Общее описание

Общая идея метода может быть описана на примере поиска минимума функции на множестве допустимых значений переменной . Функция и переменная могут быть произвольной природы. Для метода ветвей и границ необходимы две процедуры: ветвление и нахождение оценок (границ).

Процедура ветвления состоит в разбиении множества допустимых значений переменной на подобласти (подмножества) меньших размеров. Процедуру можно рекурсивно применять к подобластям. Полученные подобласти образуют дерево , называемое деревом поиска или деревом ветвей и границ . Узлами этого дерева являются построенные подобласти (подмножества множества значений переменной ).

Процедура нахождения оценок заключается в поиске верхних и нижних границ для решения задачи на подобласти допустимых значений переменной .

В основе метода ветвей и границ лежит следующая идея: если нижняя граница значений функции на подобласти дерева поиска больше, чем верхняя граница на какой-либо ранее просмотренной подобласти , то может быть исключена из дальнейшего рассмотрения (правило отсева ). Обычно, минимальную из полученных верхних оценок записывают в глобальную переменную ; любой узел дерева поиска, нижняя граница которого больше значения , может быть исключен из дальнейшего рассмотрения.

Если нижняя граница для узла дерева совпадает с верхней границей, то это значение является минимумом функции и достигается на соответствующей подобласти.

Применение

Метод используется для решения некоторых NP-полных задач, таких как:

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Метод ветвей и границ" в других словарях:

метод ветвей и границ - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва] Тематики электротехника, основные понятия EN branch and bound method … Справочник технического переводчика

метод - метод: Метод косвенного измерения влажности веществ, основанный на зависимости диэлектрической проницаемости этих веществ от их влажности. Источник: РМГ 75 2004: Государственная система обеспечения еди … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Оптимальный маршрут коммивояжёра через 15 крупнейших городов Германии. Указанный маршрут является самым коротким из всех возможных 43 589 145 600. Задача коммивояжёра (англ. Travelling salesman problem, TSP) (коммивояжёр … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Перебор. Полный перебор (или метод «грубой силы», англ. brute force) метод решения математических задач. Относится к классу методов поиска решения исчерпыванием всевозможных… … Википедия

Пример задачи о ранце: необходимо разместить ящики в рюкзак при условии на вместимость рюкзака 15 кг, так чтобы суммарная полезность предметов в рюкзаке была максимальной. Задача о ранце (рюкзаке) (англ. … Википедия

Задача коммивояжёра (коммивояжёр бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… … Википедия

Задача коммивояжёра (коммивояжёр бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… … Википедия

Задача коммивояжёра (коммивояжёр бродячий торговец) является одной из самых известных задач комбинаторной оптимизации. Задача заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу с… … Википедия

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

Книги

• Разработка программного средства для поиска оптимального портфеля оптовых закупок торгового предприятия , А. В. Мищенко. В рамках настоящей работы разработано программное средство для решения задачи поиска оптимального портфеля оптовых закупок предприятия розничной торговли. При этом использован метод ветвей и…

Голосование: 25, 14

Что это такое?

Иногда возникшую NP-полную задачу приходится решать. В таком случае, во-первых, иногда возможно сократить полный перебор так, что алгоритм, оставаясь в худшем случае экспоненциальным, будет работать за приемлемое время на реальных данных. Во-вторых, не точное решение, а некоторое приближение к нему может оказаться удовлетворительным. Алгоритмы, дающие такие решения, называются приближенными.

Способы решения "переборных" задач можно разбить на несколько общих методов улучшения полного перебора.

Методы решения труднорешаемых задач

• Метод ветвей и границ состоит в отбрасывании заведомо неоптимальных решений целыми классами в соответствии с некоторой оценкой
• состоит в поиске более оптимального решения в окрестности некоторого текущего решения
• Приближенные и эвристические методы состоят в применении эвристик для выбора элементов решения
• Псевдополиномиальные алгоритмы представляют собой подкласс динамического программирования
• Метод случайного поиска состоит в представлении выбора последовательностью случайных выборов

Оценки качества приближенных алгоритмов

Пусть мы решаем оптимизационную задачу, то есть ищем объект с наибольшей или наименьшей стоимостью среди множества объектов, на которых задана функция стоимости. Обозначим оптимальное решение как С *. А решение, которое дает нам алгоритм как С.

Мы будем говорить, что алгоритм решает задачу с ошибкой не более чем в ρ (n) раз, если

Max(C ⁄ C *, C * ⁄ C) ≤ ρ (n)

Заметим, что поскольку максимум из двух взаимно обратных величин не меньше 1, то

Иногда удобнее использовать относительную ошибку, которая определяется как | C − C *| ⁄ C *

Мы будем говорить, что алгоритм имеет ошибку не более ε (n), если

| C − C *| ⁄ C * ≤ ε (n)

Легко проверить, что ε (n) может быть ограничена сверху через функцию ρ (n), а именно ε (n) ≤ ρ (n) − 1. В самом деле для задач на минимум это неравенство превращается в равенство. Для задач на максимум ε (n) = (ρ (n) − 1) ⁄ ρ (n) (далее нужно вспомнить, что ρ (n) ≥ 1.

Для многих задач известны приближенные алгоритмы, решающие задачу с ошибкой не более чем в некоторое фиксированное число раз (независимо от длины входа). В других случаях такие алгоритмы неизвестны, и приходится довольствоваться алгоритмами, в которых оценка ошибки растет с ростом n .

Для некоторых задач можно улучшать качество приближения (уменьшать относительную ошибку) ценой увеличения времени работы. Схемой приближения для данной оптимизационной задачи называется алгоритм, который, помимо условия задачи получает положительное число ε , и дает решение с относительной ошибкой не более ε .

Схема приближения называется полиномиальной, если для любого фиксированного ε > 0 время её работы не превосходит некоторого полинома от n . Схема приближения называется полностью полиномиальной, если время её работы ограничено некоторым полиномом от n и от 1 ⁄ ε .

Задача коммивояжера — полигон для испытания оптимизационных методов

Формулировка задачи коммивояжера (1934 г.):

Коммивояжер должен выйти из первого города, посетить по разу в неизвестном порядке города 2, 3, …, n и вернуться в первый город. Расстояния между городами известны. В каком порядке следует обходить города, чтобы замкнутый путь (тур) коммивояжера был кратчайшим?

В терминах теории графов задачу можно сформулировать так: имеется полный ориентированный граф G = (V , E), каждой дуге (u , v) которого сопоставлен вес c (u , v). Требуется найти в этом графе гамильтонов контур наименьшей стоимости.

