Зарождение и создание теории действительного числа

3 Становление теории предела

Строгая математическое построение понятия вещественного числа стала возможной благодаря теории предела.

Человек, получивший современное математическое образование с трудом представляет себе дифференциальное и интегральное исчисление без аппарата теории предела. Однако, исторически производная появилась раньше предела. Причины такого явления в объясняются насущной потребностью естествознания в XVII веке методах дифференциального и интегрального исчисления.

В XVII идеи связанные с инфинитезимальными методами начали бурно развиваться. Здесь стоит отметить таких математиков как Декарт, Ферма, Паскаль, Торричелли, Кавальери, Роберваль, Барроу. Метод квадратур, разработанный в античности, нашел широкое применение и развитие. Исследовался вопрос касательных -- было дано определение, более общее чем античное, были построены методы отыскания касательных. Были сделаны попытки ввести производную. Было даже установлено, что задача о нахождении касательной обратна к задаче о квадратуре.

Несмотря на отсутствие строгости «...математики достигали все большего мастерства в обращении с понятиями, лежащими в основе исчисления бесконечно малых».

Методы бесконечно малых завоевывают популярность у математиков и все больше используются и совершенствуются. Интегральное и дифференциальное исчисление постепенно оформляется и обобщается трудами таких ученых как Ньютон(1643-1727) и Лейбниц(1646-1716). Так, Ньютон установил связь между производной и интегралом, предложил новый метод решения уравнений при помощи производной. Он разработал метод флюксий, который связал производную с мгновенной скоростью и ускорением. При помощи этого метода он разрабатывал интегральное и дифференциальное исчисление. Также Ньютон предложил алгоритм для нахождения производной функции, основанный на ранней форме теории пределов. Основой и мощным средством метода флюксий было разложение функций в ряды, правда без должного обоснования их сходимости.

Лейбницу мы обязаны большим количеством удобных и красивых обозначений в интегральном и дифференциальном исчислении. К своим результатам Лейбниц пришел независимо от Ньютона. Пользуясь знаниями из комбинаторики он разработал формальный метод вычисления интегралов. Лейбниц ввел понятие дифференциала определив его через касательные, нашел некоторые правила нахождения дифференциала сложной функции, а также ввёл дифференциалы высших порядков. Также Лейбницем были разработаны методы поиска точек экстремума и точек перегиба. Сильной стороной теории Лейбница, с точки зрения практических вычислений, была алгоритмичность и формальность.

И Ньютон, и Лейбниц решили множество практически важных задач, пользуюясь понятиями бесконечно малых величин, их точки зрения на производную и интеграл отличались друг от друга. Так Ньютон для решения дифференциальных задач использует метод флюксий, а Лейбниц дифференциалы. Ньютон рассматривает интегрирование как задачу обратную дифференцированию(в наших понятиях, отыскание первообразной), а Лейбниц рассматривает интеграл как сумму площадей бесконечно малых прямоугольников. Вполне естесственно, что две эти концепции были конкурирующими друг другу.

Ньютон и Лейбниц, используя в своих выкладках бесконечно малые, не могли объяснить их природу, потому что не представляли себе малой величины и конечной и отличной от 0. Оба ученные близко подошли к понятию предела, но «..узкая концепция числа, не допускавшая отождествления некоторых отношений с числами, была отчасти причиной того, что ни в ньютоновской, ни в лейбницевой теориях не могло "прорезаться" понятие предела». Математики пользовались интуитивными и геометрическими соображениями. Функции понимались как кривые, полученные некоторым движением(так же как их рассматривали древние греки). «Первые создатели анализа и их последователи принимали как нечто само собой разумеющееся справедливость двух основным представлений о пространстве и механическом движени». Вероятно по этой причине связь между непрерывность и дифференцируемость долгое время считались почти синонимами.

Однако метод бесконечно малых доказал свою плодотворность и нужность математике, от этого проблема фундамента для интегрального и дифференциального исчисления становилась еще более острой. Споры были не только среди математиков; жестким нападкам подвергалась вся математика, например, со стороны богослова Д. Беркли. Это состояние математики XVII-XVII получило название второго кризиса математики.

