На этой странице собраны все формулы, необходимые для сдачи контрольных и самостоятельных работ, экзаменов по по алгебре, геометрии, тригонометрии, стереометрии и другим разделам математики.
Здесь вы можете скачать или посмотреть онлайн все основные тригонометрические формулы, формулу площади круга, формулы сокращенного умножения, формула длины окружности, формулы приведения и многие другие.
Можно так же распечатать необходимые сборники математических формул.
Успехов в учебе!
Формулы Арифметики:
Формулы Алгебры:
Геометрические Формулы:
Арифметические формулы:
Законы действий над числамиПереместительный закон сложения: a + b = b + a.
Сочетательный закон сложения: (a + b) + с = a + (b + c).
Переместительный закон умножения: ab = ba.
Сочетательный закон умножения: (ab)с = a(bc).
Распределительный закон умножения относительно сложения: (a + b)с = aс + bс.
Распределительный закон умножения относительно вычитания: (a — b)с = aс — bс.
Некоторые математические обозначения и сокращения:
Признаки делимости
Признаки делимости на «2»
Число, делящееся на «2» без остатка называется чётным , не делящееся – нечётным . Число делится на «2» без остатка, если его последняя цифра чётная (2, 4, 6, 8) или нольПризнаки делимости на «4»
Число делится на «4» без остатка, если две последние его цифры нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «4»Признаки делимости на «8»
Число делится на «8» без остатка, если три последние его цифры нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «8» (пример: 1 000 — три последние цифры «00», а при делении 1 000 на 8 получается 125; 104 — две последние цифры «12» делятся на 4, а при делении 112 на 4 получается 28; и.т.д.)Признаки делимости на «3» и на «9»
Без остатка на «3» делятся только те числа, у которых сумма цифр делится без остатка на «3»; на «9» — только те, у которых сумма цифр делится без остатка на «9»Признаки делимости на «5»
Без остатка на «5» делятся числа, последняя цифра которых «0» или «5»Признаки делимости на «25»
Без остатка на «25» делятся числа, две последние цифры которых нули или в сумме образуют число, делящееся без остатка на «25» (т.е. числа, оканчивающиеся на «00», «25», «50», «75»Признаки делимости на «10», «100» и на «1 000»
Без остатка на «10» делятся только те числа, последняя цифра которых ноль, на «100» — только те числа, у которых две последние цифры нули, на «1000» — только те числа, у которых три последние цифры нулиПризнаки делимости на «11»
Без остатка на «11» делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на «11»Абсолютная величина — формулы ( модуль)
|a| ? 0, причём |a| = 0 только если a = 0; |-a|=|a| |a2|=|a|2=a2 |ab|=|a|*|b| |a/b|=|a|/|b|, причём b ? 0; |a+b|?|a|+|b| |a-b|?|a|-|b|
Формулы Действия с дробями
Формула обращения конечной десятичной дроби в рациональную дробь:
Пропорции
Два равных отношения образуют пропорцию :
Основное свойство пропорцииНахождение членов пропорции
Пропорции , равносильные пропорции :Производная пропорция — следствие данной пропорции в виде
Средние величины
Среднее арифметическое
Двух величин: n величин:Среднее геометрическое (среднее пропорциональное)
Двух величин: n величин:Среднее квадратичное
Двух величин:n величин:
Среднее гармоническое
Двух величин: n величин:Некоторые конечные числовые ряды
Свойства числовых неравенств
1) Если a < b , то при любом c : a + с < b + с .
2) Если a < b и c > 0 , то aс < bс .
3) Если a < b и c < 0 , то aс > bс .
4) Если a < b , a и b одного знака, то 1/a > 1/b .
5) Если a < b и c < d , то a + с < b + d , a — d < b — c .
6) Если a < b , c < d , a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , то ac < bd .
7) Если a < b , a > 0 , b > 0 , то
8) Если , то
Формулы Прогрессии:
Производная
- Логарифмы:
- Координаты и векторы
1. Расстояние между точками A1(x1;y1) и A2(x2;y2) находится по формуле:
2. Координаты (x;y) середины отрезка с концами A1(x1;y1) и A2(x2;y2) находится по формулам:
3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой имеет вид:
Угловой коэффициент k представляет собой значение тангенса угла, образуемого прямой с положительным направлением оси Ox, а начальная ордината q – значение ординаты точки пересечения прямой с осью Oy.
4. Общее уравнение прямой имеет вид: ax + by + c = 0.
