Теория вероятностей (Вишневецкий А. Л.)

13.02.2019

Еще одна популярная задача теории вероятностей (наравне с задачей о подбрасывании монет) - задача о подбрасывании игральных костей .

Обычно задача звучит так: бросается одна или несколько игральных костей (обычно 2, реже 3). Необходимо найти вероятность того, что число очков равно 4, или сумма очков равна 10, или произведение числа очков делится на 2, или числа очков отличаются на 3 и так далее.

Основной метод решения подобных задач - использование формулы классической вероятности , который мы и разберем на примерах ниже.

Ознакомившись с методами решения, вы сможете скачать супер-полезный при бросании 2 игральных костей (с таблицами и примерами).

Одна игральная кость

С одной игральной костью дело обстоит до неприличия просто. Напомню, что вероятность находится по формуле $P=m/n$, где $n$ - число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента с подбрасыванием кубика или кости, а $m$ - число тех исходов, которые благоприятствуют событию.

Пример 1. Игральная кость брошена один раз. Какова вероятность, что выпало четное число очков?

Так как игральная кость представляет собой кубик (еще говорят, правильная игральная кость , то есть кубик сбалансированный, так что выпадает на все грани с одинаковой вероятностью), граней у кубика 6 (с числом очков от 1 до 6, обычно обозначаемых точкам), то и общее число исходов в задаче $n=6$. Благоприятствуют событию только такие исходы, когда выпадет грань с 2, 4 или 6 очками (только четные), таких граней $m=3$. Тогда искомая вероятность равна $P=3/6=1/2=0.5$.

Пример 2. Брошен игральный кубик. Найти вероятность выпадения не менее 5 очков.

Рассуждаем также, как и в предыдущем примере. Общее число равновозможных исходов при бросании игрального кубика $n=6$, а условию "выпало не менее 5 очков", то есть "выпало или 5, или 6 очков" удовлетворяют 2 исхода, $m=2$. Нужная вероятность равна $P=2/6=1/3=0.333$.

Даже не вижу смысла приводить еще примеры, переходим к двум игральным костям, где все интереснее и сложнее.

Две игральные кости

Когда речь идет о задачах с бросанием 2 костей, очень удобно использовать таблицу выпадения очков . По горизонтали отложим число очков, которое выпало на первой кости, по вертикали - число очков, выпавшее на второй кости. Получим такую заготовку (обычно я делаю ее в Excel, файл вы сможете скачать ):

А что же в ячейках таблицы, спросите вы? А это зависит от того, какую задачу мы будем решать. Будет задача про сумму очков - запишем туда сумму, про разность - запишем разность и так далее. Приступаем?

Пример 3. Одновременно бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет менее 5 очков.

Сначала разберемся с общим числом исходов эксперимента. когда мы бросали одну кость, все было очевидно, 6 граней - 6 исходов. Здесь костей уже две, поэтому исходы можно представлять как упорядоченные пары чисел вида $(x,y)$, где $x$ - сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ - сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких пар чисел будет $n=6\cdot 6=36$ (и им соответствуют как раз 36 ячеек в таблице исходов).

Вот и пришло время заполнять таблицу. В каждую ячейку занесем сумму числа очков выпавших на первой и второй кости и получим уже вот такую картину:

Теперь эта таблица поможем нам найти число благоприятствующих событию "в сумме выпадет менее 5 очков" исходов. Для этого подсчитаем число ячеек, в которых значение суммы будет меньше 5 (то есть 2, 3 или 4). Для наглядности закрасим эти ячейки, их будет $m=6$:

Тогда вероятность равна: $P=6/36=1/6$.

Пример 4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение числа очков делится на 3.

Составляем таблицу произведений очков, выпавших на первой и второй кости. Сразу выделяем в ней те числа, которые кратны 3:

Остается только записать, что общее число исходов $n=36$ (см. предыдущий пример, рассуждения такие же), а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=20$. Тогда вероятность события будет равной $P=20/36=5/9$.

Как видно, и этот тип задач при должной подготовке (разобрать еще пару тройку задач) решается быстро и просто. Сделаем для разнообразия еще одну задачу с другой таблицей (все таблицы можно будет скачать внизу страницы).

Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найти вероятность того, что разность числа очков на первой и второй кости будет от 2 до 5.

Запишем таблицу разностей очков, выделим в ней ячейки, в которых значение разности будет между 2 и 5:

Итак, что общее число равновозможных элементарных исходов $n=36$, а число благоприятствующих исходов (число закрашенных ячеек в таблице выше) $m=10$. Тогда вероятность события будет равной $P=10/36=5/18$.