Вслед за Ньютоном и Лейбницем попытки определить понятие бесконечно малой предпринимались Эйлером, Даламбером и Лагранжем. Эти попытки нельзя назвать бесполезными, этими работами укрепилось в матетике понятие функций, что сыграло свою роль дальнейшие поиски теории предела. Однако построить связанную и логически обоснованую теорию не получилось.

Таким образом к XIX веку в математике сложилась парадоксальная ситуация. Налицо были несомненные успехи математических наук в естествознании, разработана методика обращения с рядами, дифференцирования и интегрирования, решены многие важные задачи, но понимния на чем основан математический анализ не было. Необходимость разобраться с фундаметом новой математики стала всеобщей и насущной.

Построением стройной и строгой теории бесконечно малых мы обязаны Огюстену Луи Коши(1789-1857). Следует признать, что Коши был не первым математиком, кто пришел к этой идее, но, исторически, его работы сыграли в развитии математического анализа ключевую роль. Коши дал общее определение предела в описательной форме: «Если значения, последовательно приписываемые одной и той же переменной, неограниченно приближаются к фиксированному значению, так что в конце концов отличаются от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных»Цитата взята из . С точки зрения этого определения стало понтным что такое бесконечно малая величина -- это всего лишь величина, имеющая предел равный 0, затем Коши определил понятие производной и показал связь этого определения с дифференциалами Лейбница. Также он построил первую строгую теорию интегрирования и доказал связь интегрирования и дифференцирования.

Переоценить вклад Коши в математику трудно. Его работами открывалась новая эпоха в математике, «...начинается так называемая "арифметизация" всей математики». Благодаря работам Коши математический анализ прочно и заслуженно занял в математике одно из главных мест. Методы Коши получили всеобщее распрастранение, применялись оттачивались весь XIX век. Идеи и методы Коши плодотворно пользуются и обобщаются современными математиками и сегодня.

Аксиоматический метод

Исторический процесс развития взглядов на существо математики как науки привел к формированию фундаментальной концепции аксиоматического метода и понятия аксиоматической теории. Суть их состоит в следующем...

Дифференциальные свойства гиперболических функций

Теорема 1. Если существуют причем для всех из некоторой проколотой окрестности точки выполняется условие, то в точке существует предел сложной функции и справедливо Согласно определению предела, функции и определены соответственно в и...

Жизнь и научная деятельность Андрея Николаевича Колмогорова

Когда в 1920 году Андрей Колмогоров стал думать о поступлении в институт, перед ним возник вечный вопрос: чему себя посвятить, какому делу? Время было голодное и тревожное. Юноше хотелось получить не только знания, но и профессию, ремесло...

Линейное программирование

Каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему получения наибольшего эффекта, при затрате ограниченных средств. К сожалению, наши средства и ресурсы всегда ограничены, приходится действовать очень обдуманно, ответственно...

Математика в современном мире

Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало работы многих поколений ученых...

Математические методы и модели в решении задач по экономике

Найти решение игры заданной матрицей: Нижняя цена игры: Верхняя цена игры: Матрица игры имеет седловую точку V = 4. Из систем уравнений: Таким образом...

Понятие предела - фундаментальное понятие математического анализа. Геометрический смысл понятия предела: известно, что неравенство < е задает часть числовой оси, лежащую между точками a - е и a + е...

Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел. Доказательство. Пусть последовательность xn сходится. Предположим, что её предел не является единственным, то есть что одновременно верны равенства: xn = b иxn = c, где bc...

Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение

Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение

числовой последовательность предел штольц Пример 1. Доказать, что = . Решение. Рассмотрим последовательность an = -. Имеем an = =. Поскольку an = - бесконечно малая последовательность. Это означает, что = . Ответ: = . Пример 2. Вычислить предел. Решение...

Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение

Нам знакомы приложения теории пределов в геометрии. Например, площадь круга, объем цилиндра, конуса и шара были определены, а затем и вычислены как соответствующие пределы. Укажем другой способ использования понятия предела в решении задач...

Применение методов дискретной математики в экономике

Различные определения интеграла Римана и их сравнения

Разбиением множества Mпринято называть совокупность его подмножествсо свойствами: 1) ; 2) . В дальнейшем роль множества Mу нас будет играть промежуток, а разбиения мы будем рассматривать только некоторого специального типа. А именно...

