для решения многих задач. Методы оптимизации могут быть скалярными (оптимизация проводится по одному критерию), векторными (оптимизация проводится по многим критериям), поисковыми (включают методы регулярного и методы случайного поиска), аналитическими (методы дифференциального исчисления, методы вариационного исчисления и др.), вычислительными (основаны на математическом программировании, которое может быть линейным, нелинейным, дискретным, динамическим, стохастическим, эвристическим и т.д.), теоретико-вероятностными, теоретико-игровыми и др. Подвергаться оптимизации могут задачи как с ограничениями, так и без них.

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

В общем виде модель записывается следующим образом:

Целевая функция:

При этом aij, bi, cj () - заданные постоянные величины.

Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1.1) при соблюдении ограничений (1.2) и (1.3).

Систему ограничений (1.2) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (1.3) - прямыми.

Вектор, удовлетворяющий ограничениям (1.2) и (1.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План, при котором функция (1.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным.

Модели линейного программирования

Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. К таким задачам относятся:

Задача об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (сырьевых, трудовых, временных);

Задача сетевого планирования и управления;

Задачи массового обслуживания;

Задачи составления расписания (календарного планирования);

Задачи выбора маршрута и другие.

Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать наилучшие решения в некотором смысле при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. Такие решения называются оптимальными, а задачи и соответствующие им модели позволяющие найти эти решения - оптимизационными (оптимальными). Математическим аппаратом задач оптимального планирования является математическое программирование.

Математическое программирование - область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.
Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель. Математическая модель задачи - это отражение оригинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д. Модель задачи математического программирования включает:
1) совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.);
2) целевую функцию (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи и др.). Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант - из множества возможных. Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное значение. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д.;
Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы. Таковыми могут быть возможности технического, технологического и вообще научного потенциала. Нередко потребности превышают возможности их удовлетворения. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (область экономических возможностей). План, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым . Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным. Оптимальное решение, вообще говоря, не обязательно единственно, возможны случаи, когда оно не существует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений.
Оптимизационная задача, в которой целевая функция и неравенства (уравнения), входящие в систему ограничений являются линейными функциями, называется задачей линейного программирования, а соответствующая ей экономико-математическая модель – оптимизационной моделью линейного программирования

Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполнителям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспективного, текущего и оперативного планирования и управления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах развития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т. д. Особенно широкое применение методы и модели линейного программирования получили при решении задач экономии ресурсов (выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов), производственно-транспортных и других задач.
Начало линейному программированию было положено в 1939 г. советским математиком-экономистом Л. В. Канторовичем в работе «Математические методы организации и планирования производства». Появление этой работы открыло новый этап в применении математики в экономике. Спустя десять лет американский математик Дж. Данциг разработал эффективный метод решения данного класса задач - симплекс-метод. Общая идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП состоит в следующем:
1) умение находить начальный опорный план;
2) наличие признака оптимальности опорного плана;
3) умение переходить к нехудшему опорному плану.

Модели линейного программирования применяют для определения оптимального способа распределения дефицитных ресурсов при наличии конкурирующих потребностей. Данный вид модели наиболее распространен на промышленных предприятиях. Он заключается в том, что помогает

максимизировать прибыль при наличии одного нескольких ресурсов, каждый из которых используется для производства нескольких видов товара. Обычно при решении оптимизации данного типа моделей обычно используется Симплекс-метод.

Имитационное моделирование

Имитационное моделирование означает процесс создания модели и ее экспериментальное использование для определения изменений реальной ситуации. Имитация используется в ситуациях, слишком сложных для математических методов типа линейного программирования. Экспериментируя на модели системы, можно установить, как она будет реагировать на определенные изменения или события, в то время, когда отсутствует возможность наблюдать эту систему в реальности.

Экономический анализ

Экономический анализ один из самых распространенных методов моделирования, хотя он и не воспринимается как моделирование. Экономический анализ вбирает в себя почти все методы оценки издержек и экономических выгод, а также относительной рентабельности деятельности предприятия. Экономический анализ включает в себя анализ безубыточности, определение прибыли на инвестированный капитал, величину чистой прибыли на данный момент времени и т.д. эти модели широко применяются в бухгалтерском и финансовом учете.

При принятии решения вне зависимости от применяемых моделей существуют некоторые правила принятия решений. Правило принятия решения – это критерий, по которому выносится суждение об оптимальности данного конкретного исхода. Существует два типа правил. Один использует численные значения вероятных исходов, второй – использует данные значения.

К первому типу относятся следующие правила принятия решений:Максимаксное решение –это решение,при котором принимается решениепо максимизации максимально возможных доходов. Данный метод очень оптимистичен, то есть не учитывает возможные потери и, следовательно, самый рискованный.

Максиминное решение –это решение,при котором максимизируетсяминимально возможный доход. Данный метод в большей степени учитывает отрицательные моменты различных исходов и является более осторожным подходом к принятию решений.

Минимаксное решение –это решение,при котором минимизируютсямаксимальные потери. Это наиболее осторожный подход к принятию решений и наиболее учитывающий все возможные риски. Под потерями здесь учитываются не только реальные потери, но и упущенные

возможности.

Критерий Гурвича. Данный критерий является компромиссом междумаксиминным и максимаксным решениями и является одним из самых оптимальных.

Ко второму типу принятия решений относятся решения, при которых кроме самих возможных доходов и потерь учитываются вероятности возникновения каждого исхода. К данному типу принятия решений относятся, например, правило максимальной вероятности и правило оптимизации математического ожидания. При данных методах обычно составляется таблица доходов, в которой указываются все возможные варианты доходов и вероятности их наступления. При использовании правила максимальной вероятности соответственно выбирается по одному из правил первого типа один из исходов, имеющий максимальную вероятность.