Итак, в случае, когда речь идет о бросании 2 костей и простом событии, нужно построить таблицу, выделить в ней нужные ячейки и поделить их число на 36, это и будет вероятностью. Помимо задач на сумму, произведение и разность числа очков, также встречаются задачи на модуль разности, наименьшее и наибольшее выпавшее число очков (подходящие таблицы вы найдете в ).

Другие задачи про кости и кубики

Конечно, разобранными выше двумя классами задач про бросание костей дело не ограничивается (просто это наиболее часто встречаемые в задачниках и методичках), существуют и другие. Для разнообразия и понимания примерного способа решения разберем еще три типовых примера: на бросание 3 игральных костей, на условную вероятность и на формулу Бернулли.

Пример 6. Бросают 3 игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 15 очков.

В случае с 3 игральными костями таблицы составляют уже реже, так как их нужно будет аж 6 штук (а не одна, как выше), обходятся простым перебором нужных комбинаций.

Найдем общее число исходов эксперимента. Исходы можно представлять как упорядоченные тройки чисел вида $(x,y,z)$, где $x$ - сколько очков выпало на первой кости (от 1 до 6), $y$ - сколько очков выпало на второй кости (от 1 до 6), $z$ - сколько очков выпало на третьей кости (от 1 до 6). Очевидно, что всего таких троек чисел будет $n=6\cdot 6\cdot 6=216$ .

Теперь подберем такие исходы, которые дают в сумме 15 очков.

$$ (3,6,6), (6,3,6), (6,6,3),\\ (4,5,6), (4,6,5), (5,4,6), (6,5,4), (5,6,4), (6,4,5),\\ (5,5,5). $$

Получили $m=3+6+1=10$ исходов. Искомая вероятность $P=10/216=0.046$.

Пример 7. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на первой кости выпало не более 4 очков, при условии, что сумма очков четная.

Наиболее простой способ решения этой задачи - снова воспользоваться таблицей (все будет наглядно), как и ранее. Выписываем таблицу сумм очков и выделяем только ячейки с четными значениями:

Получаем, что согласно условию эксперимента, всего есть не 36, а $n=18$ исходов (когда сумма очков четная).

Теперь из этих ячееек выберем только те, которые соответствуют событию "на первой кости выпало не более 4 очков" - то есть фактически ячейки в первых 4 строках таблицы (выделены оранжевым), их будет $m=12$.

Искомая вероятность $P=12/18=2/3.$

Эту же задачу можно решить по-другому , используя формулу условной вероятности . Введем события:
А = Сумма числа очков четная
В = На первой кости выпало не более 4 очков
АВ = Сумма числа очков четная и на первой кости выпало не более 4 очков
Тогда формула для искомой вероятности имеет вид: $$ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}. $$ Находим вероятности. Общее число исходов $n=36$, для события А число благоприятствующих исходов (см. таблицы выше) $m(A)=18$, а для события АВ - $m(AB)=12$. Получаем: $$ P(A)=\frac{m(A)}{n}=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}; \quad P(AB)=\frac{m(AB)}{n}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3};\\ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1/3}{1/2}=\frac{2}{3}. $$ Ответы совпали.

Пример 8. Игральный кубик брошен 4 раза. Найти вероятность того, что четное число очков выпадет ровно 3 раза.

В случае, когда игральный кубик бросается несколько раз , а речь в событии идет не о сумме, произведении и т.п. интегральных характеристиках, а лишь о количестве выпадений определенного типа, можно для вычисления вероятности использовать

ЗАНЯТИЕ 3

Пример 1. Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет 2 раза.

Решение. Применим формулу Бернулли.

Здесь p = 1/6; q = 1-1/6 = 5/6; n = 10; m = 2;

Пример 2 . Правильную монету подбрасывают 10 раз. Найти вероятности следующих событий:

A = {герб выпадет ровно 5 раз};
B = {герб выпадет не более 5 раз};
C = {герб выпадет хотя бы 1 раз}.

Решение. Переформулируем задачу в терминах испытаний Бернулли:

N = 10 число испытаний;
успех – герб;
p = 0,5 – вероятность успеха;
q = 1-p = 0,5 – вероятность неудачи.

Для расчёта вероятности события A используем формулу Бернулли:

Пример 3 . Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов.

Решение. Имеем n = 96; р = 0,08; q = 0,92;

Пример 4 . Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, наудачу выбирается с возвращением 5 раз подряд один шар. Подсчитать вероятность того, что 4 раза появится белый шар.

Имеем: n = 8; p = 1/4; q = 3/4; m = 5. Искомую вероятность вычисляем по формуле Бернулли:

Пример 5 . Каждый день акции корпорации поднимаются в цене или падают в цене на один пункт с вероятностями соответственно 0,75 и 0,25. Найти вероятность того, что акции после шести дней вернутся к своей первоначальной цене. Принять условие, что изменения цены акции вверх и вниз – независимые события.