Обратим внимание на детали, которые будут очень существенными для алгоритмов решения задачи:

1. В обеих формулировках предполагается c (u , v) ≥ 0; c (u , u) = ∞ для всех u , v ∈ V .
2. В наивной формулировке предполагается c (u , v) = c (v , u) для всех u , v ∈ V , т. е. граф можно считать неориентированным. Такая задача называется симметричной задачей коммивояжера. Однако, в общем случае, это необязательно.
3. В наивной формулировке предполагаем, что для всех u , v , w ∈ V с (u , v) ≤ c (u , w) + c (w , v) (неравенство треугольника), что нередко выполняется в практических задачах. Однако вообще говоря, это неверно.

Теорема

Пусть P ≠ NP , ρ ≥ 1. Тогда не существует полиномиального приближенного алгоритма, решающего общую (более того, симметричную) задачу коммивояжера с ошибкой не более чем в ρ раз.

Доказательство. Для доказательства заметим, что взяв произвольный граф G = (V , E) и сопоставив ему полный граф G ′ с функцией стоимости c (u , v) = 1, если (u , v) ∈ E и ρ | V | + 1 иначе. Убедимся, что наш полиномиальный алгоритм будет определять, есть ли в графе G гамильтонов цикл, что невозможно.

Метод ветвей и границ ("поиск с возвратом", "backtracking")

Данный метод является одной из первых эффективных схем неявного (улучшенного) перебора, идея которого состоит в том, что при решении экстремальной задачи можно избежать полного перебора путем отбрасывания заведомо неоптимальных решений.

Идея метода состоит в следующем: решая дискретную экстремальную задачу, разобьем множество всех возможных вариантов на классы и построим оценки для них. В результате становится возможным отбрасывать решения целыми классами, если их оценка хуже некоторого рекордного значения.

Рассмотрим дискретную экстремальную (для определенности — на минимум) задачу в общем виде:

Пусть задано дискретное множество A и определенная на нем функция f . Обозначим минимум функции f на X как F (X).

Требуется найти x 0 ∈ A: f (x 0) = F (A)

Замечание 1

Пусть A = A 0 ∪ A 1 ∪ … ∪ A k , A i ∩ A j = Ø, i ≠ j . Причем F (A) < F (A 0), т. е. на A 0 минимум не достигается.

Тогда справедливо следующее: F (A) = min { F (A i) | i ∈ 1: k }

Замечание 2

Пусть Φ — функция, заданная на совокупности подмножеств множества A так, что Φ (X) ≤ F (X) ∀ X ⊂ A

Пусть x * — произвольный элемент A и пусть f * = f (x *).

Тогда справедливо следующее: F (A) = min { f *, min { F (A i) | i ∈ 1: k , Φ (A i) ≤ f *} }

Эти два соображения позволяют предложить следующую технологию поиска минимума. Разобьем множество A на какие-либо подмножества A i и на каждом из них найдем нижнюю оценку Φ . Для элементов множества A будем вычислять значения функции f и запоминать наименьшее в качестве рекордного значения. Все подмножества, у которых оценка выше рекордного значения функции (f *), объединим в подмножество A 0 , чтобы в дальнейшем не рассматривать.

Теперь выберем какое-либо из множеств A i , i > 0. Разобьем это множество на несколько более мелких подмножеств. При этом мы будем продолжать улучшать рекордное значение f *. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не будут просмотрены все множества A i , i > 0.

Более наглядно метод ветвей и границ (поиск с возвратом) можно объяснить с помощью дерева возможностей. Узлы такого дерева можно рассматривать как совокупности конфигураций (подмножества A i множества A), а каждый потомок некоторого узла представляет подмножество этой совокупности. Наконец, каждый лист представляет собой отдельную конфигурацию.

Пример 1. Задача коммивояжера (алгоритм Литтла)

Рассмотрим работу этого алгоритма на конкретном примере.

Пусть имеется граф, заданный матрицей смежности:

—	6	4	8	7	14
6	—	7	11	7	10
4	7	—	4	3	10
8	11	4	—	5	11
7	7	3	5	—	7
14	10	10	11	7	—

Справедливо следующее: вычитая любую константу из всех элементов любой строки или столбца матрицы С, оставляем минимальный тур минимальным. В связи с этим, процесс вычитания из каждой строки ее минимального элемента (приведение по строкам) не влияет на минимальный тур. Аналогично вводится понятие приведения по столбцам, обладающее тем же свойством.

Приведем исходную матрицу по строкам

Исходная

—	6	4	8	7	14
6	—	7	11	7	10
4	7	—	4	3	10
8	11	4	—	5	11
7	7	3	5	—	7
14	10	10	11	7	—

Приведенная по строкам

—	2	0	4	3	10	|4
0	—	1	5	1	4	|6
1	4	—	1	0	7	|3
4	7	0	—	1	7	|4
4	4	0	2	—	4	|3
7	3	3	4	0	—	|7

Выделенные жирным шрифтом числа в исходной матрице — это идеальный тур, полученный лексикографическим перебором.

(Отметим, что сумма констант приведения есть 4 + 6 + 3 + 4 + 3 + 7 = 27)

А затем по столбцам:

—	0	0	3	3	6
0	—	1	4	1	0
1	2	—	0	0	3
4	5	0	—	1	3
4	2	0	1	—	0
7	1	3	3	0	—
—	—	—	—	—	—
0	2	0	1	0	4

(Отметим, что сумма констант приведения здесь есть 0 + 2 + 0 + 1 + 0 + 4 = 7, а всех констант: 27 + 7 = 34)

Теперь, тур, проходящий только через ребра нулевой стоимости, будет, очевидно, минимальным. Для того, чтобы определить его стоимость, прибавим к нулю только что вычисленную константу 34:

Таким образом, мы получили нижнюю оценку стоимости класса всех возможных туров. Т. е. минимальный тур в данной задаче не может стоить меньше, чем 34.

Назовем оценкой нуля в позиции (i , j) в матрице сумму минимальных элементов в i -й строке и j -м столбце (не считая сам этот ноль). Оценим теперь каждый ноль в приведенной матрице:

	1	2	3	4	5	6
1	—	0 1	0	3	3	6
2	0 1	—	1	4	1	0
3	1	2	—	0 1	0	3
4	4	5	0 1	—	1	3
5	4	2	0	1	—	0
6	7	1	3	3	0 1	—

Оценки, равные нулю, не указаны. Оценка k нуля, в позиции (i , j) означает буквально следующее: если в тур не будет включен путь из i в j (стоимостью 0), то придется доплатить как минимум k. Поэтому, можно разделить класс всех возможных туров на два: туры, содержащие ребро (i , j) и туры, не содержащие его. Для последних минимальная оценка увеличится на k .

Рассмотрим ребро, соответствующее нулю с максимальной оценкой. В данном случае это ребро (1, 2). Таким образом, как только что было замечено, класс всех туров разбивается на два: содержащих ребро (1, 2) и не содержащих его. Нижняя оценка стоимости второго класса туров увеличивается до 35. Чтобы определить оценку для первого класса туров удалим из матрицы строку 1 и столбец 2 (Обозначим ее как C [(1,2)]):

Т. к. матрицу удалось привести на 1 (по 1-му столбцу), то оценка класса туров с ребром (1, 2) увеличивается на 1 и становится равной 35.

