Из разнообразных способов поведения переменных величин наиболее важен тот, при котором переменная величина стремится к некоторому пределу. В этом случае значения, принимаемые переменной величиной х , становятся сколь угодно близкими к некоторому постоянному числу a - пределу этой переменной величины. Говорят, что переменная величина стремится, неограниченно приближается к постоянному числу а (своему пределу). Дадим более подробно соответствующее определение.
Переменная величина х стремится к пределу a (a - постоянное число), если абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины сколь угодно малой..
То же самое определение можно сказать и другими словами.
Определение. Постоянное число а называется пределом переменной величины х, если - абсолютная величина разности между х и а становится в процессе изменения переменной величины х сколь угодно малой.
Тот факт, что число а , является пределом переменной величины, записывается следующим образом:
( - первые буквы слова limes - предел) или х -> a
Уточним, что следует понимать под словами "величина становится сколь угодно малой", имеющимися вопределении предела. Зададимся произвольным положительным числом , тогда, если, начиная с некоторого момента в изменении переменной величины х,
значения сделаются, и будут становиться меньше, чем это 
.
Переменная величина стремится к пределу , если для любого положительного . начиная с некоторого момента в изменении переменной , выполняется неравенство
.
Определение предела имеет простой геометрический смысл: неравенство означает, что находится в -окрестности точки , т.е. в интервале (рис. 26). Таким образом, определение предела в геометрической форме: число является пределом переменной величины , если для любой (произвольно малой)
-окрестности точки можно указать такой момент в изменении переменной начиная с которого все ее значения
попадают в указанную -окрестность точки a.
Необходимо представлять себе процесс приближения к пределу в динамике. Взяли некоторую - окрестность точки a ; начиная с некоторого момента в изменении , все значения попадают в эту окрестность. Теперь возьмем более тесную - окрестность точки a ; начиная с некоторого (более отдаленного в сравнении с первым) момента в изменении , все ее значения попадут в - окрестность точки а и т.д. (рис. 1).
 |
|||
 |
|||
Введя определение предела переменной величины, мы постарались его подробно обсудить и расшифровать. Однако в этом определении осталась нераскрытой одна, весьма существенная, деталь; что следует понимать под словами "начиная с некоторого момента в изменении переменной величины "? Это ясно тогда, когда процесс изменения переменной протекает во времени: начиная с некоторого момента (времени). Но не всегда мы имеем дело с переменными величинами, изменение которых протекает во времени. Как же быть в этих случаях? Выход состоит в расшифровке этого места в общем определении предела переменной специфическим образом для каждого типа переменных величин: по-своему для последовательностей, по-своему для функций и т.д.
Предел последовательности. Прежде всего необходимо вспомнить определение последовательности: если все значения, принимаемые переменной величиной х , можно занумеровать помощью всевозможных натуральных чисел х } ,х 2 ,...х п,..., причем значение с большим номером принимается после значения с меньшим номером, то говорят, что переменная х пробегает последовательность значений х х,х 2 ,...х п... ; или просто, что имеется последовательность (числовая последовательность).
Определение. Числовой последовательностью называется действительная функция натурального аргумента, т. е. функция, у которой = N и ЕÌR.
Она обозначается символом , где , или короче, . Число , зависящее от n, называется n – ым членом последовательности. Расставив значения последовательности по порядку номеров, получаем, что последовательность можно отождествить со счётным набором действительных чисел, т. е.
Примеры:
а) Последовательность является постоянной и состоит из равных чисел (единиц): ;
б) 
. Для неё
г) 
.
Для последовательностей содержащееся в общем определении предела переменной высказывание "начиная с некоторого момента в изменении " должно означать - "начиная с некоторого номера", так как члены с большими номерами следуют (по определению последовательности) за членом с меньшим номером. Итак, мы получаем следующее определение предела последовательности:
Определение. Число а называется пределом последовательности , если для любого числа найдётся число , что все числа , у которых , удовлетворяют неравенству .
Соответствующее обозначение
Неравенство можно также записывать в виде 
или . В этих записях подчеркнуто, что величина х п
становится сколь угодно мало отличимой от a ,
когда номер члена неограниченно возрастает. Геометрически определение предела последовательности означает следующее: для сколь угодно малой -окрестности числа а
найдется такой номер N, что все члены последовательности с большими, чем N
, номерами попадают в эту окрестность,
вне окрестности оказывается лишь конечное число начальных членов последовательности (рис. 2). Это все или некоторые из членов .
x 1 x 2 x N +1 a x N +2 x N x 3
Число в нашем определении зависит от : N = N() . Как говорилось ранее, определение предела следует понимать в развитии, вдинамике, в движении: если мы возьмем другое, меньшее значение для , например то найдется, вообще говоря, другой номер N x > N, такой, что неравенство , выполняется при всех .
