Если модель не учитывает существенную закономерность исследуемого процесса, ее нельзя применять для анализа и прогнозирования.

Модель считается адекватной , если ряд остатков обладает свойствами:

o независимость;

o их случайность;

o соответствие нормальному закону распределения;

o равенство нулю средней ошибки.

Наличие этих свойств проверяется с определенной степенью уверенности в правильности выводов. На практике обычно используется 5%- ный уровень значимости, соответствующий уверенности в 95%.

При проверке независимости (отсутствии автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей. Это проверяется с помощью d - критерия Дарбина - Уотсона, в соответствии с которым вычисляется коэффициент d :

Вычисленная величина этого критерия сравнивается с двумя табличными уровнями: нижним - d1 и верхним - d2 , значение которых зависит от количества наблюдений N , сложности модели (количества параметров) и выбранного уровня вероятности суждения. Если
d -коэффициент превышает 2 , то это свидетельствует об отрицательной корреляции и перед входом в таблицу его величину надо преобразовать: d" = 4 - d.

Если 0 d (или d") d1 – модель неадекватна (уровни ряда остатков сильно автокоррелированы);

d2 d (или d") 2 – модель адекватна;

d1 d (или d") d2 – однозначного вывода сделать нельзя и необходимо применять другие критерии (на основе коэффициента автокорреляции r(1), Q-коэффициента).

Надежным инструментом оценки независимости уровней ряда является автокорреляционная функция (АКФ), которая представляет собой последовательность коэффициентов автокорреляции. Если средний уровень ряда остатков равен нулю или другой малой величине, коэффициенты автокорреляции при сдвиге на m шагов вычисляются по простой формуле:

Вывод о независимости уровней можно сделать на основе первого коэффициента автокорреляции r(1) , вычисленного по этой формуле при m=1. Если r(1) > r табл , то присутствие в остаточном ряду существенной автокорреляции подтверждается – модель адекватна.

Целесообразно анализировать и другие значения АКФ. На основе всех коэффициентов, количество которых (М) не должно превышать одной трети объема данных, рассчитывается коэффициент Q :

Эта статистика, имеющая распределение χ-квадрат с (N-M-1) степенями свободы, не должна превышать соответствующего табличного уровня.

Рассмотренные три критерия в совокупности (коэффициент d, коэффициент автокорреляции r (1) и коэффициент Q ) позволяют однозначно определить независимость уровней ряда.

Для проверки случайности уровней ряда могут быть использованы критерий серий и критерий поворотных точек. Среди модификаций критерия серий наиболее удачной с точки зрения соотношения между сложностью и надежностью, на наш взгляд, является критерий «восходящих» и «нисходящих» серий. По результатам сравнения двух последних уровней ряда остатков составляется последовательность из нулей и единиц. Если E (t+ 1) - E (t ) > 0, в последовательности ставиться ноль, в противном случае – единица. Если исходный ряд представляет собой случайную последовательность, то продолжительность самой длинной серии τ (N ), т.е. последовательности, состоящей из идущих подряд нулей или единиц, должна быть небольшой, а общее число серий v – малым. Ряд остатков считается случайным с 95%-ной вероятностью в случае выполнения двух неравенств:

τ (N ) < τ 0 (N )

Квадратные скобки здесь означают, что от результата вычислений берется целая часть числа (не путать с процедурой округления!). Критическое значение длины серии τ 0 = 5; при 26 < N < 153, τ 0 = 6; а при N > 153, τ 0 = 7.

Менее строгим является критерий поворотных точек , который называется также критерием “пиков” и “впадин”. В соответствии с этим критерием каждый уровень ряда сравнивается с двумя соединенными с ними. Если он больше или меньше их, то эта точка считается поворотной. Далее подсчитывается сумма поворотных точек р . В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения важно с точки зрения правомерности построения доверительных интервалов прогноза. Наиболее существенными свойствами ряда отклонений являются их симметричность относительно модели и преобладание малых по абсолютной величине ошибок над большими. В этой связи определяется близость к соответствующим параметрам нормального закона распределения коэффициентов асимметрии – A c (мера скошенности) и эксцесса Э к (мера «скученности») наблюдений около модели:

Если эти коэффициенты приблизительно равны нулю, то ряд остатков распределен в соответствии с нормальным законом. Для оценки степени их близости к нулю вычисляются дисперсии:

S a = 6 (N - 2) / (N + 1) / (N + 3)

S э = 24N (N - 2)(N - 3)/ (N + 1)/(N + 3) / (N + 5)

Если вычисленные абсолютные значения этих коэффициентов не превосходят полутора среднеквадратических отклонений, то считается, что распределение ряда остатков не противоречит нормальному закону. Если хотя бы один из них превышает удвоенную величину среднеквадратического отклонения, то распределение ряда не соответствует нормальному закону, а построение доверительных интервалов неправомочно. В случае попадания в зону неопределенности (между полутора и двумя СКО) используются другие критерии, частности RS- критерий:

RS = (E max - E min) / S,

где E max – максимальный уровень ряда остатков;

E min – минимальный уровень ряда остатков;

S – среднее квадратическое отклонение.

