Средний уровень

Квадратные неравенства. Исчерпывающее руководство (2019)

Чтобы разобраться, как решать квадратные уравнения, нам потребуется разобраться, что же такое квадратичная функция, и какими свойствами она обладает.

Наверняка ты задавался вопросом, зачем вообще нужна квадратичная функция? Где применим ее график (парабола)? Да стоит только оглядеться, и ты заметишь, что ежедневно в повседневной жизни сталкиваешься с ней. Замечал, как на физкультуре летит брошенный мяч? «По дуге»? Самым верным ответом будет «по параболе»! А по какой траектории движется струя в фонтане? Да, тоже по параболе! А как летит пуля или снаряд? Все верно, тоже по параболе! Таким образом, зная свойства квадратичной функции, можно будет решать многие практические задачи. К примеру, под каким углом необходимо кинуть мяч, чтобы обеспечить наибольшую дальность полета? Или, где окажется снаряд, если запустить его под определенным углом? и т.д.

Квадратичная функция

Итак, давай разбираться.

К примеру, . Чему здесь равны, и? Ну, конечно, и!

А что, если, т.е. меньше нуля? Ну конечно, мы «грустим», а, значит, ветви будут направлены вниз! Давай посмотрим на графике.

На этом рисунке изображен график функции. Так как, т.е. меньше нуля, ветви параболы направлены вниз. Кроме того, ты, наверное, уже заметил, что ветви этой параболы пересекают ось, а значит, уравнение имеет 2 корня, а функция принимает как положительные и отрицательные значения!

В самом начале, когда мы давали определение квадратичной функции, было сказано, что и - некоторые числа. А могут ли они быть равны нулю? Ну конечно, могут! Даже открою еще больший секрет (который и не секрет вовсе, но упомянуть о нем стоит): на эти числа (и) вообще никакие ограничения не накладываются!

Ну что, давай посмотрим, что будет с графиками, если и равны нулю.

Как видно, графики рассматриваемых функций (и) сместились так, что их вершины находятся теперь в точке с координатами, то есть на пересечении осей и, на направлении ветвей это никак не отразилось. Таким образом, можно сделать вывод, что и отвечают за «передвижения» графика параболы по системе координат.

График функции касается оси в точке. Значит, уравнение имеет один корень. Таким образом, функция принимает значения больше либо равные нулю.

Придерживаемся той же логики с графиком функции. Он касается оси x в точке. Значит, уравнение имеет один корень. Таким образом, функция принимает значения меньше либо равные нулю, то есть.

Таким образом, чтобы определить знак выражения, первое, что необходимо сделать - это найти корни уравнения. Это нам очень пригодится.

Квадратное неравенство

При решении таких неравенств нам пригодятся умения определять, где квадратичная функция больше, меньше, либо равна нулю. То есть:

• если перед нами неравенство вида, то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений, при котором парабола лежит выше оси.
• если перед нами неравенство вида, то фактически задача сводится к тому, чтобы определить числовой промежуток значений x, при котором парабола лежит ниже оси.

Если неравенства нестрогие (и), то корни (координаты пересечений параболы с осью) включаются в искомый числовой промежуток, при строгих неравенствах - исключаются.

Это все достаточно формализовано, однако не надо отчаиваться и пугаться! Сейчас разберем примеры, и все станет на свои места.

При решении квадратных неравенств будем придерживаться приведенного алгоритма, и нас ждет неизбежный успех!

Алгоритм	Пример:
1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства на знак равенства «=»).
2) Найдем корни этого уравнения.
3) Отметим корни на оси и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим « », а там где ниже - « ».
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий « » или « », в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое , корни входят в интервал, если строгое - не входят.

Разобрался? Тогда вперед закреплять!

Пример:

Ну что, получилось? Если возникли затруднения, то разбирайся в решениях.

Решение:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». Неравенство нестрогое, поэтому корни включаются в интервалы:

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

Найдем корни данного квадратного уравнения:

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». Неравенство строгое, поэтому корни не включаются в интервалы:

Запишем соответствующее квадратное уравнение:

Найдем корни данного квадратного уравнения:

данное уравнение имеет один корень

Схематично отметим полученные корни на оси и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». При любом функция принимает неотрицательные значения. Так как неравенство нестрогое, то ответом будет.

Запишем соответсвующее квадратное уравнение:

Найдем корни данного квадратного уравнения:

Схематично нарисуем график параболы и расставим знаки:

Выпишем интервалы, соответствующие знаку « », так как знак неравенства « ». При любом функция принимает положительные значения, следовательно, решением неравенства будет интервал:

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Квадратичная функция.

Прежде чем говорить о теме «квадратные неравенства», вспомним что такое квадратичная функция и что из себя представляет ее график.

Квадратичная функция - это функция вида,

Другими словами, это многочлен второй степени .

График квадратичной функции - парабола (помнишь, что это такое?). Ее ветви направлены вверх, если "a) функция принимает только положительные значения при всех, а во втором () - только отрицательные:

В случае, когда у уравнения () ровно один корень (например, если дискриминант равен нулю), это значит, что график касается оси:

Тогда, аналогично предыдущему случаю, при " .

Так вот, мы ведь недавно уже научились определять, где квадратичная функция больше нуля, а где - меньше:

Если квадратное неравенство нестрогое , то корни входят в числовой промежуток, если строгое - не входят.

Если корень только один, - ничего страшного, будет везде один и тот же знак. Если корней нет, все зависит только от коэффициента: если "25{{x}^{2}}-30x+9

Ответы:

2) 25{{x}^{2}}-30x+9>

Корней нет, поэтому все выражение в левой части принимает знак коэффициента перед:

• Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен больше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит выше оси.
• Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен меньше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси.