Будем записывать определение предела с помощью логических символов (кванторов). Определение предела последовательности с помощью кванторов выглядит так.
2 Предел переменной величины. Бесконечно малые и бесконечено большие величины, связь между ними.
Предел переменной величины в некой точке численно равен этой точке. limx(xàa) = a
Функция называется бесконечно малой в точке где xàа если уà0. limf(x)_(xàa) = 0
Функция называется бесконечно большой в точке где xàа если уà0. limf(x)_(xàa) = <><>
Связь между величинами:
Если у=Ф(х) – бесконечно малая, то 1/ф(х) – бесконечно больная
3 Бесконечно малые, их основные свойства.
Сумма конечного числа бесконечно малых величин величина бесконечно малая.
Произведение конечной функции и бесконечно малой величины – величина бесконечно малая.
Функция в точке а имеет конечный предел тогда и только тогда, когда f(x) = A + U(x), где U(x) – бесконечно малая величина.. Подругому это можно записать как f(x) – A à 0
Сравнение бесконечно малых функций:
Если предел отношения одной б.м. к другой б.м. равен нолю, то та б.м., которая стояла в числителе белее высокого порядка . Если же этот предел равен бесконечности, то наоборот.
А если предел их отношения равен определнному числу, то значит эти б.м. одного порядка .
Если предел равен 1, то эти две б.м. эквивалентны.
Теорема 1: произведение бесконечно малых – бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.
Опр . Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций:
а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции.
б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0 при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($ С:½j(х)½£С)=> j(х)a(х)®0 при х®х0
Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие:
1) Если отношение 2-х б/м a(х)/b(х)®0 при х®х0 то говорят что б/м a имеет более высокий порядок малости чем b.
2) Если a(х)/b(х)®A¹0 при х®х0 (A-число), то a(х) и b(х) наз-ся б/м одного порядка.
3) если a(х)/b(х)®1 , то a(х) и b(х) наз-ся эквивалентными б/м (a(х)~b(х)), при х®х0.
4) Если a(х)/b^n(х)®А¹0, то a(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно b(х).
Аналогичные определения для случаев: х®х0-, х®х0+, х®-¥, х®+¥ и х®¥.
4 Предел функции. Основные теоремы о пределах.
Определение предела: пусть ф(х) – функция определенная на множестве Х, и а – пределньная точка этого множества. Число А называется пределом функции при х à а тогда и только тогда, когда для любого е существует окрестность точки а, что |ф(х) – а| < |е|
Подругому это записывается как f(x) à A при x à a
Теорема 1 : Если каждое слагаемое алгераической суммы конечного числа функций имеет предел при х стремящимся к а, то предел этой алгебраической суммы при х стем. к а существует и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых.
Доказательство : представляем функцию как сумму ее предела и бесконечно малой, складываем функции, и бесконечно малые. Получается, что сумма функций отличается от суммы пределов на бесконечно малую, значит это и есть предел.
Следствие : Функция может иметь только один предел при х стем. к а. Доказывается от противного. Получается, что разность исходных функций стремиться к разности их пределов, то есть ноль тремится к разность пределов, а т.к. предел постоянной функции равен самой функции и единствен, то отсюда получаем, что разность предело равно 0, то есть пределы однинаковы.
Теорема 2: Если каждый из сомножителей произведения конечнеого числа функций имеет предел при х à а, то предел произведения при х стем к а равен произведению пределов сомножителей.
Докозательство : Рассматривается произведение двух сомножителей
ПЕРЕМЕННЫЕ И ПОСТОЯННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания. В дальнейшем, говоря о величинах, мы будем иметь в виду их числовые значения. В различных явлениях некоторые величины изменяются, а другие сохраняют свое числовое значение. Например, при равномерном движении точки время и расстояние меняются, а скорость остается постоянной.
Переменной величиной называется величина, которая принимает различные числовые значения. Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной . Переменные величины будем обозначать буквами x, y, z,… , постоянные – a, b, c,…
Заметим, что в математике постоянная величина часто рассматривается как частный случай переменной, у которой все числовые значения одинаковы.
Областью изменения переменной величины называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений. Область изменения может состоять как из одного или нескольких промежутков, так и из одной точки.
