Как правило, дети начинают изучать алгебру уже в младших классах. После освоения основных принципов работы с числами, они решают примеры с одной или несколькими неизвестными переменными. Найти значение выражения подобного плана может быть довольно трудно, однако если упростить его, используя знания начальной школы, все получится легко и быстро.
Что такое значение выражения
Числовым выражением называют алгебраическую запись, состоящую из чисел, скобок и знаков в том случае, если она имеет смысл.
Иными словами, если есть возможность найти значение выражения, значит запись не лишена смысла, и наоборот.
Примеры следующих записей являются правильными числовыми конструкциями:
- 3*8-2;
- 15/3+6;
- 0,3*8-4/2;
- 3/1+15/5;
Отдельное число также будет представлять собой числовое выражение, как число 18 из вышеуказанного примера.
Примеры неправильных числовых конструкций, которые не имеют смысла:
- *7-25);
- 16/0-;
- (*-5;
Неправильные числовые примеры представляют собой лишь набор математических знаков и не имеют никакого смысла.
Как находить значение выражения
Поскольку в подобных примерах присутствуют арифметические знаки, можно сделать вывод, что они позволяют произвести арифметические вычисления. Чтобы просчитать знаки или, говоря иначе, найти значение выражения, необходимо выполнить соответствующие арифметические манипуляции.
В качестве примера можно рассмотреть следующую конструкцию: (120-30)/3=30. Число 30 будет являться значением числового выражения (120-30)/3.
Инструкция:
Понятие числового равенства
Числовым равенством называется ситуация, когда две части примера разделены знаком «=». То есть одна часть полностью равна (идентична) другой, пусть даже отображенной в виде других сочетаний символов и цифр.
Например, любую конструкцию типа 2+2=4 можно назвать числовым равенством, поскольку, даже поменяв части местами, смысл не изменится: 4=2+2. То же самое касается более сложных конструкций, включающих скобки, деление, умножение, действие с дробями и так далее.
Как находить значение выражения правильно
Чтобы верно найти значение выражения необходимо выполнять вычисления согласно определенному порядку действий. Этот порядок преподается еще на уроках математики, а позже – на занятиях алгебры в начальной школе. Он также известен как ступени арифметических действий.
Ступени арифметических действий:
- Первая ступень – выполняется сложение и вычитание чисел.
- Вторая ступень – выполняется деление и умножение.
- Третья ступень – числа возводятся в квадрат или куб.
Соблюдая следующие правила, вы всегда сможете верно определить значение выражения:
- Выполняйте действия, начиная с третьей ступени, заканчивая первой, если в примере нет скобок. То есть сперва возводите в квадрат или куб, затем делите или умножайте и только потом – складывайте и вычитайте.
- В конструкциях со скобками сперва выполняйте действия в скобках, а затем руководствуйтесь вышеописанным порядком. Если скобок несколько, также используйте порядок действий из первого пункта.
- В примерах в виде дроби сначала узнайте результат в числителе, затем – в знаменателе, после чего первый поделите на второй.
Найти значение выражения не составит труда, если усвоить элементарные знания начальных курсов алгебры и математики. Руководствуясь вышеописанной информацией, вы сможете решить любую задачу, даже повышенной сложности.
Узнать пароль от ВК, зная логин
I. Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.
Примеры алгебраических выражений:
2m -n; 3· (2a + b); 0,24x; 0,3a -b · (4a + 2b); a 2 – 2ab;
Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение — выражением с переменной.
II. Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.
Примеры. Найти значение выражения:
1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.
2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.
Решение .
1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим:
— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.
2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем:
|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.
III. Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).
Примеры. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?
Решение. Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!
В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.
В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.
В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2.
В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.
IV.
Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.
Пример: 5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.
Тождество – это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.
Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.
Примеры.
a) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:
1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).
Решение . Вспомним распределительное свойство (закон) умножения:
(a+b)·c=a·c+b·c
(распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c
(распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).
1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.
2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.
3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.
б) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения:
4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.
Решение. Применим законы (свойства) сложения:
a+b=b+a
(переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
(a+b)+c=a+(b+c)
(сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).
4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.
5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.
6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5.
в) преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения:
7) 4 · х · (-2,5); 8) -3,5 · 2у · (-1); 9) 3а · (-3) · 2с.
Решение. Применим законы (свойства) умножения:
a·b=b·a
(переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
(a·b)·c=a·(b·c)
(сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).
7) 4 · х · (-2,5) = -4 · 2,5 · х = -10х.
8) -3,5 · 2у · (-1) = 7у.
9) 3а · (-3) · 2с = -18ас.
Если алгебраическое выражение дано в виде сократимой дроби, то пользуясь правилом сокращения дроби его можно упростить, т.е. заменить тождественно равным ему более простым выражением.
Примеры.
Упростите, используя сокращение дробей.
Решение. Сократить дробь — это значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (выражение), отличное от нуля. Дробь 10) сократим на 3b ; дробь 11) сократим на а и дробь 12) сократим на 7n . Получаем:
Алгебраические выражения применяют для составления формул.