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратичная функция - это функция вида: ,

График квадратичной функции - парабола. Ее ветви направлены вверх, если, и вниз, если:

Виды квадратных неравенств:

Все квадратные неравенства сводятся к следующим четырем видам:

Алгоритм решения:

Алгоритм	Пример:
1) Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение (просто меняем знак неравенства на знак равенства « »).
2) Найдем корни этого уравнения.
3) Отметим корни на оси и схематично покажем ориентацию ветвей параболы («вверх» или «вниз»)
4) Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там где парабола выше оси, ставим « », а там где ниже - « ».
5) Выписываем интервал(ы), соответствующий(ие) « » или « », в зависимости от знака неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое - не входят.

Функция вида a>0, ветви направлены вверх а 0, ветви направлены вверх а 0, ветви направлены вверх а 0, ветви направлены вверх а 0, ветви направлены вверх а 0, ветви направлены вверх а 0, ветви направлены вверх а

Функция вида a>0 ветви вверх n>0 n 0 ветви вверх n>0 n"> 0 ветви вверх n>0 n"> 0 ветви вверх n>0 n" title="Функция вида a>0 ветви вверх n>0 n"> title="Функция вида a>0 ветви вверх n>0 n">

Функция вида a>0 ветви вверх m>0 m 0 ветви вверх m>0 m"> 0 ветви вверх m>0 m"> 0 ветви вверх m>0 m" title="Функция вида a>0 ветви вверх m>0 m"> title="Функция вида a>0 ветви вверх m>0 m">

По графику функции определите знаки коэффициентов а и с 1) a0 4) a>0,c 0,c"> 0,c"> 0,c" title="По графику функции определите знаки коэффициентов а и с 1) a0 4) a>0,c"> title="По графику функции определите знаки коэффициентов а и с 1) a0 4) a>0,c">

0) 2.Укажите наименьшее значение функции 3.Какова область ее значений. 4. Найдите координаты точек пересечения с осью Ох 5. Укажите промежутки возра" title="Постройте график функции 1. При каких значениях аргумента функция принимает положительные значения (у>0) 2.Укажите наименьшее значение функции 3.Какова область ее значений. 4. Найдите координаты точек пересечения с осью Ох 5. Укажите промежутки возра" class="link_thumb"> 17 Постройте график функции 1. При каких значениях аргумента функция принимает положительные значения (у>0) 2.Укажите наименьшее значение функции 3.Какова область ее значений. 4. Найдите координаты точек пересечения с осью Ох 5. Укажите промежутки возрастания и убывания функции 6.Какие значения принимает функция, если 0х4 0) 2.Укажите наименьшее значение функции 3.Какова область ее значений. 4. Найдите координаты точек пересечения с осью Ох 5. Укажите промежутки возра"> 0) 2.Укажите наименьшее значение функции 3.Какова область ее значений. 4. Найдите координаты точек пересечения с осью Ох 5. Укажите промежутки возрастания и убывания функции 6.Какие значения принимает функция, если 0х4"> 0) 2.Укажите наименьшее значение функции 3.Какова область ее значений. 4. Найдите координаты точек пересечения с осью Ох 5. Укажите промежутки возра" title="Постройте график функции 1. При каких значениях аргумента функция принимает положительные значения (у>0) 2.Укажите наименьшее значение функции 3.Какова область ее значений. 4. Найдите координаты точек пересечения с осью Ох 5. Укажите промежутки возра"> title="Постройте график функции 1. При каких значениях аргумента функция принимает положительные значения (у>0) 2.Укажите наименьшее значение функции 3.Какова область ее значений. 4. Найдите координаты точек пересечения с осью Ох 5. Укажите промежутки возра">

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называетсяпараметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF ; AM = x + p /2;

MF 2 = y 2 + (x – p/2) 2

(x + p/2) 2 = y 2 + (x – p/2) 2

x 2 +xp + p 2 /4 = y 2 + x 2 – xp + p 2 /4

y 2 = 2px (3.7)

Уравнение директрисы:x = - p /2 , координаты фокусаF (p /2;0), Ох Ох (вправо) .

Пучок лучей с источником, расположенном в фокусе, после отражения от параболы обратится в параллельный пучок лучей. На этом принципе построены параболические зеркальные антены.

В зависимости от выбора положения точки начала отсчета и осей координат относительно фокуса и директрисы можно получить еще три канонических уравнения параболы:

y 2 = -2 px : координаты фокусаF (- p /2;0), центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – осьОх Ох (влево).

х 2 = 2 p у: координаты фокусаF (0; p /2), центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – осьОу , ветви параболы направлены в положительном направлении осиОу (вверх).

х 2 = -2 p у: координаты фокусаF (0;- p /2), центр параболы находится в начале координат. Ось симметрии – осьОу , ветви параболы направлены в отрицательном направлении осиОу (вниз).

Однако чаще приходится иметь дело с обычным уравнением параболы, известным из школы:

y = ax 2 + bx + c (3.8) , гдеa, b,c – параметры параболы. Графики при различных значениях этих параметров:

a < 0

a > 0

Обычно для построения графика параболы используют несколько ключевых моментов: корни, ось симметрии, вершина параболы, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы и т.п. Предполагается, что нахождение этих ключевых моментов из уравнения параболы

Пример. На параболеу 2 = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p /2 = 4; следовательно:

x = 2;y 2 = 16;y =4. Искомые точки:M 1 (2; 4),M 2 (2; -4).

§4. Системы координат.

Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами.

Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной практической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат.

Рассмотрим так называемую полярную систему координат ; она весьма удобна и используется довольно часто.