Одним из важнейших критериев производительности цифровых систем связи является зависимость вероятности появления ошибочного бита P b от отношения энергии сигнала, приходящейся на один бит, к спектральной плотности мощности аддитивного белого гауссовского шума E b /N 0 . При этом предполагается, что единственным источником искажений сигнала является тепловой шум (АБГШ). Удобство использования отношения E b /N 0 вместо отношения мощности сигнала к мощности шума S/N, как в аналоговых системах связи, состоит в том, что так удобнее сравнивать производительность цифровых систем на битовом уровне. Это важно для цифровых систем, поскольку сигнал может иметь произвольное n-битовое значение (один символ может кодировать n бит). Предположим, что для данной вероятности возникновения ошибки в цифровом двоичном сигнале требуемое отношение S/N = 20. Поскольку двоичный сигнал имеет однобитовое значение, требуемое отношение S/N на бит равно 20. Пусть теперь сигнал является 1024-уровневым с теми же 20 единицами требуемого отношения S/N. Теперь, поскольку сигнал имеет 10-битовое значение, требуемое отношение S/N на один бит равно 2. Параметр E b /N 0 характеризует отношение сигнал-шум, приходящееся на один бит.
Параметр Eb/N0 связан с параметром S/N следующим соотношением:
где T b - время передачи бита, N - мощность шума, R - скорость передачи битов, W - ширина полосы. Отношение R/W называется спектральной эффективностью системы или эффективностью использования полосы частот и выражается в бит/с/Гц. Это отношение показывает, насколько эффективно система использует полосу частот.
Графики вероятности битовой ошибки для различных бинарных систем показаны на рис. 4.
| Вид модуляции | Вероятность ошибки на бит P b или на символP S | Примечание |
| BASK | здесь и далее  - гауссов интеграл ошибок
| Для ортогональных сигналов: S 1 (t)=Acoswt, S 2 (t)=0 0£t£T |
| BPSK |  | Для антиподных сигналов: S 1 (t)=Acoswt, S 2 (t)= - Acoswt, 0£t£T |
| QPSK | | |
| Ортогональная BPSK (когерентное обнаружение) | | |
| Ортогональная BPSK (некогерентное обнаружение) |  | |
| DPSK (некогерентное обнаружение) | | |
| DPSK (когерентное обнаружение) |  | |
| MPSK |  | Для больших отношений E S /N 0 , E S =E b log 2 M – энергия, приходящаяся на символ, M=2 K – количество равновероятных символов |
| DMPSK (некогерентное обнаружение) |  | См. примечание для MPSK |
| Ортогональная MFSK (когерентное обнаружение) |  | E S =E b log 2 M – энергия, приходящаяся на символ, M=2 K – количество равновероятных символов |
| Ортогональная MFSK (некогерентное обнаружение) |   | См. примечание для MPSK с когерентным обнаружением |
| QAM |  | Для прямоугольной решетки; L – количество уровней амплитуды в одном измерении; используется код Грея |
Можно показать, что соотношение между вероятностью битовой ошибки и вероятностью символьной ошибки для ортогональных M-арных сигналов даётся выражением:
Аналогичное соотношение для многофазных сигналов MPSK при использовании кода Грея имеет вид:
Код Грея - это код преобразования бинарных символов в M-арные, такие, что двоичные последовательности, соответствующие соседним символам (сдвигам фаз), отличаются только одним битом. На рис. 5 обычная бинарная кодировка сравнивается с кодировкой Грея. При появлении ошибки в M-арном символе наиболее вероятными являются ближайшие соседние символы, отличающиеся от переданного лишь одним битом, если используется кодировка Грея. Таким образом, высока вероятность того, что при кодировании с помощью кода Грея в случае возникновения ошибки ошибочным будет только один из k = log 2 M переданных битов.
Рис. 4. Вероятность битовой ошибки для различных бинарных систем
Рис. 5. Обычная кодировка (а) и кодировка Грея (б)
На рис. 6 приведены графики вероятности битовой ошибки для ортогональной M-арной (M = 2k) передачи сигналов с модуляцией MFSK с когерентным обнаружением, а на рис. 7 - графики вероятности битовой ошибки для многофазной (MPSK) передачи с когерентным обнаружением.
Как видно из сравнения этих рисунков, при ортогональной передаче с ростом k происходит уменьшение вероятности битовой ошибки, а при многофазной − увеличение.
