§ 2. Тождественные выражения, тождество. Тождественное преобразование выражения. Доказательства тождеств
Найдем значения выражений 2(х - 1) 2х - 2 для данных значений переменной х. Результаты запишем в таблицу:
Можно прийти к выводу, что значения выражений 2(х - 1) 2х - 2 для каждого данного значения переменной х равны между собой. По распределительным свойством умножения относительно вычитания 2(х - 1) = 2х - 2. Поэтому и для любого другого значения переменной х значение выражения 2(х - 1) 2х - 2 тоже будут равны между собой. Такие выражения называют тождественно равными.
Например, синонимами являются выражения 2х + 3х и 5х, так как при каждом значении переменной х эти выражения приобретают одинаковых значений (это вытекает из распределительной свойства умножения относительно сложения, поскольку 2х + 3х = 5х).
Рассмотрим теперь выражения 3х + 2у и 5ху. Если х = 1 и в = 1, то соответствующие значения этих выражений равны между собой:
3х + 2у =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5ху = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.
Однако можно указать такие значения х и у, для которых значения этих выражений не будут между собой равными. Например, если х = 2; у = 0, то
3х + 2у = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5ху = 5 ∙ 20 = 0.
Следовательно, существуют такие значения переменных, при которых соответствующие значения выражений 3х + 2у и 5ху не равны друг другу. Поэтому выражения 3х + 2у и 5ху не являются тождественно равными.
Исходя из вышеизложенного, тождественностями, в частности, являются равенства: 2(х - 1) = 2х - 2 и 2х + 3х = 5х.
Тождеством является каждое равенство, которым записано известные свойства действий над числами. Например,
а + b = b + а; (а + b) + с = а + (b + с); а(b + с) = ab + ас;
ab = bа; (аb)с = a(bc); a(b - с) = ab - ас.
Тождественностями есть и такие равенства:
а + 0 = а; а ∙ 0 = 0; а ∙ (-b) = -ab;
а + (-а) = 0; а ∙ 1 = а; а ∙ (-b) = аb.
1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.
Если в выражении-5х + 2х - 9 свести подобные слагаемые, получим, что 5х + 2х - 9 = 7х - 9. В таком случае говорят, что выражение 5х + 2х - 9 заменили тождественным ему выражением 7х - 9.
Тождественные преобразования выражений с переменными выполняют, применяя свойства действий над числами. В частности, тождественными преобразованиями с раскрытие скобок, возведение подобных слагаемых и тому подобное.
Тождественные преобразования приходится выполнять при упрощении выражения, то есть замены некоторого выражения на тождественно равное ему выражение, которое должно короче запись.
Пример 1. Упростить выражение:
1) -0,3 m ∙ 5n;
2) 2(3х - 4) + 3(-4х + 7);
3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - а).
1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;
2) 2(3х 4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2х + 21 = 6x + 13;
3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - a) = 2 + 5а - а + 2 b + 3 b - а = 3а + 5b + 2.
Чтобы доказать, что равенство является тождеством (иначе говоря, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.
Доказать тождество можно одним из следующих способов:
- выполнить тождественные преобразования ее левой части, тем самым сведя к виду правой части;
- выполнить тождественные преобразования ее правой части, тем самым сведя к виду левой части;
- выполнить тождественные преобразования обеих ее частей, тем самым возведя обе части до одинаковых выражений.
Пример 2. Доказать тождество:
1) 2х - (х + 5) - 11 = х - 16;
2) 206 - 4а = 5(2а - 3b) - 7(2а - 5b);
3) 2(3x - 8) + 4(5х - 7) = 13(2x - 5) + 21.
Р а з в’ я з а н н я.
1) Преобразуем левую часть данного равенства:
2х - (х + 5) - 11 = 2х - х - 5 - 11 = х - 16.
Тождественными преобразованиями выражение в левой части равенства свели к виду правой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.
2) Преобразуем правую часть данного равенства:
5(2а - 3b) - 7(2а - 5b) = 10а - 15 b - 14а + 35 b = 20b - 4а.