Разбиение на классы и сами оценки можно представить в виде дерева:

Таким образом, класс (ВСЕ) был разбит на два и были вычислены соответствующие оценки.

Выберем теперь класс с наименьшей оценкой и повторим этот процесс для него. Затем из двух полученных классов выберем тот, у которого оценка минимальна и разобьем его. Так будем повторять до тех пор, пока не достигнем листа дерева. Т. е. пока не получим матрицу 0×0:

C [(1, 2); [−](a 1 , b 1); [−](a 2 , b 2); … [−](a k , b k)]

Где (каждое) −(x , y) означает, что матрица соответствует классу, не содержащему ребро (x , y) Удалив из обозначения матрицы элементы вида −(x , y), получим следующее:

(c 0 , d 0); (c 1 , d 1); … (c n , d n)

Вершина (5, 4) дерева будет соответствовать классу, содержащему ребра: (1, 2); (3, 1); (6, 5); (2, 6); (4, 3); (5, 4). Этот класс, очевидно, состоит из одного полного тура (1, 2, 6, 5, 4, 3, 1) со стоимостью = 36 (для полного тура его минимальная оценка равна точной стоимости)

Запомним этот результат как рекордный и пройдем по дереву вверх, "вычеркивая" все вершины (т. е. исключая из дальнейшего рассмотрение все классы), оценки которых больше или равны только что найденной. Кроме того, будем вычеркивать вершину и в том случае, если у нее оба потомка вычеркнуты, несмотря на ее оценку. Получим следующее:

Матрица, соответствующая классу туров, не содержащих ребро (1, 2), приведенная по второму столбцу, будет выглядеть так:

	1	2	3	4	5	6
1	—	—	0 3	3	3	6
2	0 1	—	1	4	1	0
3	1	1	—	0 1	0	3
4	4	4	0 1	—	1	3
5	4	1	0	1	—	0
6	7	0 1	3	3	0	—

Она была получена из матрицы, соответствующей классу всех туров путем установки прочерка (обозначающего бесконечную стоимость перелета) вместо элемента (1, 2). Т.е. с 1,2 = ∞. Обозначим ее как C [−(1,2)]

Т. к. максимальная оценка нуля 3 (элемент 1,3) получаем, что оценка для ветви −(1,3) равна 38.

Вычеркивая первую строку и первый столбец, получим матрицу, приводимую на 1 по четвертой строке. То есть оценка ветви −(1,2)(1,3) становится равной 36. Дальнейшее ветвление будем продолжать уже с учетом найденного рекордного значения (36):

Таким образом, вершин не осталось, перебор завершен. А найденное в ходе него рекордное значение и соответствующий ему тур — решение задачи.

Удовлетворительных теоретических оценок алгоритма Литтла и ему подобных нет, но практика показывает, что на современных машинах они позволяют решать задачу коммивояжера с количеством вершин ≈ 100. Кроме того, алгоритмы типа ветвей и границ являются эффективными эвристическими процедурами. Если нет возможности доводить их до конца.

Пример 2. Задача о размыкании контуров

Тот же подход можно применить к задаче о размыкании контуров. Постановка задачи:

Пусть задан граф G = (V , E), каждой дуге (u , v) которого сопоставлено положительное число c (u , v) — вес этой дуги.

Требуется найти E 0 ⊂ E так, чтобы граф (V , E 0) не имел контуров и сумма весов дуг (из E 0) была максимальной.

Рассмотрим вспомогательную задачу (обозначим ее (E , E *)) аналогичную только что сформулированной, но с дополнительным параметром — множеством E * ⊂ E из которого дуги удалять нельзя (при этом будем требовать, чтобы в графе (V , E *) не было контуров).

Если имеется задача (E , E *) то возможно все множество ее решений разбить на два класса следующим образом.

Рассмотрим дугу (u , v) ∈ E \ E * такую, что в графе (V , E * ∪ (u , v)) нет контуров.

Тогда множество решений задачи можно разбить на два:

1. множество решений задачи (E \ (u , v), E *)
2. множество решений задачи (E , E* ∪ (u , v))

Исходная задача о размыкании контуров, очевидно, является задачей (E , Ø).

Введем теперь функцию est(E , E 0) следующим образом:

1. если граф (V , E) не содержит циклов, то est(E , E 0) = 0
2. иначе, пусть E cyc — цикл, тогда: est(E , E 0) = est(E \ E cyc , E 0) + c cyc , где c cyc = min{ c (u , v) | (u , v) ∈ E cyc \ E 0 } (т. е. мин. вес, которым можно разомкнуть этот цикл)

Несложно показать, что

V (E , E 0) ≥ est(E , E 0),

где v (E , E 0) — минимум суммы весов дуг, удаление которых из E \ E 0 размыкает все контуры графа.

Метод локальных улучшений ("локальный поиск")

Идея этого метода заключается в том, что для каждого решения экстремальной задачи x ∈ X определяется окрестность близких решений A (x) и на каждой итерации вычислительного процесса при заданном текущем решении x делается попытка найти в его окрестности решение, которое имело бы лучшее значение целевой функции. Если такое решение удается найти, оно само становится текущим решением, если нет — поиск заканчивается.

Более конкретно стратегия локального поиска такова:

• Начните с произвольного решения
• Для улучшения текущего решения примените к нему какое-либо преобразование из заданной совокупности преобразований. Это улучшенное решение становится текущим решением
• Повторяйте указанную процедуру до тех пор, пока ни одно из преобразований в заданной совокупности не позволит улучшить текущее решение

Если заданная совокупность преобразований включает все возможные преобразования (которые из любого решения могут получить любое другое), то мы получим точное (глобально-оптимальное) решение, но трудоемкость такого алгоритма будет не лучше, чем у перебора всех решений.

На практике при решении задач, точные решения которых требуют экспоненциальных затрат времени, совокупность преобразований ограничивают. С помощью них из ряда произвольных решений получают локально-оптимальные решения и выбирают из них лучшее.

Рассмотрим точный алгоритм нахождения минимального остовного дерева в графе с помощью метода локального поиска. Локальные преобразования будут таковы: мы берем то или иное ребро, не относящееся к текущему остовному дереву и добавляем его к дереву (получая цикл), а затем убираем из этого цикла одно ребро (с наивысшей стоимостью). Это продолжается, пока все ребра вне дерева не будут иметь наивысшую стоимость среди всех ребер в цикле, который образуется при добавлении его к дереву (одна эта проверка требует времени O (| V || E |)). Этот алгоритм работает медленнее, чем алгоритмы Прима и Крускала, и служит примером нерационального использования локального поиска для не NP-полных задач.