При использовании правила оптимизации математических ожиданий, высчитываются математические ожидания для доходов или потерь и затем выбирается оптимальный вариант.

Так как значения вероятностей со временем изменяются, при применении правил второго типа обычно используется проверка правил на чувствительность к изменениям вероятностей исходов.

Кроме того, для определения отношения к риску используется понятие полезности. То есть для каждого возможного исхода кроме вероятности рассчитывается полезность данного исхода, которая также учитывается при принятии решений.

Для принятия оптимальных решений применяются следующие методы:

платежная матрица;

дерево решений;

методы прогнозирования.

Платежная матрица –один из методов статистической теории решений,оказывающий помощь руководителю в выборе одного из нескольких вариантов. Особенно полезен в ситуации, когда руководитель должен установить, какая стратегий в наибольшей мере будет способствовать достижению целей. В самом общем виде матрица означает, что платеж зависит от определенных событий, которые фактически совершаются. Если событие или состояние природы не случается на деле, платеж неизменно будет другим.

В целом платежная матрица полезна, когда:

имеется разумно ограниченное число альтернатив или вариантов стратегии для выбора между ними.

То, что может случиться, с полной определенностью не известно. Результаты принятого решения зависят от того, какая именно выбрана альтернатива, и какие события в действительности имеют место.

Кроме того, руководитель должен иметь возможность объективно оценить вероятность релевантных событий и рассчитать ожидаемое значение такой вероятности.

Вероятность прямо влияет на определение ожидаемого значения – основного понятия платежной матрицы. Ожидаемое значение альтернативы или варианта – это сумма возможных значений, умноженных на соответствующие вероятности.

Определив ожидаемое значение каждой альтернативы и расположив результаты в виде матрицы, руководитель без труда может выбрать наиболее оптимальный вариант.

Дерево решений –метод науки управления–схематичное представлениепроблемы принятия решений – используется для выбора наилучшего направления действий из имеющихся вариантов.

Метод дерева решений может применяться как в ситуациях, в которых применяется платежная матрица, так и в более сложных ситуациях, в которых результаты одного решения влияют на последующие решения. То есть дерево решений – удобный метод для принятия последовательных решений.

Методы прогнозирования

Прогнозирование – метод, в котором используется как накопленный в прошлом опыт, так и текущие допущения насчет будущего с целью его определения. Результат качественного прогнозирования может служить основой планирования. Существуют различные разновидности прогнозов: экономические прогнозы, прогнозы развития технологии, прогнозы развития конкуренции, прогнозы на основе опросов и исследований, социальное прогнозирование.

Все типы прогнозов используют различные методы прогнозирования.

Методы прогнозирования включают в себя:

неформальные методы;

количественные методы;

качественные методы.

Неформальные методы включают в себя следующие виды информации:Вербальная информация –это наиболее часто используемая информация дляанализа внешней среды. Сюда относят информацию из радио- и телепередач, от поставщиков, от потребителей, от конкурентов, на различных совещаниях и конференциях, от юристов, бухгалтеров и консультантов. Данная

информация легкодоступна, затрагивает все основные факторы внешнего окружения, представляющие интерес для организации. Однако она очень изменчива и нередко неточна.

Письменная информация –это информация из газет,журналов,

информационных бюллетеней, годовых отчетов. Эта информация обладает

теми же достоинствами и недостатками, что и вербальная информация.

Промышленный шпионаж

Количественные методы прогнозирования используются,когда естьоснования считать, что деятельность в прошлом имела определенную тенденцию, которая может продолжиться и в будущем, и когда достаточно информации для выявления таких тенденций. К количественным методам относятся:

Анализ временных рядов. Он основан на допущении,согласно которомуслучившееся в прошлом дает достаточно хорошее приближение к оценке будущего. Проводится с помощью таблицы или графика. Причинно-следственное (казуальное) моделирование. Наиболеематематически сложный количественный метод прогнозирования. Используется в ситуациях с более чем одной переменной. Казуальное моделирование – прогнозирование путем исследования статистической зависимости между рассматриваемым фактором и другими переменными. Из казуальных прогностических моделей самыми сложными являются эконометрические модели, разработанные с целью прогнозирования динамики экономики.

Качественные методы прогнозирования подразумевает прогнозированиебудущего экспертами. Существует 4 наиболее распространенных метода качественного прогнозирования:

Мнение жюри –соединение и усреднение мнений экспертов в релевантныхсферах. Неформальная разновидность данного метода – «мозговой штурм». Совокупное мнение сбытовиков. Мнение дилеров или предприятий сбыта очень ценно, так как они имеют дело непосредственно с конечными потребителями и знают их потребности.

Модель ожидания потребителя –прогноз,основанный на результатахопроса клиентов организации.

Метод экспертных оценок. Он представляет собой процедуру,позволяющуюгруппу экспертов приходить к согласию. По данному методу эксперты из различных областей заполняют опросник по данной проблеме. Затем им дают опросники, заполненные другими экспертами, и просят пересмотреть свое мнение либо аргументировать первоначальное. Процедура проходит 3-4 раза, пока в результате не будет выработано общее решение. Причем все опросники анонимны, как и анонимны сами эксперты, то есть эксперты не

знают, кто еще входит в группу.

Ситуация с принятием стратегических решений усугубляется тем, что в республике еще нет достаточного количества высококвалифицированного управленческого персонала, то есть менеджеров, подготовленных управлять

и принимать решения в условиях рыночной экономики. Это касается как предприятий и организаций, так и Правительства. Кроме того, постоянно изменяющаяся правовая база не позволяет делать долговременных прогнозов, на основе которых могли бы приниматься стратегические решения.