Тождественными преобразованиями правую часть равенства свели к виду левой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.
3) В этом случае удобно упростить как левую, так и правую части равенства и сравнить результаты:
2(3х - 8) + 4(5х - 7) = 6х - 16 + 20х - 28 = 26х - 44;
13(2х - 5) + 21 = 26х - 65 + 21 = 26х - 44.
Тождественными преобразованиями левую и правую части равенства свели к одному и тому же виду: 26х - 44. Поэтому данное равенство является тождеством.
Какие выражения называют тождественными? Приведите пример тождественных выражений. Какое равенство называют тождеством? Приведите пример тождества. Что называют тождественным преобразованием выражения? Как доказать тождество?
- (Устно) Или есть выражения тождественно равными:
1) 2а + а и 3а;
2) 7х + 6 и 6 + 7х;
3) x + x + x и x 3 ;
4) 2(х - 2) и 2х - 4;
5) m - n и n - m;
6) 2а ∙ р и 2р ∙ а?
- Являются ли тождественно равными выражения:
1) 7х - 2х и 5х;
2) 5а - 4 и 4 - 5а;
3) 4m + n и n + 4m;
4) а + а и а 2 ;
5) 3(а - 4) и 3а - 12;
6) 5m ∙ n и 5m + n?
- (Устно) является Ли тождеством равенство:
1) 2а + 106 = 12аb;
2) 7р - 1 = -1 + 7р;
3) 3(х - у) = 3х - 5у?
- Раскройте скобки:
- Раскройте скобки:
- Сведите подобные слагаемые:
- Назовите несколько выражений, тождественных выражения 2а + 3а.
- Упростите выражение, используя переставляющейся и соединительную свойства умножения:
1) -2,5 х ∙ 4;
2) 4р ∙ (-1,5);
3) 0,2 х ∙ (0,3 г);
4)- х ∙ <-7у).
- Упростите выражение:
1) -2р ∙ 3,5;
2) 7а ∙ (-1,2);
3) 0,2 х ∙ (-3у);
4) - 1 m ∙ (-3n).
- (Устно) Упростите выражение:
1) 2х - 9 + 5х;
2) 7а - 3b + 2а + 3b;
4) 4а ∙ (-2b).
- Сведите подобные слагаемые:
1) 56 - 8а + 4b - а;
2) 17 - 2р + 3р + 19;
3) 1,8 а + 1,9 b + 2,8 а - 2,9 b;
4) 5 - 7с + 1,9 г + 6,9 с - 1,7 г.
1) 4(5х - 7) + 3х + 13;
2) 2(7 - 9а) - (4 - 18а);
3) 3(2р - 7) - 2(г - 3);
4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).
- Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые:
1) 3(8а - 4) + 6а;
2) 7р - 2(3р - 1);
3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);
4) 3(5m - 7) - (15m - 2).
1) 0,6 x + 0,4(x - 20), если x = 2,4;
2) 1,3(2а - 1) - 16,4, если а = 10;
3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), если m = -3,7;
4) 2x - 3(x + у) + 4у, если x = -1, у = 1.
- Упростите выражение и найдите его значение:
1) 0,7 x + 0,3(x - 4), если x = -0,7;
2) 1,7(у - 11) - 16,3, если в = 20;
3) 0,6(2а - 14) - 0,4(5а - 1), если а = -1;
4) 5(m - n) - 4m + 7n, если m = 1,8; n = -0,9.
- Докажите тождество:
1) -(2х - у)=у - 2х;
2) 2(x - 1) - 2x = -2;
3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;
4) с - 2 = 5(с + 2) - 4(с + 3).
- Докажите тождество:
1) -(m - 3n) = 3n - m;
2) 7(2 - р) + 7р = 14;
3) 5а = 3(а - 4) + 2(а + 6);
4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.
- Длина одной из сторон треугольника а см, а длина каждой из двух других сторон на 2 см больше нее. Запишите в виде выражения периметр треугольника и упростите выражение.
- Ширина прямоугольника равна х см, а длина на 3 см больше ширины. Запишите в виде выражения периметр прямоугольника и упростите выражение.