Формула – это алгебраическое выражение, записанное в виде равенства и выражающее зависимость между двумя или несколькими переменными. Пример: известная вам формула пути s=v·t (s — пройденный путь, v — скорость, t — время). Вспомните, какие еще формулы вы знаете.
Страница 1 из 1 1
Числовые выражения составляются из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Если в таком выражении присутствуют переменные, оно будет называться алгебраическим. Тригонометрическим является выражение, в котором переменная содержится под знаками тригонометрических функций. Задачи на определение значений числового, тригонометрического, алгебраического выражений часто встречаются в школьном курсе математики.
Инструкция
Чтобы найти значение числового выражения, определите порядок действий в заданном примере. Для удобства обозначьте его карандашом над соответствующими знаками. Выполните все указанные действия в определенном порядке: действия в скобках, возведение в степень, умножение, деление, сложение, вычитание. Полученное число и будет значением числового выражения.
Пример. Найдите значение выражения (34 10+(489–296) 8):4–410. Определите порядок действий. Первое действие выполните во внутренних скобках 489–296=193. Затем, умножьте 193 8=1544 и 34 10=340. Следующее действие: 340+1544=1884. Далее выполните деление 1884:4=461 и затем вычитание 461–410=60. Вы нашли значение данного выражения.
Чтобы найти значение тригонометрического выражения при известном угле?, предварительно . Для этого примените соответствующие тригонометрические формулы. Вычислите заданные значения тригонометрических функций, подставьте их в пример. Выполните действия.
Пример. Найдите значение выражения 2sin 30? cos 30? tg 30? ctg 30?. Упростите данное выражение. Для этого воспользуйтесь формулой tg ? ctg ?=1. Получите: 2sin 30? cos 30? 1=2sin 30? cos 30?. Известно, что sin 30?=1/2 и cos 30?=?3/2. Следовательно, 2sin 30? cos 30?=2 1/2 ?3/2=?3/2. Вы нашли значение данного выражения.
Значение алгебраического выражения зависит от значения переменной. Чтобы найти значение алгебраического выражения при заданных переменных, упростите выражение. Подставьте вместо переменных определенные значения. Выполните необходимые действия. В итоге вы получите число, которое и будет значением алгебраического выражения при заданных переменных.
Пример. Найдите значение выражения 7(a+y)–3(2a+3y) при a=21 и y=10. Упростите данное выражение, получите: a–2y. Подставьте соответствующие значения переменных и вычислите: a–2y=21–2 10=1. Это и есть значение выражения 7(a+y)–3(2a+3y) при a=21 и y=10.
Обратите внимание
Существуют алгебраические выражения, не имеющие смысла при некоторых значениях переменных. Например, выражение x/(7–a) не имеет смысла, если a=7, т.к. при этом знаменатель дроби обращается в нуль.
Числовое выражение – это любая запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Числовое выражение может состоять и просто из одного числа. Напомним, что основными арифметическими действиями являются «сложение», «вычитание», «умножение» и «деление». Этим действиям соответствуют знаки «+», «-», «∙», «:».
Конечно же, чтобы у нас получилось числовое выражение, запись из чисел и арифметических знаков должна быть осмысленной. Так, например, такую запись 5: + ∙ нельзя назвать числовым выражением, так как это случайный набор символов, не имеющий смысла. Напротив, 5 + 8 ∙ 9 - уже настоящее числовое выражение.
Значение числового выражения.
Сразу скажем, что если мы выполним действия указанные в числовом выражении, то в результате мы получим число. Это число называется значением числового выражения .
Попробуем вычислить, что у нас получится в результате выполнения действий нашего примера. Согласно порядку выполнения арифметических действий , сначала выполним операцию умножения. Умножим 8 на 9. Получим 72. Теперь сложим 72 и 5. Получим 77.
Итак, 77 – значение
числового выражения 5 + 8 ∙ 9.
Числовое равенство.
Можно это записать таким образом: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Здесь мы впервые использовали знак «=» («Равно»). Такая запись, при которой два числовых выражения разделены знаком «=», называется числовым равенством
. При этом, если значения левой и правой части равенства совпадают, то равенство называют верным
. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – верное равенство.
Если же мы напишем 5 + 8 ∙ 9 = 100, то это уже будет неверное равенство
, так как значения левой и правой части данного равенства уже не совпадают.
Следует отметить, что в числовом выражении мы также можем использовать скобки. Скобки влияют на порядок выполнения действий. Так, например, видоизменим наш пример, добавив скобки: (5 + 8) ∙ 9. Теперь сначала нужно сложить 5 и 8. Получим 13. А затем умножить 13 на 9. Получим 117. Таким образом, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – значение
числового выражения (5 + 8) ∙ 9.
Чтобы правильно прочитать выражение, нужно определить какое именно действие выполняется последним для вычисления значения данного числового выражения. Так, если последнее действие вычитание, то выражение называют «разностью». Соответственно, если последнее действие сумма - «суммой», деление – «частным», умножение – «произведением», возведение в степень – «степенью».