База для обучения менеджеров только складывается, но из-за общего кризиса

и кризиса системы образования, ВУЗы не в состоянии подготовить достаточно квалифицированных менеджеров. Кроме всего прочего, чтобы быть настоящим менеджером необходимо иметь большой стаж работы. Что касается принятия тактических решений, то с этим ситуация складывается лучше. Тактические решения менее зависят от времени, следовательно, быстро изменяющаяся и не очень предсказуемая ситуация создают меньше препятствий для принятия правильного решения. Однако и здесь не все гладко. Это связано с тем, что из-за недостатка релевантной информации не всегда возможно принимать решения, используя научные методы (моделирование, прогнозирование, и т.д.). Большое количество руководителей вообще незнакомо с научными методами принятия решений, используемыми в науке управления.

Кроме того, в нашей стране отсутствует информационная инфраструктура, которая бы позволила в короткие сроки и с небольшими затратами получить информацию, необходимую для принятия решений. На достаточно низком уровне находится компьютерная грамотность. Недостаточно специализированных организаций по проведению различных исследований. Большим минусом также является несовершенная и постоянно изменяющаяся правовая база, наличие коррупции в структуре управления государством.

Однако не во всех отраслях экономики дела обстоят таким образом. В финансово-банковском секторе, жестко контролируемом НБМ, ситуация с принятием решений, несмотря на кризис, лучше. Это связано с тем, что в банках, наряду с поколением руководителей, получивших образование в период существования административно-командной системы управления, очень много молодых кадров (25-35 лет). Новое поколение, изучавшее менеджмент и результаты его применения в развитых странах, стремится использовать полученные знания. Недостаток опыта у них компенсируется наличием более опытных руководителей. Кроме того, здесь в большей степени используется принцип делегирования полномочий, что также увеличивает оптимальность принимаемых решений. Банки Молдовы

поддерживают связи с банками развитых стран, что позволяет руководителям различных уровней банковского сектора на практике ознакомиться с работой менеджеров в развитых странах.

Процесс принятия решений – процесс психологический. Люди, принимая решения, не всегда принимают логичные решения. Решения варьируются от спонтанных до высокологичных. Поэтому процессы принятия решений делятся на имеющий интуитивный, основанный на суждениях и рациональный характер, хотя решение редко относится к какой либо одной категории.

Интуитивное решение –это решение,принятое только на основе того,чторуководитель имеет ощущение того, что оно правильно. При этом руководитель не рассматривает все возможные варианты, не учитывает все их преимущества и недостатки и не нуждается в понимании ситуации. Решения, основанные на суждениях, часто кажутся интуитивными,так каких логика не очевидна. Такое решение – это выбор, обусловленный знаниями или накопленным опытом. Человек использует знание о том, что случалось в сходных ситуациях раньше для того, чтобы спрогнозировать результат альтернативных решений в существующей ситуации. Такой метод принятия решений обладает как положительными, так и отрицательными сторонами. Положительным является то, что действительно многие ситуации имеют тенденцию к повторению и применение такого метода принятия решений позволяет сэкономить время и деньги, так как решение принимается руководителем очень быстро и без сбора дополнительной информации и ее анализа. Однако такие решения принимаются на базе здравого смысла, который в истинном его понимании встречается очень редко. Кроме того, информация, на основе которой принимается данное решение, может быть искажена потребностями людей и другими факторами. Также суждения не позволяют принимать правильные решения в уникальных или абсолютно новых ситуациях, так как лицо, принимающее решение не обладает необходимым опытом для обоснования выбора. Так как суждение всегда опирается на опыт, оно смещает ориентацию принятия решения в направление, знакомое руководителю по предыдущим ситуациям. Это может привести к тому, что руководитель упустит новые альтернативы.

Решение принимается в условиях определенности, когда руководитель может

с точностью определить результат каждого альтернативного решения, возможного в данной ситуации. Сравнительно мало организационных или персональных решений принимается в условиях определенности. Однако они все-таки имеют место. Кроме того, элементы сложных крупных решений можно рассматривать как определенные. Уровень определенности при принятии решений зависит от внешней среды. Он увеличивается при наличии

твердой правовой базы, ограничивающей количество альтернатив и снижающей уровень риска.

Математическое программирование ("планирование") – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Идея линейного программирования возникла в 1939г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича Канторовича "Математические методы организации и планирования производства". Американский математик А. Данциг в 1947 году разработал весьма эффективный конкретный метод численного решения задач линейного программирования (он получил название симплекс метода ).

Дальнейшее изложение материала предполагает, что студенты изучали теорию линейного программирования в курсе математики. В связи с этим рекомендуется совмещать чтение этой главы с просмотром презентаций. Электронные версии презентаций размещены в папке «Линейное программирование». При этом часть материала предназначена для восстановления знаний, полученных в курсе математики, а часть для их расширения и углубления с акцентом на прикладные возможности теоретических моделей.

Теория линейного программирования

Общая постановка задачи

Идея линейного программирования представлена в формате презентаций, электронная версия которых размещена в файле «Идея - линейное программирование».

Геометрическая интерпретация и графический метод решения

Графически способ решения задач линейного программирования целесообразно использовать:

1. Для решения задач с двумя переменными, когда ограничения выражены неравенствами.

2. Решения задач со многими переменными при условии, что в их канонической записи содержится не более двух свободных переменных.