Рис. 6. Зависимость вероятности битовой ошибки от E b /N 0 для ортогональной M-арной передачи сигналов по каналу с гауссовым шумом с помощью модуляции MFSK при использовании когерентного обнаружения
Рис. 7. Зависимость вероятности битовой ошибки от E b /N 0 для многофазной M-арной передачи сигналов по каналу с гауссовым шумом с помощью модуляции MPSK при использовании когерентного обнаружения
Напомним из разд. 4.3, что цифровой сигнал ФМ можно выразить так:
и он имеет векторное представление
где - энергия каждого сигнала, a - огибающая импульса передаваемого сигнала. Поскольку сигналы имеют одинаковую энергию, оптимальный детектор в канале с АБГШ, определяемый (5.1.44), вычисляет корреляционные метрики
Другими словами, принимаемый сигнальный вектор проектируется на возможных сигнальных векторов, и решение принимается в пользу сигнала с наибольшей проекцией.
Корреляционный детектор, описанный выше, эквивалентен фазовому детектору, который определяет фазу принимаемого сигнала и выбирает сигнальный вектор , фаза которого ближе всего к фазе . Поскольку фаза равна
мы хотим определить ФПВ по которой сможем вычислить вероятность ошибки.
Рассмотрим случай, когда фаза передаваемого сигнала равна . Следовательно, вектор переданного сигнала
а вектор принимаемого сигнала имеет компоненты
Поскльку и
являются
совместно гауссовскими случайными величинами с нулевыми средними, следует, что и являются совместно
гауссовскими случайными величинами с 
и 
. Следовательно,
(5.2.53)
ФПФ фазы можно получить заменой переменных на
(5.2.54)
Это даёт совместную ФПВ
Интегрирование по области даёт
где для удобства мы обозначили ОСШ символом Рисунок 5.2.9 иллюстрирует различных значений параметра ОСШ , когда фаза переданного сигнала равна нулю. Заметим, что становится уже и более концентрированной около фазы по мере увеличения параметра ОСШ .
Когда передаётся , ошибочное решение произойдёт,
если шум вызовет нахождение фазы , вне области 
.
Рис. 5.2.9. Функция плотности вероятности
для 
Следовательно, вероятность ошибочного приёма символа
(5.2.56)
В общем, интегрирование не приводится к простой форме и следует выполнить численное интегрирование, исключая случаи и .
Для двоичной фазовой модуляции два сигнала и противоположны, и, следовательно, вероятность ошибки
(5.2.57)
Когда , имеем случай двух двоичных фазово-модулированных сигналов в квадратуре. Поскольку здесь нет переходных помех или интерференции между сигналами на двух квадратурных несущих, вероятность ошибки на бит идентична той, которая определяется (5.2.57). С другой стороны, вероятность ошибки на символ при определяется с учётом того, что
(5.2.58)
где - вероятность правильного приёма для двух битовых символов. Результат (5.2.58) следует из статистической независимости шума на квадратурных несущих. Следовательно, вероятность ошибки на символ для равна
(5.2.59)
Для вероятность
ошибки на символ получена
численным интегрированием (5.2.55). Рисунок 5.2.10 иллюстрирует эти вероятности
ошибки как функции ОСШ на бит для 
.
Рис. 5.2.10. Вероятность ошибки на символ для сигналов ФМ
Кривые явно иллюстрируют потери в ОСШ на бит по мере роста . Например, при разница в ОСШ между и приблизительно равна 4 дБ, а разница между и приблизительно равна 5 дБ. Для больших значений рост числа фаз вдвое требует дополнительного увеличения ОСШ на 6 дБ/бит для достижения того же качества.
Аппроксимация вероятности ошибки для больших значений и для
больших ОСШ можно получить по первой аппроксимации . Для и 
хорошо
аппроксимируется так:
(5.2.60)
Поставив (5.2.60) в (5.2.56) и выполнив замену переменной на 
, найдем
(5.2.61)
где 
.
Заметим, что эта аппроксимация вероятности ошибки хороша для всех значений . Например, когда и , мы имеем 
что хорошо
совпадает (за исключением множителя 2) с точным значением вероятности, данной
(5.2.57).
