ЗАНЯТИЕ 3

Пример 1. Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет 2 раза.

Решение. Применим формулу Бернулли.

Здесь p = 1/6; q = 1-1/6 = 5/6; n = 10; m = 2;

Пример 2 . Правильную монету подбрасывают 10 раз. Найти вероятности следующих событий:

A = {герб выпадет ровно 5 раз};
B = {герб выпадет не более 5 раз};
C = {герб выпадет хотя бы 1 раз}.

Решение. Переформулируем задачу в терминах испытаний Бернулли:

N = 10 число испытаний;
успех – герб;
p = 0,5 – вероятность успеха;
q = 1-p = 0,5 – вероятность неудачи.

Для расчёта вероятности события A используем формулу Бернулли:

Пример 3 . Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.

Решение. Имеем n = 96; р = 0,08; q = 0,92;

Пример 4 . Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что 4 раза появится белый шар.

Имеем: n = 8; p = 1/4; q = 3/4; m = 5. Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

Пример 5 . Каждый день акции корпорации поднимаются в цене или падают в цене на один пункт с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней вернутся к своей первоначальной цене. Принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события.

Решение . Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене. Искомая вероятность рассчитывается по формуле Бернулли:

Пример 6 . Из таблицы случайных чисел наудачу выписаны 200 двузначных случайных чисел (от 0 до 99). Определить вероятность того, что среди них число 33 встретится: а) три раза; б) четыре раза.

Решение . Вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число равно 33, равна p = 0,01, поскольку выбирается одно из 100 возможных. Число испытаний n = 200. Так как число n велико, а вероятность P мала, воспользуемся формулой Пуассона:

Где a = np = 200·0,01 = 2.

Пример 7 . Вероятность искажения одного символа при передаче сообщения по линии связи равна 0.001. Сообщение считают принятым, если в нём отсутствуют искажения. Найти вероятность того, что будет принято сообщение, состоящее из 20 слов по 100 символов каждое.

Решение . Обозначим через А событие, вероятность которого требуется найти в задаче.

N = 2000 - количество символов в сообщении;
успех - символ не искажается;
p = 0,001 - вероятность успеха;
m = 0;
P 2000 (0) - ? - вопрос задачи в терминах схемы Бернулли.

Вычислим λ = np = 2. Для расчёта нужно применить формулу Пуассона:

Вероятности для формулы Пуассона по λ и m можно найти в специальной таблице.

Пример 8. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. Вероятность того, что в течение минуты какому-либо абоненту понадобится соединение, равна 0,0007. Вычислить вероятность того, что за минуту на телефонную станцию поступит не менее 3 вызовов.

Решение. Переформулируем задачу в терминах схемы Бернулли:

N = 1000;
успех - поступление вызова;
p = 0,0007 - вероятность успеха;
–диапазон, в котором должно лежать число успехов.

Для расчёта нужно применить формулу Пуассона для диапазона .

А = {поступит не менее трёх вызовов} - событие, вероятность которого надо найти в задаче.

= {поступит менее трёх вызовов}. Переходим к противоположному событию, т.к. его вероятность подсчитать проще.

Таким образом,

Пример 9 (локальная формула Муавра-Лапласа).

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Определить вероятность того, что при 400 выстрелах произойдёт ровно 300 попаданий.

Решение. Переформулируем задачу в терминах схемы Бернулли:

N = 400 – число испытаний;
m = 300 – число успехов;
успех – попадание;
p = 0.8;
P 400 (300) - ? - вопрос задачи в терминах схемы Бернулли;
λ = np = 320.

Нужно применить локальную формулу Муавра-Лапласа.

Предварительный расчёт:

Значение функции φ(x) можно найти в таблице. Там содержатся значения только для x≥0. Но функция φ(x) - чётная, т.е. φ(-x) = φ(x).

Если x>5, то полагают φ(x)≈0.

Пример 10 (интегральная формула Муавра-Лапласа).

Найти вероятность того, при 600 подбрасываниях игральной кости выпадет от 90 до 120 шестёрок.

Решение. Переформулируем задачу в терминах схемы Бернулли:

N = 600 – число испытаний;
успех – выпадение 6;
p = 1/6 - кость предполагается правильной;
- диапазон для числа успехов;
q = 5/6;

Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа.

Предварительный расчёт:

Обозначим через A – событие, о котором спрашивается в задаче.

P(A) = Ф(х2)-Ф(x1) = Ф(2,19)-Ф(-1,10) ≈ 0,48575+0,36433 = 0,85007.

Значение функции Ф(х) можно найти в специальной таблице. Там содержатся значения только для x≥0. Но функция Ф(х) - нечётная, т.е. Ф(-х) = -Ф(х).

В партии из 18 деталей 5 бракованных. Из партии выбирают наугад 9 деталей. Определить вероятность того, что среди них не будет бракованных.

Устройство состоит из двух независимых элементов, работающих в течение некоторого времени безотказно с вероятностями соответственно 0,85 и 0,75. Найти вероятность того, что за данное время выйдет из строя хотя бы один элемент.

На некотором предприятии 60 % изделий признаются пригодными. Из каждых 90 годных изделий в среднем 67 оказываются первого сорта. Найти вероятность того, что изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.

Прибор может собираться из высококачественных изделий и изделий обычного качества. 40 % приборов собирается из высококачественных изделий, при этом его надежность 0,95, если прибор собран из обыкновенных деталей, то его надежность 0,7. Найти вероятность того, что прибор сломался.

Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, дела по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы цель поражена. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

1. Игральную кость бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что два раза появится число очков, кратное трем. Вариант 25

1. Числа 1, 2,…, 20 расставлены случайным образом. Предполагая, что различные расположения чисел равновероятны, найти вероятность того, что числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 расположены рядом.

Устройство состоит из двух независимых элементов, работающих в течение некоторого времени безотказно с вероятностями соответственно 0,85 и 0,75. Найти вероятность того, что за данное время не выйдет из строя только ни один элемент.

Прибор, работающий безотказно в течение некоторого времени, состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других, может в течение этого времени выйти из строя. Отказ хотя бы одного из них приводит в отказы прибора в целом. Надежность первого узла 0,4, второго – 0,6, третьего – 0,7. С какой вероятностью прибор выйдет из строя в течение указанного времени?

Прибор может собираться из высококачественных изделий и изделий обычного качества. 40 % приборов собирается из высококачественных изделий, при этом его надежность 0,95, если прибор собран из обыкновенных деталей, то его надежность 0,7. Найти вероятность того, что прибор оказался надежным.

Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, дела по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы цель поражена. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит второму стрелку