Теория вероятности

Суммой двух событий А и В называется событие АВ (А+В), заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо событие А, либо событие В либо А и В одновременно)...

Теория нумераций

Представляется желательным, чтобы все исследования в теории алгоритмов и ее приложениях проводились на основе «общего знаменателя» - класса всех частично рекурсивных функций...

Приводятся формулировки основных теорем и свойств предела функции. Даны определения конечных и бесконечных пределов в конечных точках и на бесконечности (двусторонних и односторонних) по Коши и Гейне. Рассмотрены арифметические свойства; теоремы, связанные с неравенствами; критерий сходимости Коши; предел сложной функции; свойства бесконечно малых, бесконечно больших и монотонных функций. Дано определение функции.

Определение функции

Функцией y = f(x) называется закон (правило), согласно которому, каждому элементу x множества X ставится в соответствие один и только один элемент y множества Y .

Элемент x ∈ X называют аргументом функции или независимой переменной .
Элемент y ∈ Y называют значением функции или зависимой переменной .

Множество X называется областью определения функции .
Множество элементов y ∈ Y , которые имеют прообразы в множестве X , называется областью или множеством значений функции .

Действительная функция называется ограниченной сверху (снизу) , если существует такое число M , что для всех выполняется неравенство:
.
Числовая функция называется ограниченной , если существует такое число M , что для всех :
.

Верхней гранью или точной верхней границей действительной функции называют наименьшее из чисел, ограничивающее область ее значений сверху. То есть это такое число s , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого превосходит s′ : .
Верхняя грань функции может обозначаться так:
.

Соответственно нижней гранью или точной нижней границей действительной функции называют наибольшее из чисел, ограничивающее область ее значений снизу. То есть это такое число i , для которого для всех и для любого , найдется такой аргумент , значение функции от которого меньше чем i′ : .
Нижняя грань функции может обозначаться так:
.

Определение предела функции

Определение предела функции по Коши

Конечные пределы функции в конечных точках

Пусть функция определена в некоторой окрестности конечной точки за исключением, может быть, самой точки . в точке , если для любого существует такое , зависящее от , что для всех x , для которых , выполняется неравенство
.
Предел функции обозначается так:
.
Или при .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела функции можно записать следующим образом:
.

Односторонние пределы.
Левый предел в точке (левосторонний предел):
.
Правый предел в точке (правосторонний предел):
.
Пределы слева и справа часто обозначают так:
; .

Конечные пределы функции в бесконечно удаленных точках

Аналогичным образом определяются пределы в бесконечно удаленных точках.
.
.
.
Их часто обозначают так:
; ; .

Использование понятия окрестности точки

Если ввести понятие проколотой окрестности точки , то можно дать единое определение конечного предела функции в конечных и бесконечно удаленных точках:
.
Здесь для конечных точек
; ;
.
Любые окрестности бесконечно удаленных точек являются проколотыми:
; ; .

Бесконечные пределы функции

Определение
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки (конечной или бесконечно удаленной). f(x) при x → x 0 равен бесконечности , если для любого, сколь угодно большого числа M > 0 , существует такое число δ M > 0 , зависящее от M , что для всех x , принадлежащих проколотой δ M - окрестности точки : , выполняется неравенство:
.
Бесконечный предел обозначают так:
.
Или при .

С помощью логических символов существования и всеобщности определение бесконечного предела функции можно записать так:
.

Также можно ввести определения бесконечных пределов определенных знаков, равных и :
.
.

Универсальное определение предела функции

Используя понятие окрестности точки, можно дать универсальное определение конечного и бесконечно предела функции, применимое как для конечных (двусторонних и односторонних), так и для бесконечно удаленных точек:
.

Определение предела функции по Гейне

Пусть функция определена на некотором множестве X : .
Число a называется пределом функции в точке :
,
если для любой последовательности , сходящейся к x 0 :
,
элементы которой принадлежат множеству X : ,
.

Запишем это определение с помощью логических символов существования и всеобщности:
.