Геометрический метод решения задач линейного программирования представлен в формате презентации - файл «Геометрический метод ЛП»

2.2. Симплекс-метод, общая характеристика, критерий оптимальности допустимого базисного плана

Графический способ решения задачи линейного программирования показывает, что оптимальное решение этой задачи всегда ассоциируется с угловой точкой пространства решений (в математике она также называется крайней точкой множества ). Это является ключевой идеей при разработке общего алгебраического симплекс-метода для решения любой задачи линейного программирования.

Переход от геометрического способа решения задачи линейного программирования к симплекс-методу лежит через алгебраическое описание крайних точек пространства решений. Для реализации этого перехода сначала надо привести задачу линейного программирования к стандартной (канонической) форме:

· преобразовать неравенства ограничений в равенства путем введения дополнительных переменных;

· преобразовать свободные переменные в неотрицательные;

· преобразовать задачу максимизации в задачу минимизации.

Стандартная форма задачи линейного программирования необходима, потому что она позволяет получить базисное решение (используя систему уравнений, порожденную ограничениями). Это (алгебраическое) базисное решение полностью определяет все (геометрические) крайние точки пространства решений. Симплекс-метод позволяет эффективно найти оптимальное решение среди всех базисных.

Восстановить знания по решению задач симплекс-методом можно с помощью презентации «Симплекс метод».

Двойственные задачи

Любая задача линейного программирования имеет двойственную природу. Правило построения двойственной задачи:

Если исходная задача на max, то двойственная на min и наоборот.

В двойственной задаче столько переменных, сколько ограничений в исходной постановке. При этом переменные соответствуют ограничениям и наоборот.

Коэффициентами целевой функции двойственной задачи являются правые части ограничений исходной задачи.

Матрица коэффициентов ограничений двойственной задачи получается транспонированием матрицы коэффициентов ограничений исходной задачи.

Правыми частями ограничений двойственной задачи являются коэффициенты целевой функции исходной.

Ограничениям неравенствам исходной задачи соответствуют неотрицательные переменные двойственной задачи, а ограничениям равенствам – переменные любого знака и наоборот.

Теорема 1: Если исходная задача имеет оптимальный план x*, то двойственная задача также имеет оптимальный план y*, причем значения функций на этих планах равны: f(x*)=g(y*).

Теорема 2: Если исходная и двойственная задачи имеют планы, то они имеют и оптимальные планы, причем f(x*)=g(y*).

Признаки оптимальности для двойственных задач:

Признак 1: Если исходная и двойственная задачи имеют планы X и Y, причем f(X)=g(Y), то эти планы оптимальные.

Определение: Ограничения, расположенные на одной строке в схеме пары двойственных задач, называют сопряженными.

Признак 2: Для того, чтобы планы X и Y исходной и двойственной задач были оптимальны, необходимо и достаточно чтобы на этих планах хотя бы одно из каждой пары сопряженных ограничений являлось равенством.

Второй признак позволяет, зная оптимальный план одной из задач, найти оптимальный план другой задачи.

Основные положения двойственной задачи изложены в презентациях «Теория двойственности» и «Двойственная задача».

Транспортные задачи

Транспортная задача является одной из наиболее распространенных специальных задач линейного программирования. Первая строгая постановка транспортной задачи принадлежит Ф. Хичкоку, а первый точный метод решения разработан Л. В. Канторовичем и М. К. Гавуриным.

Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

Под термином "транспортные задачи" понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим для них является, как правило, распределение ресурсов, находящихся у m производителей (поставщиков), по n потребителям этих ресурсов. Различают два типа транспортных задач: по критерию стоимости (план перевозок оптимален, если достигнут минимум затрат на его реализацию) и по критерию времени (план оптимален, если на его реализацию затрачивается минимум времени).

Наиболее часто встречаются следующие задачи, относящиеся к транспортным:

· прикрепление потребителей ресурса к производителям;

· привязка пунктов отправления к пунктам назначения;

· взаимная привязка грузопотоков прямого и обратного направлений;

· отдельные задачи оптимальной загрузки промышленного оборудования;

· оптимальное распределение объемов выпуска промышленной продукции между заводами-изготовителями и др.

Постановки задач транспортного типа, алгоритмы их решения и примеры практического использования представлены в трех презентациях:

1. «Обобщенная транспортная задача (λ-задача)».

2. «Закрытая транспортная задача. Метод потенциалов».

3. «Усложнённые постановки транспортной задачи».

Экономические приложения

Многообразие экономических приложений математического моделирования методами линейного программирования рассмотрим на примерах формулирования конкретных постановок прикладных задач (заимствовано из курса лекций Диязитдиновой А.П.).

Задача 1

Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки потреблять белков не менее 120 условных единиц (усл. ед.), жиров – не менее 70 и витаминов – не менее 10 усл. ед. Содержание их в каждой единице продуктов П 1 и П 2 равно соответственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1) усл. ед.

Стоимость 1 ед. продукта П 1 – 2 руб., П 2 –3 руб.

Постройте математическую модель задачи, позволяющую так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ.

Задача 2

Из пункта А в пункт В ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. Данные об организации перевозок следующие:

Сколько должно быть сформировано скорых и пассажирских поездов, чтобы перевезти наибольшее количество пассажиров?

Задача 3

Четыре овощехранилища каждый день обеспечивают картофелем три магазина. Магазины подали заявки соответственно на 17, 12 и 32 тонны. Овощехранилища имеют соответственно 20, 20 ,15 и 25 тонн. Тарифы (в д.е. за 1 тонну) указаны в следующей таблице:

Задача 4

Имеются два склада готовой продукции: А 1 и А 2 с запасами однородного груза 200 и 300 тонн. Этот груз необходимо доставить трем потребителям В 1 , В 2 и В 3 в количестве 100, 150 и 250 тонн соответственно. Стоимость перевозки 1 тонны груза из склада А 1 потребителям В 1 , В 2 и В 3 равна 5, 3 ,6 д.е., а из склада А 2 тем же потребителям – 3, 4, 2 д.е. соответственно.