Пример 2. Задача коммивояжера ("двойной выбор")

Простейшее преобразование, которым можно воспользоваться в симметричной задаче коммивояжера, является так называемый "двойной выбор" . Он заключается в том, что мы выбираем любые два ребра (например (a , b) и (c , d)), удаляем их и "перекоммутируем" соединявшиеся ими точки так, чтобы образовался новый маршрут. Если сумма стоимостей двух новых ребер оказалась меньше, чем двух старых, то мы нашли улучшенный маршрут.

Рассмотрим тот же граф, для которого мы строили остовное дерево. Выберем в качестве начального маршрута (a , b , c , d , e) и применим к нему "двойной выбор". Легко убедиться, что на рисунке "в" нельзя удалить ни одну пару ребер, выгодно заменив её другой.

Двойной выбор можно обобщить на k -выбор. В этом случае мы удаляем до k ребер и "перекоммутируем" оставшиеся элементы в любом порядке, пытаясь получить маршрут. Мы, вообще говоря, не требуем, чтобы удаляемые ребра были несмежными.

Легко убедиться в том, что количество различных преобразований, которые нужно рассмотреть при k -выборе равно O (| V | k). Однако время, требуемое для получения какого-либо оптимального маршрута, может оказаться значительно больше.

На практике очень эффективным является "выбор с переменной глубиной". Он с большой вероятностью обеспечивает получение оптимального маршрута для | V | = 40 − 100.

Пример 3. Задача размещения блоков

Формулировка задачи одномерного размещения блоков: требуется упорядочить вершины неориентированного графа G = (V , E) с весами на ребрах c (u , v), пронумеровав их числами 1 … n так, чтобы минимизировать ∑ i , j = 1… n | i − j | c (v i , v j); n = | V |.

Вершины графа обычно называют "блоками", а веса интерпретируют как количество "проводов" между блоками. Тогда суть задачи становится понятна: требуется расположить элементы на прямой так, чтобы длина проводов, требуемая для их соединения была минимальной.

Эта, а также аналогичная двумерная задача, находят приложение при соединении логических плат и создании интегральных микросхем.

Для нахождения локально-оптимальных решений задачи размещения блоков можно использовать такие локальные преобразования:

1. Произвести взаимную перестановку смежных блоков v i и v i +1 , если результирующий порядок имеет меньшую стоимость. Пусть

   L (j) = ∑ k =1… j −1 c (v k , v j);
   R (j) = ∑ k = j +1… n c (v k , v j).

   Улучшение можно выполнить, если

   L (i) − R (i) + R (i +1) − L (i +1) + 2 c (v i , v i +1) < 0

2. Взять блок v i и вставить его между некоторыми блоками v i и v i +1 при некоторых значениях i и j .
3. Выполнить взаимную перестановку двух блоков v i и v j .

Как и в задаче коммивояжера мы не в состоянии точно оценить время, необходимое для нахождения локального оптимума. Можно показать, что, если ограничиться преобразованием (1 ), времени O (| V |) будет достаточно, чтобы проверить, является ли выполняемое преобразование улучшающим, и вычислять L (i) и R (i). Для преобразований (2 ) и (3 ) это время увеличивается до O (| V | 2). Но это не есть оценка времени нахождения локального оптимума, так как каждое улучшение может создавать возможности для новых улучшений.

Приближенные и эвристические методы

В этом разделе мы рассмотрим алгоритмы, работающие за известное нам полиномиальное время и решающие "переборные" задачи с некоторой известной нам ошибкой. Грань между приближенными и эвристическими методами размыта. Некоторые выделяют как приближенные алгоритмы те, в которых возможно регулировать погрешность, т. е. схемы приближения.

В эвристических методах для выбора элементов решения используются те или иные, кажущиеся естественными рекомендательные правила выбора, эвристики. Часто такие правила комбинируются с условием жадности выбора: сделанный выбор в дальнейшем не пересматривается. Более мощной разновидностью такого подхода является сокращенный поиск, в котором дерево вариантов, знакомое нам по методу ветвей и границ, искусственно сокращается исходя из некоторых правил, правдоподобных, но формально не обоснованных.

Пример 1. Задача коммивояжера (деревянный алгоритм)

Рассмотрим три эвристических алгоритма, решающих симметричную задачу коммивояжера с неравенством треугольника с ошибкой не более чем в два раза (ρ = 2).

Первый из них, так называемый деревянный алгоритм, состоит в следующем: построим для нашего графа минимальное покрывающее дерево с помощью алгоритма Прима, а затем совершим обход дерева в порядке root-left-right , удаляя повторяющиеся вершины.

Время работы этого алгоритма равно Θ(E) = Θ(V 2).

Пример 1. Задача коммивояжера (жадный алгоритм и алгоритм Карга-Томпсона)

Самый очевидный алгоритм решения задачи коммивояжера — жадный: из текущего города иди в ближайший из тех, куда ещё не ходил. Если выполняется неравенство треугольника, нетрудно доказать, что этот алгоритм ошибается не более, чем в два раза. Трудоемкость этого алгоритма O (V 2).

Алгоритм Карга-Томпсона (эвристика ближайшей точки) чуть менее очевиден: сначала возьмем две ближайшие вершины (вырожденный тур), затем в цикле по всем ребрам уже построенного тура для каждого ребра (u , v) выберем из свободных вершин такую w , чтобы c (u , w) + c (w , v) − c (u , v) было минимальным и включим w в тур между u и v . Для этого способа также ρ = 2, однако его трудоемкость составляет уже O (V 3).

Пример 2. Задача о вершинном покрытии

Напомним, что вершинным покрытием неориентированного графа G =(V , E) мы называем некоторое семейство его вершин V ′ с таким свойством: для всякого ребра (u , v) графа G хотя бы один из его концов u или v содержится в V ′. Размером вершинного покрытия считаем количество входящих в него вершин.

Задача о вершинном покрытии состоит в нахождении вершинного покрытия минимального размера. Эта задача NP-трудна, однако приведенный ниже простой алгоритм решает её с ошибкой не более, чем в два раза.

Пусть С — это уже построенная часть вершинного покрытия, а E ′ содержит непокрытые ребра графа. На каждом шаге мы берем ребро из E ′ и добавляем его концы u и v в C , а из E ′ изымаем все ребра имеющие своим концом u или v . И так пока множество E ′ не станет пустым. Время работы этого алгоритма есть O (E).

Для доказательства того, что этот алгоритм не более чем вдвое хуже точного, достаточно заметить, что никакие два ребра из выбираемых алгоритмом не имеют общих вершин, а значит число вершин в C вдвое больше числа этих ребер. Оптимальное же покрытие содержит хотя бы одну вершину каждого из них и все эти вершины разные.

Дано конечно множество X и семейство его подмножеств F . При этом:

X =∪ S ∈ F S

Мы ищем минимальное число подмножеств из F , которые вместе покрывают множество X , т. е. семейство С наименьшей мощности, для которого:

X =∪ S ∈ C S

Такое семейство С будем называть покрытием множества X . Например, на рисунке черные кружки — элементы множества X , контуры — подмножества из F . Три светлых сплошных контура составляют минимальное покрытие, жадный алгоритм дает покрытие мощностью на единицу больше (включает ещё и пунктирный контур).

