Типы диаграмм Круговая диаграмма- служит для сравнения нескольких величин в одной точке. Она особенно полезна, если величины составляют нечто целое (100%) Пример 1: Имеются оценки за контрольную работу по классу. 8 человек получили – «5», 13 человек- «4», 6 человек – «3» и один – «2». Решение:
Столбчатая диаграмма – для задачи в которой требуется несколько раз сравнить несколько величин. Пример 3: Пусть несколько магазинов одной фирмы продавали компьютеры. Их данные о прибыли за соответствующий день недели занесли в таблицу: В отличие от предыдущей диаграммы, в каждой опорной точке будет стоять не один столбик, а три- по одному для каждого магазина. Все столбики одного магазина будут закрашены одинаково.
Ярусная диаграмма – позволяет наглядно сравнить суммы нескольких величин в нескольких точках, и при этом показать вклад каждой величины в общую сумму. По данным примера 3 построим ярусную диаграмму. Данная диаграмма отражает долю каждого магазина в общей сумме.
Тип диаграммы «График» - служит для того, чтобы проследить за изменением нескольких величин при переходе от одной точки к другой. Областная диаграмма – гибрид ярусной диаграммы с линейной. Позволяет одновременно проследить изменение каждой из нескольких величин и изменение их суммы. В нескольких точках
Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаг" title="Для создания диаграмм используется Мастер диаграмм (Вставка>Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаг" class="link_thumb"> 8 Для создания диаграмм используется Мастер диаграмм (Вставка>Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаграмма. Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаг"> Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаграмма."> Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаг" title="Для создания диаграмм используется Мастер диаграмм (Вставка>Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаг"> title="Для создания диаграмм используется Мастер диаграмм (Вставка>Диаграмма). Мастер диаграмм позволяет создавать диаграмму по шагам с помощью серии диалоговых панелей. Создание диаграммы: 1. Выделяем диапазон ячеек, содержащих данные. Команда Вставка>Диаг">
2. Выбираем форму диаграммы. Доступные формы перечислены в списке Тип на вкладке Стандартные. Для выбранного типа диаграммы справа указывается несколько вариантов представления данных (Вид), из которых следует выбрать наиболее подходящий. Нажимаем кнопку Далее.
3. На этом шаге мы увидим как будет выглядеть наша диаграмма. Справа от диаграммы появляется Легенда, которая содержит необходимые пояснения к диаграмме. Окно Диапазон: содержит диапазон адресов ячеек, содержащих данные для диаграммы. Установите необходимые параметры и щелкните по кнопке Далее.
Анализ данных начинается с группировки и вычисления описательных статистик в группах, например, вычисления средних и стандартных отклонений.
Если у вас имеется две группы данных, то естественно сравнить средние в этих группах. Такого рода задачи во множестве возникают на практике, например, вы можете захотеть сравнить средний доход двух групп людей: имеющих высшее образование и не имеющих высшего образования.
В данной главе мы будем иметь дело с переменными, измеренными в непрерывной шкале, такими переменными являются, например, доход или артериальное давление. Переменные, измеренные в бедных шкалах, исследуются с помощью специальных методов. В частности, категориальные переменные исследуются с помощью таблиц сопряженности (см. главу Анализ и построение таблиц). Переменные, измеренные в порядковых шкалах, исследуются методами непараметрической статистики (см. главу Непараметрическая статистика).
Рассмотрим типичную задачу. Предположим, при производстве бетона вы придумали добавлять в него некоторую новую компоненту и полагаете, что она увеличит прочность бетона. Чтобы проверить свои предположения и доказать их потребителю, вы взяли несколько образцов бетона с добавкой и несколько образцов без добавки и измерили прочность каждого образца.
Таким образом, получили два столбца (две группы) цифр: прочность образцов с добавкой и прочность образцов без добавки. Как разумно сравнить эти группы?
Очевидный подход состоит в том, чтобы сравнить описательные статистики, например, средние двух групп. Конечно, можно было бы сравнивать медианы или другие описательные статистики, но естественно начать со сравнения средних значений. Итак, вы имеете два средних: среднее для первой группы и среднее для второй группы.
Можно формально вычесть одно среднее из другого и по величине разности сделать вывод о наличии эффекта. Однако целесообразно принять во внимание разброс данных относительно средних, то есть вариацию (см. главу Элементарные понятия). Очевидно, разумная процедура должна принимать во внимание вариацию. Первое, что приходит в голову, - подходящим образом нормировать разность средних двух выборок (групп данных), поделив ее, например, на стандартное отклонение (корень квадратный из вариации).
Именно так и рассуждал В. Госсет - английский статистик, известный под псевдонимом Стьюдент, придумавший t-критерий для сравнения средних двух выборок.
Допустим, мы проверяем гипотезу о том, что добавка неэффективна (или как говорят на сленге анализа данных: нет эффекта обработки), иными словами, средние в двух группах равны. Этому положению соответствует альтернатива, согласно которой имеется эффект - прочность бетона увеличивается при добавлении в него новой компоненты.
Обратим внимание, альтернатива может быть выражена и по-другому, например, средние не равны или средняя прочность образцов увеличилось (добавка привела к увеличению прочности бетона).
Если вы случайным образом разбили выборку на две части и сравниваете показатели в первой и второй группе, то, скорее всего, вы имеете дело с независимыми группами.
В STATISTICA t-критерий доступен в обоих вариантах организации данных.
Естественным развитием сюжета сравнения средних является обобщение t-критерия на три и более групп данных, что приводит к дисперсионному анализу (в английской терминологии ANOVA - сокращение от Analysis of Variation - Дисперсионный анализ), а также на многомерный отклик. Если мы имеем дело с многомерным откликом, то используем методы MANOVA. Итак, методы дисперсионного анализа позволяют разумным образом сравнить групповые средние, если количество групп больше двух. Например, если вы хотите сравнить доход жителей нескольких регионов, то можно использовать дисперсионный анализ. Если вы исследуете два региона, то применяйте t-критерий.
Опишем один случай, не укладывающийся в общую схему. Представьте, вы изучаете категориальную переменную, принимающую два значения 0 и 1, и хотите сравнить различие частот появления единиц в двух группах. Например, вы желаете сравнить относительное число голосов, поданных за кандидата в двух избирательных округах. Термин относительное число означает число голосов, поданных за кандидата, деленное на общее число голосовавших. Статистический критерий для сравнения частот (долей, пропорций...) реализован в модуле Основные статистики и таблицы в диалоге Другие критерии значимости.