УПОРЯДОЧЕННАЯ ПЕРЕМЕННАЯ ВЕЛИЧИНА. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ
Будем говорить, что переменная x есть упорядоченная переменная величина , если известна область ее изменения, и про каждые из двух любых ее значений можно сказать, какое из них предыдущее и какое последующее.
Частным случаем упорядоченной переменной величины является переменная величина, значения которой образуют числовую последовательность x 1 ,x 2 ,…,x n ,… Для таких величин при i < j, i, j Î N , значение x i считается предшествующим, а x j – последующим независимо от того, какое из этих значений больше. Таким образом, числовая последовательность – это переменная величина, последовательные значения которой могут быть перенумерованы. Числовую последовательность будем обозначать . Отдельные числа последовательности называются ее элементами .
Например, числовую последовательность образуют следующие величины:
ФУНКЦИЯ
При изучении различных явлений природы и решении технических задач, а, следовательно, и в математике приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, известно, что площадь круга выражается через радиус формулой S = πr 2 . Если радиус r принимает различные числовые значения, то площадь S также принимает различные числовые значения, т.е. изменение одной переменной влечет изменение другой.
Если каждому значению переменной x , принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y , то y называется функцией переменной х . Символически будем записывать y=f(x) . При этом переменная x называется независимой переменной или аргументом .
Запись y=C , где C – постоянная, обозначает функцию, значение которой при любом значении x одно и то же и равно C .
Множество значений x , для которых можно определить значения функции y по правилу f(x) , называется областью определения функции .
Заметим, что числовая последовательность также является функцией, область определения которой совпадает с множеством натуральных чисел.
К основным элементарным функциям относятся все функции, изучаемые в школьном курсе математики:
Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана основными элементарными функциями и постоянными при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В дальнейшем курсе математики понятие предела будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа – производная, интеграл и др.
Начнем с понятия предела числовой последовательности.
Число a называется пределом последовательности x = {x n }, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что при всех n>N выполняется неравенство |x n - a| < ε.
Если число a есть предел последовательности x = {x n }, то говорят, что x n стремится к a , и пишут .
Чтобы сформулировать это определение в геометрических терминах введем следующее понятие.
Окрестностью точки x 0 называется произвольный интервал (a, b ), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x 0 , для которой x 0 является серединой, тогда x 0 называется центром окрестности, а величина (b –a )/2 – радиусом окрестности.
Итак, выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде
Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ε; a + ε).
Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {x n }, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ε (ε – окрестности точки a ) найдется такой элемент последовательности с номером N , что все последующие элементыс номерами n>N будут находиться внутри этой окрестности.
Примеры.
Сделаем несколько замечаний.
Замечание 1. Очевидно, что если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение x n = c , то предел этой последовательности будет равен самой постоянной. Действительно, при любом ε всегда выполняется неравенство |x n - c | = |c - c | = 0 < ε.
Замечание 2. Из определения предела следует, что последовательность не может иметь двух пределов. Действительно, предположим, что x n → a и одновременно x n → b . Возьмем любое и отметим окрестности точек a и b радиуса ε (см. рис.). Тогда по определению предела, все элементы последовательности, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а , так и в окрестности точки b , что невозможно.
Замечание 3.
Не следует думать, что
каждая числовая последовательность имеет предел. Пусть, например, переменная
величина принимает значения 
. Несложно заметить, что эта последовательность не стремится
ни к какому пределу.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a . Предположим, что независимая переменная x неограниченно приближается к числу a . Это означает, что мы можем придавать х значения сколь угодно близкие к a , но не равные a . Будем обозначать это так x → a . Для таких x найдем соответствующие значения функции. Может случиться, что значения f(x) также неограниченно приближаются к некоторому числу b .Тогда говорят, что число b есть предел функции f(x) при x → a .
Введем строгое определение предела функции.
Функция y=f(x) стремится к пределу b при x → a , если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно указать такое положительное число δ, что при всех x ≠ a из области определения функции, удовлетворяющих неравенству |x - a | < δ, имеет место неравенство |f(x) - b | < ε. Если b есть предел функции f(x) при x → a , то пишут или f(x) → b при x → a .
Проиллюстрируем это определение на графике функции. Т.к. из неравенства |x - a | < δ должно следовать неравенство |f(x) - b | < ε, т.е. при x Î (a - δ, a + δ) соответствующие значения функции f(x) Î (b - ε, b + ε), то, взяв произвольное ε > 0, мы можем подобрать такое число δ, что для всех точек x , лежащих в δ – окрестности точки a , соответствующие точки графика функции должны лежать внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми y = b – ε и y = b + ε.
