В партии из 18 деталей 5 бракованных. Из партии выбирают наугад 9 деталей. Определить вероятность того, что среди них не будет бракованных.

Устройство состоит из двух независимых элементов, работающих в течение некоторого времени безотказно с вероятностями соответственно 0,85 и 0,75. Найти вероятность того, что за данное время выйдет из строя хотя бы один элемент.

На некотором предприятии 60 % изделий признаются пригодными. Из каждых 90 годных изделий в среднем 67 оказываются первого сорта. Найти вероятность того, что изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.

Прибор может собираться из высококачественных изделий и изделий обычного качества. 40 % приборов собирается из высококачественных изделий, при этом его надежность 0,95, если прибор собран из обыкновенных деталей, то его надежность 0,7. Найти вероятность того, что прибор сломался.

Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, дела по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы цель поражена. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

1. Игральную кость бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что два раза появится число очков, кратное трем. Вариант 25

1. Числа 1, 2,…, 20 расставлены случайным образом. Предполагая, что различные расположения чисел равновероятны, найти вероятность того, что числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 расположены рядом.

Устройство состоит из двух независимых элементов, работающих в течение некоторого времени безотказно с вероятностями соответственно 0,85 и 0,75. Найти вероятность того, что за данное время не выйдет из строя только ни один элемент.

Прибор, работающий безотказно в течение некоторого времени, состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других, может в течение этого времени выйти из строя. Отказ хотя бы одного из них приводит в отказы прибора в целом. Надежность первого узла 0,4, второго – 0,6, третьего – 0,7. С какой вероятностью прибор выйдет из строя в течение указанного времени?

Прибор может собираться из высококачественных изделий и изделий обычного качества. 40 % приборов собирается из высококачественных изделий, при этом его надежность 0,95, если прибор собран из обыкновенных деталей, то его надежность 0,7. Найти вероятность того, что прибор оказался надежным.

Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, дела по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы цель поражена. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит второму стрелку

ЗАНЯТИЕ 3

Пример 1. Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет 2 раза.

Решение. Применим формулу Бернулли.

Здесь p = 1/6; q = 1-1/6 = 5/6; n = 10; m = 2;

Пример 2 . Правильную монету подбрасывают 10 раз. Найти вероятности следующих событий:

A = {герб выпадет ровно 5 раз};
B = {герб выпадет не более 5 раз};
C = {герб выпадет хотя бы 1 раз}.

Решение. Переформулируем задачу в терминах испытаний Бернулли:

N = 10 число испытаний;
успех – герб;
p = 0,5 – вероятность успеха;
q = 1-p = 0,5 – вероятность неудачи.

Для расчёта вероятности события A используем формулу Бернулли:

Пример 3 . Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.

Решение. Имеем n = 96; р = 0,08; q = 0,92;

Пример 4 . Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что 4 раза появится белый шар.

Имеем: n = 8; p = 1/4; q = 3/4; m = 5. Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

Пример 5 . Каждый день акции корпорации поднимаются в цене или падают в цене на один пункт с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней вернутся к своей первоначальной цене. Принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события.

Решение . Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене. Искомая вероятность рассчитывается по формуле Бернулли:

Пример 6 . Из таблицы случайных чисел наудачу выписаны 200 двузначных случайных чисел (от 0 до 99). Определить вероятность того, что среди них число 33 встретится: а) три раза; б) четыре раза.

Решение . Вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число равно 33, равна p = 0,01, поскольку выбирается одно из 100 возможных. Число испытаний n = 200. Так как число n велико, а вероятность P мала, воспользуемся формулой Пуассона:

Где a = np = 200·0,01 = 2.

Пример 7 . Вероятность искажения одного символа при передаче сообщения по линии связи равна 0.001. Сообщение считают принятым, если в нём отсутствуют искажения. Найти вероятность того, что будет принято сообщение, состоящее из 20 слов по 100 символов каждое.

Решение . Обозначим через А событие, вероятность которого требуется найти в задаче.

N = 2000 - количество символов в сообщении;
успех - символ не искажается;
p = 0,001 - вероятность успеха;
m = 0;
P 2000 (0) - ? - вопрос задачи в терминах схемы Бернулли.

Вычислим λ = np = 2. Для расчёта нужно применить формулу Пуассона:

Вероятности для формулы Пуассона по λ и m можно найти в специальной таблице.

Пример 8. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. Вероятность того, что в течение минуты какому-либо абоненту понадобится соединение, равна 0,0007. Вычислить вероятность того, что за минуту на телефонную станцию поступит не менее 3 вызовов.

Решение. Переформулируем задачу в терминах схемы Бернулли:

N = 1000;
успех - поступление вызова;
p = 0,0007 - вероятность успеха;
–диапазон, в котором должно лежать число успехов.

Для расчёта нужно применить формулу Пуассона для диапазона .

А = {поступит не менее трёх вызовов} - событие, вероятность которого надо найти в задаче.

= {поступит менее трёх вызовов}. Переходим к противоположному событию, т.к. его вероятность подсчитать проще.

Таким образом,

Пример 9 (локальная формула Муавра-Лапласа).

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Определить вероятность того, что при 400 выстрелах произойдёт ровно 300 попаданий.

Решение. Переформулируем задачу в терминах схемы Бернулли:

N = 400 – число испытаний;
m = 300 – число успехов;
успех – попадание;
p = 0.8;
P 400 (300) - ? - вопрос задачи в терминах схемы Бернулли;
λ = np = 320.