Если в качестве множества X взять левостороннюю окрестность точки x 0 , то получим определение левого предела. Если правостороннюю - то получим определение правого предела. Если в качестве множества X взять окрестность бесконечно удаленной точки, то получим определение предела функции на бесконечности.

Теорема
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Доказательство

Свойства и теоремы предела функции

Далее мы считаем, что рассматриваемые функции определены в соответствующей окрестности точки , которая является конечным числом или одним из символов: . Также может быть точкой одностороннего предела, то есть иметь вид или . Окрестность является двусторонней для двустороннего предела и односторонней для одностороннего.

Основные свойства

Если значения функции f(x) изменить (или сделать неопределенными) в конечном числе точек x 1 , x 2 , x 3 , ... x n , то это изменение никак не повлияет на существование и величину предела функции в произвольной точке x 0 .

Если существует конечный предел , то существует такая проколотая окрестность точки x 0 , на которой функция f(x) ограничена:
.

Пусть функция имеет в точке x 0 конечный предел, отличный от нуля:
.
Тогда, для любого числа c из интервала , существует такая проколотая окрестность точки x 0 , что для ,
, если ;
, если .

Если, на некоторой проколотой окрестности точки , - постоянная, то .

Если существуют конечные пределы и и на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то .

Если , и на некоторой окрестности точки
,
то .
В частности, если на некоторой окрестности точки
,
то если , то и ;
если , то и .

Если на некоторой проколотой окрестности точки x 0 :
,
и существуют конечные (или бесконечные определенного знака) равные пределы:
, то
.

Доказательства основных свойств приведены на странице
«Основные свойства пределов функции ».

Арифметические свойства предела функции

Пусть функции и определены в некоторой проколотой окрестности точки . И пусть существуют конечные пределы:
и .
И пусть C - постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
, если .

Если , то .

Доказательства арифметических свойств приведены на странице
«Арифметические свойства пределов функции ».

Критерий Коши существования предела функции

Теорема
Для того, чтобы функция , определенная на некоторой проколотой окрестности конечной или бесконечно удаленной точки x 0 , имела в этой точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовала такая проколотая окрестность точки x 0 , что для любых точек и из этой окрестности, выполнялось неравенство:
.

Предел сложной функции

Теорема о пределе сложной функции
Пусть функция имеет предел и отображает проколотую окрестность точки на проколотую окрестность точки . Пусть функция определена на этой окрестности и имеет на ней предел .
Здесь - конечные или бесконечно удаленные точки: . Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции и он равен :
.

Теорема о пределе сложной функции применяется в том случае, когда функция не определена в точке или имеет значение, отличное от предельного . Для применения этой теоремы, должна существовать проколотая окрестность точки , на которой множество значений функции не содержит точку :
.

Если функция непрерывна в точке , то знак предела можно применять к аргументу непрерывной функции:
.
Далее приводится теорема, соответствующая этому случаю.

Теорема о пределе непрерывной функции от функции
Пусть существует предел функции g(t) при t → t 0 , и он равен x 0 :
.
Здесь точка t 0 может быть конечной или бесконечно удаленной: .
И пусть функция f(x) непрерывна в точке x 0 .
Тогда существует предел сложной функции f(g(t)) , и он равен f(x 0) :
.

Доказательства теорем приведены на странице
«Предел и непрерывность сложной функции ».

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Бесконечно малые функции

Определение
Функция называется бесконечно малой при , если
.

Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .

Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки , на бесконечно малую при является бесконечно малой функцией при .

Для того, чтобы функция имела конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при .

«Свойства бесконечно малых функций ».

Бесконечно большие функции

Определение
Функция называется бесконечно большой при , если
.

Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки , и бесконечно большой функции при является бесконечно большой функцией при .

Если функция является бесконечно большой при , а функция - ограничена, на некоторой проколотой окрестности точки , то
.

Если функция , на некоторой проколотой окрестности точки , удовлетворяет неравенству:
,
а функция является бесконечно малой при :
, и (на некоторой проколотой окрестности точки ), то
.

Доказательства свойств изложены в разделе
«Свойства бесконечно больших функций ».

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Если функция являются бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
, .

Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при , то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки , то этот факт можно выразить так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при , то пишут:
.

Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
, ,
, .

Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».

Пределы монотонных функций

Определение
Функция , определенная на некотором множестве действительных чисел X называется строго возрастающей , если для всех таких что выполняется неравенство:
.
Соответственно, для строго убывающей функции выполняется неравенство:
.
Для неубывающей :
.
Для невозрастающей :
.

Отсюда следует, что строго возрастающая функция также является неубывающей. Строго убывающая функция также является невозрастающей.

Функция называется монотонной , если она неубывающая или невозрастающая.

Теорема
Пусть функция не убывает на интервале , где .
Если она ограничена сверху числом M : , то существует конечный предел . Если не ограничена сверху, то .
Если ограничена снизу числом m : , то существует конечный предел . Если не ограничена снизу, то .

Если точки a и b являются бесконечно удаленными, то в выражениях под знаками пределов подразумевается, что .
Эту теорему можно сформулировать более компактно.

Пусть функция не убывает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы в точках a и b :
;
.

Аналогичная теорема для невозрастающей функции.

Пусть функция не возрастает на интервале , где . Тогда существуют односторонние пределы:
;
.

Доказательство теоремы изложено на странице
«Пределы монотонных функций ».

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Посвящены одному из основных понятий математического анализа - пределу. И в случае числовой последовательности и в случае действительной функции действительного переменного исследовано неограниченное приближение к некоторому постоянному значению переменной величины, зависящей от другой переменной при определенном ее изменении. В этой главе попытаемся обобщить понятие предела для отображений произвольных метрических пространству причем обобщение коснется и способа стремления независимого переменного к заданному значению. 8.1. Понятие предела отображения Пусть X и У - метрические пространства с заданными на них метриками р и d соответственно, X - некоторое подмножество в X с той же метрикой />, имеющее а 6 X своей предельной точкой. Подчеркнем, что в силу определения 5.9 эта предельная для А точка может как принадлежать, так и не принадлежать подмножеству А. Будем рассматривать ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения проколотую окрестность U(a) = U(a) \ {а} данной точки. Пусть область определения отображения /: А У включат ет множество А. Отметим, что для точки а это отображение может и не быть определено. Определение 8.1. Точку 6 € У называют пределом отображения /: A -f У в точке а по множеству А и записывают b = lim f(x) или f(x) -> b при х-^а, если, како- ва бы ни была окрестность V(6) точки 6, существует такая проколотая окрестность U(a) точки а в X, что ее образ для любой точки ж€Ща)ПЛ принадлежит У(6),т.е. При выполнении (8.1) говорят также, что функция f(x) стремится к Ь при стремлении х по множеству А к точке а. Определение 8.1 является достаточно общим. В зависимости от того, какими множествами являются X, У, АСХ и какова точка а € X, можно получить различные конкретизации этого определения. Напомним (см. 5.2), что любая окрестность точки включает е-окрестность этой точки и всякая ^-окрестность является окрестностью. Поэтому, заменяя в (8.1) произвольную окрестность V (6) точки b б Y на ее ^-окрестность а проколотую окрестность точки а € X - на ее проколотую -окрестность приходим к следующей символической записи определения предела отображения, эквивалентного определению 8.1: При Y С R из (8.1) следует символическая запись определения предела отображения /: (предела действительной функции): . Бели в (8.5) 6 = 0) то функцию f(x) называют бесконечно малой при стремлении х по множеству А к точке а € X и записывают При У С R можно говорить о бесконечных пределах отображения, если точка 6 является одной из бесконечных точек (+оо или -оо) расширенной числовой прямой R или их объединением (оо). В этом случае окрестность каждой из перечисленных точек при выборе произвольного М > О примет вид Тогда из (8.1) следуют три довольно похожих между собой за-писи в символической форме определений бесконечных пределов функции: . Пример 8.1. Покажем, что lim f(x) = с, если отображение / в точках множества А принимает одно и то же значение с. В самом деле, какой бы ни была окрестность ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения V(c) точки с} Vx в U (а) П A /(х) = с, так как хе А. Поэтому /(U (а) П А) = с € V(c), что соответствует определению 8.1. Убедимся, что lim /(х) = а, если отображение / тождественно, т.