Решение . Для того, чтобы акции вернулись за 6 дней к своей первоначальной цене, нужно, чтобы за это время они 3 раза поднялись в цене и три раза опустились в цене. Искомая вероятность рассчитывается по формуле Бернулли:

Пример 6 . Из таблицы случайных чисел наудачу выписаны 200 двузначных случайных чисел (от 0 до 99). Определить вероятность того, что среди них число 33 встретится: а) три раза; б) четыре раза.

Решение . Вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число равно 33, равна p = 0,01, поскольку выбирается одно из 100 возможных. Число испытаний n = 200. Так как число n велико, а вероятность P мала, воспользуемся формулой Пуассона:

Где a = np = 200·0,01 = 2.

Пример 7 . Вероятность искажения одного символа при передаче сообщения по линии связи равна 0.001. Сообщение считают принятым, если в нём отсутствуют искажения. Найти вероятность того, что будет принято сообщение, состоящее из 20 слов по 100 символов каждое.

Решение . Обозначим через А событие, вероятность которого требуется найти в задаче.

N = 2000 - количество символов в сообщении;
успех - символ не искажается;
p = 0,001 - вероятность успеха;
m = 0;
P 2000 (0) - ? - вопрос задачи в терминах схемы Бернулли.

Вычислим λ = np = 2. Для расчёта нужно применить формулу Пуассона:

Вероятности для формулы Пуассона по λ и m можно найти в специальной таблице.

Пример 8. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. Вероятность того, что в течение минуты какому-либо абоненту понадобится соединение, равна 0,0007. Вычислить вероятность того, что за минуту на телефонную станцию поступит не менее 3 вызовов.

Решение. Переформулируем задачу в терминах схемы Бернулли:

N = 1000;
успех - поступление вызова;
p = 0,0007 - вероятность успеха;
–диапазон, в котором должно лежать число успехов.

Для расчёта нужно применить формулу Пуассона для диапазона .

А = {поступит не менее трёх вызовов} - событие, вероятность которого надо найти в задаче.

= {поступит менее трёх вызовов}. Переходим к противоположному событию, т.к. его вероятность подсчитать проще.

Таким образом,

Пример 9 (локальная формула Муавра-Лапласа).

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Определить вероятность того, что при 400 выстрелах произойдёт ровно 300 попаданий.

Решение. Переформулируем задачу в терминах схемы Бернулли:

N = 400 – число испытаний;
m = 300 – число успехов;
успех – попадание;
p = 0.8;
P 400 (300) - ? - вопрос задачи в терминах схемы Бернулли;
λ = np = 320.

Нужно применить локальную формулу Муавра-Лапласа.

Предварительный расчёт:

Значение функции φ(x) можно найти в таблице. Там содержатся значения только для x≥0. Но функция φ(x) - чётная, т.е. φ(-x) = φ(x).

Если x>5, то полагают φ(x)≈0.

Пример 10 (интегральная формула Муавра-Лапласа).

Найти вероятность того, при 600 подбрасываниях игральной кости выпадет от 90 до 120 шестёрок.

Решение. Переформулируем задачу в терминах схемы Бернулли:

N = 600 – число испытаний;
успех – выпадение 6;
p = 1/6 - кость предполагается правильной;
- диапазон для числа успехов;
q = 5/6;

Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа.

Предварительный расчёт:

Обозначим через A – событие, о котором спрашивается в задаче.

P(A) = Ф(х2)-Ф(x1) = Ф(2,19)-Ф(-1,10) ≈ 0,48575+0,36433 = 0,85007.

Значение функции Ф(х) можно найти в специальной таблице. Там содержатся значения только для x≥0. Но функция Ф(х) - нечётная, т.е. Ф(-х) = -Ф(х).

В партии из 18 деталей 5 бракованных. Из партии выбирают наугад 9 деталей. Определить вероятность того, что среди них не будет бракованных.

Устройство состоит из двух независимых элементов, работающих в течение некоторого времени безотказно с вероятностями соответственно 0,85 и 0,75. Найти вероятность того, что за данное время выйдет из строя хотя бы один элемент.

На некотором предприятии 60 % изделий признаются пригодными. Из каждых 90 годных изделий в среднем 67 оказываются первого сорта. Найти вероятность того, что изделие, изготовленное на этом предприятии, окажется первого сорта.

Прибор может собираться из высококачественных изделий и изделий обычного качества. 40 % приборов собирается из высококачественных изделий, при этом его надежность 0,95, если прибор собран из обыкновенных деталей, то его надежность 0,7. Найти вероятность того, что прибор сломался.

Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, дела по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4. После стрельбы цель поражена. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку.

Игральную кость бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что два раза появится число очков, кратное трем. Вариант 25

Числа 1, 2,…, 20 расставлены случайным образом. Предполагая, что различные расположения чисел равновероятны, найти вероятность того, что числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 расположены рядом.