Мы будем решать задачу с помощью жадного приближенного алгоритма. Пусть множество U содержит ещё не покрытые элементы, а семейство C — уже включенные в покрытие подмножества. На каждом шаге производится жадный выбор: в качестве S берется множество, покрывающее наибольшее число ещё не покрытых элементов.

Так происходит, пока U не пусто. Трудоемкость алгоритма составляет O (| X |·| F |·min(| X |,| F |)).

Размер покрытия, даваемого этим алгоритмом, превосходит минимально возможный не более чем в H (max{| S |: S ∈ F }) раз (где H (d) — сумма первых d членов гармонического ряда) или, что тоже самое, в (ln| X | + 1) раз.

Псевдополиномиальные алгоритмы

Такие алгоритмы часто получаются при применении динамического программирования к NP-полным задачам. У таких алгоритмов экспоненциальная зависимость времени работы (и памяти компьютера) от длины входа, однако существует полиномиальная зависимость от некоторого числа (чисел) на входе задачи. Такие алгоритмы очень полезны, т. к. позволяют точно решать задачи с маленькими числами и приближенно — для больших чисел, каким-либо образом преобразованных в маленькие.

Пример 1. Задача о суммах подмножеств ("табличный" алгоритм)

Пусть задана пара (S , t), где S = { x 1 , x 2 , …, x n } представляет собой множество положительных целых чисел, а t — положительное целое число. Требуется отыскать среди подмножеств множества S , сумма которых не превосходит t , такое, у которого сумма ближе всего к t .

Пусть | S | = n . Обозначим (k , w) — задачу, в которой имеется k первых чисел из S и нужно набрать сумму w . Таким образом исходная задача — это задача (n , t).

Для решения задачи построим таблицу T [ n , t + 1], в клетку T [ i , j ] которой будем записывать оптимальное решение задачи (i , j).

Первый столбец заполним нулями. Первую строку заполним сначала нулями, а начиная с клетки (1, x 1) — числами x 1 . Клетку T [ i , j ] (i , j > 1) будем заполнять по правилу:

1. Если j − x i > 0, то y:= T [ i − 1, j − x i ], иначе y:= 0;
2. T [ i , j ] := max(T [ i − 1, j ], y + x i)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
3	0	0	0	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
5	0	0	0	3	3	5	5	5	8	8	8	8	8	8
7	0	0	0	3	3	5	5	7	8	8	10	10	12	12
9	0	0	0	3	3	5	5	7	8	9	10	10	12	12
11	0	0	0	3	3	5	5	7	8	9	10	11	12	12

S = {3, 5, 7, 9, 11} t = 13;

Таблица примет такой вид. Ответ: нет подмножества весом 13, ближе всего снизу 12.

Условие (2) говорит о том, что оптимальная сумма может достигаться либо без использования x i (T [ i − 1, j ]), либо если x i входит в сумму (y + x i). В этом случае его надо прибавить к решению задачи (i − 1, j − x i), что и сохраняется в переменной y в условии (1). Из получившейся таблицы можно узнать и состав оптимальной суммы.

Трудоемкость этого алгоритма составляет O (n t) операций. Таким образом, если t будет велико, можно будет все числа поделить, к примеру, на 10, округлить и получить приближенный алгоритм.

Пример 2. Задача о суммах подмножеств ("списковый" алгоритм)

Пусть L — набор чисел, а x — некоторое число, тогда через L + x обозначим набор чисел, который получится, если ко всем элементам L прибавить x . В этом алгоритме также используется тот факт, что x i может как входить в сумму, так и не входить, то есть:

L i = L i −1 ∪ (L i −1 + x i)

Выкидывая из списка элементы, большие t получим L n — упорядоченный список всех возможных удовлетворяющих нас сумм подмножеств S . Остается взять максимальный (последний) элемент, чтобы получить решение задачи. Список L n может содержать до 2 n элементов (т. е. алгоритм экспоненциален), однако, т.к. все элементы различны, их не может быть более t . Налицо псевдополиномиальность.

Схемы приближения

В связи с приближенными алгоритмами возникает вопрос: нельзя ли постепенно усложняя приближенный алгоритм, получать все более точное решение? Такие алгоритмы есть и, как мы уже говорили, они называются схемами приближения. Нужно заметить, что это большая редкость: обычно для труднорешаемой задачи известен простой алгоритм с плохой точностью, перебор на другом конце и ничего посередине.

Мы рассмотрим две схемы приближения для задачи о сумме подмножеств. Одна из них получается из "спискового" алгоритма, а другая называется алгоритмом Джонсона.

Пример 1. Задача о суммах подмножеств (полностью полиномиальная схема приближения)

Такая схема получается из "спискового" алгоритма, если хранить список L в сокращенной форме. Список L ′ называется δ -сокращением списка L , если L ′ является частью L и

∀ y ∈ L ∃ z ∈ L ′: z ≤ y , (y − z) ⁄ y ≤ δ

Например для δ = 0,1 и L = <10, 11, 12, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 29> список L ′ = <10, 12, 15, 20, 23, 29> является δ -сокращением. Сокращение упорядоченного списка из m элементов требует Θ (m) операций. Таким образом, можно доказать, что "списковый" алгоритм, хранящий вместо полного списка сокращенный является полностью полиномиальной схемой приближения.

Пример 2. Задача о суммах подмножеств (алгоритм Джонсона)

Алгоритм, кроме множества S и числа t принимает на вход целочисленный параметр m > 2. Назовем i -е число большим, если x i > t ⁄(m +1). Описание алгоритма:

1. Перебрать все подмножества из больших чисел и найти множество больших чисел с суммой t ′: t ′ < t , Δ = t − t ′ min
2. Если Δ = 0, алгоритм закончен.
3. Перебрать все малые числа в порядке убывания. Если очередное x i ≤ Δ , то t ′:= t ′ + x i , Δ := Δ − x i ;
4. Когда перебор по малым числам закончен, выдать t ′ в качестве ответа.

Пусть k — количество больших чисел. Тогда можно доказать, что количество подходящих нам подмножеств из больших чисел составляет O (k m) ≤ O (n m). Таким образом, перебор имеет полиномиальную, возрастающую с m сложность. Корме того, можно показать, что:

T ′⁄ t ≥ 1 − 1 ⁄ (m + 1) 1 − 1 ⁄ (m + 1) ≤ t ′⁄ t* ≤ 1

то есть относительная погрешность ε = 1⁄ (m +1). Таким образом, эта схема приближения является полиномиальной, но не является полностью полиномиальной.