5. Уравнения прямых, параллельных соответственно осям Oy и Ox, имеют вид:
Ax + by + c = 0.
6. Условия параллельности и перпендикулярности прямых y1=kx1+q1 и y2=kx2+q2 соответственно имеют вид:
7. Уравнения окружностей с радиусом R и с центром соответственно в точках O(0;0) и C(xo;yo) имеют вид:
8. Уравнение:
представляет собой уравнение параболы с вершиной в точке, абсцисса которой
- Прямоугольная декартова система координат в пространстве
1. Расстояние между точками A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находится по формуле:
2. Координаты (x;y;z) середины отрезка с концами A1(x1;y1;z1) и A2(x2;y2;z2) находятся по формулам:
3. Модуль вектора заданного своими координатами, находится по формуле:
4. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число, т.е. справедливы формулы:
5. Единичный вектор сонаправленный с вектором находится по формуле:
6. Скалярным произведением векторов называется число:
где — угол между векторами.
7. Скалярное произведение векторов
8. Косинус угла между векторами и находится по формуле:
9. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид:
10. Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору имеет вид:
Ax + by + cz + d = 0.
11. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку (xo;yo;zo), имеет вид:
A(x — xo) + b(y — yo) + c(z — zo) = 0.
12. Уравнение сферы с центром O(0;0;0) записывается в виде.
одно из важнейших вспомогательных вычислительных средств. Обычно Т. м. представляют собой совокупность значений какой-либо функции y = f (x 1 ,..., x n ) для некоторых значений переменных. Запоминаемая в детстве таблица умножения у =x 1 – x 2 (где x 1 , x 2 = 1, 2,..., 9), таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов - примеры математических таблиц. Т. м. употребляются всюду, где приходится иметь дело с расчётами: в математике, физике, химии, астрономии, технике, экономике и т. д.
Для непрерывно меняющихся переменных x 1 ,..., x n функции y = f (x 1 ,..., x n) в таблицу включаются значения (ответы) y 1 ,..., y n лишь при некоторых значениях (x 1 ,..., x n) 1 , ..., (x 1 ,..., x n) n , для нахождения f (x 1 ,..., x n) в случае, если (x 1 , ..., x n) не включено в таблицу, необходимо проводить интерполяцию (См. Интерполяция). Каждая Т. м. характеризуется степенью точности (числом верных знаков или значащих цифр в табличных ответах), диапазоном изменения аргументов, шагом (разностью между соседними табличными значениями аргументов).
При создании таблицы (табулировании) функции у = f (x 1 ,..., x n) решаются два основных вопроса: а) конструкция таблицы, то есть выбор диапазона переменных x 1 ,..., x n , выбор тех значений переменных, для которых приводятся ответы, размещение материала, вопрос о пользовании готовыми таблицами и т. д.; б) вычисление значений f (x 1 ,..., x n).
Задача б) не является специально табличной; специфика состоит в необходимости тщательной проверки большого цифрового материала (как при вычислении, так и при типографских корректурах).
При конструировании таблицы решается задача размещения на приемлемом объёме необходимого числа ответов у 1 ,..., y n так, чтобы значение функции f (x 1 ,..., x n) для значений (x 1 ,..., x n) (возможно и не попавших в число табличных) можно было определить наиболее лёгким способом. Диапазон изменения переменных определяется как из практических потребностей, так и из того, сколь легко вне его можно вычислить функцию с принятой в таблице точностью. Шаг по переменным выбирается таким, чтобы интерполяция приемлемого порядка давала нужное число верных знаков. В таблицах массового применения допускается обычно только линейная интерполяция, в таблицах, имеющих более узкое назначение, - квадратичная (более высокий порядок нежелателен и встречается реже). Необходимые при этом вспомогательные величины (разности функций и пр.) обычно включаются в таблицу. Важным приёмом, дающим возможность получить более гладкую функцию и тем самым упростить конструкцию таблицы (уменьшить число ответов, упростить интерполяцию и пр.), является замена аргументов и замена исходной функции на другую, связанную с ней простым соотношением.
Т. м. появились уже в раннем периоде развития математики. Так, в Вавилоне ещё за 2000 лет до н. э. были широко распространены таблицы произведений натуральных чисел, таблицы чисел вида 1/n , n 2 , n 3 , n 2 + n 3 и др. Эти таблицы применялись для различных вычислений и позволяли вавилонским математикам решать довольно сложные вычислит. задачи.