Устройство состоит из двух независимых элементов, работающих в течение некоторого времени безотказно с вероятностями соответственно 0,85 и 0,75. Найти вероятность того, что за данное время не выйдет из строя только ни один элемент.

Прибор, работающий безотказно в течение некоторого времени, состоит из трех узлов, каждый из которых независимо от других, может в течение этого времени выйти из строя. Отказ хотя бы одного из них приводит в отказы прибора в целом. Надежность первого узла 0,4, второго – 0,6, третьего – 0,7. С какой вероятностью прибор выйдет из строя в течение указанного времени?

Формула Бернулли.

Производятся n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (по традиции такой исход опыта называется успехом) с одной и той же вероятностью или произойти противоположное событие А (такой исход называют неудачей) с вероятностью . Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно m раз, находится по формуле Бернулли

в частности, следует, что вероятность того, что в n испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событие А наступит:

1)менее раз - равна

2)более раз - равна

3) хотя бы один раз - равна

4) не менее раз и не более раза - равна:

Число называется наивероятнейшим числом наступлений (или наиболее вероятным числом успехов) в схеме Бернулли, если вероятности p и q отличны от нуля то число можно найти из двойного неравенства

Если в каждом независимом испытании вероятность наступления события А равна ( числа разные), то вероятность того, что в этой серии испытаний событие А наступит m раз, равна коэффициенту при m – ой степени многочлена

функция называется производящей функцией

Пример1 .

Игральную кость подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что шестерка выпадет:

a) ровно 2 раза; b) не более 8 раз; c) хотя бы один раз

Решение:

Проводится 10 независимых испытаний. Каждое испытание имеет два исхода: выпадет шестерка, не выпадет шестерка. Вероятность выпадения шестерки в каждом испытании постоянна и равна . Таким образом, мы имеем дело со схемой испытаний Бернулли. Для нахождения искомых вероятностей используем схему Бернулли.

a) Здесь Отсюда, b) Искомая вероятность равна:

Однако в этом случае удобно найти вероятность противоположного события – «шестерка выпадет более 8 раз» т. е. 9 или 10

Итак, вероятность того, что шестерка выпадет не более 8 раз, равна

b) Искомая вероятность равна

Пример 2.

Всхожесть семян данного сорта растений составляет 70%. Найти наивероятнейшее число всхожих семян в партии из 240 семян.

Решение:

Наивероятнейшее число находим из двойного неравенства

Поскольку , то

Отсюда следует, что

Ответ: 168

Пример 3.

Прибор состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время равны . Найти вероятность того, что откажут два элемента.

Решение:

Так как , то вероятность того, что элемент не откажет равны . Составим производящую функцию:

Отсюда следует, что

Задачи:

1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

2. Тест содержит 10 вопросов, на которые нужно отвечать, используя одно из двух слов: да, нет. Какова вероятность получения не менее 80% правильных ответов, если используется метод угадывания?

3. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти наиболее вероятное число попаданий в мишень при 5 выстрелах и соответствующую этому числу вероятность.

4. Вероятность того, что станок в течении часа потребует внимание рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки в станках независимы, найти вероятность того, что в течении часа внимания рабочего потребует какой-либо станок из четырех, обсуживаемых им.

5. Монета подброшена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) от 4 до 6 раз; б) хотя бы один раз.

6. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 30%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий.

7. Сколько раз надо подбросить игральный кубик, чтобы наивероятнейшее число выпадений двойки было равно 32?

8. Всхожесть семян составляет в среднем 80%. Найти наименьшее число всхожих семян среди девяти.

9. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% случаев. Какова вероятность того, что из 5 больных поправиться не менее 4?

10. Какова вероятность наступления события А в каждом испытании, если наивероятнейшее число наступлений событий А в 120 испытаниях равно 32?

11. Мишень состоит из трех попарно непересекающихся зон. При одном выстреле по мишени вероятность попадания в первую зону для данного стрелка 0,5. Для второй и третей зон эта вероятность соответственно равны 0,3 и 0,2. Стрелок производит 6 выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что при этом окажется 3 попадания в первую зону, 2 попадания во вторую и 1 попадания в третью зону.

12. Какое минимальное число опытов достаточно провести, чтобы с вероятностью, не менее, чем 0,98, можно было бы ожидать наступления события А хотя бы один раз, если вероятность события А в одном опыте равна 0,02.

13. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

14. Найти вероятность того, что при 10 подбрасываниях монеты герб выпадет 5 раз.

15. При стрельбе по мишени вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. При каком числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно 16?

16. Проверка качества выпускаемых деталей показала, что в среднем брак составляет 7,5%. Найти наиболее вероятное число стандартных деталей в партии из 39 штук, отобранных наудачу.