1) х - (х - (2х - 3));
2) 5m - ((n - m) + 3n);
3) 4р - (3р - (2р - (г + 1)));
4) 5x - (2x - ((у - х) - 2у));
5) (6а - b) - (4 a – 33b);
6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).
- Раскройте скобки и упростите выражение:
1) а - (а - (3а - 1));
2) 12m - ((а - m) + 12а);
3) 5y - (6у - (7у - (8у - 1)));
6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a – 1b).
- Докажите тождество:
1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);
2) -(- 3р) - (-(8 - 5р)) = 2(4 - г);
3) 3(а - b - с) + 5(а - b) + 3с = 8(а - b).
- Докажите тождество:
1) 12а - ((8а - 16)) = -4(4 - 5а);
2) 4(х + у - <) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).
- Докажите, что значение выражения
1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) не зависит от значения переменной.
- Докажите, что при любом значении переменной значение выражения
а - (а - (5а + 2)) - 5(а - 8)
является одним и тем же числом.
- Докажите, что сумма трех последовательных четных чисел делится на 6.
- Докажите, что если n - натуральное число, то значение выражения -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) является четным числом.
Упражнения для повторения
- Сплав массой 1,6 кг содержит 15 % меди. Сколько кг меди содержится в этом сплаве?
- Сколько процентов составляет число 20 от своего:
1) квадрата;
- Турист 2 ч шел пешком и 3 ч ехал на велосипеде. Всего турист преодолел 56 км. Найдите, с какой скоростью турист ехал на велосипеде, если она на 12 км/ч больше за скорость, с которой он шел пешком.
Интересные задачи для учеников ленивых
- В чемпионате города по футболу участвуют 11 команд. Каждая команда играет с другими по одному матчу. Докажите, что в любой момент соревнований найдется команда, которая проведет к этому моменту четное число матчей или не провела еще ни одного.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Функция y=f(x) — это такая зависимость переменной y от переменной x , когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y .
Областью определения функции D(f) называют множество всех допустимых значений переменной x .
Область значений функции E(f) — множество всех допустимых значений переменной y .
График функции y=f(x) — множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек, вида M (x; f(x)) . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.
Если b=0 , то функция примет вид y=kx и будет называться прямой пропорциональностью .
D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R
График линейной функции — прямая.
Угловой коэффициент k прямой y=kx+b вычисляется по следующей формуле:
k= tg \alpha , где \alpha — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox .
1) Функция монотонно возрастает при k > 0 .
Например: y=x+1
2) Функция монотонно убывает при k < 0 .
Например: y=-x+1
3) Если k=0 , то придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ox .
Например: y=-1
Обратная пропорциональность
Обратной пропорциональностью называется функция вида y=\frac {k}{x} , где k — отличное от нуля, действительное число
D(f) : x \in \left \{ R/x \neq 0 \right \}; \: E(f) : y \in \left \{R/y \neq 0 \right \} .
Графиком функции y=\frac {k}{x} является гипербола.
1) Если k > 0 , то график функции будет располагаться в первой и третьей четверти координатной плоскости.
Например: y=\frac{1}{x}
2) Если k < 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.
Например: y=-\frac{1}{x}
Степенная функция
Степенная функция — это функция вида y=x^n , где n — отличное от нуля, действительное число
1) Если n=2 , то y=x^2 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in ; основной период функции T=2 \pi
Значение - это одна из самых неоднозначных и спорных проблем в теории языка. Вопрос определения значения слова (имеется ввиду лексическое значение) широко освещен в трудах отечественных и зарубежных лингвистов. Однако, несмотря на многовековую историю, он до сих пор не получил не только общепризнанного, но даже хотя бы достаточно ясного ответа.
В современной лингвистике можно выделить два подхода к проблеме определения значения: референциальный (referential) и функциональный (functional). Ученые, придерживающиеся референциального подхода, стремятся описать значение как компонент слова, с помощью которого передается какое-либо понятие, и который таким образом наделяет слово возможностью объективно отражать существующую действительность, обозначать предметы, качества, действия и абстрактные понятия. Сторонники же функционального подхода изучают функции слова в речи и уделяют меньше внимания вопросу “что есть значение?”, нежели тому, “какие функции имеет значение?” Гинзбург Р.З., Хидекель С.С., Кязева Г.Ю. Лексикология английского языка. - М., 1979 (in Engl.) - С. 13..