Если значение этого критерия попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. (Для N = 10 и 5%-ного уровня значимости этот интервал равен 2,7 - 3,7).

Равенство нулю средней ошибки (математическое ожидание случайной последовательности) проверяют с помощью t-критерия Стьюдента:

Гипотеза отклоняется, если расчетное значение t p больше табличного уровня t -критерия с (N - 1) степенями свободы и выбранным уровнем значимости.

Оценка точности модели

В статистическом анализе известно большое число характеристик точности. Наиболее часто в практической работе, кроме среднеквадратического отклонения, используются:

o максимальная по абсолютной величине ошибка:

E max = max|e (t )|;

o относительная максимальная ошибка:

Е отн = Е max / Y ср * 100%

o средняя по модулю ошибка:

|Е ср | = (e (1) + ... + e (N ))/N

o относительная средняя по модулю ошибка:

|Е ср | отн = |Е ср | / Y ср * 100%

Эти показатели дают представление об абсолютной величине ошибки модели и о доле ошибки в процентном отношении к среднему значению результативного признака.

При использовании ретропрогноза – подхода, когда несколько последних уровней ряда оставляются в качестве проверочной последовательности – точность прогнозных оценок определяется на основе этих же показателей.

Лучшей по точности считается та модель, у которой все перечисленные характеристики имеют меньшую величину. Однако эти показатели по-разному отражают степень точности модели и потому нередко дают противоречивые выводы. Для однозначного выбора лучшей модели исследователь должен воспользоваться либо одним основным показателем, либо обобщенным критерием.

Примечание.

Для расширенной характеристики модели регрессии вычисляется несколько дополнительных показателей.

Кроме рассмотренных выше характеристик, целесообразно использовать корреляционное отношение (индекс корреляции ) R , а также характеристики существенности модели в целом и отдельных ее коэффициентов:

,

где S e 2 – сумма квадратов уровней остаточной компоненты;

S y 2 – сумма квадратов отклонений уровней исходного ряда от его среднего значения.

Данный коэффициент является универсальным, так как он отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной модели и их линейной зависимости он равен коэффициенту линейной корреляции.

Коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции), возведенный в квадрат, называется коэффициентом детерминации .

Рассмотрим, к примеру, ситуацию, когда коэффициент корреляции между объемом выручки от реализации и расходами на рекламу составляет 0.8. Таким образом, r =0.8, а коэффициент детерминации r*r = 0.64 (=64%). Следовательно, это показывает, что 64 % изменений в объеме реализации можно объяснить изменениями в расходах на рекламу. Такой способ описания зависимости между двумя переменными подводит к рассмотрению причины и следствия. Из двух анализируемых переменных одна является прчиной (x ), а другая – следствием (y ). Например, надежды возлагаются на то, что реклама вызовет изменение объема реализации. Таким образом, мы можеж сказать, что расходы на рекламу являются «причиной», а объем реализации – «следствием». Рассмотрим вероятную ситуацию, при которой коэффициент корреляции между двумя переменными составляет +1. Итак, r = +1, а коэффициент детерминации r*r = 1. Это подразумевает, что 100% изменений в объеме реализации вызваны изменениями в расходах на рекламу. В таком случае изменения в расходах на рекламу автоматически вызывают пропорциональные изменения в объемах реализации, что для любого руководителя службы маркетинга ситуация идеальна. На практике, конечно, крайне маловероятно, что степень корреляции будет столь идеальной. Даже когда зависимость между двумя переменными зависима, требуется учет множества других факторов. Так, для примеров такого рода вполне обычным значением коэффициента детерминации будет показатель в диапазоне от 0.1 до 0.3. Например, коэффициент детерминации, равный 0.2 (20%),показывает, что 20% изменений в объеме реализации вызван изменениями в расходах на рекламу. Во многих хозяйственных ситуациях 20%-ный результат служит более чем адекватным обоснованием необходимости продолжать рекламирование. При истолковании значений коэффициента корреляции и коэффициента детерминации следует проявлять осторожность. Существует вероятность получения очень высоких значений коэффициента корреляции при отсутствии какой-либо прямой зависимости между двумя рассматриваемыми переменными. Рассмотрим, например, следующую ситуацию, когда мы имеем для анализа собранные за 10 лет данные по стоимости экспорта из Великобритании и средней цене стиральных машин во Франции:

Год
Экспорт
Цена	1,5	1,6	1,9	2,0	2,5	2,5	2,6	2,9	3,0	3,5

Данные переменные были отобраны ввиду фактического отсутствия прямой зависимости между ними. Итак, можно вычислить коэффициент корреляции между этими двумя переменными при x – стоимости экспорта из Великобритании и y – цене стиральных машин во Франции. Коэффициент корреляции составляет r = 0,9635. Таким образом, коэффициент детерминации r *r = 0,928 = 92,8 %

Такой коэффициент детерминации, видимо, указывает на то, что 92,8% изменений в цене стиральных машин во Франции вызваны колебаниями в стоимости экспорта из Великобритании. Такая зависимость называется ложной, так как прямая зависимость между переменными, очевидно, незначительна. Коэффициент корреляции оказывается значимым в этом случае по той причине, что обе переменные связаны с третьей переменной, т.е. с временным периодом. Такое следствие часто встречается при анализе экономических данных, взятых за длительный период времени, поскольку важным фактором здесь может быть инфляция. Чтобы установить наличие истинной зависимости между двумя переменными, необходимо устранить элемент инфляции при рассмотрении этих переменных и заново вычислить корреляцию. Выше приведенный пример представляется несколько более сложным, так как уровень инфляции в разных странах может быть неодинаков. Однако в целом между двумя значениями уровня инфляции вероятно существование зависимости, что и может дать ложную корреляцию между различными финансовыми и экономическими показателями, взятыми за продолжительный период времени.