Т-критерий для независимых выборок
t-критерий является наиболее часто используемым методом, позволяющим выявить различие между средними двух выборок. Еще раз напомним, переменные должны быть измерены в достаточно богатой шкале, например, количественной.
Конечно, применение t-критерия имеет некоторые ограничения, впрочем, очень слабые.
Теоретически t-критерий может применяться, даже если размер выборки очень небольшой (например, 10; некоторые исследователи утверждают, что можно исследовать и меньшие выборки) и если переменные нормально распределены (внутри групп), а дисперсии наблюдений в группах не слишком различны. Известно, что t-критерий устойчив к отклонениям от нормальности.
Предположение о нормальности можно проверить, исследуя распределение (например, визуально с помощью гистограмм) или применяя критерий нормальности. Следует заметить, что эффективно проверить гипотезу о нормальности можно для достаточно большого объема данных (см. замечание Фишера о проверке нормальности, цитированное нами в главе Элементарные понятия анализа данных).
Более осторожно нужно подходить к различию дисперсий сравниваемых групп. Равенство дисперсий в двух группах, а это одно из предположений F-критерия, можно проверить с помощью F-критерия (который включен в таблицу вывода t-критерия в STATISTICA). Также можно воспользоваться более устойчивым критерием Левена.
При сравнении средних, как и всегда в анализе данных, чрезвычайно полезны визуальные методы. Например, на приведенной ниже категоризованной диаграмме размаха видно существенное различие средних значений для мужчин и женщин. На диаграмме точками показаны средние значения, а также стандартные отклонения (прямоугольники) и стандартные ошибки (отрезки прямых линий), вычисленные отдельно для мужчин и женщин.
На графике заметно различие дисперсий в группах - высота прямоугольника FEMALE больше высоты прямоугольника MALE.
Если условия применимости t-критерия не выполнены, то можно оценить различие между двумя группами данных, с помощью подходящей непараметрической альтернативы ^-критерию (см. главу Непараметрическая статистика, где обсуждается вопрос применения альтернативных процедур,).
Р-уровень значимости f-критерия равен вероятности ошибочно отвергнуть гипотезу об отсутствии различия между средними выборок, когда она верна (то есть когда средние в действительности равны).
Некоторые исследователи предлагают в случае, когда рассматриваются отличия только в одном направлении (например, переменная X больше (меньше) в первой группе, чем во второй), рассматривать одностороннее t-распределение и делить полученный для двухстороннего t-критерия р-уровень пополам. Другие предлагают всегда работать со стандартным двухсторонним t-критерием.
Чтобы применить t-критерий для независимых выборок, требуется, по крайней мере, одна независимая (группирующая) переменная и одна зависимая переменная (например, тестовое значение некоторого показателя, которое сравнивается в двух группах).
Вначале с помощью значений группирующей переменной, например, мужчина и женщина, если группирующей переменной является Пол, или Имеет высшее образование и Не имеет высшего образования, если группирующей переменной является Образование, данные разбиваются на две группы. Далее в каждой группе вычисляется среднее значение зависимой переменной, например, артериальное давление или доход. Эти выборочные средние сравниваются между собой.
Конечно, при применении t-критерия, как и при применении любого другого критерия в анализе данных, нужно сохранять здравый смысл. Применение t-критерия мало оправданно, если значения двух переменных несопоставимы. Например, если вы сравниваете среднее значение некоторого показателя в выборке пациентов до и после лечения, но используете различные методы вычисления
количественного показателя или другие единицы во втором измерении, то высокозначимые значения t-критерия могут быть получены искусственно, за счет изменения единиц измерения. Аналогично, не имеет смысла сравнивать доходы, выраженные в рублях, при многократной девальвации или высокой инфляции.
В следующем разделе даются формулы вычисления статистики критерия Стьюдента для проверки равенства средних двух выборок. Если вас интересует только практическое применение, вы можете пропустить этот раздел.
Формальное определение t-критерия
Формально в случае двух групп (k = 2) статистика t-критерия имеет вид:
где х¯ 1 (n 1)м x¯ 2 (n 2) - выборочные средние первой и второй выборки, s ~2 -оценка дисперсии, составленная из оценок дисперсий для каждой группы данных:
Если гипотеза: «средние в двух группах равны» - верна, то статистика t^(n 1 +n 2 -2) имеет распределение Стьюдента с (n 1 +n 2 -2) степенями свободы (см. например, справочное издание Айвазян С. А., Енюков И. С., Мешалкин Л. Д., Прикладная статистика., М.: Финансы и статистика, 1983. С. 395-397).
Большие по абсолютной величине значения статистики t^(n 1 + n 2 - 2) свидетельствуют против гипотезы о равенстве средних значений.
С помощью вероятностного калькулятора STATISTICA найдем 100a/2%-ю точку распределения Стьюдента с (n 1 + n 2 - 2) степенями свободы.
Обозначим найденную точку через ×
Если | t^(n 1 +n 2 -2)| > t(a /2), то гипотеза отвергается.
Заметим, что большие абсолютные значения статистики Стьюдента t^(n 1 +n 2 -2)могут возникнуть как из-за значимого различия средних, так и из-за значимого различия дисперсий сравниваемых групп.
Статистический критерий равенства или однородности дисперсии двух нормальных выборок основан на статистике:
которая при гипотезе: «дисперсии в двух группах равны» имеет распределение F(n 1 -1,n 2 -1).
Зададимся уровнем значимости a.
С помощью вероятностного калькулятора вычислим 100(1 - a/2)% и 100(a/2)% точки распределения F(n 1 -1, n 2 -1).
Если F 1-a/2 (n 1 -1, n 2 -1) < F(n 1 -1, n 2 -1) < F a/2 (n 1 -1, n 2 -1), то гипотеза об однородности дисперсии не отвергается.
Т-критерий для зависимых выборок
Степень различия между средними в двух группах зависит от внутригрупповой вариации (дисперсии) переменных.
В зависимости от того, насколько различны эти значения для каждой группы, «грубая разность» между групповыми средними показывает более сильную или более слабую степень зависимости между независимой (группирующей) и зависимой переменными.