Эквивалентную вероятность ошибки на бит для позиционной ФМ скорее утомительно вычислить с учетом её зависимости от отображения битового блока в соответствующее значение фазы сигнала. Если для такого отображения используется код Грея, два битовых блока, соответствующие сигналам с соседними значениями фаз, отличаются только на один бит. Поскольку более вероятные ошибки, обусловленные действием шума, приводят к выбору сигнала с соседним значением фазы вместо верного выбора, большинство битовых блоков содержат ошибки только в одном бите. Следовательно, эквивалентная вероятность ошибки на бит для позиционной ФМ хорошо аппроксимируется выражением
Наша трактовка демодуляции сигналов ФМ предполагает, что демодулятор располагает совершенной оценкой фазы несущей. На практике, однако, фаза несущей определяется по принятому сигналу путем использования некоторых нелинейных операций, которые приводят к неоднозначности фазы. Для примера в двоичной ФМ сигнал часто подвергается квадратированию, чтобы снять модуляцию, затем образованный сигнал с удвоенной частотой фильтруется и делится по частоте на 2 для того, чтобы получить оценку частоты несущей и фазы . Эти операции приводят к неоднозначности фазы несущей на 180°. Аналогично в четырехфазовой ФМ принимаемый сигнал возводится в четвертую степень, чтобы снять цифровую модуляцию, а затем четвёртая гармоника частоты несущей фильтруется и делится на 4 для того, чтобы, выделить компоненту несущей. Эти операции приводят к компоненте частоты несущей, содержащей оценку фазы несущей , но возникают неоднозначности фазы на +90° и на 180° при оценке фазы. Следовательно, мы не имеем точную оценку фазы несущей в демодуляторе.
Проблема неоднозначности фазы, возникающей при оценке фазы несущей , может быть преодолена путём использования дифференциальной ФМ (ДФМ) вместо абсолютной ФМ. При дифференциальной ФМ кодирование информации осуществляется посредством разности фаз между соседними переданными сигналами, а не самой абсолютной фазы, как при обычной ФМ. Например, в двоичной ДФМ информационный символ 1 передаётся со сдвигом фазы несущей на 180° относительно предыдущего значения фазы несущей, в то время как информационный символ 0 передаётся без сдвига фазы. В четырёхфазной ДФМ относительный сдвиг фаз между соседними сигнальными интервалами равен 0, 90°, 180°, и -90° в зависимости от информационных символов 00, 01, 11 и 10 соответственно. Обобщение на случай очевидно. Сигналы ФМ, получаемые при таком процессе кодирования, называют дифференциально-кодированными. Такое кодирование выполняется относительно простой логической схемой, предшествующей модулятору.
Демодуляция сигнала при дифференциальном кодировании ФМ может выполняться, как описано выше, с игнорированием неоднозначности фазы. Так, принимаемый сигнал демодулируется и детектируется на каждом сигнальном интервале в одно из возможных значений фазы. За детектором имеется относительно простое устройство сравнения фаз, которое сравнивает фазы демодулированных сигналов на двух соседних сигнальных интервалах с тем, чтобы извлечь информацию.
Когерентная демодуляция для ФМ с дифференциальным кодированием приводит к большей вероятности ошибки, чем вероятность ошибки, достигаемая при абсолютном фазовом кодировании. При ФМ с дифференциальным кодированием ошибка при демодуляции фазы сигнала на данном интервале будет обычно возникать при ошибочном декодировании на любом из двух соседних сигнальных интервалов. Это особенно характерно для ошибок с вероятностью ниже 0,1. Следовательно, вероятность ошибки позиционной ФМ при дифференциальном кодировании приблизительно вдвое больше вероятности ошибки для позиционной ФМ с абсолютным кодированием фазы. Однако увеличение вероятности ошибки вдвое ведёт к относительно малым потерям в ОСШ.
8. Расчет вероятности ошибки НА выходе приемника и битовой вероятности ошибки на входе и выходе декодера КАНАЛА передачи данных и канала переспроса
8.1 Расчет вероятности ошибки на выходе приемника и битовой вероятности ошибки на входе и выходе декодера дискретного канала передачи данных
Важной мерой производительности, используемой для сравнения цифровых систем передачи, является вероятность ошибки на выходе приемника Р о, а также битовая вероятность ошибки на входе Р b и выходе декодера Р b вых.
Рассмотрим вероятность ошибки на выходе приемника Р о для когерентной фазовой манипуляции:
где 
; 
; Ф() – функция Крампа, тогда
Битовая вероятность ошибки на входе декодера Р b рассматриваемой СПДИ определяется формулой:
(8.2)
где Q() – Гауссов интеграл ошибок; Е b /Р 0 –отношение энергии одного бита сигнала к спектральной плотности мощности помехи на входе приемника, причем
Таким образом:
Битовая вероятность ошибки на выходе декодера Р b вых рассматриваемой СПДИ определяется из соотношения:
, иными словами, для бинарных (М=2) ортогональных когерентных СПДИ существует равенство
Р b =Р b вых (8.3)
Таким образом:
Р b =Р b вых =0.2
8.2 Расчет вероятности ошибки на выходе приемника и битовой вероятности ошибки на входе и выходе декодера канала переспроса
Учитывая степень когерентности СПДИ определим вероятность ошибки на выходе приемника канала переспроса Р окп, а также битовую вероятность ошибки на входе Р b кп и выходе Р b выхкп декодера канала переспроса.