Важную роль при оценке влияния факторов играют коэффициенты регрессионной модели. Однако непосредственно с их помощью нельзя сопоставить факторы по степени их влияния на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной степени колеблемости. Для устранения таких различий при интерпретации применяются средние частные коэффициенты эластичности Э(j) и бета-коэффициенты β(j) , которые рассчитываются соответственно по формулам:

Э(j)=a(j)X cp (j)/Y cp

β(j)= a(j)S(j)/S y ,

где S(j) – среднеквадратическое отклонение фактора j .

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении фактора j на один процент. Однако он не учитывает степень колеблемости факторов.

Бета-коэффициент показывает, на какую часть величины среднеквадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением соответствующей независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

Указанные коэффициенты позволяют проранжировать факторы по степени влияния факторов на зависимую переменную.

Долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэффициентов Δ(j):

Δ(j) = r(j) β(j) / R 2 ,

где r(j) - коэффициент парной корреляции между фактором j (j=1,...,m) и зависимой переменной;

R 2 = r(1) * β(1)+r(2) * β (2)+..+r(m) * β (m)

При корректно проводимом анализе все β - коэффициентыположительны.

Похожая информация.

Любая модель дает приближенное описание процесса функционирования объекта или системы. Поэтому необходима специальная процедура доказательства достоверности (адекватности) построенной модели. От решения задачи оценки адекватности зависит степень доверия к результатам, полученным методом моделирования.

Именно сложность доказательства адекватности предлагаемой модели принято считать важнейшим недостатком метода моделирования.

Фактически единственным, достоверным способом оценки в данном случае является проверка согласованности модели с накопленными знаниями о реальном объекте.

В частности, об адекватности модели можно судить по результатам полученных с ее помощью прогнозных данных.

Кроме того, при оценке адекватности проверяют:

1) полноту отражения моделью свойств реального объекта;

2) соответствие модели исходной информации;

3) корректность принятых при моделировании допущений и ограничений; правильность используемых логических и математических соотношений (функций);

При необходимости в модель вносятся соответствующие коррективы.

Для того,чтобы можно было судить об адекватности модели по результатам прогноза, при одних и тех же условиях замеряются некоторые экспериментальные данные Y i э, (где i=1,2,...,n) , и при тех же условиях решаются уравнения математической модели процесса и получают соответствующие значения Y im .. По их расхождению и судят об адекватности модели в смысле прогнозирования. Например, для регрессионных моделей используют критерий Фишера.

На рис. представлена общая блок-схема построения математической модели процесса.

Рис. Общая блок-схема построения математической модели процесса.

Любой процесс может быть записан в виде общего уравнения

массоэнергопереноса:

;

где  - потенциал переноса, а V - конвективная составляющая,

G  - компенсирующая составляющая,   -дополнительные источники или стоки потенциала переноса.

Статический процесс, - динамический процесс.

Для однозначного решения этого уравнения необходимо задать 2 типа условий:

1. Начальные условия (временные краевые условия).

2. Граничные условия (пространственные краевые условия).

Граничные условия задают потенциал переноса на всей ограничивающей поверхности, включая границы во все моменты времени, включая начальные.

Начальные условия задают распределение потенциала переноса во всей рассматриваемой области, включая границу в начальный момент времени.

Построение математических моделей элементов ХТС.

Построение модели начинается с выбора модели для гидродинамики. Можно предложить разные подходы к изучению структуры по­тока и влияния этой структуры на ход химических процессов. Наиболее полную информацию о структуре потока можно по­лучить, зная скорость жидкости в любой точке аппарата, т. е. по­лучив поле скоростей. Но при таком подходе встречаются труднопреодолимые препятствия. Прежде всего, чрезвычайно трудна экспериментальная задача измерения скоростей во всех частях потока. В любом аппарате имеются области, где почти невозможно измерить скорость, не нарушив структуру потока. Знание поля скоростей лишь в принципе дает возможность решения практических задач. Чаще всего это решение оказывается настолько сложным, что львиной долей информации, которая заключена в данных о поле скоростей, воспользоваться не удается.

Поле скоростей - сложная трехмерная структура, описание которой долж­но содержать функции,по меньшей мере трех координат. Не стационарность (например, в турбулентном потоке) добавляет четвертую - время. Математическое описание поля скоростей получается в виде систем дифферен­циальных уравнений в частных производных; решить такую систему даже с по­мощью современных ЭВМ удается лишь в простейших случаях.

Второй возможный подход -описание потока на основе распределения вре­мени пребывания.