Составьте план перевозок, минимизирующий суммарные транспортные расходы.

Задача 5

При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед. белков, 8 ед. углеводов и 11 ед. протеина. Для составления рациона используют два вида корма, представленных в следующей таблице.

Стоимость 1 кг корма первого вида – 4 д.е., второго – 6 д.е.

Составьте дневной рацион питательности, имеющий минимальную стоимость.

Задача 6

Хозяйство располагает следующими ресурсами: площадь – 100 ед., труд – 120 ед., тяга – 80 ед. Хозяйство производит четыре вида продукции: П 1 , П 2 , П 3 и П 4 . Организация производства характеризуется следующей таблицей:

Составьте план выпуска продукции, обеспечивающий хозяйству максимальную прибыль.

Задача 7.

Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовления трансформаторов обоих видов используются железо и проволока. Общий запас железа – 3 тонны, проволоки – 18 тонн. На один трансформатор первого вида расходуются 5 кг железа и 3 кг проволоки, а на один трансформатор второго вида расходуются 3 кг железа и 2 кг проволоки. За каждый реализованный трансформатор первого вида завод получает прибыль 3 д.е., второго – 4 д.е.

Составьте план выпуска трансформаторов, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.

Задача 8

Совхоз отвел три земельный массива размером 5000, 8000 и 9000 га на посевы ржи, пшеницы, кукурузы. Средняя урожайность в центнерах на 1 га по массивам указана в следующей таблице:

Посевы	Массивы
I	II	III
рожь
пшеница
кукуруза

За 1 центнер ржи совхоз получает 2 д.е., за 1 центнер пшеницы – 2,8 д.е., за 1 центнер кукурузы – 1,4 д.е. Сколько гектаров и на каких массивах совхоз должен отвести на каждую культуру, чтобы получить максимальную выручку, если по плану он обязан сдать не менее 1900 тонны ржи, 158 000 тонны пшеницы и 30 000 тонн кукурузы?

Задача 9

Из трех продуктов – I, II, III составляется смесь. В состав смеси должно входить не менее 6 ед. химического вещества А, 8 ед. – вещества В и не менее 12 ед. вещества С. Структура химических веществ приведена в следующей таблице:

Продукт	Содержание химического вещества в 1 ед. продукции	Стоимость 1 ед. продукции
А	В	С
I
II
III		1,5	2,5

Составьте наиболее дешевую смесь.

Задача 10

В школе проводится конкурс на лучшую стенгазету. Одному школьнику дано следующее поручение:

купить акварельной краски по цене 30 д.е. за коробку, цветные карандаши по цене 20 д.е. за коробку, линейки по цене 12 д.е., блокноты по цене 10 д.е.;

красок нужно купить не менее трех коробок, блокнотов – столько, сколько коробок карандашей и красок вместе, линеек не более пяти. На покупки выделяется не менее 300 д.е.

В каком количестве школьник должен купить указанные предметы, чтобы общее число предметов было наименьшим?

Задача 11

Имеются три специализированные мастерские по ремонту двигателей. Их производственные мощности равны соответственно 100, 700, 980 ремонтов в год. В пяти районах, обслуживаемых этими мастерскими, потребность в ремонте равна соответственно 90, 180, 150, 120, 80 двигателей в год. Затраты на перевозу одного двигателя из районов к мастерским следующие:

Районы	Мастерские

	4,5	3,7	8,3
	2,1	4,3	2,4
	7,5	7,1	4,2
	5,3	1,2	6,2
	4,1	6,7	3,1

Спланируйте количество ремонтов каждой мастерской для каждого из районов, минимизирующее суммарные транспортные расходы.

Задача 12

Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката: 400 тыс. л алкилата, 250 тыс. л крекинг-бензина, 350 тыс. л бензина прямой перегонки и 100 тыс. л изопентона. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина: бензин А-2:3:5:2, бензин В-3:1:2:1, бензин С-2:2:1:3. Стоимость 1 тыс. л указанных сортов бензина характеризуется числами 120 д.е., 100 д.е., 150 д.е.

Составьте план выпуска разных сортов авиационного бензина из условия получения максимальной стоимости всей продукции.

Задача 13

Для участия в соревнованиях спортклуб должен выставить команду, состоящую из спортсменов I и II разрядов. Соревнования проводятся по Буге, пряжкам в высоту, прыжкам в длину. В беге должны участвовать 5 спортсменов, в прыжках в длину – 8 спортсменов, а в прыжках в высоту – не более 10. количество очков, гарантируемых спортсмену каждого разряда по каждому виду, указано в таблице:

Распределите спортсменов в команды так, чтобы сумма очков команды была наибольшей, если известно, что в команде I разряд имеют только 10 спортсменов.

Задача 14

Звероферма выращивает черно-бурых лисиц и песцов. На звероферме имеется 10 000 клеток. В одной клетке могут быть либо 2 лисицы, либо 1 песец. По плану на ферме должно быть не менее 3000 лис и 6000 песцов. В одни сутки необходимо выдавать каждой лисе корма – 4 ед., а каждому песцу – 5 ед. Ферма ежедневно может иметь не более 200 000 единиц корма. От реализации одной шкурки лисы ферма получает прибыль 10 д.е., а от реализации одной шкурки песца – 5 д.е.

Какое количество лисиц и песцов нужно держать не ферме, чтобы получить наибольшую прибыль?