Несложно заметить, что предел функции должен обладать теми же свойствами, что и предел числовой последовательности, а именно и если при x → a функция имеет предел, то он единственный.
Примеры.
ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКЕ
До сих пор мы рассматривали пределы для случая, когда переменная величина x стремилась к определенному постоянному числу.
Будем говорить, что переменная x стремится к бесконечности , если для каждого заранее заданного положительного числа M (оно может быть сколь угодно большим) можно указать такое значение х=х 0 , начиная с которого, все последующие значения переменной будут удовлетворять неравенству |x|>M .
Например, пусть переменная х принимает значения x 1 = –1, x 2 = 2, x 3 = –3, …, x n =(–1) n n, … Ясно, что это бесконечно большая переменная величина, так как при всех M > 0 все значения переменной, начиная с некоторого, по абсолютной величине будут больше M .
Переменная величина x → +∞ , если при произвольном M > 0 все последующие значения переменной, начиная с некоторого, удовлетворяют неравенству x > M .
Аналогично, x → – ∞, если при любом M > 0 x < -M .
Будем говорить, что функция f(x) стремится к пределу b при x → ∞, если для произвольного малого положительного числа ε можно указать такое положительное число M , что для всех значений x , удовлетворяющих неравенству |x|>M , выполняется неравенство |f(x) - b | < ε.
Обозначают .
Примеры.
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ
Ранее мы рассмотрели случаи, когда функция f(x) стремилась к некоторому конечному пределу b при x → a или x → ∞.
Рассмотрим теперь случай, когда функция y=f(x) некотором способе изменения аргумента.
Функция f(x) стремится к бесконечности при x → a , т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М , как бы велико оно ни было, можно найти такое δ > 0, что для всех значений х ≠a , удовлетворяющих условию |x-a | < δ, имеет место неравенство |f(x) | > M .
Если f(x) стремится к бесконечности при x→a , то пишут или f(x) →∞ при x→a .
Сформулируйте аналогичное определение для случая, когда x →∞.
Если f(x) стремится к бесконечности при x→a и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или .
Примеры.
ОГРАНИЧЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть задана функция y=f(x) , определенная на некотором множестве D значений аргумента.
Функция y=f(x) называется ограниченной на множестве D , если существует положительное число М такое, что для всех значений x из рассматриваемого множества, выполняется неравенство |f(x)|≤M . Если же такого числа М не существует, то функция f(x) называется неограниченной на множестве D .
Примеры.
- Функция y =sin x , определенная при -∞<x <+∞, является ограниченной, так как при всех значениях x |sin x |≤1 = M .
- Функция y =x 2 +2 ограничена, например, на отрезке , так как при всех x из этого отрезка |f(x)| ≤f (3) = 11.
- Рассмотрим функцию y =ln x при x Î (0; 1). Эта функция неограниченна на указанном отрезке, так как при x →0 ln x →-∞.
Функция y=f(x) называется ограниченной при x → a , если существует окрестность с центром в точке а , в которой функция ограничена.
Функция y=f(x) называется ограниченной при x→∞ , если найдется такое число N> 0, что при всех значениях х |x|>N , функция f(x) ограничена.
Установим связь между ограниченной функцией и функцией, имеющей предел.
Теорема 1. Если и b – конечное число, то функция f(x) ограничена при x→a .
Доказательство
. Т.к. , то при любом ε>0 найдется
такое число δ>0, что при вех значениях х
,
удовлетворяющих неравенству |x-a|<
δ, выполняется неравенство |f(x) –b|<
ε. Воспользовавшись свойством модуля |f(x) – b|≥|f(x)| - |b|
, последнее неравенство
запишем в виде |f(x)|<|b|+
ε. Таким образом, если
положить M=|b|+
ε, то при x→a |f(x)|
Замечание. Из определения ограниченной функции следует, что если , то она является неограниченной. Однако обратное неверно: неограниченная функция может не быть бесконечно большой. Приведите пример.
Теорема 2. Если , то функция y=1/f(x) ограничена при x→a .
Доказательство
. Из условия теоремы следует,
что при произвольном ε>0
в некоторой окрестности точки a
имеем |f(x) – b|<
ε. Т.к. |f(x) – b|=|b – f(x)| ≥|b| - |f(x)|
,
то |b| - |f(x)|<
ε. Следовательно, |f(x)|>|b| -
ε >0. Поэтому и 