Разработаны две модели идеальных потоков: идеальное вытеснение и идеаль­ное смешение. Здесь отметим од­ну особенность этих моделей: они не содержат никаких парамет­ров, отражающих специфику структуры потока. Единственный па­раметр этих моделей-среднее время пребывания.

Для определения гидродинамической обстановки в аппарате во входящий поток добавляют пор­цию какой-либо примеси, называемой индикато­ром, или трассером. Ин­дикатор должен быть легко количественно определим. Кроме того, его добавление не должно влиять на характер потока (в частности, его следует вводить ма­ло, чтобы существенно не изменять расход), а сам он должен двигаться вместе с потоком, ни с чем не реагируя и не сорбируясь. Так, к потоку воды можно добавить немного кислоты или краси­теля, к воздуху-немного СО2 или гелия.

На выходе из аппарата измеряют кон­центрацию индикатора Си как функцию t. Схема установки изобра­жена на рис. . Типичный график зависимости Си от t показан на рис. В момент t=0 на входе,например, резким импульсом вводится индикатор (рис. 13,3,а).На выходе (рис. 13.3,6) вначале Си=0: ни одна частица индикатора не успела дойти до выхода. В момент t1 выхо­да достигает самая быстрая часть потока, появляется индикатор. Далее его концентрация нарастает до момента t2, а затем начи­нает убывать: основная масса потока прошла, выходят те части индикатора, которые попали в зоны циркуляции или застоя.

Рис. . Схема установки для измере­ния распределения времени пребывания:

1- ввод индикатора; 2 - вход в аппа­рат; 3 - выход из аппарата; 4 - датчик концентрации индикатора; 5 - самопи­шущий прибор.

Результаты эксперимента позволяют определить величину τ:

Время пребывания определяется по формуле:

Режим идеального смешения.

Режим идеального вытеснения.

По экспериментальным данным можно решить одну их двух задач:

 либо по известному объёму реактора V рассчитать расход жидкости W ,

 либо по известному объёмному расходу W - неизвестный объём.

Математическое описания

химического

на основе модели идеального смешения.

Химический реактор является одним из наиболее важных элементов химико-технологической схемы.

Модель химического реактора с мешалкой непрерывного действия базируется на допущении об идеальном перемешивании реагирующей смеси в зоне реакции, т.е. температура и концентрации компонентов одинаковы во всех точках реактора и на выходе из реактора.

Основным назначением математического описания такого реактора является определение из уравнения материального баланса и теплового баланса концентрации и температуры в выходном потоке.

С точки зрения управления очень важно поддерживать заданное мольное соотношение реагентов на входе в реактор.

Регулирование температуры осуществляется за счёт подачи хладагента в охлаждающую рубашку реактора и в змеевик.

При превышении температуры выше допустимой, происходит прекращение подачи исходного вещества.

Введем следующие обозначения:

Объём реактора; . - объемный расход реагирующей смеси.

Концентрация j-го вещества в реакторе и на выходе из него..

Уравнения материального баланса для вещества j можно записать следующим образом: ,

где -накопление вещества в реакторе,

Конвективный приток и сток вещества.

Количество вещества образующегося в реакторе.

Если накопление вещества в реакторе , то это статический процесс, в случае - это динамический процесс.

Уравнение материального баланса можно записать в следующем виде:

,где среднее расчётное время пребывание жидкости в аппарате рассчитывается по формуле:

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Планирование и прогнозирование

в условиях рынка»

на тему: Доверительные интервалы прогноза

Оценка адекватности и точности моделей

Глава 1. Теоретическая часть 3

Глава 2. Практическая часть 9

Список используемой литературы 13

Глава 1. Теоретическая часть

Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей

1.1 Доверительные интервалы прогноза

Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t , соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1. субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2. погрешностью оценивания параметров кривых;

3. погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза. Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:

где n - длина временного ряда;

L -период упреждения;

y n + L -точечный прогноз на момент n+L;

t a - значение t-статистики Стьюдента;

S p - средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра а о приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a 1 - к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию можно представить в виде:

где - дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

t 1 - время упреждения, для которого делается экстраполяция;

t 1 = n + L ;

t - порядковый номер уровней ряда, t = 1,2,..., n;

Порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда,

Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

Обозначим корень в выражении (1.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= t a K . Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

Выражение, аналогичное (1.3.), можно получить для полинома второго порядка:

Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:

где y t - фактические значения уровней ряда,

Расчетные значения уровней ряда,

n - длина временного ряда,

k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.

Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении S y , так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения

Рисунок 1.1. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда

Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 1.1. приведены значения К* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы. Очевидно, что при увеличении длины рядов (n ) значения К* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения К* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L .

Таблица 1.1.

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).