Задача 15

Имеются два элеватора, в которых сосредоточено соответственно 4200 и 1200 тонн зерна. Зерна необходимо перевезти трем хлебозаводам в количестве 1000, 2000 и 1600 тонн каждому. Расстояние от элеватора до хлебозавода указано в следующей таблице:

Затраты на перевозку 1 тонны продукта на 1 км составляют 25 д.е. Спланируйте перевозки зерна из условия минимизации транспортных расходов.

Задача 16

Из двух сортов бензина образуются две смеси – А и В. Смесь А содержит Бензина 60% 1-го сорта и 40% 2-го сорта; смесь В – 80% 1-го сорта и 20% 2-го сорта. Цена 1 кг смеси А – 10 д.е., а смеси В – 12 д.е.

Составьте план образования смесей, при котором будет получен максимальный доход, если в наличии имеется бензин 50 т 1-госорта и 30 т второго сорта.

Задача 17

Имеются две почвенно-климатические зоны, площади которых соответственно равны 0,8 и 0,6 млн. га. Данные об урожайности зерновых культур приведены в таблице:

Определите размеры посевных площадей озимых и яровых культур, необходимые для достижения максимального выхода продукции в стоимостном выражении.

Задача 18

На заводе выпускают изделия четырех типов. От реализации 1 ед. каждого изделия завод получает прибыль соответственно 2, 1, 3, 5 д.е. На изготовление изделий расходуются ресурсы трех видов: энергия, материалы, труд.

Данные о технологическом процессе приведены в следующей таблице:

Спланируйте производство так, чтобы прибыль от их реализации была наибольшей.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Модели и методы линейного программирования

1. МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

Термин «модель» происходит от латинского слова «modulus» образец, норма, мера. Модель - это объект, который замещает оригинал и отобр а жает важнейшие черты и свойства оригинала для данного исследования, данной цели исследов а ния при выбранной системе гипотез.

Модели обеспечивают структуру для целостного логического анализа.Модели широко используются благодаря тому, что заставляют выполнять следующие действия:

1. Явно определить цели.

2. Определить и зафиксировать типы решений, которые влияют на достижение этих целей.

3. Выявить и зафиксировать взаимосвязи и компромиссы между этими решениями.

4. Тщательно изучить входящие в них переменные и определить возможность их измерения.

5. Разобраться, какие данные нужны для количественного определения значений переменных и найти способ описать их взаимное влияние.

6. Осознать какие ограничения могут налагаться на значения этих переменных.

7. Обсудить идеи, что помогает членам группе управления в совместной работе.

Существует три типа моделей:

1. Физическая модель.

2. Аналоговая модель.

3. Символическая модель.

Тип модели	Свойства
Физическая модель	Осязаемость. Понимание: простое. Дублирование и совместное использование: сложные. Модификация и манипулирование: сложные. Сфера использования: наиболее узкая.	Макет самолета, макет дома, макет города.
Аналоговая модель	Неосязаемость. Понимание: более сложное. Дублирование и совместное использование: более простые. Модификация и манипулирование: более простые. Сфера использования: более широкая.	Карта дорог, спидометр, круговая диаграмма.
Символическая модель	Неосязаемость. Понимание: самое сложное. Дублирование и совместное использование: самые простые. Модификация и манипулирование: самые простые. Сфера использования: самая широкая.	Имитационная модель, алгебраическая модель, модель, построенная в электронной таблице.

Наиболее абстрактной является символическая модель, в которой все понятия выводятся посредством количественно определенных переменных, а все связи представляются в математическом, а не физическом или аналоговом виде. Поскольку в символических моделях используются количественно определенные переменные, связанные уравнениями, их часто называют математическими моделями, табличными моделями (т.е. моделями на основе электронных таблиц).

Менеджерам приходится работать со всеми типами моделей, чаще всего с аналоговыми моделями в форме графиков и диаграмм, а также с символическими моделями в виде электронной таблицы или отчетов информационно-управляющей системы.

Математическая модель -- это абстракция реальной действител ь ности (мира), в которой отношение между реальными элементами, а име н но те, которые интересуют исследователя, замененные отношениями между матем а тическими категориями. Эти отношения обычно подаются в форме уравнений и/или неравенств, отношениями формальной логики между показателями (переменными), которые характеризуют функционирование реальной системы, которая моделируе т ся.

Невозможно представить себе современную науку, в частности экономику, без широкого применения математического моделирования.

Сущность этой методологии заключается в замене исходного объекта его «образом» - математической моделью - и последующим изучением (исследованием) модели на основании аналитических методов и вычислительно-логических алгоритмов, которые реализуются с помощью компьютерных программ.

Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность относительно быстро и безболезненно исследовать его основные (существенные) свойства и поведения при любых вероятных ситуациях (это преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, симулятивные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощность современных математических и вычислительных методов и технического инструментария информатики, тщательным образом и достаточно глубоко изучать объект в достаточно детальном виде, что недоступно сугубо теоретическим подходам (это преимущество эксперимента). Не удивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая анализ чрезвычайно сложных экономических и социальных процессов.

2. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ВИДЫ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПР О ГРАММИРОВАНИЯ

Линейное программирование рассматривается как революционное достижение, давшее человеку способность формулировать общие цели и находить посредством симплекс-метода оптимальные решения для широкого класса практических задач принятия решений большой сложности.

Линейное программирование - математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах n -мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Можно сказать, что линейное программирование применимо для решения математических моделей тех процессов и систем, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.

Задача линейного программирования (ЛП), состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при линейных ограничениях.

Линейное программирование применяется при решении следующих экон о мических задач :

1. Задача управления и планирования производства (распределения ресурсов).

2. Задачи о смесях, диете (планирование состава продукции).