Рассмотрим вероятность ошибки на выходе приемника Р окп для когерентной фазовой манипуляции:
(8.4)
где 
; Ф() – функция Крампа, тогда
Битовая вероятность ошибки на входе декодера канала переспроса Р b кп рассматриваемой СПДИ определяется формулой:
(8.5)
где Q() – Гауссов интеграл ошибок; Е b кп /Р 0кп –отношение энергии одного бита сигнала переспроса к спектральной плотности мощности помехи на входе приемника канала переспроса.
Так 
- энергия одного бита сигнала переспроса, – суммарная средняя мощность сигналов переспроса на входе приемника обратного канала (по условию задачи);
пропускная способность канала переспроса в заданном режиме работы (причем , т.к. канал переспроса и прямой канал ТЧ имеют одинаковые параметры).
Рассчитаем :
По условию задачи.
Таким образом:
Битовая вероятность ошибки на выходе декодера Рb выхКП канала переспроса рассматриваемой СПДИ определяется из соотношения:
,
иными словами, для бинарных (М=2) ортогональных когерентных СПДИ существует равенство Рb кп =Рb выхКП.
Таким образом:
Р b =Р b выхКП =0.2
Исходя из полученных значений и ; и ; Р b вых =0.2 и Р b выхКП =0.2 можно сделать вывод, что для прямого канала связи и обратного канала переспроса СПДИ вероятности ошибки на выходе приемника и битовые вероятности ошибки на входе/выходе декодеров приблизительно равны по значению. Это можно обусловить тем, что параметры рассмотренных каналов данных обладают примерно одинаковыми значениями.
9. Способы сопряжения разрабатываемой СПДИ сО стандартной аппаратурой частотного уплотнения
Для сопряжения разрабатываемой СПДИ с аналоговой аппаратурой частотного уплотнения/разуплотнения (ЧУ-РК) необходимо, как уже упоминалось, добиться выполнения условия и
, а также электрические параметры СПДИ удовлетворяли требованиям, предъявляемым аппаратурой ЧУ-РК.
В нашем случае СПДИ играет роль источника/потребителя сигнала и вырабатывает групповой сигнал с параметрами и Iс, а аппаратура ЧУ-РК играет роль каналообразующей аппаратуры и обеспечивает и Ск (т.е. стандартный аналоговый канал связи).
Расчеты показали, что для разрабатываемой СПДИ в качестве среды передачи группового сигнала стандартный канал тональной частоты (КТЧ) полностью удовлетворяет указанным условиям. Поэтому для сопряжения СПДИ с аппаратурой ЧУ-РК не имеет значения какого типа будет эта аппаратура, важным является возможность сопряжения электрических параметров СПДИ и образовываемого КТЧ аппаратурой ЧУ-РК.
Исходя из вышесказанного, необходимо обеспечить:
Равенство выходного сопротивления СПДИ и входного сопротивления аппаратуры ЧУ-РК;
Равенство уровней передачи и приема СПДИ и ЧУ-РК;
Равенство диапазонов частот сигналов СПДИ и трактов ЧУ-РК.
В противном случае сопряжение СПДИ и аппаратуры ЧУ-РК провести не удастся.
10. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СХЕМА ПЕРЕДАЮЩЕГО И ПРИЕМНОГО ОБОРУДОВАНИЯ СПДИ
Функциональная схема передающего тракта СПДИ будет иметь вид:
Рис. 10.1 Функциональная схема передающего тракта СПДИ будет иметь вид.
Функциональная схема приемного тракта СПДИ будет иметь вид:
Рис. 10.2 Функциональная схема приемного тракта СПДИ будет иметь вид:
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе была рассчитана система передачи дискретной информации с заданными параметрами.
Учитывая исходные данные и результаты проведенных расчетов, была обоснована сфера применения разрабатываемой СПДИ
На основании расчета информационных параметров системы был сделан вывод, что стандартный аналоговый канал тональной частоты пригоден для использования в качестве среды распространения группового дискретного сигнала СПДИ. Более того, излишнюю пропускную способность канала было предложено использовать для искусственного введения информационной избыточности, путем добавления проверочных битов.