Первые таблицы трансцендентных функций появились в Древней Греции в связи с развитием астрономии и накоплением ею обширного материала наблюдений, требовавшего математической обработки. В сочинении греческого астронома Птолемея (2 в.) «Альмагест» содержатся первые из дошедших до нас тригонометрические таблицы. В таблицах Птолемея даны значения длин хорд, соответствующих дугам от 0 до 180° через каждые 30" (длина хорды выражена в долях радиуса по шестидесятеричной системе). Для целей интерполяции в таблицах помещены разности. Т. м. (в частности, таблицы тригонометрических функций) составлялись индийскими математиками и математиками Ближнего Востока и Средней Азии (5-11 вв.). Так, Абу-ль-Вефа (10 в.) составил таблицы синусов, вычисленных через 10" с точностью 1:60 4 , а также таблицы тангенсов.
Начало больших работ по составлению таблиц в Европе относится к 15 в. Развитие естествознания в эпоху Возрождения побудило европейских математиков и астрономов к созданию в 15-17 вв. всё более полных и точных таблиц тригонометрических функций. Региомонтан (15 в.) в своих таблицах первым стал употреблять десятичную систему счисления. Его таблицы дают значения синусов через минуту, точность - 7 знаков. Составлением тригонометрических таблиц занимался Н. Коперник. Первая книга его труда «Revolutiones orbium caelestium» (1543) содержит пятизначные таблицы синусов. Ученик Коперника Ретик начал вычисление фундаментальных таблиц тригонометрических функций с 15 знаками через 10 ", а для первого и последнего градуса квадранта через каждую секунду. Расширенные и дополненные в 1613 немецким учёным Б. Питиском, эти таблицы послужили основой современных тригонометрических таблиц. Таблицы логарифмов чисел впервые были опубликованы в 1614 Дж. Непером, в 1620 близкие таблицы издал швейцарский математик И. Бюрги. Первые таблицы десятичных логарифмов были опубликованы английским математиком Г. Бригсом в 1617 для чисел от 1 до 1000 с 8 знаками и в 1624 для чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 с 14 знаками. Вслед за таблицами логарифмов чисел появились таблицы логарифмов тригонометрических функций. Голландский математик А. Влакк в 1633 даёт десятизначные таблицы lgsinx и lgtgx с шагом в 10 " и с разностями. Бригс в 1633 даёт натуральные синусы с 15 знаками, тангенсы и секансы с 10 знаками, lgsinx с 14 знаками, lgtgx с 10 знаками и шагом 0,01° от 0 до 45°.
С развитием науки, торговли и мореплавания быстро возрастает число выпускаемых таблиц. 18 в. дал значительно больше Т. м., чем 17 в. В 19 в. не только увеличилось количество выпускаемых Т. м., но и значительно расширился охватываемый ими класс функций. В приложениях математики важную роль стали играть так называемые Специальные функции, появились таблицы эллиптических функций, гиперболических функций, гамма-функций, цилиндрических функций и др. В вычислении таблиц принимали участие крупнейшие математики: Л. Эйлер, А. Лежандр, К. Гаусс и др.
В 20 в. вычислено и издано в несколько раз больше Т. м., чем за весь предшествующий период, в основном различных специальных функций, некоторые из них вычислены с весьма большой точностью (15-30 знаков). Выпуск таблиц тесно связан с развитием вычислительной техники. Фоторазмножение Т. м., выдаваемых ЭВМ, практически исключает ошибки. Большие работы по выпуску таблиц ведутся в СССР. Наряду с отдельными изданиями выпускаются серии таблиц Математическим институтом АН СССР, институтом точной механики и вычислит, техники АН СССР и Вычислительным центром АН СССР. С увеличением количества выпускаемых таблиц эффективное их использование и планирование дальнейшей работы в этой области требуют систематизации табличного материала и подробного описания имеющихся таблиц.
- - в демографии, служат для количеств. и качеств, анализа демографич. процессов, используются при расчёте разл. демографич. показателей...
Демографический энциклопедический словарь
- - условные обозначения, предназначенные для записи математич...
Математическая энциклопедия
- - усл. обозначения, служащие для записи матем. понятий, предложений и выкладок...
Естествознание. Энциклопедический словарь
- - условные обозначения, служащие для записи математических понятий, предложений и вычислений...
Начала современного Естествознания
- - т. е. знаки и сокращения, употребляющиеся в математике. А. Знаки действий: 1) сложения знак называется плюс, 2) вычитание знак его минус; 3) умножения - знак или...
- - см. Ученые общества...
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
- - условные обозначения, предназначенные для записи математических понятий, предложений и выкладок...