Например, если при исследовании среднее значение WCC (число лейкоцитов) равнялось 102 для мужчин и 104 для женщин, то разность только на величину 2 между внутригрупповыми средними будет чрезвычайно важной в том случае, если все значения WCC мужчин лежат в интервале от 101 до 103, а все значения WCC женщин - в интервале 103-105. Тогда можно довольно хорошо предсказать WCC (значение зависимой переменной) исходя из пола субъекта (независимой переменной). Однако если та же разность 2 получена из сильно разбросанных данных (например, изменяющихся в пределах от 0 до 200), то разностью вполне можно пренебречь.
Таким образом, понятно, что уменьшение внутригрупповой вариации увеличивает чувствительность критерия.
Т-критерий для зависимых выборок дает преимущество в том случае, когда важный источник внутригрупповой вариации (или ошибки) может быть легко определен и исключен из анализа. В частности, это относится к экспериментам, в которых две сравниваемые группы наблюдений основываются на одной и той же выборке наблюдений (субъектов), которые тестировались дважды (например, пациенты до и после лечения).
В таких экспериментах значительная часть внутригрупповой изменчивости (вариации) в обеих группах может быть объяснена индивидуальными различиями субъектов. Заметим, что на самом деле такая ситуация не слишком отличается от той, когда сравниваемые группы совершенно независимы (см. t-критерий для независимых выборок), где индивидуальные отличия также вносят вклад в дисперсию ошибки. Однако в случае независимых выборок вы ничего не сможете поделать с этим, т. к. не сможете определить (или «удалить») часть вариации, связанную с индивидуальными различиями субъектов. Если та же самая выборка тестируется дважды, то можно легко исключить эту часть вариации.
Вместо исследования каждой группы отдельно и анализа исходных значений можно рассматривать просто разности между двумя измерениями (например, «до теста» и «после теста») для каждого субъекта. Вычитая первые значения из вторых (для каждого субъекта) и анализируя затем только эти «чистые (парные) разности», вы исключите ту часть вариации, которая является результатом различия в исходных уровнях индивидуумов.
В сравнении с t-критерием для независимых выборок, такой подход дает всегда «лучший» результат, так как критерий становится более чувствительным.
Теоретические предположения ^-критерия для независимых выборок также применимы к критерию зависимых выборок. Это означает, что парные разности должны быть нормально распределены. Если это не выполняется, то можно воспользоваться одним из альтернативных непараметрических критериев (см. главу Непараметрическая статистика).
В системе STATISTICA ^-критерий для зависимых выборок может быть вычислен для списков переменных и просмотрен далее как матрица. Пропущенные данные при этом обрабатываются либо попарным, либо построчным способом.
При этом возможно возникновение «чисто случайно» значимых результатов. Если вы имеете много независимых экспериментов, то «чисто случайно» можете найти один или несколько экспериментов, результаты которых значимы.
Как уже говорилось, сравнение средних в более чем двух группах проводится с помощью дисперсионного анализа (английское сокращение - ANOVA).
Если имеется более двух «зависимых выборок» (например, до лечения, после лечения-1 и послелечения-2), то можно использовать дисперсионный анализ с повторными измерениями. Повторные измерения в дисперсионном анализе можно рассматривать как обобщение f-критерия для зависимых выборок, позволяющее увеличить чувствительность анализа.
Например, дисперсионный анализ позволяет одновременно контролировать не только базовый уровень зависимой переменной, но и другие факторы и включать в план эксперимента более одной зависимой переменной.
Интересен следующий прием объединения результатов нескольких t-критери-ев. Этот прием можно использовать также для объединения результатов других критериев (см.: Справочник по прикладной статистике/Под редакцией Э. Ллойда и У. Ледермана, т. 1. М.: Финансы и статистика, 1989. С. 274). Для нас этот пример также интересен тем, что мы можем продемонстрировать новые возможности STATISTICA.
Пример 1
Предположим, используя независимые эксперименты, вы получили уровни значимости а(1), а(2) ... а(m). Предположим, эти уровни недостаточно убедительны. Если уровни значимости неубедительны, то, возможно, имеет смысл объединить данные и рассмотреть их как результат одного целого эксперимента.
При нулевой гипотезе уровни значимости, рассматриваемые как случайные величины, имеют равномерное распределение. Следовательно, величина
L = -2× (Ln(a(l)) + Ln(a(2)) + ... + Ln(a(m))
имеет хи-квадрат распределение с числом степеней свободы 2m.
Например, если в испытаниях на прочность бетона были получены недостаточно убедительные уровни 0,047, 0,054, 0,042, то уровень значимости объединенного эксперимента равен 0,005547 и гипотеза о неэффективности добавки явно отвергается.
Для того чтобы понять это, воспользуемся средствами системы STATISTICA. Сначала вычислим величину L, например, задав формулу в электронной таблице.
Создайте файл и в первой строке введите запись:
Переменная var7 содержит значение L, вычисленное по формуле.
Затем откройте вероятностный калькулятор системы STATISTICA, выберите в нем распределение хи-квадрат, введите число степеней свободы б, а в поле хи-квадрат введите величину 18,29.
В результате в поле р мы получили 0,005547.
Таким образом, получен объединенный уровень значимости трех t-критериев (сравните с результатами, приведенными в Справочнике по прикладной статистике, под редакцией Э. Ллойда и У. Ледермана, т. 1. М.: Финансы и статистика, 1989. С. 275). Это явно высокий уровень значимости, поэтому нулевая гипотеза отвергается.
Пример 2
Здесь мы будем работать с файлом intemet2000.sta. Можно также использовать файл ad.study.sta из папки Examples.
В файле intemet2000.sta собраны результаты опроса нескольких пользователей относительно их восприятия сайтов ENNUI и POURRITURE.
Такого рода данные несложно получить с помощью Интернет. Вы можете, например, вывесить на сайт анкету, которая будет заполняться посетителями.
В этом модельном примере пользователи оценивали сайты в разных шкалах (полнота, технологичность решения, информативность, дизайн и др.) В каждой из шкал респонденты давали оценку сайту по десятибалльной шкале, от 0 до 9 баллов.
Интересен вопрос: различается восприятие сайтов мужчинами и женщинами?