	Линейный тренд		Параболический тренд
Длина ряда (п)	Период упреждения (L) 1 2 3	длина ряда (п)	период упреждения (L) 1 2 3
	2,6380 2,8748 3,1399		3,948 5,755 8,152
	2,4631 2,6391 2,8361		3,459 4,754 6,461
	2,3422 2,4786 2,6310		3,144 4,124 5,408
	2,2524 2,3614 2,4827		2,926 3,695 4,698
	2,1827 2,2718 2,3706		2,763 3,384 4,189
	2,1274 2,2017 2,2836		2,636 3,148 3,808
	2,0837 2,1463 2,2155		2,536 2,965 3,516
	2,0462 2,1000 2,1590		2,455 2,830 3,286
	2,0153 2,0621 2,1131		2,386 2,701 3,100
	1,9883 2,0292 2,0735		2,330 2,604 2,950
	1,9654 2,0015 2,0406		2,280 2,521 2,823
	1,9455 1,9776 2,0124		2,238 2,451 2,717
	1,9280 1,9568 1,9877		2,201 2,391 2,627
	1,9117 1,9375 1,9654		2,169 2,339 2,549
	1,8975 1,9210 1,9461		2,139 2,293 2,481
	1,8854 1,9066 1,9294		2,113 2,252 2,422
	1,8738 1,8932 1,9140		2,090 2,217 2,371
	1,8631 1,8808 1,8998		2,069 2,185 2,325
	1,8538 1,8701 1,8876		2,049 2,156 2,284

Глава 2. Практическая часть

Задание 1.5. Использование адаптивных методов в экономическом прогнозировании

1. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы ЮМ. В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Значение параметра адаптации а принять равным 0,1.

Таблица 1.2.

Курс акций фирмы IBM

2. По данным задания №1 рассчитать экспоненциальную среднюю при значении параметра адаптации а равным 0,5. Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при а =0,1 и а =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер.

3. Прогнозирование курса акций фирмы IBM осуществлялось на основе адаптивной полиномиальной модели второго порядка

где - период упреждения.

На последнем шаге получены следующие оценки коэффициентов:

На 1 день вперед (=1);

На 2 дня вперед (=2).

Решение задания 1.5

1. Определим

Найдем значения экспоненциальной средней при а =0,1.

. а =0,1 - по условию;

; S 1 = 0,1 х 510 + 0,9 х 506 = 506,4;

; S 2 = 0,1 х 497 + 0,9 х 506,4 = 505,46;

; S 3 = 0,1 х 504 + 0,9 х 505,46 = 505,31 и т.д.

а =0,5 - по условию.

; S 1 = 0,5 х 510 + 0,5 х 506 = 508;

; S 2 = 0,5 х 497 + 0,5 х 508 = 502,5 и т.д.

Результаты расчетов представлены в таблице 1.3.

Таблица 1.3.

Экспоненциальные средние

	Экспоненциальная средняя			Экспоненциальная средняя
	а =0,1	а =0,5		а =0,1	а =0,5

Рисунок 1.2. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса акций: А - фактические данные; В - экспоненциальная средняя при альфа = 0,1; С - экспоненциальная средняя при альфа = 0,5

При а =0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, т.к. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

3. Прогноз по адаптивной полиномиальной модели второго порядка формируется на последнем шаге, путем подстановки в уравнение модели последних значений коэффициентов и значения - времени упреждения.

Прогноз на 1 день вперед (= 1):

Прогноз на 2 дня вперед (= 2):

Список используемой литературы

1. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. - М.: МЭСИ, 2003. - 52с.

2. Афанасьев В.Н., Юзбашев М.М. Анализ временных рядов и прогнозирование М.: Финансы и статистика, 2001.

3. Лукашин Ю.П. Регрессионные и адаптивные методы прогнозирования. Учебное пособие. - М.: МЭСИ, 1997.

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

В предыдущих параграфах уже употреблялось понятие адекватности моделей. Важность этого свойства моделей столь значительна, что необходимо посвятить понятию адекватности моделей отдельный параграф.

Модель строится, в частности, для того чтобы получить дополнительную информацию об объекте моделирования. Подразумевается при этом, что информация, полученная при исследовании модели, может быть с той или иной степенью достоверности перенесена на объект . Необходимое условие для перехода от исследования объекта к исследованию модели и дальнейшего перенесения результатов на объект исследования – адекватность модели и объекта.

Так как всякую модель можно сравнить с проекцией, нельзя говорить об абсолютной адекватности, при которой модель по всем параметрам соответствует оригиналу, тем более когда строятся модели природных или социальных явлений и процессов (неконструктивных объектов). В этом случае оценка степени сходства может опираться в основном на оценку отличия от оригинала . При этом оценивание отличия наталкивается естественным образом на большие трудности, так как обычно невозможно использовать для сравнения объект во всей его действительной целостности.

Поэтому говорить об адекватности в позитивном смысле слова можно только по отношению к конструктивным объектам.

Понятие адекватности основывается на строгих в математическом отношении понятиях изоморфизма и гомоморфизма, но не совпадает с ними. Например, объект может быть изоморфен модели по структуре, в то время как целью моделирования является изучение его поведения.

Адекватность достаточно просто установить в случае конструктивных (в частности, информационных) объектов.

Для этого необходимо сформулировать цель моделирования и уточнить, какой из аспектов изучаемого объекта – внешний вид, структура или поведение – представляет в данном случае интерес. После этого проблему адекватности можно свести к установлению соответствующего изоморфизма или гомоморфизма.

где х – отклонение от положения равновесия.

Адекватна ли эта модель поведению маятника?