- - Специальные М. ж., являющиеся органами различных научных учреждений, обществ и объединений, возникли в начале 19 века. В 70-е годы 20 века во всём мире насчитывается более 250 М. ж. Значительно возросший...
Большая Советская энциклопедия
- - научный журнал Отделения математики АН СССР, публикующий краткие оригинальные работы по всем разделам современной математики, а также информационные материалы. Издаётся в Москве с 1967...
Большая Советская энциклопедия
-
Большая Советская энциклопедия
- - научные учреждения, ведущие исследовательскую работу в области математики и её приложений. В СССР почти все М. и. входят в состав АН СССР или АН союзных республик...
Большая Советская энциклопедия
- - международные созываются 1 раз в 4 года. Первый М. к. состоялся в Цюрихе в 1898. После 2-й мировой войны 1939-45 М. к. состоялись в Кембридже, Амстердаме, Эдинбурге, Стокгольме, Москве, Ницце...
Большая Советская энциклопедия
- - одно из важнейших вспомогательных вычислительных средств. Обычно Т. м. представляют собой совокупность значений какой-либо функции y = f для некоторых значений переменных...
Большая Советская энциклопедия
-
Современная энциклопедия
- - условные обозначения, служащие для записи математических понятий, предложений и выкладок...
- - см. Знаки математические...
Большой энциклопедический словарь
"Таблицы математические" в книгах
Математические науки
Из книги Повседневная жизнь Флоренции во времена Данте автора Антонетти ПьерМатематические науки Собственный вклад флорентийцев в средневековую теоретическую математику был незначительным и относился уже к эпохе более поздней, нежели эпоха Данте. Так, Паоло Дагомари (1281–1365) опубликовал «Трактат об абаке» (отсюда его прозвище: Паоло-Абако).
Значения полей параметров (столбцов) Таблицы текущих значений, Таблицы истории, Таблицы изменений параметров программы QUIK
Из книги Самоучитель биржевой торговли автора Сипягин ЕвгенийЗначения полей параметров (столбцов) Таблицы текущих значений, Таблицы истории, Таблицы изменений параметров программы QUIK Таблица 28. Значения полей параметров (столбцов) Таблицы текущих значений, Таблицы истории, Таблицы изменений
Б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
Из книги Загадки египетских пирамид автора Лауэр Жан-ФилиппБ. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ Источником возникновения некоторых математических теорий послужил, вероятнее всего, труд Жомара «Изложение системы мер древних египтян»225. Мы не будем возвращаться к основным астрономическим цифровым соотношениям, которые он стремится извлечь
Приложение Пасхальные таблицы и таблицы дат первых весенних астрономических полнолуний, вычисленных по формулам Гаусса (Г.В. Носовский)
Из книги Пасха [Календарно-астрономическое расследование хронологии. Гильдебранд и Кресцентий. Готская война] автора Носовский Глеб ВладимировичПриложение Пасхальные таблицы и таблицы дат первых весенних астрономических полнолуний, вычисленных по формулам Гаусса (Г.В. Носовский) Звездочкой (*) в последнем столбце отмечены годы, когда определенная пасхалией календарная православная Пасха праздновалась бы раньше
Знаки математические
Из книги Большая Советская Энциклопедия (ЗН) автора БСЭ БСЭМатематические конгрессы
Из книги Большая Советская Энциклопедия (МА) автора БСЭМатематические общества
Из книги Большая Советская Энциклопедия (МА) автора БСЭМатематические формулы
Из книги Как спроектировать современный сайт автора Вин ЧоиМатематические формулы Кирпичи просто создавать, использовать, они понятны и просты, но на протяжении столетий возникло и сформировалось более тонкое понимание систем упорядочения. Эти открытия и нововведения развивали наше понимание сеток. Обращаясь к математике,
Математические функции
Из книги Windows Script Host для Windows 2000/XP автора Попов Андрей ВладимировичМатематические функции Имеющиеся в VBScript функции, предназначенные для математических вычислений, описаны в табл. П2.14.Таблица П2.14. Математические функции Функция Описание Abs(x) Возвращает абсолютное значение числа х Atn(x) Возвращает арктангенс числа х Cos(x) Возвращает
Таблица обозначений абстрактной алгебры - В абстрактной алгебре повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста, а также стандартные обозначения для некоторых групп. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся алгебраических обозначений, соответствующие команды в … Википедия
История математических обозначений - Математические обозначения это символы, используемые для компактной записи математических уравнений и формул. Помимо цифр и букв различных алфавитов (латинского, в том числе в готическом начертании, греческого и еврейского),… … Википедия