Мужчины могут в некоторых шкалах давать более высокие или низкие оценки по сравнению с женщинами.
Для решения этой задачи можно использовать t-критерий для независимых выборок. Группирующая переменная пол разбивает данные на две группы. Выборки мужчин и женщин будут сравнены относительно среднего их оценок по каждой шкале. Вернитесь к стартовой панели и щелкните на процедуре t-критерий для независимых выборок, чтобы открыть диалоговое окно Т-критерий для независимых выборок (групп).
Щелкните по кнопке Переменные , чтобы открыть стандартное диалоговое окно для выбора переменных. Здесь вы можете выбрать и независимые (группирующие), и зависимые переменные.
Для нашего примера выберите переменную GENDER как независимую переменную и переменные от 3 до 25 (содержащие ответы) в качестве зависимых переменных.
Щелкните ОК в этом диалоговом окне, чтобы вернуться в диалоговое окно , где отобразится ваш выбор.
Из диалогового окна Т-критерий для независимых выборок (групп) доступно также много других процедур.
Щелкните ОК для вывода таблицы результатов.
Самым быстрым способом изучения таблицы является просмотр пятого столбца (со держащего р-уровни) и определение того, какие из р-значений меньше установленного уровня значимости 0,05.
Для большинства зависимых переменных средние по двум группам (МУЖЧИНЫ - MALES и ЖЕНЩИНЫ - FEMALES) очень близки.
Единственная переменная, для которой f-критерий соответствует установленному уровню значимости 0,05, - это Measur 7, для нее р-уровенъ равен 0,0087. Как показывают столбцы, содержащие средние значения (см. две первые колонки), для мужчин эта переменная принимает в среднем существенно большие значения - в выбранной шкале измерений для мужчин она равна 5,46, а для женщин - 3,63. При этом нельзя исключить вероятность того, что пол ученная разница на самом деле отсутствует и получилась лишь в результате случайного совпадения (см. ниже), хотя это выглядит маловероятным.
Графиком по умолчанию для этих таблиц результатов является диаграмма размаха. Для построения этой диаграммы щелкните правой кнопкой мыши в любом месте строки, соответствующей зависимой переменной (например, на среднем для Measur 7).
В открывшемся контекстном меню выберите построение графика Диаграмма размаха из подменю Быстрые статистические графики . Далее выберите опцию Среднее/ст.ош./ст.откл . окна. Диаграмма размаха и нажмите OK для построения графика.
Разность средних на графике выглядит более значительной и не может быть объяснена только на основании изменчивости исходных данных.
Однако на графике заметно еще одно неожиданное отличие. Дисперсия для группы женщин намного больше дисперсии для группы мужчин (посмотрите на прямоугольники, которые изображают стандартные отклонения, равные корню квадратному из вариации).
Если дисперсии в двух группах существенно отличаются, то нарушается одно из требований для использования г-критерия, и разность средних должна рассматриваться особенно внимательно.
Кроме того, дисперсия обычно коррелирована со средним значением, то есть чем больше среднее, тем больше дисперсия.
Однако в данном случае наблюдается нечто противоположное. В такой ситуации опытный исследователь предположил бы, что распределение переменной Measur 7, возможно, не является нормальным (для мужчин, женщин или для тех и других).
Поэтому рассмотрим критерий разности дисперсий для того, чтобы проверить, является ли наблюдаемое на графике отличие действительно заслуживающим внимания.
Вернемся к таблице результатов и прокрутим ее вправо, увидим результаты F-критерия. Значение F-критерия действительно соответствует указанному уровню значимости 0,05, что означает существенную разность дисперсий переменной Measur 7 в группах МУЖЧИНЫ - MALES и ЖЕНЩИНЫ - FEMALES.
Однако значимость наблюдаемой разности дисперсий близка к граничному уровню значимости (ее р-уровенъ равен 0,029).
Большинство исследователей посчитало бы один этот факт недостаточным для признания недействительным t-критерия разности средних, дающего высокий уровень значимости для этой разности (р - 0,0087).
Множественные сравнения
При проведении сравнений средних в трех и более группах можно использовать процедуры множественных сравнений. Сам термин множественные сравнения означает просто многократные сравнения.
Проблема состоит в следующем: мы имеем n > 2 независимых групп данных и хотим разумным образом сравнить их средние. Предположим, мы применили F-критерий и отклонили гипотезу: «средние всех групп равны». Наше естественное желание - найти однородные группы, средние которых равны между собой.
Конечно, мы можем сравнить группы с помощью t-критерия и найти путем многократных сравнений однородные группы. Но, оказывается, трудно вычислить ошибку выполненной процедуры или, как говорят, составного критерия, отправляясь от заданного уровня значимости каждого t-критерия.
Тонкость состоит в том, что сравнивая с помощью t-критерия много групп, вы чисто случайно можете обнаружить эффект. Представьте, что в 1000 клиник вы провели испытание нового лекарства, сравнивая в каждой клинике группу больных, принимающих препарат, с группой больных, принимающих плацебо. Конечно, чисто случайно может найтись клиника, где вы найдете эффект. Однако с высокой степенью вероятности, это может быть арт-эффект.
Чтобы обезопасить себя от подобного рода случайностей, используются специальные критерии для множественных или многократных сравнений.
В системе STATISTICA процедуры множественного сравнения реализованы в модуле Основные статистики и таблицы в диалоге
Описание процедур множественного сравнения можно найти, например, в книге: Кендаял М. Дж. и Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973. С. 71-79.
Заметим, что самые общие методы сравнения нескольких групп реализованы в модуле Общий дисперсионный анализ.
Однофакторный дисперсионный анализ можно провести в модулеОсновные статистики и таблицы.
Однофакторный дисперсионный анализ и апостериорные сравнения средних
Итак, если вы хотите продвинуться в исследовании различий нескольких групп, то дальнейший анализ следует вести в диалоге группировка и однофакторный дисперсионный анализ (ANOVA). Мы работаем с данными, которые находятся в файле adstudy.sta (папка Examples).
Сделайте вслед за нами следующие установки.
Вначале стандартным образом выберите группирующие и зависимые переменные в файле данных.
Затем выберите коды для группирующих переменных. С помощью этих кодов наблюдения в файле разбиваются на несколько групп, сравнение которых мы будем проводить.