3. Задача определения оптимального плана перевозок груза (транспортная задача, задача о назначениях).

4. Задача оптимального распределения кадров (расстановка персонала).

3. МОДЕ ЛЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ, ЕЁ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦАХ MS EXCEL

Традиционно наукой управления называют построение детально разработанных моделей, в результате анализа которых принимаются управленческие решения. Сегодня миллионы менеджеров для анализа деловых задач применяют электронные таблицы. Современные электронные таблицы имеют много мощных средств, которые можно использовать для более точного анализа моделей, в результате чего могут приниматься более взвешенные и близкие к оптимальным решения. С учетом все более широкого применения электронных таблиц в процессе управления будущим специалистам необходимо владеть профессиональными навыкам разработки моделей - как «спланировать» чистый рабочий лист так, чтобы получить полезную и практическую модель деловой ситуации, не углубляясь в алгоритмические и математические тонкости расчетов.

Основные этапы создания модели линейного программирования в Excel: линейный программирование электронный поиск

1. Написание и проверка символической модели линейного программиров а ния. Модель записывается на бумаге в математическом виде.

2. Создание и отладка табличной модели линейного программирова ния. На основе символической модели ЛП создается ее представление в Excel .

3. Попытка оптимизации модели с помощью надстройки ПОИСК РЕШЕНИЯ.

4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАДСТРОЙКИ ПОИСК РЕШЕНИЯ

С помощью электронных таблиц можно моделировать реальные ситуации и оценивать полученные результаты. Другими словами с помощью электронных таблиц можно делать анализ результатов деятельности и прогнозирования будущих перспектив предприятия. Эти задачи в среде MS Excel дает возможность решать на д стройка Поиск решения .

Поиск решения - это надстройка, которая предназначена для оптимизации моделей при наличии ограничений. Она состоит из двух программных компонентов: программы написанной на языке Visual Basic, который транслирует представленную на рабочем письме информацию для внутреннего представления, которая используется другой программой. Вторая программа находится в памяти компьютера в виде отдельного программного модуля. Она выполняет оптимизацию и возвращает найденное решение первой программе, которая возобновляет данные на рабочем листе. С помощью ее можно найти оптимальное значение формулы, которая сохраняется в целевой ячейке. Эта процедура работает с группой ячеек, которые непосредственно связанные с формулой в целевой ячейке. Чтобы получить результат по формуле в целевой ячейке, процедура изменяет значение в ячейках, которые влияют на поиск. Для того, чтобы уменьшить множественное число значений, которые используются в модели задачи, применяют ограничение. Эти ограничения могут содержать ссылку на другие ячейки, которые влияют на поиск.

Общий алгоритм работы с надстройкой Поиск решения .

1. В меню Серв и с выбрать команду Поиск решения .

2. В поле Установит целевую ячейку введите адрес ячейки, в которй находится формула, для оптимизации модели.

3. Для того, чтобы максимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение Максимальному значению . Для того, чтобы минимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение Минимальному значению . Для того, чтобы целевая ячейка приобретала значение конкретного числа, установите переключатель в положение Значение и введите соответствующее число.

4. В поле Изменяя ячейки введите адреса ячеек, которые изменяют свои значения, разделяя их запятыми. Изменяемые ячейки должны быть прямо или непрямо связанные с целевой ячейкой. Допускается установка до 200 изменяемых ячеек.

5. В поле Ограничения введите все ограничения, которые налагаются на поиск решения.

6. Нажмите кнопку Выполнить .

7. Для сохранения найденного решения установите переключатель в диалоговом окне Результаты поиска решения в положение Сохранить на й денное решение . Для возобновления входных данных установите переключатель в положение Восстановить исхо д ные значения .

8. Для того, чтобы прервать поиск решения, нажмите клавишу Еsс . MS Excel пересчитает лист с учетом найденных значений ячеек, которые влияют на результат.

Алгоритм р о бот и з надбудовою Поиск реш е ния.

5. РЕШЕНИЕ ЗА ДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ ПОМОЩ И ПРОГРАММЫ MS EXCEL

Пример. Кондитерский цех для изготовления трех видов карамели А, В, С использует три основных вида сырья: сахар, патоку и фруктовое пюре. Нормы затрат сахара на изготовление 1кг карамели каждого вида соответственно уровни: 0,8кг; 0,5кг; 0,6кг; патоки - 04кг; 0,4кг; 0,3кг; фруктового пюре - 0кг; 0,1кг; 0,1кг. Конфеты можно производить в любых количествах (реализация обеспечена), но запас сырья ограниченный: запасы сахара - 80кг, патоки - 60кг, фруктового пюре - 12кг. Прибыль от реализации 1кг карамели вида А составляет 10грн., вида В - 11грн., вида С - 12грн.

Таблица 1

Определить план производства карамели, которая обеспечивает максимальную прибыль от деятельности кондитерского цеха.

Решение.

1. Написание и проверка символической модели линейного программир о вания . Модель записывается на бумаге в математическом виде .

По данному условию задачи сформулируем задачу линейного программирования то есть построим математическую модель. Обозначим: x1 - количество карамели вида А , x2 - количество карамели вида В , x3 - количество карамели вида С . Карамель выпускается ежедневно.

Найти наибольшее значение целевой функции F = 10x1 + 11x2 +12x3 > max,
при ограничениях

0,8x1 + 0,5x2 +0,6x3 80

0,4x1 + 0,4x2+0,3x3 60

x1 ? 0, x2? 0, x3? 0.

Подчеркнем, что каждое неравенство в системе функциональных ограничений отвечает в этом случае тому или другому производственному участку, а именно: первое - участку А , второе - участку В , третье - участку С.