Все наиболее крупные работы по теории семантики до сих пор основывались на референциальном подходе. Центральной идеей этого подхода является выделение трех факторов, характеризующих значение слова: “the word (the symbol)” (звуковая форма слова), “the mental content” (понятие) и “the referent” (термин “референт” - тот предмет (действие, качество), который обозначает слово). В соответствии с этим подходом значение понимается как сложное целое, состоящее из обозначаемого предмета и понятия об этом предмете. Эта взаимосвязь представляется учеными в виде схематического изображения, а именно треугольников, незначительно различающихся между собой. Наибольшую известность получил треугольник Огдена-Ричардса Stern G. Meaning and change of meaning with special reference to the English language. - Goeteborg, 1931, - P.45., приведенный в книге немецкого лингвиста Густава Стерна “Meaning and change of meaning with special reference to the English language”.
Thought or reference
(the mental content)
Symbol Referent
Под термином “symbol” здесь подразумевается слово; “thought” или “reference” - это понятие. Пунктирная линия значит, что прямой связи между референтом и словом нет: она устанавливается только при помощи понятия. Немецкий лингвист Густав Стерн утверждает, что значение слова полностью определяется своей связью с тремя его факторами: слово, референт и понятие. В соответствии с вышесказанным, Г. Стерн предлагает такое определение значения слова: “Значение слова в реальной речи идентично с теми элементами субъективного понимания обозначаемого словом предмета говорящим или слушающим, которые, по их представлению, выражены этим словом” Stern G. Ibid. - P. 37..
С. Ульман Ulmann S. Words and their use. - L., 1951. - P. 32-33., определяя значение, предлагает упростить терминологию и заменяет “symbol” на “name” (название), а “thought or reference” на “sense” (смысл). Также он предлагает исключить термин “референт” из определения, объясняя это отсутствием прямой связи между словом и референтом и пытаясь более подробно объяснить связь между двумя ключевыми терминами - названием и смыслом. Ученый подчеркивает двустороннюю связь между словом и понятием, которое это слово обозначает. Не только слово, произнесенное или написанное, вызывает в памяти соответствующее понятие, но и само понятие, пришедшее на ум, заставляет нас найти подходящее слово. Когда я думаю о столе, я обязательно назову слово “стол”, также и, услышав слово “стол”, я обязательно представлю его себе. Таким образом, Ульман приходит к такому определению значения: Meaning is a reciprocal relationship between the name and the sense, which enables the one to call up the other. (Значение - это двусторонняя связь между названием и смыслом (словом и понятием), которая при упоминании позволяет первому мгновенно вызывать в памяти второе и наоборот).
А.И. Смирницкий Смирницкий А.И. Лексикология английского языка. - М., 1956. - С. 149-152. утверждает, что значение слова нельзя отождествлять ни с референтом, т.е. предметом, который оно обозначает, ни со звучанием этого слова. Учитывая вышесказанное, он предлагает следующее определение значения слова: значение слова - это известное отображение предмета, явления или отношения в сознании (или аналогичное по своему характеру психическое образование, конструированное из отображений отдельных элементов действительности - mermaid, goblin, witch и т.п.), входящее в структуру слова в качестве так называемой внутренней его стороны по отношению к которой звучание слова выступает как материальная оболочка , необходимая не только для выражения значения и для сообщения его другим людям, но и для самого его возникновения, формирования, существования и развития.
В противоположность именам собственным, местоимения ничего не называют, а только указывают на кого-нибудь или что-нибудь, преимущественно выявляя его отношение к говорящему лицу: you, my, that, hers. Значение местоимений является предельно обобщенным.