Рассмотрен вариант применения помехоустойчивого кодирования кодами Хэмминга, исходя из чего, было доказано, что помехоустойчивое кодирование повышает наряду с помехоустойчивостью и информационную производительность системы. Разработана схема канального (помехоустойчивого) кодера и декодара заданной структуры.
Рассчитаны временные характеристики группового сигнала СПДИ, а также параметры сигналов синхронизации системы.
Произведен расчет и обоснование эффективности применения канала обратной связи в системе с целью повышения достоверности передаваемых сообщений.
Рассмотрен вопрос выбора схемы приемника в соответствии с заданной системой широкополосной модуляции, сделан вывод о ее эффективности.
Проведены расчеты показателей помехоустойчивости системы, т.е. определены такие параметры как битовая вероятность ошибки приема сообщения. Было доказано, что данная СПДИ обладает достаточно низкой помехоустойчивостью.
Обоснованы способы и параметры сопряжения разрабатываемой СПДИ и аналоговой аппаратуры ЧР-УК. Расчеты показали, что СПДИ может работать с любым типом аппаратуры ЧР-УК, принимающей дискретные сигналы ФМн.
В результате проделанной работы на основании исходных данных и проведенных расчетов была сформирована функциональная схема многоканальной когерентной системы передачи дискретной информации.
Список использованной литературы
1. Зюко А.Г. Помехоустойчивость и эффективность систем связи. М.:
Связь, 1985г.
2. Кириллов В.И. Многоканальные системы передачи. Минск. Новое издание, 2003г.
3. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. Москва. Вильямс, 2003г.
4. Курулев А.П., Батура М.П. Теория электрических цепей. Установившиеся процессы в линейных электрических цепях. Минск. Бестпринт, 2001г.
5. Татур Т.А., Татур В.Е. Установившиеся и переходные процессы в электрических цепях. Москва. Высшая школа, 2001г.
1.5 Уровни помех и линейных затуханий 1.5.1 Электрические помехи в каналах ВЧ связи по ВЛ Электрические помехи имеются в любом канале связи. Они являются основным фактором, ограничивающим дальность передачи информации из-за того, что сигналы, принимаемые приемником, искажаются помехами. Для того чтобы искажения не выходили за пределы, допустимые для данного вида информации, должно быть...
Если передается символ d единичной амплитуды, то выходной сигнал x согласованного фильтра можно записать вместо (1.3.1) в виде
где E s – энергия импульса, h – канальный коэффициент, z – шум приемника. При этом предполагается, что дисперсия коэффициента h равна единице (<|h | 2 >=1), а средняя мощность шума .
Из (2.4.1) получим, что мгновенное ОСШ равно
где - среднее ОСШ на символ.
В многолучевом канале амплитуда |h | коэффициента передачи имеет релеевское распределение вида (2.3.43). При этом случайное ОСШ r будет иметь экспоненциальную плотность вероятности с параметром r 0 , которую можно записать как
. (2.4.3)
Найдем вероятность битовой ошибки (BER ), которая определяется как отношение среднего числа неправильно принятых бит к общему числу переданных бит. Так как ОСШ r является случайной величиной, необходимо используя плотность вероятности f (r) выполнить усреднение битовой ошибки, которая возникает из-за шума при ОСШ r.
Следовательно, чтобы найти битовую ошибку при передаче через релеевский канал, необходимо вычислить интеграл
, (2.4.4)
где BER (r) – вероятность битовой ошибки в гауссовском шумовом канале без замираний при ОСШ равном r.
Вероятность битовой ошибки BER (r) определяется выражениями (1.3.10), (1.3.14), (1.3.18) и (1.3.19) для 2-ФМ, 4-ФМ, 16-КАМ и 64-КАМ сигналов, соответственно. Рассмотрим эти модуляции раздельно.
2-ФМ сигналы. Учитывая плотность вероятности (2.4.3) для ОСШ и выражение (1.3.10) для BER (r), получим, что вероятность битовой ошибки равна
. (2.4.5)
Этот интеграл вычисляется . В результате будем иметь, что
. (2.4.6)
В случае достаточно большого среднего ОСШ (r 0 >>1) формулу (2.4.6) можно упростить. Для этого воспользуемся приближенным равенством 
, где малый параметр x
=1/r 0 . В результате, из (2.4.6) получим, что
Таким образом, при больших ОСШ вероятность битовой ошибки в релеевском канале обратно пропорциональна среднему ОСШ.