После того как выбраны переменные для анализа и определены коды группирующих переменных, нажмите кнопку ОК и запустите вычислительную процедуру.
В появившемся окне вы можете всесторонне просмотреть результаты анализа.
Посмотрите внимательно на диалоговое окно. Результаты можно отобразить в виде таблиц и графиков. Например, можно проверить значимость различий в средних с помощью процедуры Дисперсионный анализ.
Щелкните на кнопкеДисперсионный анализ , и вы увидите результаты однофакторного дисперсионного анализа для каждой зависимой переменной.
Заметьте, что в таблице дисперсионного анализа мы имеем уже дело с F-критперием.
Как следует из результатов, для переменных Measur 5, Measur 7 и Measur 9 процедура однофакторного Дисперсионного анализа дала статистически значимые результаты на уровне р<0,05.
Эти результаты показывают, что различие средних значимо. Итак, с помощью F-критерия (этот критерий обобщает t-критерий на число групп больше двух) мы отвергаем гипотезу об однородности сравниваемых групп.
Возвратитесь в диалоговое окно результатов и нажмите кнопку Апостериорные сравнения средних для того, чтобы оценить значимость различий между средними конкретных групп. Прежде всего нужно выбрать зависимую переменную. В данном примере выберем переменную Measur 7.
После того как вы нажмете ОК в окне выбора переменной, на экране появится диалоговое окно Апостериорные сравнения средних.
В этом окне можно выбрать несколько апостериорных критериев.
Выберем, например, Критерий наименьшей значимой разности (НЗР).
Критерий НЗР эквивалентен t-критерию для независимых выборок, основанному на N сравниваемых группах.
t-критерий для независимых выборок показывает (проверьте на STATISTIC А!), что имеется значимое различие между ответами МУЖЧИН - MALES и ответами ЖЕНЩИН - FEMALES для переменной Measur 7.
Используя процедуруГруппировка и однофакторная ANOVA, мы видим (см. таблицу результатов), что значимое различие средних имеется только для лиц, выбравших СОКЕ.
Графическое представление результатов . Различия средних можно увидеть на графиках, доступных в диалоговом окне Внутригрупповые описательные статистики и корреляции - Результаты.
Например, для того чтобы сравнить распределения выбранных переменных внутри групп, щелкните по кнопке Категоризованные диаграммы размаха и выберите опцию Медиана/кварт./размах из диалогового окна Диаграмма размаха.
После того как вы нажмете OK , STATISTICA построит каскад диаграмм размаха.
Из графика видно, -что между группой FEMALE - СОКЕ и группой MALE - СОКЕ имеется явное различие.
Такого рода анализ с последовательно усложняющейся группировкой и сравнением средних в получающихся группах, особенно часто применяемый в массовых обследованиях, может быть с успехом выполнен в STATISTICA.
Однако, круговая диаграмма не всегда обеспечивает необходимую наглядность представления информации. Во-первых, на одном круге может оказаться слишком много секторов. Во-вторых, все сектора могут быть примерно одинакового размера. Вместе эти две причины делают круговую диаграмму малополезной.
2.Столбчатая диаграмма (гистограмма)- Служит для сравнения нескольких величин в нескольких точках.
Столбчатые диаграммы (как и следует из названия) состоят из столбиков. Высота столбика определяется значениями сравниваемых величин . Каждый столбик привязан к опорной точке .
3.Линейная диаграмма (график)- Служит для того, чтобы проследить за изменениями нескольких величин при переходе от одной точки к другой.
Построение линейной диаграммы аналогично построению столбчатой. Но вместо столбиков просто отмечается их высота (точками, черточками, крестиками) и полученные отметки соединяются прямыми линиями. Вместо разной штриховки (закраски столбиков) используются разные отметки (ромбики, треугольники, крестики и т.д.), разная толщина и тип линий (сплошная, пунктирная и пр.), разный цвет.
4. Ярусная диаграмма (гистограмма с накоплением)- Позволяет наглядно сравнить суммы нескольких величин в нескольких точках, и при этом показать вклад каждой величины в общую сумму.
Порядок построения ярусной диаграммы очень напоминает порядок построения диаграммы столбчатой. Разница в том, что столбики в ярусной диаграмме ставятся не рядом друг с другом, а один на другой. Соответственно меняются правила расчета вертикального и горизонтального размера диаграммы.
5. Областная диаграмма (диаграмма площадей)- Гибрид ярусной диаграммы с линейной позволяет одновременно проследить изменение каждой из нескольких величин и изменение их суммы в нескольких точках.
Отдельные столбики сливаются, образуя непрерывные области. Отсюда и название – диаграмма областей или диаграмма площадей. Каждая область соответствует какой-то одной величине, для указания на которую используется различная штриховка (раскраска). Раньше ярусами располагались столбики, теперь – линии (и очерченные ими площади).
Форматирование ячеек. Формат чисел в Microsoft Excel.
Форматирование в Excel применяется для облегчения восприятия данных, что играет немаловажную роль в производительности труда.
Для того чтобы назначить формат нужно выполнить следующее:
2. Выберать команду "Формат"-"Ячейки" (Ctrl+1).
3. В появившемся окне диалога ввести нужные параметры форматирования.
4. Нажать кнопку "Ок".
Форматированная ячейка сохраняет свой формат, пока к ней не будет применен новый формат или не удален старый. При вводе значения в ячейку к нему применяется уже используемый в ячейке формат.
Для того чтобы удалить формат нужно выполнить следующее:
1. Выделить ячейку (диапазон ячеек).
2. Выберать команду "Правка"-"Очистить"-"Форматы".
3. Для удаления значений в ячейках надо выбрать команду "Все" подменю "Очистить".
Следует учитывать, что при копировании ячейки наряду с ее содержимым копируется и формат ячейки. Таким образом, можно сберечь время, форматируя исходную ячейку до использования команд копирования и вставки
Форматирование можно также производить с помощью панелей инструментов. Наиболее часто используемые команды форматирования вынесены на панель инструментов "Форматирование". Чтобы применить формат с помощью кнопки панели инструментов, выделите ячейку или диапазон ячеек и затем нажмите кнопку мышью. Для удаления формата надо нажать кнопку повторно .