Метод случайного поиска

Обычно выбор решения можно представить последовательностью выборов. Если делать эти выборы с помощью какого-либо случайного механизма, то решение находится очень быстро, так что можно находить решение многократно и запоминать "рекорд", т. е. наилучшее из встретившихся решений. Этот наивный подход существенно улучшается, когда удается учесть в случайном механизме перспективность тех или иных выборов, т. е. комбинировать случайный поиск с эвристическим методом и методом локального поиска. Такие методы применяются, например, при составлении расписаний для Аэрофлота.

Очень бы хотелось побольше информации про метод случайного поиска и увидеть конкретный пример решения какой-либо задачи данным методом..........

Пожалуйста. На запрос "метод случайного поиска" поисковик Google анонсирует более 300000 ссылок. Этой информации должно хватить..........

Благодарю за статью, разобрался с алгоритмом Литтла. Хотел запомнить сайт и был удивлен, увидев домен родного университета:)

Про запрет переходов выше замечено верно - хотелось бы видеть здесь пояснения.

Спасибо за понятное разъяснение алгоритма Литтла. Но не учтена важная деталь: при выборе следующего ребра нужно учитывать, чтобы путь из набора ребер последовательно охватывал все точки. Так как ребра добавляем в случайном порядке, то приходится отслеживать наличие микроциклов (например выбрали ребро 1,0 - значит 0, 1 уже нельзя выбирать, или выбрали 0,1 и 1,2 - тогда нельзя выбирать 2,0 и 2,1 и т.д.), что отследить не так уж и просто. Я реализовал алгоритм на C#, циклы отслеживал с помощью специального класса, который содержал набор микроциклов и вычеркивал запрещенные ребра при добавлении в него новых и ребер и восстанавливал ребра при удалении ребер.

Реализация алгоритма оказалась очень сложна на практике, а его отладка просто ад. Код занял 512 строк. 20 точек обрабатывает за 0.1 - 10 секунд - длительность сильно зависит от входного набора. Большее количество уже за адекватное время не решает. Простейший переборщик у меня находит решение для 13 вершин за 1 секунду.

Если нужна реализация алгоритма на C# - пишите на почту [email protected].

Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ (алгоритм Литтла)

http://igorvn.ucoz.ru/load/kursovye/kommivojazher/2-1-0-15

Метод Литла работает только на небольшом количестве точек поэтому во всех примерах их не более 10 Начиная 15 точек он дает приближенный результат 1-2 % больше минимального и это заложено в порядке определения каждого хода (редукции) непонятно на каком основании это делается.Ведь формально мы получаем другую матрицу.

Высылаю вам "Русский метод" для подтверждения моего комментария.

Благодарим. Не сомневаемся в Вашей добросовестности и компетентности. Но файлы *.doc мы не размещаем. Если выложите его содержимое в общедоступное место со статусом постоянного хранения и включите ссылку в текст своего нового комментария, опубликуем для всеобщего обозрения.

Всем, кто хочет узнать про все теоретические ошибки метода Литтла, прошу сначала объяснить себе, что такое редукция и на каком это математическом основании оно проводится. Кроме того, Русский метод, разработанный мной, могу выслать совершенно бесплатно. Мой email: [email protected]

Рассмотрим следующую задачу целочисленного линейного программирования. Максимизировать при ограничениях

На рис.1 пространство допустимых решений задачи целочисленного линейного программирования представлено точками. Соответствующая начальная задача линейного программирования (обозначим ее ЛП0) получается путем отбрасывания условия целочисленности. Ее оптимальным решением будет =3.75, =1.25, z=23.75.

Рис.1.

Так как оптимальное решение задачи ЛП0 не удовлетворяет условия целочисленности, метод ветвей и границ изменяет пространство решений задачи линейного программирования так, что в конечном счете получается оптимальное решение задачи целочисленного линейного программирования. Для этого сначала выбирается одна из целочисленных переменных, значение которой в оптимальном решении задачи ЛП0 не является целочисленным. Например, выбирая (=3.75), замечаем, что область 3 ? ?4 пространства допустимых решений задачи ЛП0 не содержит целочисленных значений переменной и, следовательно, может быть исключена из рассмотрения, как бесперспективная. Это эквивалентно замене исходной задачи ЛП0 двумя новыми задачами линейного программирования ЛП1 и ЛП2, которые определяются следующим образом:

Пространство допустимых решений ЛП1 = пространство допустимых решений ЛП0 + (), пространство допустимых решений ЛП2 = пространство допустимых решений ЛП0 + ().

На рис.2 изображены пространства допустимы решений задач ЛП1 И ЛП2 . Оба пространства содержат все допустимые решения исходной задачи ЦЛП. Это обозначает, что задачи ЛП1 и ЛП2 «не потеряют» решения начальной задачи ЛП0.

Рис.2.

Если продолжим разумно исключать из рассмотрения области, не содержащие целочисленных решений (такие, как), путем введения надлежащих ограничений, то в конечном счете получим задачу линейного программирования, оптимальное решение которой удовлетворяет требованиям целочисленности. Другими словами, будем решать задачу ЦЛП путем решения последовательности непрерывных задач линейного программирования.

Новые ограничения и взаимоисключаемы, так что задачи ЛП1 и ЛП2 необходимо рассматривать как независимые задачи линейного программирования, что и показано на Рис.3. Дихотомизация задач ЛП - основа концепции ветвления в методе ветвей и границ. В этом случае называется переменной ветвления.

Рис.3.

Оптимальное решение задачи ЦЛП находятся в пространстве допустимых решений либо в ЛП1, либо в ЛП2. Следовательно, обе подзадачи должны быть решены. Выбираем сначала задачу ЛП1 (выбор произволен), имеющую дополнительное ограничение?3.

Максимизировать при ограничениях

Оптимальным решением задачи ЛП1 является, и. Оптимальное решение задачи ЛП1 удовлетворяет требованию целочисленности переменных и. В этом случае говорят что задача прозондирована. Это означает, что задача ЛП1 не должна больше зондироваться, так как она не может содержать лучшего решения задачи ЦЛП.

Мы не можем в этой ситуации оценить качество целочисленного решения, полученного из рассмотрения задачи ЛП1, ибо решение задачи ЛП2 может привести к лучшему целочисленному решению (с большим решением в целевой функции z). Пока мы можем лишь сказать, что значение является нижней границей оптимального (максимального) значения целевой функции исходной задачи ЦЛП. Это значит, что любая нерассмотренная подзадача, которая не может привести к целочисленному решению с большим значением целевой функции, должна быть исключена, как бесперспективная. Если же нерассмотренная подзадача может привести к лучшему целочисленному решению, то нижняя граница должна быть надлежащим образом изменена.

При значении нижней границы исследуем ЛП2. Так как в задачи ЛП0 оптимальное значение целевой функции равно 23.75 и вес ее коэффициенты являются целыми числами, то невозможно получить целочисленное решение задачи ЛП2, которое будет лучше имеющегося. В результате мы отбрасываем подзадачу ЛП2 и считаем ее прозондированной.