В логарифмическом масштабе при больших ОСШ кривые для вероятности битовой ошибки переходят в прямые. Наклон этих прямых значительно больше для гауссовского канала, чем для релеевского. Чтобы, например, уменьшить вероятность ошибки в »10 раз в условиях релеевских замираний сигналов мощность должна быть увеличена также в »10 раз (на »10 дБ). Аналогичное увеличение мощности для гауссовского канала составляет всего 1¸2 дБ.
Для 2-ФМ сигналов энергия символа совпадает с энергией бита, поэтому выражения (2.4.6) и (2.4.7) можно переписать в виде:
, 
. (2.4.8)
Сравним вероятность битовой ошибки для в гауссовского шумового и релеевского каналов. Результаты сравнения показаны на рис. 2.25. Видно, что передача информации с одинаковой ошибкой через релеевский канал требует значительно большего ОСШ, чем передача через гауссовский шумовой канал. Оценим требуемое ОСШ, необходимое для обеспечения заданной величины вероятности битовой ошибки. Например, для вероятности равной 1%, необходимо увеличить мощность передатчика с 4.3 дБ до 13.8 дБ (то есть примерно в 10 раз), чтобы скомпенсировать потери, обусловленные релеевскими замираниями сигнала.
Рис. 2.25. Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в релеевском (сплошная
кривая) и в гауссовском каналах (пунктирная кривые)
4-ФМ сигналы. Как показано выше, зависимость вероятность битовой ошибки от отношения E b /N 0 в канале с аддитивным гауссовским шумом является одинаковой для 2-ФМ и 4-ФМ сигналов. Поэтому формулы (2.4.8) справедливы и для 4-ФМ сигналов.
Учитывая, что для 4-ФМ сигналов ОСШ 
из (2.4.8) получим, что вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ будет определяться следующими выражениями:
, . (2.4.9)
Таким образом, одинаковая вероятность битовой ошибки будет достигаться для квадратурной модуляции при ОСШ большем в 2 раза (на 3 дБ), чем для двоичной модуляции.
Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ для 4-ФМ сигналов представлена на рис. 2.26 (кривая 2). Теперь ОСШ, необходимое для обеспечения вероятности ошибки 1%, должно составлять 16.8 дБ.
Рис. 2.26. Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в релеевском канале для 2-ФМ, 4-ФМ, 16-КАМ и 64-КАМ сигналов (кривые 1,2,3,4, соответственно)
16-КАМ сигналы. Чтобы найти вероятность битовой ошибки BER необходимо подставить (1.3.18) в интеграл (2.4.4) и выполнить интегрирование. В результате получим, что
где функция
. (2.4.11)
Учтем, что для 16-КАМ сигналов в соответствии с (1.3.13) ОСШ 
. Подставляя это равенство в (2.4.10) и (2.4.11), можно получить зависимость вероятности битовой ошибки от отношения энергии сигнала к спектральной плотности шума .
Найдем вероятность символьной ошибки при использовании кода Грея, когда соседние символы переносят информацию, отличающуюся только одним битом. Тогда для достаточно больших ОСШ ошибка при демодулировании символа приводит к неправильной оценке только одного бита. Поэтому вероятность символьной ошибки для 16-КАМ сигналов равна 
, то есть символьная ошибка в 4 раза больше битовой.
Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в дБ для 16-КАМ сигналов представлена на рис. 2.26 (кривая 3). Эта кривая сдвинута на 6.0 дБ по сравнению с кривой для 4-ФМ. Теперь ОСШ, необходимое для обеспечения вероятности ошибки 1%, должно составлять 22.8 дБ.
64-КАМ сигналы. Подставим (1.3.19) в (2.4.4) и выполним интегрирование. В результате получим, что вероятность битовой ошибки равна
где функция определена в (2.4.11).
Для 64-КАМ сигналов в соответствии с (1.3.13) ОСШ 
. Учитывая это условие в (2.4.12), можно получить зависимость вероятности битовой ошибки от отношения .
При использовании кода Грея вероятность символьной ошибки для 64-КАМ сигналов для достаточно больших ОСШ равна 
.
Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в дБ для 64-КАМ сигналов представлена на рис. 2.26 (кривая 4). Видно, что данная кривая сдвинута на 5.2 дБ по сравнению с кривой для 16-КАМ, и для обеспечения вероятности ошибки 1% ОСШ должно быть равно 28.0 дБ.
Выражения (2.4.10) и (2.4.12) являются достаточно сложными. Поэтому, приведем приближенную формулу, справедливую для сигналов достаточно высоких уровней модуляции. Вероятность символьной ошибки в канале с релеевскими замираниями сигналов при максимально правдоподобном детектировании ограничена сверху :
, (2.4.13)
где обозначение уже использовалось в (1.3.20).