е. /(я) = х Vx 6 А. В этом случае для любой окрестности V(a) при выборе U(a) = = V(a) \ {а} для тождественного отображения получим что отвечает (8.1). В частности, когда А = R и а соответствует бесконечной точке +оо расширенной числовой прямой, имеем: /(х) -f оо при х +оо. Действительно, при произвольном М > 0 в качестве проколотой окрестности бесконечной точки +оо достаточно выбрать множество U (+оо) = = {s € R: х > М}, чтобы получить /(х) > М и удовлетворить условию (8.7). # Если в определении 8.1 X = У = R и подмножество А = = {а: € R: х > а}, то приходим к понятию правостороннего предела действительной функции действительного переменного в точке а, обозначенного в 7.2 lim fix). Если же X = У = R Отметим, что множество А может совпадать со всем множеством X. При X = Y = R этот случай в определении 8.1 соответствует понятию двустороннего предела действительной функции действительного переменного, причем (если нет угрозы путаницы) вместо lim /(х) пишут просто lim /(х). Конечно, говоря о lim /(х), можно рассматривать всевоз-можные мыслимые подмножества А, но не всегда это приводит к содержательным нетривиальным результатам. Так, если функцию Дирихле рассматривать на подмножестве Q С R рациональных чисел, то получим просто постоянную функцию, предел которой установлен в примере 8.1. При определение 8.1 приведет к понятию предела последовательности точек произвольного метрического пространства У. В связи с этим дадим следующее определение. Определение 8.2. Точку 6 € У называют пределом последовательности {уп} точек уп метрического пространства У, если, какова бы ни была окрестность V(6) С У точки 6, существует натуральное число N , такое, что начиная с номера N +1 все точки данной последовательности попадают в эту окрестность, т.е. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения При выполнении (8.10) говорят также, что {уп} стремится к точке 6. Использовав в (8.10) вместо произвольной окрестности точки 6 ее произвольную ^-окрестность, будем иметь Сравнивая (8.11) с (6.28) и определением 6.5, заключаем, что последовательность {уп} точек уп метрического пространства стремится к точке 6, если числовая последовательность {d(yn> 6)} расстояний d(yni b) € R бесконечно малая, т.е. Иначе говоря, исследование поведения последовательностей точек произвольного метрического пространства опирается на исследование сходимости числовых последовательностей. Более того, и предел отображения произвольных метрических пространств тесно связан с пределом последовательностей. Эту связь устанавливает следующая теорема. Теорема 8.1. Отображение /:У имеет точку 6 € У своим пределом при стремлении х по множеству А к точке а тогда и только тогда, когда при отображении / образ любой стремящейся к а последовательности точек из А является последовательностью точек из У, стремящейся к 6, т.е. Предположим, что точка 6 б У удовлетворяет определению 8.1 предела отображения и {х„} - произвольная последовательность точек хп из А, стремящаяся к точке a € X. Тогда, согласно (8.1), какова бы ни была окрестность V(b) С У точки 6, существует проколотая окрестность U(a) С X точ- ки а, такая, что /(и(а)ПА) С V(6). По определению 8.2, в U(a)nA должны лежать начиная с некоторого номера W + 1 все точки стремящейся к а последовательности {хп}» т.