Реализация метода ветвей и границ завершена, так как обе подзадачи ЛП1 и ЛП2 прозондированы. Следовательно, мы заключаем, что оптимальным решением задачи ЦЛП является решение, соответствующей нижней границе, а именно, и.

Если бы мы выбрали в качестве ветвлении переменную то ветвления и скорость нахождения оптимального решения были бы другими Рис.4.

Рис.4. Дерево ветвлений решений

Введение

При рассмотрении целого ряда задач, необходимо учитывать требование целочисленности используемых переменных. Методы решения задач линейного программирования не гарантируют целочисленности решения.

Иногда задачи целочисленного линейного программирования решают приближенно. Для этого решают задачу без учета целочисленности переменных, затем в полученном оптимальном решении округляют результаты до ближайших целых значений. Использование таких решений допустимо в тех ситуациях, где значения переменных достаточно велики, и погрешностью округления можно пренебречь. Если значения переменных невелики, то округление может привести к значительному расхождению с оптимальным решением.

Одним из широко распространенных методов решения целочисленных задач является метод ветвей и границ, впервые, он был предложен Ленд и Дойг в 1960 г.

ветвь граница линейное программирование

Метод ветвей и границ

Алгоритм метода ветвей и границ предусматривает декомпозицию исходной задачи линейного программирования (ЗЛП) на последовательность задач, содержащих дополнительные ограничения на переменные, которые затем оптимизируются.

1. Процесс начинают с решения задачи симплексным или графическим методом без учета требования на целочисленность переменных. Эту задачу называют ЗЛП-0. Если все переменные оптимального плана целые, то этот план также является оптимальными для задач целочисленного программирования.

2. Если некоторая переменная, не получила целочисленного значения, то производится ветвление на две новые задачи ЗЛП-1, ЗЛП-2. Одна из задач ЗЛП-1 представляет собой задачу ЗЛП-0, дополненную ограничением где - целая часть числа. Вторая образуется путем добавления к задаче ЗЛП-0 ограничения. Следует отметить, что выбор целочисленной переменной может быть произвольным определяться следующим образом:

по возрастанию или убыванию индексов;

переменная представляет важное решение принимаемое в рамках данной задачи;

коэффициент в целевой функции при этой переменной существенно превосходит все остальные.

3. Задачи ЗЛП-1 и ЗЛП-2 решаются самостоятельно. Ветвь оканчивается, если область допустимых решений пуста, либо её оптимальное решение полностью целочисленное. В противном случае возникает необходимость ветвления с п.2, обозначая следующие номера задач ЗЛП в естественном порядке ЗЛП-3, ЗЛП-4.

Процесс решения можно представить в виде дерева, в котором вершина ЗЛП-0 отвечает начальному плану решения задачи, а каждая из соединенных с ней ветвью вершин отвечает оптимальному плану следующей задачи.

Рассмотрим следующий пример. Максимизировать целевую функцию

при ограничениях

Воспользуемся графическим методом решения задачи линейного программирования.

1. Решим исходную задачу без учета требования целочисленности переменных.

Обозначим эту задачу линейного программирования ЗЛП-0.

На рисунке 1.1 штриховкой выделен многоугольник решений данной задачи. Максимальное значение достигается в точке Решение не является целочисленным.

Следующий шаг метода ветвей и границ состоит в ветвлении по одной из целочисленных переменных, имеющих дробное значение, например. Для этого добавим к задаче ЗЛП-0 два новых ограничения и Этими ограничениями удаляется интервал = в котором нет целых значений. Таким образом, в процессе ветвления создаются две новые задачи ЗЛП-1 и ЗЛП-2.

Рисунок 1.1 Решение задачи ЗЛП-0

2. Решим задачу ЗЛП-1 графически.

На рисунке 1.2 изображена допустимая область задачи ЗЛП-1. Максимальное значение достигается в точке. Решение задачи нецелочисленное.

Рисунок 1.2 Решение задачи ЗЛП-1

3. Решим задачу ЗЛП-2 графически.

В данном случае множество допустимых решений пусто (рисунок 1.2). Система ограничений несовместна, и задачу ЗЛП-2 можно исключить из дальнейшего рассмотрения.

Рисунок 1.3 Решение задачи ЗЛП-2

Теперь продолжим исследование задачи ЗЛП-1, поскольку значение нецелое. Произведем еще одно ветвление, путем введения ограничений и. В результате получаем две новые задачи ЗЛП-3 и ЗЛП-4.

Требуется решить следующую задачу:

max 2х 1 + х 2

5х 1 + 2х 2 10

3х 1 + 8х 2 13

Вначале решим эту задачу графически без ограниченийцелочисленности. Решение может быть найдено как симплекс-методом, так и графически. Найдем его графически (рисунок 4). Координаты точки оптимума можно найти, решив систему уравнений: 5х 1 + 2х 2 = 10 х 1 =27/17

3х 1 + 8х 2 = 13 х 2 =35/34

Х G = (27/17;35/34), z G =143/34

Рисунок 4 - Графическое решение задачи без ограничений целочиелейности

Начнем строить дерево, первая вершина которого будет соответствовать всей ОДП нецелочисленной задачи (G), а ее оценка будет равна z G (рис.5).

Рисунок 5 - Схема метода ветвей и границ

Полученный план не является целочисленным, поэтому возьмем его произвольную нецелочисленную компоненту, например, первую (х 1 Z; [х 1 ] = = 1) и разобьем ОДП на две части следующим образом:

G 1 ={XG: х 1 1}

G 2 ={XG: х 1 2}

Это означает, что в область G 1 войдут все точки из G, у которых абсцисса не больше 1, а в G 2 - у которых она не меньше 2. Точки с дробными значениями абсциссы от 1 до 2 исключены из рассмотрения.

Изобразим эти области на графике (рисунок 6).

Из рисунка 6 видно, что G 2 представляет собой одну точку Х G 2 =(2;0), следовательно, на этом множестве оптимум задачи равен 4 ( 2 =4).

План Х G 2 является целочисленным, следовательно, решение целочисленной задачи уже, возможно, найдено. Однако, следует еще найти оценку множества G 1 |. Она может оказаться не менее 4 (но обязательно не более 143/34). Если это так, то нужно проверить, не является ли целочисленным решение задачи на G 1. Если оно целое, то является решением задачи, а если нет, то процесс решения необходимо продолжить, разбивая G 1

Рисунок 6 - Разбиение множества на части

На G 1 точку оптимума можно найти, решив систему уравнений:

х 1 = 1 х 1 =1

3х 1 + 8х 2 = 13 х 2 =5/4

Х G 1 = (1; 5/4), z G =13/4

Оценка меньше 4, следовательно, решением задачи является Х * =Х G 2 =(2;0),z * =4.