2. Создание и отладка табличной модели линейного программир о вания. На основе символической модели ЛП создается ее представление в Excel . Последовательность действий при решении задачи о распределении ресурсов с п о мощью информационной технологии MS Excel

1. Создать табличную модель средствами электронной таблицы MS Excel. (Смотри Таблица 1.).

2. Для решения задачи создать экрану форму ввода условий задачи: переменных, целевой функции, ограничений и предельных условий. Ввести исходные данные в экранную форму: коэффициенты целевой функции, коэффициенты при переменных в ограничениях, правые части ограничений

Выходные данные задачи об использовании производственных ресурсов. Таблица 1.

3. Ввести необходимые формулы в экранную форму: формулу для расчета целевой функции, формулы для расчета левых частей ограничений.

Рисунок 4 Режим проверки формул

3. Попытка оптимизации модели с помощью надстройки ПОИСК РЕШЕНИЯ.

1. Оптимизировать задачу (меню Сервис команда Поиск решения). Для этого в диалоговом окне Поиск решения задать ячейку целевой функции, направление оптимизации целевой функции, ввести ячейки со значениями переменных, изменяемые ячейки, ограничения.

Рисунок 5 Диалоговое окно Поиск решения

В диалоговом окне Поиск решения в поле Установит целевую ячейку делаем ссылку на ячейку $E$11, в которой находится формула, для оптимизации модели.

Для того, чтобы максимизировать значение целевой ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение Максимальному значению.

В поле ввода Изменяя ячейки введите адреса ячеек, которые изменяют свои значения, разделяя их запятыми. Для этого делаем ссылку на ячейки $B$5:$D$5.

В поле Ограничения введите все ограничения, которые налагаются на поиск решения. Для этого нажимаем кнопку Добавить и появится окно Добавить ограничения где нужно ввести ограничение. Если при вводе ограничений возникает необходимость в замене или удалении внесенных ограничений, то нажмите кнопки Изменить или Удалить.

2. Для установления конкретных параметров решения задачи необходимо нажать кнопку Параметры в окне Поиск решения. В окне Параметры поиска решения отметить Линейная модель, Неотрицательные значения что обеспечивает ускорение поиска решения линейной задачи. Подтверждение установленных параметров осуществляется нажатием кнопки Ок.

3. Нажмите кнопку Выполнить в окне Поиск решения для запуска решения задачи.

4. Для сохранения найденного решения установите переключатель в диалоговом окне Результаты поиска решения в положение Сохранить найденное решение. Для возобновления входных данных установите переключатель в положение Восстановить исходные значения. В окне Результаты поиска решения представлены названия трех типов отчета: Результаты, Устойчивость, Пределы. Они необходимы для анализа полученного результата на чувствительность.

5. Для получения ответа (значений переменных, целевой функции и левых частей ограничения) нужно нажать кнопку Ок. После этого в экранной форме появится оптимальное решение задачи.

Рисунок 6 Оптимальное решение

6. Вывод : как видно из решения, оптимальный план выпуска продукции предусматривает изготовление 25кг конфет А и 120кг конфет В . Конфеты С вообще невыгодно производить. Прибыль будет составлять 1570грн.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Анализ метода линейного программирования для решения оптимизационных управленческих задач. Графический метод решения задачи линейного программирования. Проверка оптимального решения в среде MS Excel с использованием программной надстройки "Поиск решения".

курсовая работа , добавлен 29.05.2015

Общее понятие и характеристика задачи линейного программирования. Решение транспортной задачи с помощью программы MS Excel. Рекомендации по решению задач оптимизации с помощью надстройки "Поиск решения". Двойственная задача линейного программирования.

дипломная работа , добавлен 20.11.2010

Ознакомление с разнообразными надстройками, входящими в состав Microsoft Excel; особенности их использования. Примеры решения задач линейного программирования с помощью вспомогательных программ "Подбор параметра", "Поиск решения" и "Анализ данных".

реферат , добавлен 25.04.2013

Краткие сведения об электронных таблицах MS Excel. Решение задачи линейного программирования. Решение с помощью средств Microsoft Excel экономической оптимизационной задачи, на примере "транспортной задачи". Особенности оформления документа MS Word.

курсовая работа , добавлен 27.08.2012

Теоретическая основа линейного программирования. Задачи линейного программирования, методы решения. Анализ оптимального решения. Решение одноиндексной задачи линейного программирования. Постановка задачи и ввод данных. Построение модели и этапы решения.

курсовая работа , добавлен 09.12.2008

Принципы решения задач линейного программирования в среде электронных таблиц Excel, в среде пакета Mathcad. Порядок решения задачи о назначении в среде электронных таблиц Excel. Анализ экономических данных с помощью диаграмм Парето, оценка результатов.

лабораторная работа , добавлен 26.10.2013

Алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом. Построение математической модели задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования в Excel. Нахождение прибыли и оптимального плана выпуска продукции.

курсовая работа , добавлен 21.03.2012

Изучение и укрепление на практике всех моментов графического метода решения задач линейного программирования о производстве журналов "Автомеханик" и "Инструмент". Построение математической модели. Решение задачи с помощью электронной таблицы Excel.

курсовая работа , добавлен 10.06.2014

Особенности задач линейного программирования. Симплексный метод решения задач линейного программирования. Обоснование выбора языка, инструментария программирования, перечень идентификаторов и блок-схема алгоритма. Логическая схема работы программы.

дипломная работа , добавлен 13.08.2011

Применение методов линейного программирования для решения оптимизационных задач. Основные понятия линейного программирования, свойства транспортной задачи и теоремы, применяемые для ее решения. Построение первичного опорного плана и системы потенциалов.