Если посмотреть на колебания реального маятника, то можно заметить, что со временем размах колебаний становится все меньше и в конце концов маятник останавливается. Уравнение х = A sin(ωt ) не предсказывает такого поведения, т.е. налицо явный неизоморфизм в поведении конструктивного объекта и его модели.

Тем не менее, если ввести следующие ограничения:

• отклонение х от положения равновесия мало (малые колебания);
• время t наблюдения за маятником мало,

то приведенное уравнение достаточно хорошо описывает поведение маятника (модель становится изоморфной), в чем можно убедиться в ходе эксперимента.

Можно сказать, что при соблюдении вышеназванных условий уравнение х = A sin(ωt ) адекватно описывает движение реального маятника.

Задача становится существенно сложнее, если наблюдателю доступны только модели изучаемого объекта, на основе которых нужно сделать вывод и о самом недоступном ему объекте.

Первая мысль состоит в том, чтобы сравнить имеющиеся модели и попытаться выделить некоторые «инвариантные» (не зависящие от модели) моменты, которые, как можно предположить, относятся и к самому объекту.

Пример 3 Пример 4 Как известно, ни одна разведслужба мира не пользуется данными только одного источника. Каждый разведчик дает свое видение ситуации (свою модель). На основе анализа многих таких моделей в разведывательном центре делают заключение о самом объекте (в данном случае строят гипотезу, которую надо еще и проверить). Как известно, высадка англо-американских войск в Нормандии в 1944 г. опиралась на тщательное изучение береговой линии, предпринятой на основе анализа нескольких тысяч любительских фотографий. Возможно и обратное действие, когда дезинформирующее сообщение помещалось в два независимых источника с тем, чтобы потом его расценили как правдоподобное («дыма без огня не бывает»).

Пример 5

Проблема оценки объекта по его моделям возникает постоянно: при просмотре телевизионных программ, при чтении книг, при выборах представителей власти и т.д. Но может случиться так, что наблюдатель не имеет желания (возможности для этого у него всегда есть) оценивать модели или искать за ними какой-то объект. Здесь могут быть следующие ситуации:

1) наблюдателю доступна только одна модель;

2) наблюдателю доступны несколько моделей одного объекта.

В первом случае наблюдатель, имея в распоряжении только одну модель и не желая подвергать ее осмыслению, вольно или невольно отождествит ее с самим объектом.

Во втором случае у наблюдателя есть возможность свободно переходить от одной модели к другой, как правило, не задаваясь вопросом о корректности такого перехода. При этом наблюдателю не важна ни степень адекватности этих моделей реальному положению дел, ни даже то, что одна модель может противоречить другой. Реальность подменяется таким субъектом-наблюдателем некоторым набором моделей.

Пример 6 Доступность одной или нескольких моделей объекта лежит в основе конструирования идеологий «тоталитарного» и «демократического» общества (в данном случае эти понятия используются не во всей возможной полноте, а частично). Объектом моделирования являются в этом случае общественные отношения, а объектом воздействия – общественное сознание и мировоззрение отдельного человека. «Тоталитарная» идеология стремится сформировать в обществе единую модель мировоззрения и поведения, в которую заложены необходимые для нее параметры. Претендуя при этом на роль не только модели, но и объекта, она неизбежно должна включать элементы, относящиеся к самому объекту. «Демократическая» идеология, оперируя с несколькими моделями, в принципе способна дать более адекватный взгляд на моделируемый объект. Однако эта же идеология не поощряет человека к анализу моделей, призывая его оставаться в рамках необременительного «плюрализма». В результате возникает хорошо известный феномен «расщепленного сознания», когда человек «живет» сразу в нескольких несовместимых, а порой и прямо противоречащих друг другу моделях. В этом случае объект моделирования, а вместе с ним и сама реальность может полностью «уплыть» из поля зрения человека. Сформированный в такой идеологии человек хорошо чувствует себя в искусственном мире Интернета, супермаркетов и биржевых котировок. Однако он совершенно беспомощен перед лицом реального мира и его законов, что хорошо видно на примере действия всевозможных сект. К сожалению, в сознании многих людей именно этот искусственный мир ассоциируется с цивилизацией вообще. В последнее время в «демократической» идеологии набирают силу «тоталитарные» тенденции. Это делается на основе выстраивания системы изоморфных моделей, которые при видимом разнообразии задают одну и ту же идеологическую линию. Например, вполне определенные стереотипы поведения, задаваемые мультсериалами Диснея, целенаправленно прививаются детям через одних и тех же героев, переходя в комиксы, школьные тетради, детские игрушки и т.д.

Несмотря на влияние той или иной идеологической системы, познание реальности есть неотъемлемое свойство человеческого духа. Даже имея в распоряжении только одну модель, думающий человек может по многим косвенным признакам успешно соотносить ее с объектом моделирования, оценивать степень ее адекватности и принимать решение о своих действиях, соответствующее собственным интересам, а не интересам «создателей» модели.

2.9.2. Принципы и приемы оценивания адекватности модели объекту

Какие же принципы и приемы могут лежать в основе оценивания степени адекватности модели объекту?