Например, числовое выражение (1+5)(10-3) читается так: «произведение суммы чисел 1 и 5 на разность чисел 10 и 3».
Примеры числовых выражений.
Приведем пример более сложного числового выражения:
\[\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\]
В данном числовом выражении используются простые числа, обыкновенные и десятичные дроби. Также используются знаки сложения, вычитания, умножения и деления. Черта дроби также заменяет знак деления. При кажущейся сложности, найти значение данного числового выражения довольно просто. Главное уметь выполнять операции с дробями, а также внимательно и аккуратно делать вычисления, соблюдая порядок выполнения действий.
В скобках у нас выражение $\frac{1}{4}+3,75$ . Преобразуем десятичную дробь 3,75 в обыкновенную.
$3,75=3\frac{75}{100}=3\frac{3}{4}$
Итак, $\frac{1}{4}+3,75=\frac{1}{4}+3\frac{3}{4}=4$
Далее, в числителе дроби \[\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}\] у нас выражение 1,25+3,47+4,75-1,47. Для упрощения данного выражения применим переместительный закон сложения, который гласит: «От перемены мест слагаемых сумма не изменяется». То есть, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.
В знаменателе дроби выражение $4\centerdot 0,5=4\centerdot \frac{1}{2}=4:2=2$
Получаем $\left(\frac{1}{4}+3,75 \right):\frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4\centerdot 0,5}=4:\frac{8}{2}=4:4=1$
Когда числовые выражения не имеют смысла?
Рассмотрим еще один пример. В знаменателе дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ значением выражения $3\centerdot 3-9$ является 0. А, как мы знаем, деление на нуль невозможно. Следовательно, у дроби $\frac{5+5}{3\centerdot 3-9}$ нет значения. Про числовые выражения, у которых нет значения, говорят, что они «не имеют смысла».
Если мы в числовом выражении помимо чисел будем использовать буквы, то у нас получится уже
В среде Lazarus можно также вычислять значения сложных математических выражений. К примеру, таких как нижеследующее выражение:
Все, что нам необходимо сделать, это правильно составить формулу, чтобы Lazarus смог скомпилировать ее, а затем и решить.
Рис. 4 – Программа «вычисление значения выражений» до запуска
Для начала при составлении программы между «procedure» и «begin» вводим команду var alfa………y:real; она необходима для расчета десятичных чисел. Также нужно ввести команду «math» в «uses», иначе некоторые функции в программе работать не будут.
Вот так выглядит код программы «вычисление значения выражений» в Lazarus-е:
procedure TForm1.SpeedButton1Click(Sender: TObject);
var x,y: Single;
x:= StrToFloat (Edit1.Text);
y:= ((sin(x))/2)+3;
Label3.Caption:=FloatToStr(y);
Рис. 5 – Программа «Вычисление выражений» после запуска.
Программа составлена правильно, интерпретация прошла успешно. Сейчас, для того, чтобы рассчитать функцию «y», необходимо задать в формулу свои значения.
Вычисление сумм ряда чисел.
С помощью суммы рядов чисел можно: - разложить функцию в степенной ряд; - выполнить приближенные вычисления значений функции; - выполнить вычисления пределов; - выполнить вычисление определенных интегралов; - выполнить вычисление логарифмов; - выполнить интегрирование дифференциальных уравнений; - решить уравнение первого порядка итерационным методом.
Итерация – это повторяемое выполнение некоторого действия до тех пор, пока не будет удовлетворено некоторое условие. Ряд считается заданным, если дан закон, по которому можно вычислить любой член ряда, и известен порядковый номер этого числа. Среди рядов есть сходящиеся ряды и расходящиеся. Если значение частичных сумм Sn при неограниченном возрастании n стремится к некоторому числу А, ряд называется сходящимся, а число А при этом называют суммой. Таким образом, при неограниченном возрастании n значение Sn сколь угодно мало отличается от А, т.е. число А предел последовательности Sn.
Рис. 6 – Программа «Вычисление сумм ряда чисел» до запуска
Код программы «Вычисление сумм ряда чисел» будет выглядеть следующим образом:
Classes, SysUtils, FileUtil, LResources, Forms, Controls, Graphics, Dialogs, ExtCtrls, StdCtrls, Math;
TForm1 = class (TForm)
Button1: TButton;
procedure Button1Click(Sender: TObject);
{ private declarations }
{ public declarations }
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var n, factorial: integer; x, y, s: real;
x:=StrToFloat(Edit1.Text);
for n:=1 to 25 do
s:=s + power(x,(n-1))/factorial;
factorial:=factorial*(n+1);
Label4.Caption:=FloatToStr(s);
y:=(power(2.76,x)-1)/x;
Label5.Caption:=FloatToStr(y);
Рис. 7 – Программа «Вычисление сумм ряда чисел» после запуска
Программа составлена правильно, компилирование объекта прошло успешно. Сейчас, для того, чтобы вычислить сумму ряда чисел, необходимо задать в формулу свои значения, и, созданная программа, аналогично калькулятору, рассчитает ответ.