е. в силу (8.10) Тогда начиная с того же номера все точки f(xn) Е У последовательности {f(xn)} лежат в V(6), что, согласно определению 8.2, означает, что эта последовательность стремится к 6. Чтобы доказать достаточность условия теоремы, предположим, что для любой стремящейся к а последовательности {хп} точек хп из А последовательность {/(х„)} точек f(xn) из У стремится к 6. Если бы lim f(x) ф 6, то это означало бы существование такого числа е > 0, что при любом выборе 8 > 0 имеется точка х € А, удовлетворяющая условиям р(х, а) и d(f(x)y 6) > е. При сколь угодно малом S > О можно указать натуральное число N) такое, что 1 /N . Тогда для каждого номера п > N найдется хотя бы одна точка из А, которую обозначим хп, такая, что р(хп, ^ Таким образом, последовательность {хп}, составленная из таких точек хп 6 Ау в силу (8.11) стремится к а, тогда как {/(хп)} не стремится к 6, а это противоречит исходному предположению. Полученное противоречие доказывает достаточность условия теоремы. Эта теорема позволяет сформулировать определение, эквивалентное определению 8.1. Определение 8.3. Точку б€ У называют пределом отображения /: А -> У в точке а по множеству А, если при отображении / образ любой стремящейся к а последоваг тельности точек из А является последовательностью точек из У, стремящейся к Ь. Символические формы записи этого определения и теоремы 8.1 совпадают. Пример 8.2. Пусть X = R, А = R, а = +оо и в отображении /: R R f(x) = cos2 Vx 6 R. Покажем, что lim f(x) = lim cos a; не существует. Возьмем последовательность {a:n} = {2птг}, которая стремится к +оо. Тогда cosin = соз2птг = 1, и в силу (6.9) lim {cos xn} = 1. Если же взять последовательность {хп} = {(2п + 1)тг/2}, также стремящуюся к +оо, то ее образ сходится к нулю. Это противоречит определению 8.3 предела отображения, т.е. указанный выше предел не существует. Рассмотрение стремящихся к оо последовательностей {2п(-1)п7г} и {(2п+ 1)(-1)птг/2} приводит к тому же выводу. Отметим, что если обозначить то правомерна запись lim cosx = 1 и limcoex = 0. # Сопоставлением определений 8.1 и 5.13 может быть доказана следующая теорема. Теорема 8.2. Отображение /: X -+Y будет непрерывным в точке а € X в том и только том случае, когда предел отображения при стремлении х по множеству X к точке а совпадает со значением /(а), т.е. когда Л Пусть отображение / непрерывно в точке а в X. Тогда, по определению 5.13 непрерывного отображения, какова бы ни была окрестность V(6) точки 6 = /(а) € У, существует такая окрестность U(a) точки а € А} что /(U(a)) С V(6), а ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. Понятие предела отображения стало быть, существует и проколотая окрестность U (а) точки а, такая, что /(U(a)) С V(b). Согласно определению 8.1 это означает, что справедливо (8.12). Обратно, пусть выполнено (8.12). Тогда в силу определения 8.1 для любой окрестности V (Ь) точки b = /(a) су- ществует проколотая окрестность U(a) точки а, такая, что /(U(a)) С V(6). Рассмотрим окрестность U(a) = U(a) U {a}. Поскольку /(a) G V(6), согласно свойствам отображения множеств (см. 2.1), имеем 4 т.е. отображение / по определению 5.13 непрерывно в точке аеХ. С учетом теоремы 8.2 можно сформулировать определение, эквивалентное определению 5.13. Определение 8.4. Отображение /: называют непрерывным в точке а 6 Ху если справедливо (8.12). Учитывая теоремы 8.1 и 8.2, получаем следующее утверждение. Утверждение 8.1. Для непрерывности отображения /: X -У Y в предельной точке абХ необходимо и достаточно, чтобы образ при отображении / любой стремящейся к а последовательности точек из X был последовательностью точек из У, сходящейся к точке /(а). 8.2. Некоторые свойства предела отображения Пусть X и У, так же как и в 8.1, - метрические пространства, AC X и а € X - предельная точка множества А. Теорема 8.3. Бели при стремлении х по множеству А к точке а отображение /: X У имеет предел, то он единственный. Предположим, что при х-^а отображение / имеет два предела 6i и 62, причем 61 ф 62. Тогда при выборе непересекающихся окрестностей этих точек (V(61)flV(62) = 0), по определению 8.1, у точки а существует проколотая окрестность U(a), такая, что и, а это невозможно в силу определения 2.1 отображения. Теорема 8.4 (о пределе композиции). Бели существуют пределы отображений /: AC X и д: У Z, причем {(х)фЬ при г-^a, где Ху У и Z - метрические пространства предельные точки соответственно для А С X и f(A) С У, то существует при х-^а и предел композиции (сложной функции) Выберем произвольную окрестность W (с) точки с. Тогда в силу определения 8.1 предела отображения всегда можно найти такую проколотую окрестность V(6) точки 6, что д(V(6) П f}