Для быстрого копирования форматов из выделенных ячеек в другие ячейки можно использовать кнопку "Формат по образцу" панели "Форматирование"
Форматирование можно применять к отдельным символам текстового значения в ячейке так же, как и ко всей ячейке. Для этого необходимо выделить нужные символы и затем в меню "Формат" выберать команду "Ячейки". Далее установить нужные атрибуты и нажать кнопку "Ок". Нажать клавишу Enter, чтобы увидеть результаты своего труда.
Настройка формата чисел в Excel
Так как программа Excel предназначена для обработки чисел, важную роль играет правильная настройка их формата. Для человека число 10 - это просто единица и ноль. С точки зрения Excel эти две цифры могут нести совершенно разную информацию в зависимости от того, обозначают ли они количество работников компании, денежную величину, процентную часть целого или фрагмент заголовка «10 ведущих фирм». Во всех четырех ситуациях это число должно отображаться и обрабатываться по-разному. Excel поддерживает следующие форматы данных:
* Общий - текст и числовые значения произвольного типа; * Числовой - наиболее общий способ представления чисел; * Денежный - денежные величины; * Финансовый - денежные величины с выравниванием по разделителю целой и дробной частей; * Дата - дата или дата и время; * Время - время или дата и время; * Процентный - значение ячейки, умноженное на 100 с символом «%» в конце; * Дробный - рациональные дроби с числителем и знаменателем; * Экспоненциальный - десятичные дробные числа; * Текстовый - текстовые данные отображаются точно так же, как вводятся и обрабатываются строки, вне зависимости от их содержимого; * Дополнительный - форматы для работы с базами данных и списками адресов; * Заказной - формат, настраиваемый пользователем.
Наиболее распространенные варианты формата данных можно назначать с помощью панели инструментов Форматирование.
1. Щелкните на ячейке С4, а затем на кнопке Процентный формат . Величина клетки С4 будет умножена на 100, и к ней добавится знак «%».
Рис. 9.14. Вкладка выбора формата данных
2. Нажмите клавишу вниз и щелкните на кнопке Денежный формат .
3. Щелкните на ячейке Сб, а затем на кнопке Формат с разделителями . Эта кнопка заставляет числа выравниваться в столбце по разделителю целой и дробной частей.
4. Выделите ячейку С7 и щелкните на кнопке Увеличить разрядность . Эта кнопка не изменяет основной формат, но добавляет один знак в дробной части числа.
5. Нажмите клавишу Enter и щелкните на кнопке Уменьшить разрядность . Эта операция убирает один знак дробной части и округляет число. Теперь ячейки с С4 по С9 выглядят совершенно по-разному, хотя исходно в них были введены совершенно одинаковые числа. Другие форматы назначаются с помощью следующих действий.
6. Щелкните на ячейке С10 и выберите команду Формат > Ячейки .
7. В открывшемся окне диалога раскройте вкладку Число (рис. 9.14).
8. В списке Числовые форматы щелкните на пункте Дата .
9. В появившемся списке Тип щелкните на строке 14 мар 01 (14-Mar-01). Затем щелкните на кнопке ОК .
Рис. 9.15. Различные форматы чисел
10. Аналогичным образом назначьте ячейке С11 формат Экспоненциальный, а ячейке С12 - формат Числовой. Теперь таблица будет выглядеть так (рис. 9.15). Обратите внимание, что среднее значение таблицы не изменилось, то есть при смене формата изменяется только способ отображения, а сами числовые значения остаются неизменными. Для проверки этого факта выполните следующие шаги.
11. Дважды щелкните на ячейке С11 и измените величину 03.01.1900 на 03.02.1900.
12. Нажмите клавишу Enter. Среднее значение таблицы (которое выводится в денежном формате) моментально изменится на 15.41р. Как войдите, можно суммировать даты с процентами и в результате получать рубли. Это типичный пример неверного назначения форматов данных.
Защита листа. Защита ячеек в Microsoft Excel.
Автоформаты и стили в Microsoft Excel.
Использование условного форматирования в Microsoft Excel.
Создание списка и формы данных в Microsoft Excel. Требования к оформлению списка.
Сортировка и фильтрация данных в Microsoft Excel (автофильтр, расширенный фильтр).
Группирование и структуирование данных в Microsoft Excel.
Автоматические итоги: создание итоговой таблицы, отражение на экране итогов в разрезе одной или нескольких групп записей.
Создание сводной таблицы в Microsoft Excel.(в тетради)
Связывание и консолидация данных. (в тетради)
Понятия теории баз данных. Принципы организации данных.
Иерархическая и сетевая модели организации данных.
Реляционная модель организации данных. Нормальные формы.
Понятия систем управления БД (СУБД) и их назначение.
Профессиональные системы управления базами данных (СУБД).
Назначение, порядок работы, создание баз данных СУБД MS Access.
Таблицы БД MS Access: назначение, структура, варианты создания.
Типы данных и свойства полей СУБД MS Access.
Понятие домена, атрибута, ключа реляционной базы данных.
Создание структуры связей между таблицами БД.
Виды отношений и ограничения в СУБД MS Access.
Понятия, назначение и свойства форм.
Варианты создания форм. Использование мастера форм.
Работа с конструктором форм. Разделы формы.
Использование выражений и вычисляемых полей.
Типы элементов управления формами.
Назначение, виды и варианты создания запросов.
Порядок работы с конструктором запросов.
Фильтрация и сортировка данных в запросах.
Использование операторов и условий в запросах.
Создание вычисляемых полей, объединений в запросах.
Порядок работы с многотабличными запросами.
Итоговые запросы. Групповые операции в MS Access.
Изменение информации при помощи модифицирующих запросов.
Назначение и способы создания отчетов MS Access.
Использование мастера для создания отчета.
Работа с конструктором отчетов.
Группировка данных и промежуточные результаты в отчетах.
Макросы в Access и их конструирование.
Защита информации в базах данных.
Классификация компьютерных сетей. Понятие сервера, рабочих станций.
Программное обеспечение для работы в локальных сетях и в Интернете.
Обмен данными в сетях, протоколы. Сетевое оборудование. Связи между сетями. Беспроводные сети.
Интернет, структура сети, основные понятия. Сервисы Интернета.
Принципы информационного поиска.
Индексирование и механизм поиска.