3.4 Решение задачи целочисленного линейного программирования методом ветвей и границ с помощью ппп «Система деловых задач»

ЗЦЛП можно решить с помощью пакета прикладных программ “Quantitative Systems for Business” ("Система деловых задач") . Соответствующая программа запускается файлом intlprog.ехе. Она решает как частично, так и полностью целочисленные задачи линейного программирования с числом переменных и ограничений до 20, используя метод ветвей и границ. В том числе решаются и задачи с булевыми переменными (т.е. с переменными, которые могут принимать одно из двух значений - 0 или 1; как, например, в задаче о назначениях ). По умолчанию все переменные неотрицательны. Программа позволяет ввести целочисленные границы для переменных, не включая их в общее число ограничений. По умолчанию нижняя граница 0, а верхняя 32000. Если необходимо установить нецелочисленные границы, их вводят, как обычные ограничения.

Если в задаче имеется несколько оптимальных планов, из них находится только один. Информация о наличии множественного решения не выводится.

Режим 2 (ввод новой задачи) включает три этапа. На первом этапе осуществляют ввод информации о размерности задачи, направлении экстремизации и именах переменных (по умолчанию XI, Х2,..., Хn).

На втором этапе необходимо определить, являются ли все переменные целочисленными, являются ли все переменные булевыми, и будут ли вводиться границы для переменных. При ответе «нет» на первый вопрос или «да» на третий, выводится таблица (рисунок 7):

Введите предел и границы для переменных

(По умолчанию значения нижней границы 0 и верхней границы 32000)

№ перем. Имя Предел (I/C) Нижняя гр. Верхняя гр.

1 X 1 <0 > <0 >

2 X 2 <0 > <0 >

Рисунок 7 - Определение пределов и границ

Установив I (integer) в столбце «Предел», на переменную накладывают ограничение целочисленности. В противном случае (С, continuous) -переменная может принимать и нецелые значения, т.е. является непрерывной.

Значения границ округляются до целых. Если нижняя больше верхней, выдается сообщение об ошибке.

На третьем этапе вводятся коэффициенты при переменных и знаки в ограничениях.

В меню решений имеется возможность исправить целочисленную погрешность (по умолчанию она 0,001).

Решение задачи методом ветвей и границ не сопровождается графической иллюстрацией (изображением дерева) в программе, но для пояснения алгоритма приведем такую иллюстрацию на рисунок 8.

Алгоритм метода ветвей и границ, реализованный в данной программе, несколько отличается от рассмотренного выше в методических указаниях и является менее эффективным в том смысле, что может потребовать большего числа итераций. Тем не менее, его полезно рассмотреть, чтобы наглядно проиллюстрировать разницу в подходах. Кроме того, во многих учебных пособиях применение метода ветвей и границ рассматривается именно на примере данной его модификации.

Основное различие заключается в том, что здесь на каждом этапе не выбирается наиболее «перспективное» подмножество. После того, как очередное подмножество разбито на две части, не подсчитывают сразу оценку обеих частей, а вместо этого каждая ветвь дерева последовательно рассматривается до конца. Исходная ОДП разбивается на подмножества по первой нецелочисленной переменной в оптимальном плане нецелочисленной задачи. Затем рассматривают ту вершину, которой соответствует знак , разбивают соответствующее подмножество так же, как и исходную ОДП, снова рассматривают ту вершину, которой соответствует знак , и т.д. до тех пор, пока не будет получен целочисленный план, или задача окажется неразрешимой. Только после этого возвращаются к рассмотрению вершин, которым соответствовал знак .

При этом на каждой итерации выводится информация о текущих целочисленных границах (определяющих рассматриваемое подмножество), оптимальном плане нецелочисленной задачи, о том, является ли он целочисленным, о значении целевой функции (ЦФ) на нем и о величинах ZL или ZU. Для задачи на максимум выводится значение нижней границы ZL, а на минимум верхней ZU. До тех пор, пока не найдено какое-нибудь целое решение, ZL =-1*10 20 , а ZU = 1*10 20 .

После нахождения целочисленного плана нельзя сразу судить о том, является ли он оптимальным, так как рассматривались не наиболее перспективные вершины. Но можно в уверенностью утверждать, что искомый максимум не меньше (а минимум не больше) значения целевой функции на целочисленном плане. Поэтому значения границ ZL и ZU изменяются (если только ранее не был найден целочисленный план с не меньшим (не большим) значением целевой функции).

Ветви с оценкой, меньшей ZL или большей ZU, не рассматриваются. План, соответствующий границе, запоминается. После того, как рассмотрены или исключены из рассмотрения все подмножества, этот план можно считать оптимальным.

Поясним это на примере (рис.8):

max 3х 1 + 2х 2

7х 1 + 5х 2 35

9х 1 + 4х 2 36

На первой итерации найдено нецелочисленное решение Х=(2,353; 3,706). Вся ОДП (множество G) разбивается на два подмножества - G 1 и G 2 следующим образом:

G 1 ={XG: х 1 3}

G 2 ={XG: х 1 2}.

На второй итерации решают задачу на подмножестве G 1 . Полученное решение также нецелочисленно. Далее, вместо того, чтобы рассмотреть подмножество G 2 , продолжают рассматривать G 1 . В соответствующем плане выбирают первую по счету нецелочисленную компоненту (это х 2) и разбивают G 1 на G 3 и G 4 . На третьей итерации рассматривают G 3 - на этом подмножестве допустимых планов нет. Только после этого на четвертой итерации рассматривается вторая ветвь, выходящая из G 1 - подмножество G 4 . Далее аналогично.

На пятой итерации на подмножестве G 5 найдено целочисленное решение, которому соответствует значение целевой функции 12. На следующей итерации это значение присваивается величине ZL, которая до этого была равна -1*10 20 . Соответствующий план запоминается - он может оказаться оптимальным. Но на шестой итерации снова получен целочисленный план, целевая функция на котором равна 13 (больше 12) - ZL снова изменяется, запоминается новый план.

После этого, на седьмой итерации, переходят к рассмотрению подмножества G 2 , которое разбивают на G 7 и G 8 .

На тринадцатой итерации (подмножество G 14) снова найдено целочисленное решение Х=(0; 7), целевая функция на нем равна 14. Снова изменяется ZL и запоминается соответствующий план.

План, найденный на четырнадцатой итерации, также является целочисленным, но его не запоминают, так как 13<14 (ZL=14). План, найденный на пятнадцатой итерации, тоже, к сожалению, не запоминается, так как 1414, а программа ставит своей целью найти хотя бы одно решение.

Наличие других оптимальных планов здесь игнорируется.

Таким образом, решение Х=(0; 7) получено за 15 итераций.

Отметим, что если бы использовался более эффективный вариант метода ветвей и границ, схема которого описана в методических указаниях, то после второй итерации произошел бы сразу переход к седьмой. В самом деле, если рассматривать значения целевой функции на соответствующих планах в качестве оценки подмножеств, то оценка G 2 выше. Поэтому итерации с 3-ей по 6-ю оказываются лишними, и общее число итераций могло быть равно 11.