Пример 7 Еще раз проанализируем маятник из примера 2. Верно ли то, что уравнение x = A sin(ωt ) будет по-прежнему адекватно описывать малые колебания маятника, если он находится на Луне? Прямое сравнение объекта и модели, а, следовательно, установление изоморфизма, в данном случае исключено. Тем не менее мы можем с некоторой поправкой (заменой значения константы g , входящую в формулу подсчета частоты ω) считать, что это уравнение будет адекватно описывать малые колебания маятника и на Луне. Заметим, что при движении маятника в соответствии с приведенным выше уравнением выполняется закон сохранения энергии, в чем можно убедиться, сделав прямой подсчет.

Устанавливая адекватность модели в новых условиях, мы в данном случае руководствовались общенаучным принципом соответствия, впервые сформулированным датским физиком Н. Бором: если корректно уточнить адекватную модель (в данном случае с соблюдением закона сохранения энергии) или область действия адекватной модели, то в результате получится адекватная модель.

Аналогично сравнивая А и С, В и С, приходим к выражению «воли большинства»: С > B, В > A, С > A, т.е. к упорядочиванию С > В > А.

Если необходимо выбрать одного кандидата, то выбирается С.

В соответствии с законом большинства получается три утверждения:

B > C, C > A, A > B, но они противоречивы!

Таким образом, предложенную модель выбора «лучшего» кандидата сложно рассматривать как адекватную воле большинства, поскольку на ее основе нельзя сделать однозначного вывода, а мы неявно предполагаем истинность логического принципа tertium non datur («третьего не дано»).

Противоречие в данной модели говорит о том, что понятие «воля большинства», которое является краеугольным камнем демократических институтов, является далеко не таким простым и очевидным. Примечательно и то, что этот парадокс был сформулирован одним из столпов европейской демократии.

Пример 9

Как известно, в классической физике масса является мерой инертности тела, а также мерой его гравитационного взаимодействия.

Можно рассмотреть две теории, в которых:

• численные значения инертной и гравитационной массы в принципе могут различаться, поскольку это разные понятия;
• выполняется принцип эквивалентности этих масс, предложенный А. Эйнштейном в 1910 г.

Какая из этих теорий более адекватна?

Разумеется, у Эйнштейна были различные аргументы для введения этого принципа. Но один из них предполагает, что в реальности все должно быть устроено как можно проще. При этом простота вовсе не подразумевает упрощенности. Принцип простоты лежит в основе первичной проверки адекватности научной теории объекту исследования.

Пример 10

Аналогичная ситуация имела место в физике XVII в. Тогда знали много различных видов электричества: атмосферное электричество; электричество, образующееся в янтаре, потертом шерстью или сукном; электричество, возникающее при химическом взаимодействии веществ и т.д. Постепенно, однако, возникла мысль, что все должно быть устроено проще и в действительности природа всех этих видов электричества одна и та же. Это был первый шаг к построению современной теории электричества.

Важным этапом развития этой теории были опыты датского физика Г.Х. Эрстеда, открывшего влияние электрического тока на магнитную стрелку. Из соображений симметрии возникло предположение, в природе должна существовать и обратная зависимость: магнетизм должен «порождать» электричество. Руководствуясь этим принципом, М. Фарадей после десяти лет экспериментов открыл явление электромагнитной индукции. Принцип симметрии явился еще одним научным принципом, позволяющим произвести первичную проверку адекватности научных моделей.

Адекватность весьма тонкое и многогранное понятие, что видно из следующего примера.

Пример 11 Рассмотрим две ситуации. Первая: предположим, вам описали внешность человека, и вы узнали его по этому описанию при встрече. Вторая: вам описали внешность человека, и вы не узнали его при встрече по этому описанию. Можно ли говорить, что первая модель адекватна моделируемому объекту, а вторая – неадекватна? Вряд ли. Скорее, можно говорить о том, что первая модель более адекватна, чем вторая, т.е. ввести сравнительную оценку адекватности. Заметим, что причина того, что вы не узнали человека по описанию, может заключаться не в том, что описание было несоответствующим (неадекватным) объекту, а в особенностях вашего восприятия. И определенную роль здесь играет выбранный способ формализации.

Словесное описание чаще всего бывает лишь частично формализованным . Вспомните, насколько по-разному можно понимать (трактовать) такие широко распространенные в нашей обыденной речи выражения, как «светло-карие глаза», «соль на кончике ножа», «легкая походка».

Общение – это процесс передачи информации, и идет оно по той же схеме, что и любая передача информации: есть источник, кодирующее устройство, канал связи со своей пропускной способностью и помехозащищенностью, декодирующее устройство, приемник информации; и каждый из перечисленных элементов подвергается воздействию помех. В нашем случае «помехами» могут выступать многозначность, неточность слов, используемых при описании внешности человека, и различные модели восприятия информации у собеседников.

Если словесное описание строго формализовано и правила этой формализации известны обоим собеседникам, то только в этом случае, когда возможность различного толкования одних и тех же слов-знаков сведена к минимуму, можно говорить об адекватности или неадекватности описания объекту.