Схема информационно-поисковой системы. Стратегии поиска. Интерфейс.
Антивирусные программы и их классификация.
Основы защиты информации и сведений, составляющих государственную тайну.
Способы защиты программ и данных.
Аппаратное обеспечение средств защиты.
Сравнение является универсальным методом познания, и оно используется в экономическом анализе очень часто, как в качестве самостоятельного приема, так и в составе других методов.
Сравнение - это сопоставление изучаемого объекта с уже изученным для нахождения черт сходства либо различий между ними. С помощью сравнения выявляется общее и особенное в экономических явлениях, устанавливаются отличия или изменения в уровне и состоянии исследуемых объектов, изучаются тенденции и закономерности их развития.
С помощью сравнения решаются следующие основные задачи:
Выявление причинно-следственных связей между явлениями;
Проведение доказательств или опровержений;
Классификация и систематизация явлений.
В анализе чаще всего используются следующие разновидности сравнений:
1. Сравнение фактических значений показателей отчетного периода (отчетной даты) с данными прошлых периодов (предыдущих дат). Это дает возможность оценить направление и скорость изменения изучаемых показателей и определить тенденции и закономерности развития экономических процессов. Этот тип сравнений называют временным сравнительным анализом .
2. Сопоставление фактического уровня показателей с плановым . Такое сравнение необходимо для оценки степени выполнения плана, выявления неиспользованных резервов.
3. Сравнение фактических значений показателей с утвержденными нормами и нормативами . Такое сравнение, широко используемое в практике аналитической работы, необходимо для контроля соблюдения установленных нормативов, выявления экономии или перерасхода ресурсов, для оценки степени эффективности их использования и для определения утерянных возможностей.
4. Сравнение уровня показателей изучаемого объекта со значениями показателей других объектов . Например, уровень рентабельности анализируемой фирмы можно сравнить с уровнем рентабельности фирмы-конкурента или с уровнем рентабельности лучшей в данной сфере деятельности фирмы. Сравнения этого типа позволяют выявлять и перенимать положительный опыт; они используются в конкурентной борьбе. Сравнение разных объектов называется пространственным (или межхозяйственным ) сравнительным анализом .
5. Сравнение показателей исследуемой организации со среднеотраслевыми данными . Такое сравнение используется для более полной и объективной оценки уровня развития организации, изучения общих и специфических факторов, определяющих результаты ее хозяйственной деятельности.
6. Сравнение параллельных и динамических рядов показателей. Сравнение этого типа используется в экономическом анализе для определения формы и направления связи между разными показателями. С этой целью значения одного из показателей необходимо расположить в возрастающем или убывающем порядке и посмотреть, как в связи с этим изменяются другие исследуемые показатели: возрастают они или убывают и в какой степени.
7. Сравнение разных вариантов планов, проектов, управленческих решений для выбора оптимального варианта.
8. Сравнение значений показателей до и после реализации плана , проекта, управленческого решения для оценки их качества.
Описанные в предыдущей главе горизонтальный, вертикальный и трендовый анализ также являются по своей сути сравнениями. Горизонтальный и трендовый анализ - это временной сравнительный анализ, а вертикальный анализ - это сравнение части и целого, сравнение отдельных частных показателей с итоговым с целью выявления вклада этих показателей в общий итог.
Сравнение двух и более значений одного и того же показателя называется одномерным . Таковым является, например, сравнение курса ценной бумаги на разные даты. При наличии шкалы такое сравнение не вызывает затруднений: все сравниваемые значения можно проранжировать в порядке возрастания, определить лучшее и худшее значения и т. д.
Сравнение двух и более значений двух и большего количества показателей называется многомерным . По результатам такого сравнения бывает трудно сделать однозначный вывод. Например, необходимо сравнить два предприятия и выявить, какое из них лучше, по двум показателям: по рентабельности и по производительности труда. Если рентабельность выше у первого предприятия, а производительность труда лучше на втором, непонятно, как же определить лучшее из них.
Чтобы избежать неоднозначности выводов, многомерное сравнение нужно свести к одномерному. Для этого используются специальные методы, называемые методами расчета комплексной оценки . Суть этих методов - в замене нескольких показателей, по которым проводится сравнение, одним показателем (комплексной оценкой).
Коэффициентный метод (метод расчета относительных величин)
В экономическом анализе очень широко применяется так называемый коэффициентный метод. Коэффициент - это относительный показатель, безразмерная величина, он является результатом деления одного абсолютного показателя на другой. Абсолютные показатели в экономике чаще всего являются результатом учета (бухгалтерского, статистического и т. д.). Путем деления одного абсолютного показателя на другой можно сопоставить их величины, определить долю одного показателя в другом, определить расход ресурса на каждую единицу получаемого экономического результата и т. д.
Название «коэффициентный метод» не совсем точное, так как на самом деле в его рамках рассчитываются не только коэффициенты , но и другие относительные величины: процентные соотношения , индексы и такие размерные величины , как фондоотдача, производительность труда и пр. Более точное название метода - «метод расчета относительных величин».
Выше перечислены разновидности относительных величин по форме . По содержанию различают относительные величины динамики, уровня выполнения плана, структуры, координации, интенсивности и эффективности .
Динамику, то есть изменение показателей во времени, характеризуют относительные величины динамики : индексы, темпы роста и прироста. Например, индекс инфляции характеризует уровень покупательной способности денег в один момент времени по отношению к другому. Методы расчета и использование показателей динамики подробно будут описаны ниже, в разделе о методах экономической статистики.
Относительная величина уровня выполнения плана рассчитывается как отношение фактического значения показателя к запланированному и, таким образом, характеризует уровень выполнения плана по какому-либо показателю (назовем его П). Как правило, такая величина выражается в процентах:
Относительные величины структуры используются, чтобы рассчитать вклад какого-либо частного показателя в общий итог, оценить значимость отдельных составляющих по отношению ко всему объекту. Например, коэффициент мобильности характеризует долю оборотных активов в общей сумме активов организации (которые, как известно, складываются из оборотных и внеоборотных активов):
Кроме долей, структуру можно характеризовать показателями удельного веса (они выражаются в процентах).