В области больших ОСШ
. (2.4.14)
Отсюда следует, что при r 0 >>1 вероятность символьной ошибки (а, следовательно, и битовой ошибки) для рассматриваемых модуляций уменьшается обратно пропорционально ОСШ r 0 , что также видно на рис. 2.26, на котором все кривые имеют одинаковый наклон в области r 0 >>1.
Синтаксис:
ber = berawgn(EbNo, "pam", M)
ber = berawgn(EbNo, "qam", M)
ber = berawgn(EbNo, "psk", M, dataenc)
ber = berawgn(EbNo, "dpsk", M)
ber = berawgn(EbNo, "fsk", M, coherence)
ber = berawgn(EbNo, "msk", dataenc)
berlb = berawgn(EbNo, "cpfsk", M, modindex, kmin)
Графический интерфейс:
Вместо использования функции berawgn можно запустить среду BERTool (функция bertool ) и использовать для расчетов ее вкладку Theoretical.
Описание:
Общая информация о синтаксисе
Функция berawgn
возвращает вероятность битовой ошибки (Bit Error Rate, BER) для различных видов модуляции в канале связи с аддитивным гауссовым шумом (АБГШ; английский термин - Additive White Gaussian Noise, AWGN). Первый входной параметр, EbNo, задает отношение (в децибелах) энергии одного бита к спектральной плотности мощности белого шума. Если параметр EbNo является вектором, результат работы ber будет вектором того же размера, элементы которого соответствуют различным значениям отношения Eb/N0. Поддерживаемые виды модуляции, задаваемые вторым входным параметром функции, перечислены в следующей таблице.
| Вид модуляции | Второй входной параметр |
| Частотная манипуляция с непрерывной фазой (ЧМНФ; Continuous phase frequency shift keying, CPFSK) | "cpfsk" |
| Фазоразностная манипуляция (ФРМ; Differential phase shift keying, DPSK) | "dpsk" |
| Частотная манипуляция (ЧМн; Frequency shift keying, FSK) | "fsk" |
| Минимальная частотная манипуляция (МЧМ; Minimum shift keying, MSK) | "msk" |
| Фазовая манипуляция (ФМн; Phase shift keying, PSK) | "psk" |
| Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ; Pulse amplitude modulation, PAM) | "pam" |
| Квадратурная манипуляция (КАМ; Quadrature amplitude modulation, QAM) | "qam" |
В большинстве вариантов синтаксиса вызова функции также имеется входной параметр M, задающий число позиций манипуляции. M должно быть равно 2k для некоторого положительного целого числа k. Конкретные варианты синтаксиса
Ber = berawgn(EbNo, "pam", M)
Возвращает BER для некодированной амплитудно-импульсной модуляции (PAM) в АБГШ-канале при когерентной демодуляции. Предполагается, что сигнальное созвездие сформировано с использованием кода Грея.
Ber = berawgn(EbNo, "qam", M)
Возвращает BER для некодированной квадратурной манипуляции (QAM) в АБГШ-канале при когерентной демодуляции. Предполагается, что сигнальное созвездие сформировано с использованием кода Грея. Размер алфавита M должен быть не меньше 4. Для крестообразных созвездий (когда M равно двойке в нечетной степени) результат ber дает верхнюю границу BER. (Замечание. Верхняя граница, используемая в данной функции, является менее плотной, чем верхняя граница, используемая для QAM с крестообразными созвездиями в функции semianalytic.)
Ber = berawgn(EbNo, "psk", M, dataenc)
Возвращает BER для некодированной фазовой манипуляции (PSK) в АБГШ-канале при когерентной демодуляции. Предполагается, что сигнальное созвездие сформировано с использованием кода Грея. Входной строковый параметр dataenc может быть равен "diff" при дифференциальном кодировании данных или "nondiff" при недифференциальном кодировании данных. Если параметр dataenc равен "diff", то входной параметр M не должен превышать 4. Использованный здесь метод вычислений подробно изложен в .
Ber = berawgn(EbNo, "dpsk", M)
Возвращает BER для некодированной фазоразностной манипуляции (DPSK) в АБГШ-канале.
Ber = berawgn(EbNo, "fsk", M, coherence)
Возвращает BER для ортогональной некодированной частотной манипуляции (FSK) в АБГШ-канале. Входной строковый параметр coherence может быть равен "coherent" при когерентной демодуляции или "noncoherent" при некогерентной демодуляции. Размер алфавита M должен быть не больше 64.