Междометия ничего не называют и ни на что не указывают. Их значение состоит в том, что они выражают, но не понятия, а чувства и волю говорящего. Междометие может выражать чувство вообще: Oh! Ah! Dear me! oh, my! oh, dear! Или какое-нибудь определенно чувство, например: уныние (alas!), досаду (damn!), одобрение (hear! hear!), пренебрежение (pooh!), удивление (gosh!) и т.д. Императивные, т.е. выражающие волю, междометия могут быть призывом успокоиться или замолчать: come, come! easy! there, there! hush! и т.д.
Обладая значением, имена собственные, местоимения и междометия понятий не выражают.
Значение определяется не только связью слова с предметами реальной действительности, но также местом слова в системе данного языка. (Сравнивая лексические системы разных языков, мы видим, что особенно очевидными становятся характер и суть зависимости значения от структуры языка). Исходя из этого, значение слова можно определить как закрепленное за данной звуковой формой обусловленное системой данного языка мыслительное содержание, общее для данного языкового коллектива. Арбекова Т.И. Лексикология английского языка: Практ. курс. - М., 1977. - С. 52-53.
Значение слов обусловливается всей лексико-семантической системой языка и является результатом отражения общественно осознанной объективной действительности. Лексическое значение формируется в условиях конкретных связей и взаимоотношений слов данного языка. В отличие от понятий, которые являются общими дл разных языков, лексическое значение слова всегда национально-специфично, как и вся лексика в целом. Помимо выражаемого им понятия в значение слова могут входить и другие компоненты: эмоциональная окраска, стилистическая характеристика, соотнесенность с другими словами того же языка. На него наслаиваются добавочные представления и разного рода смысловые ассоциации. В зависимости от того, к какой части речи принадлежит слово, лексическое значение его связывается с определенным кругом грамматических значений и может испытывать на себе их влияние, так что каждая часть речи имеет свои семантические особенности. Нетождественность значения и понятия проявляется также и в том, что одно понятие может выражаться значением двух и более слов, и, наоборот, одно многозначное слово может в своих значениях объединять целую группу связанных между собой понятий. Лексическое значение слова может, наконец, не совпадать с понятием по объему или содержанию. Арнольд И.В. Указ. соч. - С. 55.
Опираясь на сведения из энциклопедий, Интернета, подготовьте доклад о трудах М. Ломоносова как лингвиста. Какое значение для определения статуса русского языка имеет его лингвистическое наследие?
Ответы:
Гениальность М.В. Ломоносова проявилась и в лингвистике. Ученый изменил русский литературный язык, предложив новые правила. Он замечал, что русский литературный стал грешить нерусскими и устаревшими словами. Ломоносов решил, что стоит развить литературный язык на народной основе, сочетая достоинство первого и второго. Моим современникам он оставил учение о "трех штилях", которое изложено в работе " О пользе книг церковных в российском языке" (1757). Ломоносов разделил слова на три "речения" . Он отнес к первому общие слова для русского и славянского - "почитаю", "ныне"," слава". Ко второму - славянские, редко употребляемые, но всем известные ("господень","взываю"), неупотребительные, устаревшие (рясны- ожерелье, овогда - иногда). К третьему "приписал " русские слова ("говорю"," ручей","пока"), которые были" взяты" из народной речи, а не из церковнославянского языка. В зависимости от употребления в речи и на письме выделил три "штиля " : " высокий", " средний" и низкий". Слова разных стилей, полагал Ломоносов, стоит употреблять в разных литературных произведениях. Ломоносов успешно боролся с засорением русского "иностранщиной". При составлении своих трудов прекрасный знаток заменял английские, немецкие, французские слова и выражения русскими: земная ось, воздушный насос, магнитная стрелка, "о законах движения" вместо " о силах тел подвиженному вданных"... Великий ученый не стал переводить те устойчивые обороты и слова, которые прижились в русском, он лишь сделал их благозвучными: оризонт заменил горизонтом, препорцию - пропорцией. Русский язык благодаря реформе М. В. Ломоносова стал занимать прочное место в научных трудах, определенным образом был систематизирован, дополнен. Ученый обозначил путь, по которому должна идти отечественная лингвистика.