Список математических аббревиатур - Статья содержит список общеупотребительных аббревиатур математических функций, операторов и др. математических терминов. Содержание 1 Аббревиатуры 1.1 Латиница 1.2 Греческий алфавит … Википедия
Набор символов Юникод - Юникод, или Уникод (англ. Unicode) стандарт кодирования символов, позволяющий представить знаки практически всех письменных языков. Стандарт предложен в 1991 году некоммерческой организацией «Консорциум Юникода» (англ. Unicode Consortium,… … Википедия
Математические обозначения - Список используемых в математике специфических символов можно увидеть в статье Таблица математических символов Математические обозначения («язык математики») сложная графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных… … Википедия
Знак плюс-минус - У этого термина существуют и другие значения, см. Плюс минус (значения). ± ∓ Знак плюс минус (±) математический символ, который ставится перед некоторым выражением и означает, что значение этого выражения может быть как положительным, так и … Википедия
Список обозначений в физике - Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии. Вы можете помочь … Википедия
Знаки операций - или математические символы знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами. К самым распространённым относятся: Плюс: + Минус: , − Знак умножения: ×, ∙ Знак деления: :, ∕, ÷ Знак возведения в… … Википедия
Знаки опеций
Знаки операторов - Знаки операций или математические символы знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами. К самым распространённым относятся: Плюс: + Минус: , − Знак умножения: ×, ∙ Знак деления: :, ∕, ÷ Знак возведения… … Википедия
Образование - то, что остается после того, как забыто все, чему учили в школе.
Игорь Хмелинский, новосибирский учёный, ныне работающий в Португалии, доказывает, что без прямого запоминания текстов и формул развитие абстрактной памяти у детей затруднительно. Приведу выдержки из его статьи "
Уроки образовательных реформ в Европе и странах бывшего СССР"Заучивание наизусть и долговременная память
Незнание таблицы умножения имеет и более серьезные последствия, чем неспособность обнаружить ошибки в расчетах на калькуляторе. Наша долговременная память работает по принципу ассоциативной базы данных, то есть, одни элементы информации при запоминании оказываются связанными с другими на основе ассоциаций, установленных в момент знакомства с ними. Поэтому, чтобы в голове образовалась база знаний в какой-либо предметной области, например, в арифметике, нужно для начала выучить хоть что-то наизусть. Далее, вновь поступающая информация попадет из кратковременной памяти в долговременную, если в течение короткого промежутка времени (несколько дней) мы столкнемся с нею многократно, и, желательно, в разных обстоятельствах (что способствует созданию полезных ассоциаций). Однако при отсутствии в постоянной памяти знаний из арифметики, вновь поступающие элементы информации связываются с элементами, которые к арифметике никакого отношения не имеют – например, личностью преподавателя, погодой на улице и т.п. Очевидно, такое запоминание никакой реальной пользы учащемуся не принесет – поскольку ассоциации уводят из данной предметной области, то никаких знаний, относящихся к арифметике, учащийся вспомнить не сможет, кроме смутных идей о том, что он вроде бы что-то когда-то об этом должен был слышать. Для таких учащихся роль недостающих ассоциаций обычно выполняют разного рода подсказки – списать у коллеги, воспользоваться наводящими вопросами в самой контрольной, формулами из списка формул, которым пользоваться разрешено, и т.п. В реальной жизни, без подсказок, такой человек оказывается совершенно беспомощным и неспособным применить имеющиеся у него в голове знания.
Формирование математического аппарата, при котором формулы не заучиваются, происходит медленнее, нежели в противном случае. Почему? Во-первых, новые свойства, теоремы, взаимосвязи между математическими объектами почти всегда используют какие-то особенности ранее изученных формул и понятий. Концентрировать внимание ученика на новом материале будет сложнее, если эти особенности не смогут извлекаться из памяти за короткий промежуток времени. Во-вторых, незнание формул наизусть препятствует поиску решения содержательных задач с большим количеством мелких операций, в которых требуется не только провести определенные преобразования, но и выявить последовательность этих ходов, анализируя применение нескольких формул на два-три шага вперед.
Практика показывает, что интеллектуальное и математическое развитие ребенка, формирование его базы знаний и навыков, происходит значительно быстрее, если большая часть используемой информации (свойства и формулы) находиться в голове. И чем прочнее и дольше она там удерживается, тем лучше.