Нужно применить локальную формулу Муавра-Лапласа.

Предварительный расчёт:

Значение функции φ(x) можно найти в таблице. Там содержатся значения только для x≥0. Но функция φ(x) - чётная, т.е. φ(-x) = φ(x).

Если x>5, то полагают φ(x)≈0.

Пример 10 (интегральная формула Муавра-Лапласа).

Найти вероятность того, при 600 подбрасываниях игральной кости выпадет от 90 до 120 шестёрок.

Решение. Переформулируем задачу в терминах схемы Бернулли:

N = 600 – число испытаний;
успех – выпадение 6;
p = 1/6 - кость предполагается правильной;
- диапазон для числа успехов;
q = 5/6;

Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа.

Предварительный расчёт:

Обозначим через A – событие, о котором спрашивается в задаче.

P(A) = Ф(х2)-Ф(x1) = Ф(2,19)-Ф(-1,10) ≈ 0,48575+0,36433 = 0,85007.

Значение функции Ф(х) можно найти в специальной таблице. Там содержатся значения только для x≥0. Но функция Ф(х) - нечётная, т.е. Ф(-х) = -Ф(х).

Формула Бернулли.

Производятся n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (по традиции такой исход опыта называется успехом) с одной и той же вероятностью или произойти противоположное событие А (такой исход называют неудачей) с вероятностью . Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно m раз, находится по формуле Бернулли

в частности, следует, что вероятность того, что в n испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событие А наступит:

1)менее раз - равна

2)более раз - равна

3) хотя бы один раз - равна

4) не менее раз и не более раза - равна:

Число называется наивероятнейшим числом наступлений (или наиболее вероятным числом успехов) в схеме Бернулли, если вероятности p и q отличны от нуля то число можно найти из двойного неравенства

Если в каждом независимом испытании вероятность наступления события А равна ( числа разные), то вероятность того, что в этой серии испытаний событие А наступит m раз, равна коэффициенту при m – ой степени многочлена

функция называется производящей функцией

Пример1 .

Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет:

a) ровно 2 раза; b) не более 8 раз; c) хотя бы один раз

Решение:

Проводится 10 независимых испытаний. Каждое испытание имеет два исхода: выпадет шестерка, не выпадет шестерка. Вероятность выпадения шестерки в каждом испытании постоянна и равна . Таким образом, мы имеем дело со схемой испытаний Бернулли. Для нахождения искомых вероятностей используем схему Бернулли.

a) Здесь Отсюда, b) Искомая вероятность равна:

Однако в этом случае удобно найти вероятность противоположного события – «шестерка выпадет более 8 раз» т. е. 9 или 10

Итак, вероятность того, что шестерка выпадет не более 8 раз, равна

b) Искомая вероятность равна

Пример 2.

Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70%. Найти наивероятнейшее число всхожих семян в партии из 240 семян.

Решение:

Наивероятнейшее число находим из двойного неравенства

Поскольку , то

Отсюда следует, что

Ответ: 168

Пример 3.

Прибор состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время равны . Найти вероятность того, что откажут два элемента.

Решение:

Так как , то вероятность того, что элемент не откажет равны . Составим производящую функцию:

Отсюда следует, что

Задачи:

1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

2. Тест содержит 10 вопросов, на которые нужно отвечать, используя одно из двух слов: да, нет. Какова вероятность получения не менее 80% правильных ответов, если используется метод угадывания?

3. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти наиболее вероятное число попаданий в мишень при 5 выстрелах и соответствующую этому числу вероятность.

4. Вероятность того, что станок в течении часа потребует внимание рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки в станках независимы, найти вероятность того, что в течении часа внимания рабочего потребует какой-либо станок из четырех, обсуживаемых им.

5. Монета подброшена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) от 4 до 6 раз; б) хотя бы один раз.

6. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 30%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий.

7. Сколько раз надо подбросить игральный кубик, чтобы наивероятнейшее число выпадений двойки было равно 32?

8. Всхожесть семян составляет в среднем 80%. Найти наименьшее число всхожих семян среди девяти.

9. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% случаев. Какова вероятность того, что из 5 больных поправиться не менее 4?

10. Какова вероятность наступления события А в каждом испытании, если наивероятнейшее число наступлений событий А в 120 испытаниях равно 32?

11. Мишень состоит из трех попарно непересекающихся зон. При одном выстреле по мишени вероятность попадания в первую зону для данного стрелка 0,5. Для второй и третей зон эта вероятность соответственно равны 0,3 и 0,2. Стрелок производит 6 выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что при этом окажется 3 попадания в первую зону, 2 попадания во вторую и 1 попадания в третью зону.

12. Какое минимальное число опытов достаточно провести, чтобы с вероятностью, не менее, чем 0,98, можно было бы ожидать наступления события А хотя бы один раз, если вероятность события А в одном опыте равна 0,02.

13. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

14. Найти вероятность того, что при 10 подбрасываниях монеты герб выпадет 5 раз.

15. При стрельбе по мишени вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. При каком числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно 16?

16. Проверка качества выпускаемых деталей показала, что в среднем брак составляет 7,5%. Найти наиболее вероятное число стандартных деталей в партии из 39 штук, отобранных наудачу.