Относительные величины координации характеризуют соотношение между двумя частными показателями, входящими в общий итог. Они позволяют определить, во сколько раз один показатель больше или меньше другого, или установить равенство между ними. Например, коэффициент финансового риска представляет собой соотношение между величинами заемного и собственного капитала организации и характеризует, во сколько раз заемный капитал больше собственного:
Относительные величины интенсивности применяются, в основном, для макроэкономического анализа. Они характеризуют степень распространенности какого-либо явления или уровень развития какого-либо процесса. Это, например, такие показатели, как уровень смертности, безработицы или заболеваемости гриппом. Эти показатели рассчитываются в человеках на 1 тыс. населения.
Относительные величины эффективности наиболее востребованы в экономическом анализе. Они представляют собой отношение величины экономического эффекта к величине (или затратам) ресурса, который был использован для достижения эффекта:
Соответственно, их значение характеризует величину эффекта в пересчете на единицу ресурса. В качестве экономического эффекта может выступать сумма дохода, объем продукции, сумма прибыли и т. д. Наиболее известны такие показатели эффективности, как показатели рентабельности или показатели отдачи ресурсов (фондоотдача, материалоотдача и т. д.). Например, материалоотдача - это объем продукции, произведенной с каждой единицы затрат материальных ресурсов. Она рассчитывается следующим образом:
Расчет любой относительной величины - это, по сути, сравнение двух абсолютных величин. Таким образом, коэффициентный метод - это развитие метода сравнения.
Сначала рассмотрим задачу сравнения величины измеряемой в эксперименте, с константой а. Величину можно определить лишь приближенно, вычисляя среднее по измерениям. Надо узнать, выполняется ли соотношение . В этом случае ставят две задачи, прямую и обратную:
а) по известной величине найти константу а, которую превосходит с заданной вероятностью
б) найти вероятность того, что , где а - заданная константа.
Очевидно, если то вероятность того, что меньше 1/2. Этот случай не представляет интереса, и далее будем считать, что
Задача сводится к задачам, разобранным в п. 2. Пусть по измерениям определены X и его стандарт
Число измерений будем считать не очень малым, так что есть случайная величина с нормальным распределением. Тогда из критерия Стьюдента (9) при учете симметрии нормального распределения следует, что для произвольно выбранной вероятности выполняется условие
Полагая перепишем это выражение в следующем виде:
где - заданные в таблице 23 коэффициенты Стьюдента. Тем самым, прямая задача решена: найдена константа а, которую с вероятностью превышает
Обратная задача решается при помощи прямой. Перепишем формулы (23) следующим образом:
Это значит, что надо вычислить t по известным значениям а, выбрать в таблице 23 строку с данным - и найти по величине t соответствующее значение Оно определяет искомую вероятность
Две случайные величины. Часто требуется установить влияние некоторого фактора на исследуемую величину - например, увеличивает ли (и насколько) прочность металла определенная присадка. Для этого надо измерить прочность исходного металла и прочность легированного металла у и сравнить эти две величины, т. е. найти
Сравниваемые величины являются случайными; так, свойства металла определенной марки меняются от плавки к плавке, поскольку сырье и режим плавки не строго одинаковы. Обозначим эти величины через . Величина исследуемого эффекта равна и требуется определить, выполняется ли условие
Таким образом, задача свелась к сравнению случайной величины с константой а, разобранному выше. Прямая и обратная задачи сравнения в этом случае формулируются следующим образом:
а) по результатам измерений найти константу а, которую превосходит с заданной вероятностью (т. е. оценить величину исследуемого эффекта);
б) определить вероятность того, что где а - желательная величина эффекта; при это означает, чтонадо определить вероятность, с которой
Для решения этих задач надо вычислить z и дисперсию этой величины. Рассмотрим два способа их нахождения.
Независимые измерения. Измерим величину в экспериментах, а величину экспериментах, независимых от первых экспериментов. Вычислим средние значения по обычным формулам:
Эти средние сами являются случайными величинами, причем их стандарты (не путать со стандартами единичных измерений!) приближенно определяются несмещенными оценками:
Поскольку эксперименты независимы, то случайные величины х и у также независимы, так что при вычислении их математические ожидания вычитаются, а дисперсии складываются:
Несколько более точная оценка дисперсии такова:
Таким образом, и ее дисперсия найдены, и дальнейшие вычисления производятся по формулам (23) или (24).
Согласованные измерения. Более высокую точность дает другой способ обработки, когда в каждом из экспериментов одновременно измеряют . Например, после выпуска половины плавки в оставшийся в печи металл добавляют присадку, а затем сравнивают образцы металла из каждой половины плавки.
При этом, по существу, в каждом эксперименте измеряют сразу значение одной случайной величины , которую надо сравнить с константой а. Обработка измерений тогда производится по формулам (21)-(24), где вместо надо всюду подставить z.
Дисперсия при согласованных измерениях будет меньше, чем при независимых, поскольку она обусловлена только частью случайных факторов: те факторы, которые согласованно меняют , не влияют на разброс их разности. Поэтому такой способ позволяет получить более достоверные выводы.
Пример. Любопытной иллюстрацией сравнения величин является определение победителя в тех видах спорта, где судейство ведется «на глазок» - гимнастика, фигурное катание и т. д.
Таблица 24. Судейские оценки в баллах
В таблице 24 приведен протокол соревнований по выездке на Олимпийских играх 1972 г. Видно, что разброс судейских оценок велик, причем ни одну оценку нельзя признать грубо ошибочной и откинуть. На первый взгляд кажется, что достоверность определения победителя невелика.
Рассчитаем, насколько правильно определен победитель, т. е. какова вероятность события . Поскольку оценки обеим всадницам выставлялись одними и теми же судьями, можно воспользоваться способом согласованных измерений. По таблице 24 вычисляем подставляя в формулу (24) эти значения и получим .
Выбирая в таблице 23 строку находим, что этому значению t соответствует Отсюда т. е. с вероятностью 90% золотая медаль присуждена правильно.
Сравнение по способу независимых измерений даст несколько худшую оценку, поскольку оно не использует информацию о том, что оценки выставляли одни и те же судьи.
Сравнение дисперсий. Пусть требуется сравнить две методики эксперимента. Очевидно, точнее та методика, у которой дисперсия единичного измерения меньше (разумеется, если при этом не увеличивается систематическая ошибка). Значит, надо установить, выполняется ли неравенство .