Понятие адекватности вырастает из нашего желания видеть модель «равной», «тождественной» изучаемому объекту. Разумеется, этот идеал недостижим, и мы можем познавать только какую-то сторону объекта в зависимости от цели моделирования и имеющихся у нас инструментов познания. Оказывается, проще установить неадекватность модели, т.е. ее не соответствие некоторым общим научным принципам. Например, если в модели одновременно допустимы утверждения «А» и «не-А», то эта модель заведомо неадекватна (специальные случаи многозначных логик мы не рассматриваем). Эти общие принципы не абсолютны, и об этом пойдет речь в следующем параграфе.

Сам же принцип познания через отрицание называется апофатическим . Апофатический принцип позволяет строго фиксировать границы нашего познания, и некоторые философы предсказывают, что этот принцип будет ведущим принципом познания в ХХI в.

Замечание . Описание объектов через отрицание часто встречается в литературе. Им, например, часто пользовался русский поэт Е.А. Баратынский:«Мой неискусный карандаш», «Ее лица необщим выраженьем» и т.д.

Если наблюдателю доступна только одна модель, вопрос о ее адекватности объекту принимается на основе фундаментальных научных положений.

К фундаментальным положениям относятся следующие:

• непротиворечивость: невозможна одновременная истинность высказывания (А) и противоречащего ему высказывания (не А);
• закон достаточного основания: «...ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение справедливым, без достаточного основания, почему дело обстоит именно так, а не иначе...» (Г.В. Лейбниц);
• закон сохранения энергии: энергия поля + энергия объекта=constant;
• закон сохранения вещества: вещество никуда не исчезает и ниоткуда не возникает, оно только переходит из одного состояния в другое;
• свойство симметрии: если какое-либо состояние или процесс встречается в природе, то для него существует обращенное во времени состояние или процесс, который также может реализоваться в природе.

Кроме того, адекватность модели оценивается на основе общих эвристических принципов:

• принцип простоты: «Не следует умножать сущности сверх необходимого» (У. Оккам);
• принцип «лени» (в коммуникации): каждый говорящий стремится сообщить как можно меньше информации, а каждый слушающий, напротив, стремится получить ее как можно больше, чтобы самому меньше вдумываться в смысл высказывания;
• принцип эстетики: «Физический закон должен быть математически изящным» (Physical law would have mathematical beaty) – такую надпись оставил на стене кабинента кафедры теоретической физики МГУ выдающийся физик П.А.М. Дирак в 1956 г., она может служить иллюстрацией общего принципа эстетики;
• принцип соответствия: если корректно уточнить адекватную модель или область действия адекватной модели, то в результате получится адекватная модель.

Во всех случаях в основе этих принципов лежат осознанные или не осознанные основные постулаты нашего мировоззрения.

В общем случае под адекватностью понимают степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится. Вместе с тем, создаваемая модель ориентирована, как правило, на исследование определенного подмножества свойств этого объекта. Поэтому можно считать, что адекватность модели определяется степенью ее соответствия не столько реальному объекту, сколько целям исследования. В наибольшей степени это утверждение справедливо относительно моделей проектируемых систем (т. е. в ситуациях, когда реальная система вообще не существует).

Тем не менее, во многих случаях полезно иметь формальное подтверждение (или обоснование) адекватности разработанной модели. Один из наиболее распространенных способов такого обоснования - использование методов математической статистики . Суть этих методов заключается в проверке выдвинутой гипотезы (в данном случае - об адекватности модели) на основе некоторых статистических критериев. При этом следует заметить, что при проверке гипотез методами математической статистики необходимо иметь в виду, что статистические критерии не могут доказать ни одной гипотезы - они могут лишь указать на отсутствие опровержения.

Итак, каким же образом можно оценить адекватность разработанной модели реально существующей системе?

Процедура оценки основана на сравнении измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели и может проводиться различными способами. Наиболее распространенные из них :

– по средним значениям откликов модели и системы;

– по дисперсиям отклонений откликов модели от среднего значения откликов системы;

– по максимальному значению относительных отклонений откликов модели от откликов системы.

Названные способы оценки достаточно близки между собой, по сути, поэтому ограничимся рассмотрением первого из них. При этом способе проверяется гипотеза о близости среднего значения наблюдаемой переменной среднему значению отклика реальной системы .

В результате опытов на реальной системе получают множество значений (выборку) . Выполнив экспериментов на модели, также получают множество значений наблюдаемой переменной .

Затем вычисляются оценки математического ожидания и дисперсии откликов модели и системы, после чего выдвигается гипотеза о близости средних значений величин и (в статистическом смысле). Основой для проверки гипотезы является -статистика (распределение Стьюдента) . Ее значение, вычисленное по результатам испытаний, сравнивается с критическим значением , взятым из справочной таблицы . Если выполняется неравенство , то гипотеза принимается. Необходимо еще раз подчеркнуть, что статистические методы применимы только в том случае, если оценивается адекватность модели существующей системе. На проектируемой системе провести измерения, естественно, не представляется возможным. Единственный способ преодолеть это препятствие заключается в том, чтобы принять в качестве эталонного объекта концептуальную модель проектируемой системы. Тогда оценка адекватности программно реализованной модели заключается в проверке того, насколько корректно она отражает концептуальную модель.