Ber = berawgn(EbNo, "msk", dataenc)
Возвращает BER для некодированной минимальной частотной манипуляции (MSK) в АБГШ-канале при когерентной демодуляции. Входной строковый параметр dataenc может быть равен "diff" при дифференциальном кодировании данных или "nondiff" при недифференциальном кодировании данных. Использованный здесь метод вычислений подробно изложен в .
Berlb = berawgn(EbNo, "cpfsk", M, modindex, kmin)
Возвращает нижнюю границу BER для некодированной частотной манипуляции с непрерывной фазой (CPFSK) в АБГШ-канале. Входной параметр modindex задает индекс модуляции, он должен быть положительным вещественным числом. Входной параметр kmin задает число путей, имеющих минимальное расстояние друг от друга; если это число неизвестно, можно принять значение данного параметра равным 1.
Примеры:
Приведенный ниже код использует функцию berawgn для вычисления вероятности ошибки на символ в случае амплитудно-импульсной модуляции (Pulse Amplitude Modulation, PAM) при разных значениях отношения Eb/N0. Выполняется также моделирование прохождения 8-уровневого PAM-сигнала через АБГШ-канал, после чего оценивается та же самая вероятность символьной ошибки. Для сравнения результатов две зависимости помехоустойчивости от отношения Eb/N0, полученные теоретически и путем моделирования, отображаются в виде графиков в общих координатных осях.
% 1. Вычисляем вероятность ошибок с помощью функции BERAWGN M = 8; % Число уровней PAM-сигнала EbNo = ; % Ряд отношений Eb/No ser = berawgn(EbNo,"pam",M).*log2(M); % множитель log2(M) - пересчет битовых ошибок в символьные % Отображаем теоретические результаты figure; semilogy(EbNo,ser,"r"); xlabel("E_b/N_0 (dB)"); ylabel("Symbol Error Rate"); grid on; drawnow; % 2. Оценка вероятности ошибки путем моделирования % Инициализация n = 10000; % Число обрабатываемых символов k = log2(M); % Число бит на символ % Пересчет отношения Eb/No в отношение сигнал/шум (SNR) % Замечание: Поскольку No = 2*noiseVariance^2, при расчете SNR % нужно добавить 3 дБ. Подробности см. в snr = EbNo+3+10*log10(k); ynoisy=zeros(n,length(snr)); % Для ускорения расчета выделяем память заранее % Главный цикл моделирования x = randint(n,1,M); % Случайное сообщение y = pammod(x,M); % Модуляция % Пропускаем модулированный сигнал через АБГШ-канал % в цикле по необходимым значениям SNR for jj = 1:length(snr) ynoisy(:,jj) = awgn(real(y),snr(jj),"measured"); end z = pamdemod(ynoisy,M); % Демодуляция % Вычисляем эмпирическую вероятность символьной ошибки = symerr(x,z); % 3. Отображаем эмпирические результаты в тех же осях hold on; semilogy(EbNo,rt,"b."); legend("Theoretical SER","Empirical SER"); title("Comparing Theoretical and Empirical Error Rates"); hold off;
В результате выполнения приведенного кода получается график, показанный на следующем рисунке. Полученные вами результаты могут отличаться, так как при модулировании используется генерация псевдослучайных чисел.
Ограничения:
Численная точность результатов, возвращаемых данной функцией, ограничена следующими факторами:
- Приближенными соотношениями, использованными при выводе формул, по которым производится расчет.
- Приближениями, производимыми при реализации численных расчетов.
Обычно можно считать надежными первые две значащие цифры возвращаемого результата. Однако для четырехпозиционной фазоразностной манипуляции (вид модуляции "dpsk" при M=4) и дифференциально кодированной фазовой манипуляции (вид модуляции "psk" при значении "diff" для параметра dataenc) имеются дополнительные ограничения, так что функция возвращает 0 для больших значений входного параметра EbNo.
Сопутствующие функции: bercoding, berfading, bersync.
Литература:
- Anderson, John B., Tor Aulin, and Carl-Erik Sundberg, Digital Phase Modulation, New York, Plenum Press, 1986.
- Lindsey, William C. and Marvin K. Simon, Telecommunication Systems Engineering, Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, 1973.
- Proakis, John G., Digital Communications, 4th ed., New York, McGraw-Hill, 2001. (Имеется русский перевод предыдущего издания: Прокис Дж. Цифровая связь. Пер. с англ. / Под ред. Д. Д. Кловского. - М.: Радио и связь, 2000.)
